當我們用一光束照射一個尺寸較小的不透明物體，並將它的影像 投影到一個屏幕上，如果仔細觀察陰影的輪廓，會發現不但光線會進 入物體後方的陰影裡，同時在光線直接照射的邊緣區域也會有暗影存 在，造成物體陰影輪廓模糊的現象，與光線經過一個針孔或一條狹縫 後的擴散現象有密切的關係。索莫非(Sommerfeld)將此種無法以光線 以直線傳播的現象稱為「繞射」(Diffraction)。
一般設計及分析繞射光學元件可依不同的需求及適合性採用幾 何 光 學 、 向 量 繞 射 (Vector diffraction) 、 純 量 繞 射 (Scalar diffraction)等理論。其中幾何光學方面可以利用光柵方程式及光線 追跡來預測光波經由繞射光學元件作用後的行進方向，較適合用來配 合傳統的光學設計，但他不能用來計算繞射效率，同時其計算的結果 比較不精確。向量繞射理論對於繞射元件的模擬分析是以馬士威爾波 動方程式(Maxwell’s wave equation)為基礎，利用數值方法解出光 波 傳 遞 的 行 為 ， 常 使 用 的 方 法 有 光 束 傳 播 法 (Beam Propagation Method ， BPM) 以 及 時 域 有 限 差 分 法 (Finite Difference Time Domain ，FDTD)。而純量繞射理論則是向量繞射理論的一個近似結
可以用一個積分公式來表示，計算量比利用數值方法實際去解馬士威 爾波動方程式小許多，本論文採用此一分析方式。
3.1 基本繞射理論
在一定限定條件下，為了簡化數學運算的過程，在模擬重建波場 時我們採用數學模型較簡單的純量繞射理論10，捨棄在計算分析上較 為複雜的向量繞射理論（vector diffraction theory）。另外，實際 製程中由於製程技術的限制，我們並無法實現由電腦計算求解出的最 佳元件表面輪廓之連續分佈，而是利用二進階光學（binary optics）
理論以分階方式做連續表面輪廓結構的近似。
接著我們從自由空間（free space）中的馬克斯威爾方程式
（Maxwell’s equations）出發：
( ) 0 空間中的磁導率（permeability）與電容率（permittivity）。
假設電磁波是在介電質中傳播，為了簡化整個數學計算，我們必 須進一步對介電質做出一些假設：
1. 線性的（linear），介電質滿足線性條件（linearity property）。
2. 各向同性的（isotropic），即電場、磁場、極化與方向無關。
3. 均勻性的（homogeneous），在整各傳播空間裡介電係數是一個常 數。
4. 無磁性的（nonmagnetic），假設磁導率永遠等於真空中的磁導率。
當傳播的介質滿足上面四個條件，經由數學代換後，我們可以將
（time-harmonic field）成立時，因此可以得到：
(
∇ +2 k U2)
=0………(3.4)equation）。
為 了 求 解 複 數 型 式 的 電 場 分 佈U ， 我 們 可 以 藉 由 格 林 定 理 (Green’s theorem）進行數學運算
圖 3-1 點光源照射到一平面屏
經由一連串的數學假設、推導與運算，最後我們可以得到菲涅耳 -克希荷夫繞射公式（Fresnel-Kirchhoff diffraction formula），
即
（secondary wavelet）的複數振幅，該複數振幅包含了菲涅耳與克
如此在程式中，僅需在一開始計算好 G 向量，然後利用向量內積的 方式可以迅速的重建出像平面的光場分佈，而不需要每次都進行積分 計算。而對於二進階光學來說，例如分成八階，僅有八種不同相位補 償，因此在(3.12)式中的計算，可以藉由提出公因數的方式，進一步 減少運算量，對於利用基因演算法設計元件的運算速度有很大幫助。
3.2 菲涅耳波帶透鏡以及繞射光學匯聚元件的基本特性
具 有 浮 雕 表 面 結 構 的 透 鏡 稱 為 菲 涅 耳 波 帶 透 鏡 (Fresnel lens) ，很久以來就為光學科學家所關注。其起源應追溯到近一個世 前 L. Rayleigh, Soret 和 Wood 等。人們很快發現，作為實用的成 像透鏡，必須克服波帶片因存在多級像而損失光能量的缺點。其解決 途徑是將波帶片製作成具有浮雕表面的相位結構，浮雕的厚度在波長 量級，且圖形應盡可能接近設計值以實現預期的高繞射效率。這些設 想直到近年來，由於加工技術的進步才得以實現。
3.2.1 基本公式的推導
我們由菲涅耳波帶（Fresnel zones）談起，如圖 3-2 所示，S表 示點光源之位置，假定P為點光源經過繞射光學元件後的成像位置，
O是元件中心並且在光軸SP直線上，元件上一點Q到S、P的距離分 別為R、R'。
圖 3-2 菲涅耳波帶示意圖
由於菲涅耳波帶每一個圓環代表的意義即是相鄰兩圓環間光程 差為設計波長的一半，我們可以利用數學式表示如下：
2 2
2
1 1
' [1 ( ) ...] '[1 ( ) ...]
