利用演算法設計繞射型光學元件，首先最重要的就是定義出目標 函數。目標函數的設定方式的好壞將會直接影響運算的結果，一個不 恰當的設定，將會導致結果無法符合預期，本章將在第一小節裡討論 幾種不同的設定方式，並比較其優缺點。在第二小節裡將介紹針對繞 射光學元件所修改的基因演算法，而第三小節將介紹本論文所採用的 編碼方式以及演算法交互迭代的方法。
4.1 目標函數(Object function)的設定與比較分析
由於許多最佳化演算法都是求函數的極小值，因此，在繞射光學 元件的設計上，一般常見的目標函數設定都是採用誤差函數(Error function)，如平方誤差和(Sum Square Error，SSE)：
( ) i( ) i 2 i
SSE P =
∑
I P −I ………(4.1) 式中的P表示是演算法目前搜尋的位置(解)，而I Pi( )是訊號區內的光 強度，Ii是光強度的目標值。當 SSE=0 時，也就代表已經達到我們所 要求的目標了，但這只是一種理想的狀況，實際上我們只能找到一個 極小值而已，圖 4-1 為誤差函數示意圖。而基因演算法是一種求極大 值的演算法，其目標函數設定方式跟一般求最小值的演算法可以利用或
fmin = −F………(4.3) 式中大寫的 F 表示基因演算法的適應度函數(求最大值)，而 fmin是共 軛梯度法以及其他種求最小值最佳化演算法的目標函數。
0.00E+00 5.00E+05 1.00E+06 1.50E+06 2.00E+06 2.50E+06
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39
目標值 實際值 取樣點
圖 4-1 誤差函數示意圖
濾波型元件有幾點要求：1.主要波長具有高繞射效率 2.具有高 SNR 值。因此希望主波長在訊號區的光強度分佈近似於理想的愛里盤 (理想聚焦元件的分佈)，而其他波長則希望在訊號區內強度為 0，因 此可以寫成下列的式子：
1 1 2 3 4
2
2 2 2
0 0 0
i i i i i
i i i i
SSE=
∑
Iλ −Iλ +∑
Iλ − +∑
Iλ − +∑
Iλ − ……(4.4)式中的Iλ1i是愛里盤的強度分佈，而由於主波長的誤差跟其他波長的
誤差的大小會有所不同，所以習慣上會針對第 n 個波長加上一個誤差 的加權(weight)。
1 1 2 2 3 3 4 4
2 2 2 2
i i i i i i i
i i i i
SSE=
∑
Iλ −Iλ +∑
W Iλ λ +∑
W Iλ λ +∑
W Iλ λ …………(4.5)上式是一般普遍所使用的設定方法，然而由於主波長的光強度誤差 跟其他光強度的誤差大小，往往相差數個數量級，往往需要經過不斷 的測試，才能找出合適的加權值。當取樣點改變或是元件規格改變 時，都必須要再調整加權值的大小。顯然這不是一種非常好的設定方 式，因此本論文考慮基因演算法求最大值的特性，使用幾種不同的目 標函數設定方式：
1. 求SNR最大值：
這個概念是來自於我們希望主波長具有在訊號區內有極高的光 通量，而其他波長的光通量趨近於 0，也就是 SNR 極大的概念。考慮 四個波長的計算，使用基因區域搜尋法，其計算結果為η1=0.32051%、
2 0.000012%
η = 、η3 =0.0000026%、η4 =0.00000072%，SNR=20921，此一 結果雖然有極高的SNR值，但主波長的繞射效率過低，並不符合我們 希望得到的結果。
2. 求η1×100+ iW SNR'或η1×SNR'W極大：
接近 0 時會發生趨近無窮大的現象，考慮在分母加入一個非 0 值，使 其SNR是有限值
' 1
1
nontrival i
i 100 的目的是為了讓目標函數有適當大小的值(well-scaled)，如此
考慮設定ηnontrival =0.5%與W =0.5，根據此種設定的方式使用基因區域
2 4.4929%
η = 、η3=1.31486%、η4 =0.532997%，
