4-1 快速傅立葉轉換
量測時域訊號分佈 ，經由傅立葉轉換，可取得其頻域訊號 分佈 ，以下是最原始的傅立葉積分式：
(4.1) 若 在實驗中為離散式，而非函數，以傅立葉的離散式表示，
此即謂快速傅立葉轉換（Fast Fourier Transform）：
(4.2) 而一般的實驗數據是在有限時間下所進行的有限數據，故若以 N 表示時域空間下的取樣個數，改寫（4.2）式如下：
(4.3) k:頻域之頻率指數
4-2 實驗透射係數比
由我們所架設的 THz-TDS 系統，可以由量測得到樣品的時域訊 號 及 參 考 基 板 的 時 域 訊 號 ， 另 外 我 們 將 各別做 4-1 節所介紹的傅立葉轉換獲得頻域訊號
， 。
4-2-1 基板(bulk) n 與 k 的理論計算
當 THz 經過基板時，基板會產生相對於空氣的時間延遲，
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c d t n
3 1
(4.4) 其中n
3為基板的折射率，d
為基板的厚度，c 為光速。如果已知基板 厚度與延遲時間，從(4.4)式能獲得基板的折射率並對照時域訊號。利用基板與自由空間穿透電場計算基板的折射率。假設 E0(t)為自 由空間的電場強度，Et(t)為穿過參考基板的電場強度，如圖 4-1。根 據 4-1 小節將時域訊號做傅立葉轉換獲得 。其中
其中 where
。 首先假設基板的 ，此假設的合理性在於，對大部分低自由載子 濃度的基板而言，主要貢獻於 THz 訊號變化的是聲子和背景束縛載 子 ， 這 意 味 著 不 會 有 歐 姆 損 耗 或 傳 導 能 帶 內 的 散 射 (intraband scattering)，會損失的能量只有聲子和光子的共振吸收及其 聲子的散射，而聲子的頻率大都超過 3 THz，因此，在 0~3 THz 頻段 的吸收會非常的小，一般而言會遠小於折射率。所以，
為參考基板的複數折射率，n 為折射率實部，k 為折射率虛部。在
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物理意義上，折射率實部對電磁波來說主要造成相位延遲或超前和介 面因阻抗不匹配造成的損失；而折射率虛部則主要代表吸收，但同時 也會造成介面的相位改變，而對於自由載子濃度很低的基板而言，其 值非常的小，因此幾乎不會造成吸收，也不會造成介面的相位延遲或 超前。
4-3 薄膜性質的理論計算 4-3-1 理論透射係數比
如圖 4-2 所示，THz 輻射垂直正向入射半導體薄膜樣品/參考基板，
從空氣經過進入薄膜後再穿過基板進入空氣中，空氣、薄膜、基板折 射率分別為 、 、 ，樣品厚度 ，參考基板厚度為 。由於基板 的折射率較空氣為大，且其基板的厚度夠厚(~400
m)，這會使得基 板的二次反射訊號會在時域上與主訊號分開來，所以不需考慮 THz 在基板中的多重反射，經過計算後得到穿透樣品的 THz 電場圖 4-1 THz 垂直經過基板與空氣傳遞示意圖。
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(4.5)
其中 為入射電場 為穿透係數， 為反射係
數，( 代表由介質 A 穿透到介質 B， 代表由介質 A 反射到介質 B)， ( 為光速)為薄膜造成的相位延遲。
另一個參考電場為只經過參考基板所得到的電場，可表示為 (4.6) 對於有吸收的薄膜來說，穿透係數、反射係數和相位延遲中的折射率 為一個複數(complex number)。因為 THz 電場在空氣中還有基板中並 不會有吸收，或者吸收很小，即 ，因此，可令空氣與基板的折
射率為實數。將 各別做 4-1 節所介紹的傅立葉轉換
獲得頻域訊號 ， 。
在本實驗中，量測 THz 穿過樣品時域訊號與基板時域訊號後做傅 立葉轉換可得到振幅比 ρ 與相位差 θ，再利用平面波的電磁模型去和
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Finally, solve the equation above to derive complex dielectric constants as follows：
1 3 1 3 1 3
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驗上的時域訊號或轉換後的頻域訊號，判斷其一次近似理論是否適 用，即使從時域上的延遲(4.4 式)也無法準確地估算其折射率的大小，
主要是因為穿透樣品後的相位和振幅變化，都同時被折射率和消光係 數主宰著，例如：折射率的大小會影響介面的振幅損失和相位變化，
也會造成樣品路徑上的光程延遲或超前(折射率為負時)；消光係數則 會造成介面上的相位延遲或超前和造成振幅的衰減或放大。總而言 之，要直接看出或判斷出一次近似理論的適用性與否是很困難的，除 非相位和振幅的變化都非常的小，但也必頇同時考慮厚度的大小。即 使在多重因素的考慮下，假設其應該適用，但仍必頇將所求得的解析 解代回理論的近似假設，以檢證其假設的正確性。有一篇發表在 Opt.