2 2 '
1 1
' 2 '
r r
R R z z
z z
z z r
z z
+ = + + + + +
+ + +
………(3.13)
再經由簡單的數學推導可以得到：r1= λ0f , r2 = 2λ0f , … ,
f n
rn = λ0 ，其中λ0是繞射透鏡的設計波長， f =(1 z+1 'z )−1為繞射透鏡 的主焦點焦距。我們可以發現菲涅耳波帶上每一環的面積都是相等 的，即πrn2−πrn2−1 =πr12。接著我們假設g x y( , )為繞射透鏡的相位分佈函 數，因為它具有圓對稱徑向平方的週期性，我們可以將其表示為
2 2 2 2 2
( , ) ( ) ( ) ( p)
g x y =g x +y =g r =g r +Nr ………(3.14) 其中rp = 2λ0f ，N 為一正整數。由於g x y( , )是一個週期性函數，
我們利用富利葉級數（Fourier series）展開如下
2 2 integral formula）
( ) (2 )2 色差複合透鏡（hybrid lens）的原因，稍後我們針對繞射透鏡此一 物理特性，設計濾波元件。接著，我們考慮如圖 3-3 繞射光學元件的
表面輪廓（已經根據二進階光學分階）。
exp exp
p p
m
exp sin
sin
3-4 所示：
f OP1 OP2
P1 P2 Λmin
R
圖 3-4 DOE 的最小線寬與光程示意圖
在圖 3-4 中，R 是元件的半徑，元件在 P1位置與 P2位置處所給 予相位補償是相同的，但是實際上，由 P1位置走到焦點與 P2位置走 到焦點位置的光程是不同的，假若光程的變化不大，則可以相同的相 位補償近似原本應該連續變化的相位補償，但假若光程變化過大，通 過 P1位置與 P2位置的光波勢必不能形成建設性干涉，因此考慮雷利 的4
λ 判據可得
1 2 4
OPD OP OP= − ≤ λ ……… (3.25)
4 min
f R λ
≥ Λ ………(3.27) 其中， min
λ
Λ 是線寬與波長的比例，考慮使用純量繞射模擬的限制，此
值必須恆大於 1，如此便可以決定出繞射型聚焦元件的數值孔徑 (Numerical Aperture，NA)，也就是焦距與元件尺寸的關係。
3.3 濾波元件的設計概念
之前已經介紹過繞射光學元件較一般傳統光學元件更具色散特 性，故利用此特殊性質來設計有濾波功能的光學元件11
1
, , ,
2 3 4λ λ λ λ
圖 3-5 濾波元件基本架構圖
上圖為所設計之濾波繞射光學元件，此元件不但具有濾波功能，
亦具有聚焦功能，可將所需要的光波指定在設定的訊號區域內，而其 餘波長均不會在我們的訊號區域內有太大的能量分佈。當然一般的聚 焦透鏡也可以達到這個功用，不過其色散的效果不彰，又由於設計的
四個輸入光的波長分別為：1533nm、1541nm、1549nm 和 1557nm，各
考慮四個輸入波長為 1533nm、1541nm、1549nm 和 1557nm，其中
元件半徑(μm) 10800 主波長(nm) 1533
其他波長(nm) 1541、1549、1557 分階數(階) 8
焦距(μm) 144000 訊號區半徑(μm) 12.4684 最小線寬(μm) 6
元件分割點數 1800 表 3-2 元件規格
當我們制訂主波長、元件的半徑以及焦聚等規格之後，可以知道 該元件焦點處的光斑大小(Spot size)，此大小就是愛里盤(Airy Disc) 的大小，其半徑大小可由 1.22 f
r D
= λ 求得，並將該大小定義為訊號區。
由表 3-2 的規格，利用光線追跡的方法，可以得到一個 Fresnel 透鏡，如圖 3-6 所示。圖形中的 y 軸所代表的是相對的相位補償，其 與輪廓表面浮雕高度的轉換關係為：
1 1
1 1
1 1
( air) ( 1)
RPC RPC
h= L nλ n λ = L nλ λ
− − ………(3.32) 式中的 RPC 是相對相位補償，L 代表分階數。而繞射效率以及訊噪比 (Signal Noise Ratio，SNR)的定義如下：
η=輸出光場中訊號區內的光通量×100%
繞射效率 輸入光場的光通量 ………(3.33)
1
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
0
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
0
Relative Phase Compensation
分階前
分階後
圖 3-6 按照表 3-2 規格的 Fresnel 透鏡
分階前 分階後 波長(nm) 效率(%)
1533 71.0821 68.2965 1541 4.73951 4.4929 1549 1.39251 1.31486 1557 0.552307 0.532997
SNR 10.6341 10.7710
複雜的元件，使用光線追跡法並不理想，在稍後的章節裡，將利用基 因區域搜尋演算法來設計此一元件，以期能夠得到 SNR 較高的元件。