簡單估計 68.2965% - 60%
6.3408% 1
W → ≈ 。然而實際上若將 W 設定為 1，並不能
4.2 改良型基因演算法12
償超過2π 的部分都是可以忽略的，數學形式可以寫成φ φ'= mod 2π，
結構的相位常數是 2，再右邊一個的相位常數是 3，依此類推。當光 線通過這八個不同的結構時，全部將會聚焦到同一點上，強度也會完 全相同，但是，相位卻不會相同，也就是第一個結構的相位是跟他的 相位常數 0 有關，而第二個結構在聚焦點上，光的相位是跟他的相位 常數 1 有關，同時我們也知道，這兩個元件聚焦點上光的相位會相差 1(也就是1 2
8× π)，如果將這兩個結構各取一半(結構一取左邊一半，
結構二取右邊一半)之後拼在一起，所得到的新結構，其聚焦效果會 不如原本的結構，這是因為這兩個結構的相位常數不相同，最後進行 波的疊加時，反而不能達到良好的建設性疊加。在瞭解了光學上特殊 的性質之後，我們開始進入基因演算法的正題，考慮圖 4-2 是一個 Fresnel 透鏡結構，是繞射行純聚焦元件的最佳解，也就是我們使用 基因演算法，想要得到的解。
而基因演算法中，每一個染色體個體代表一個結構，而會有多個 染色體個體形成一個族群，最後再由此一族群進行交配、突變等演化 的行為，最後演化出一個最好的解。在演化的過程中，優秀的個體容 易被挑選出來(被挑選的機率正比於該染色體的是否優秀的評估 值)，因此我們考慮在一個廣大的族群中，就在演化的過程中出現兩 組較優秀的個體如圖 4-4 所示：
0 50 100 150 200 250 0
1 2 3 4 5 6 7
0 50 100 150 200 250
0 1 2 3 4 5 6 7
圖 4-4 整個族群中兩個較優秀的個體
因為此兩組染色體都十分優秀(由圖可知，已經蠻接近 Fresnel 透鏡了)，因此極有可能被挑選出來互相交配。考慮其交配的切割點 (單切割點交配法)是落在橫軸 100 的位置，左邊那個結構，取的是 100 以後的基因，又邊那個結構，取的是 100 以前的基因，如此我們 得到一個新的染色體個體，照理說，此組染色體遺傳自兩個相當優秀 的個體，，這組染色體應該也會有相當好的表現才是，但事實卻完全 相反，此組染色體所代表的結構，其聚焦效果將會十分的差，原不如 親代的結構的聚焦效果。其原因可以簡單的看出，圖 4-4 左邊圖形，
其結構的相位常數大致可以看成是 7(對於 Fresnel 透鏡來說)，而右 邊圖形的相位常數卻是 3，兩者之間差了 4(也就是4 2
8× π π= )，因此 反而造成波的破壞性的疊加了。當我們瞭解問題就出在相位常數上
成子代比親代還差，因此提出一個簡單的方法，也就是當發生子代比 兩個親代還要差的時候，考慮補償 ~3
2 2
π π 的相位常數，就是將右邊那 個結構，考慮相位常數，因此可以得到 4 個結構(分 8 階，故 ~3
2 2
π π 具
有 4 種結構)，此 4 個結構(或稱光學性質等效的 4 組染色體)再與左 邊那個結構(染色體)交配，形成 4 個子代，最後由此 4 個子代挑選出 最好的，當成新的一代。在之前所提到的這個例子中，如果改採這種 修改型的交配方法，我們馬上就可以得到當相位常數改變 4(就是相 位常數相差變成 0)，將會與左邊那組交配出最好的結果，而此結果 就會馬上與 Fresnel 透鏡完全相同。當然，或許這僅僅是一個方便解 釋的例子，但是，這也是實際演化的時候，極有可能碰到的問題，當 我們改採此種修改型交配法時，可以很輕鬆的克服此一嚴重的問題。
假若整個族群中不存在相位常數的問題，而剛才所介紹的方法需 要額外測試相位的常數，勢必浪費許多運算，因此考慮使用統計的方 式，假若整個族群大小為NPop，由第 t 代產生第 t+1 個子代時，如果 有rNPop個子代需要使用修改型交配的方法，則認定此一族群存在相位 常數的問題，在 t+1 代裡仍然使用修改型的交配方法，反之若需要修 改型交配法的子代數目小於rNPop，則認定此族群不存在相位常數的，