Lett.的文章就曾出現這個錯誤[20]，所以，後來就被其它的科學家提 出了質疑[22]，而作者也重新作了很大的修正，因此，在數值上就出 現了很明顯的差異[23]。事實上，有很多關於薄膜的研究[20][21]都是 使用一次近似的方法，推測其原因，可能是因為覺得薄膜厚度很薄，
所以適用此分析模型吧！但只要稍微評估這些研究的數值，便會發現 誤差的傳遞是很大的，且誤差大小是頻率相依的，這會有何影響呢？
從「量」的觀點來看，也許只是影響了幾個百分比的數值而已，但從
「質」的觀點來看，卻可能完全影響了我們對此樣品載子特性的理 解，因為「適用」的擬合模型改變了，如[21]，這篇文章使用了幾種
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常用的模型來擬合，發現最適合的只有一種，但如果仔細觀察每條擬 合曲線，便會發現其誤差非常的小，這極有可能是因為一次近似模型 造成的誤差。總而言之，這說明了解析法中的一次近似理論常會發生 問題，使用上必頇格外地注意。且因其誤差的大小是一個頻率相依的 函數，所以，如果誤差太大，則必會影響導出光參數的趨勢，而其擬 合的模型與解釋就可能完全的錯誤。
為了解決這個困難，一般而言會使用數值分析的方法，其最大優點 是能解決無法用解析方法求解的方程式或方程組，以求得最佳或最適 當的解；但其也有缺點，因為對於 THz-TDS 的複數電磁穿透理論(4.5 式)而言，拆開後會形成一個非線性的聯立方程組，其通常無法求得 真正的解，且可能會有一組以上的解。因此，通常會利用迭代法 (iteration)來尋求方程組的解，但因為只能找出一組可能的解，無法一 次找出所有可能的解，所以，起始值的選定就非常的重要，而這必頇 要從其它的參考資料中先評估合適的值當初始值，再去做迭代，看是 否能收斂而求得其解。另外，因為其方程組亦為一頻率相依的方程 組，因此，求解的過程就會變得相當的耗時。總而言之，此方法能適 用於所有的厚度、折射率和消光係數的求解，沒有近似的限制，但卻 繁雜。相對而言，解析法的求解就顯得簡單快速，能有效率地處理大 量數據，但卻因一次近似，有了很大的受限。
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在本研究中，為了仍能保留解析法的優點，並改善其受限的問題，
提出了二次近似的理論來涵蓋原本的一次近似，很大地增加了適用的 範圍，而其適用的範圍為何呢？因為理論中(4.5 式)的折射率、消光 係數和厚度是緊密關聯的，意即會同時影響近似後的理論數值，因 此，參考[22]這篇文章所使用的方法，要將一些特定頻率點的光參數 值代回近似的假設，以檢證其適用性與否。但此方法並非最佳的方 法，一來耗時，因為可能必頇代回很多的點；二來這只能檢證其適用 性與否，卻無法了解其近似所求得的值與無近似時的誤差。因此，在 本研究中，為了改善這些缺點，直接將近似法所求的折射率和消光係
數值代回原理論(不作任何近似)，便可同時了解其誤差和適用與否。
總而言之，這方法可以完全取代掉原先一次近似的解析方法，且不 需使用繁複的數值方法，很大地拓展了解析方法的適用範圍，未來可 以應用在非常多不同種類的薄膜樣品上，例如:高濃度或高遷移率的 半導體、強關聯的物質(視情況而考慮磁的貢獻)等薄膜。但若是折射 率或消光係數或厚度大到超過二次近似的適用範圍，則仍必頇使用數 值方法。本研究提出二次近似的理論計算如下：
首先，令
1 2
2
i
e
i ，且因薄膜厚度很薄，通常不超過 2 μm，同 時頻率在 THz 波段。因此，可令 2 F 1
c d
。接著，將穿透係數與 反射係數帶入(4.5)與(4.6)兩式中可得
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