t+1 代之後將只使用一般的交配方法，其中r是一個比例常數，本論 文的設定是 0.5，以下圖 4-5 是利用修改型演算法與一般演算法設計
一個使用波長為 1μm，元件大小 1500μm，300 個分割點，焦距為 40000 μm，光班半徑為 16.26670μm，其目標函數為愛里盤的繞射效率，
其收斂速度的的比較曲線圖。
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
0 10 20 30 40 50 60 70 80
Time(sec)
Efficiency(%)
MGA Single Crossover GA Uniform Crossover GA Modified Crossover GA Single Crossover GA Uniform Crossover GA
圖 4-5 不同的交配方法隨時間收斂的曲線
由圖 4-5 可以看出，均勻交配法(藍色曲線)的收斂速度雖然快，
但卻容易發生收斂過早的現象，而單切點交配(綠色曲線)的收斂速度 不如針對繞射元件改良的交配方法(紅色曲線)。本論文中均採用此種 改良型的交配方法。
階，所以相位的補償總共有 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7
式中的[]符號是高斯算符。雖然(4.9)的轉換看起來是不連續的，但 X 是表示相位的補償，以相位的角度而言，超過一個週期便開始重
複，因此這個轉換對於相位而言，仍然是連續的。與(4.7)的轉換方 法相較，此一轉換方法僅需幾個簡單的四則運算便可完成，在計算速 度有著明顯的優勢，本論文採用此種約束的方法。
基因演算法計算的直接就是分階後的結構，而共軛梯度法所計算 是分階前的結構。所以當共軛梯度法收斂要把計算結果交給基因演算 法之前必須做分階量化的動作，其轉換的方法如下：
( 0.5, )
L c
X =MOD X + L ………(4.10) 如此便能夠將共軛梯度法所求得的區域最佳解傳遞給基因演算法。接 著討論基因演算法與共軛梯度法相互迭代的方法：基因演算法是一種 收斂緩慢的全域型最佳化法，而共軛梯度法是一種收斂快速但卻可能 落入區域最佳解陷阱的演算法，在結合此兩種演算法時，究竟應該先 跑哪一種演算法呢？如果目標函數本身存在多個區域最佳解，那先跑 共軛梯度法將會落入區域最佳解的陷阱裡，在交給基因演算法時，必 須要依靠良好的突變機制才能跳脫此一區域最佳解，然而突變機制可 視為一種隨機搜尋的方式，是必須要反覆大量的測試(try & error)
開始收斂時，再挑出最佳的染色體，然後交給共軛梯度法進行快速的 計算而求得全域最佳解。反之，如果目標函數本身僅有一個最佳解(具 有單一峰值)，則先跑基因演算法就不是一個明智的作法，其原因是 基因演算法的收斂速度跟共軛梯度法相比，實在是太慢了。但我們如 何知道目標函數究竟是屬於哪一種的函數呢？解決的方法就是可以 先用共軛梯度法測試，因為共軛梯度法收斂的速度遠快於基因演算 法，所以多跑幾次也沒有關係，每次跑共軛梯度法時設定不同的初值 (建議用隨機亂數選取)，如果每次計算出來的結果都十分相近(如同 4.2 節所述，必須扣除相位常數再進行比較)，那表示即使這個目標 函數具有多個區域最佳解，其全域最佳解也與共軛梯度法所求得的解
開始收斂時，再挑出最佳的染色體，然後交給共軛梯度法進行快速的 計算而求得全域最佳解。反之，如果目標函數本身僅有一個最佳解(具 有單一峰值)，則先跑基因演算法就不是一個明智的作法，其原因是 基因演算法的收斂速度跟共軛梯度法相比，實在是太慢了。但我們如 何知道目標函數究竟是屬於哪一種的函數呢？解決的方法就是可以 先用共軛梯度法測試，因為共軛梯度法收斂的速度遠快於基因演算 法，所以多跑幾次也沒有關係，每次跑共軛梯度法時設定不同的初值 (建議用隨機亂數選取)，如果每次計算出來的結果都十分相近(如同 4.2 節所述，必須扣除相位常數再進行比較)，那表示即使這個目標 函數具有多個區域最佳解，其全域最佳解也與共軛梯度法所求得的解