B.1 混沌系統
混沌在物理上的真正解釋其實是指某些物理系統的看似無序運 動模式。在一個世紀之前，認為物理系統只有兩種現象：1. 週期性 的運動，例如月亮繞地球公轉，週期為一個月，而地球會自轉，週期 為一天，如此週而復始。2.演化到最後會趨於穩定的運動，例如一個 由高處掉落的物體，他會在地面上反彈許多次之後，由於受到空氣摩 擦的阻力，運動過程中會導致能量的損失，最後他便會停下來。直到 二十世紀，才有人提出混沌這種完全不同的運動模式。可以用一個簡 單的數學式子xn+1=2xn2−1來瞭解混沌系統，如果一開始在n=1你把當
中x1的代入( 1,1)− 之間任何一個數字，可得x2，如此反覆再代入可得
x3、x4…xn，便會得出一大堆看似雜亂無章的數字，如圖 B-1 所示。
0 5 10 15 20 25 30 35 40
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
圖 B-1 以 x=0.3 代入 2x2-1，不斷重複迭代的一組數列
由x1 =0.3當成初始值所形成的一組數列，而橫軸代表計算的次數，縱 軸代表數值，這堆數字看起來好像毫無規則，無法預測，它既不是週 期性的，亦不會趨向一個特定的數值，但事實上它是根據一條數式計 算出來的，絕對不是一些隨機的數字，更有趣的是如果把初始值由 0.3 改成 0.3001，這些數字便會有截然不同的變化，如圖 B-2 所示。
而把圖 B-1 與 B-2 重疊可得圖 B-3，如此可以清楚的看出兩組數列的 差別。
0 5 10 15 20 25 30 35 40 -1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
圖 B-2 以 x=0.3001 代入 2x2-1，不斷重複迭代的一組數列
0 5 10 15 20 25 30 35 40 -1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
圖 B-3 比較初始值 x=0.3 與 0.3001 的計算結果
上述例子指出混沌系統兩個十分重要的特性：1.系統的變化看似 是毫無規則，但實際上是由物理定律所決定的。2.系統的演化對初始 條件的選取非常敏感，初始條件極微小的分別 (就例如 0.3 和 0.3001 只相差三千分之一)，在一定的迭代後會產生截然不同的結 果。
B.2 線性同餘產生器
經過上一小節的介紹，可以知道混沌系統的特性就是看似無規 則、無週期的運動，但實際上卻是遵照一定的物理定律(或數學式 子)。在電腦中的亂數也是如此，在此介紹最常使用的線性同餘產生
器(Linear Congruential Generator，LCG)，其演算規則如下：
1 ( ) mod
n n
x+ = ax +b m………(B.1) 其中 m 稱為同餘因子(Congruential factor)，決定了亂數序列的最 大週期，適當的挑選參數 a 和 b 則可以得到一組均勻分佈於[0, )m 之間 的亂數，在本論文中，分別使用到兩組週期不同的亂數，所使用的參 數為
當 m=232 a=25214903917 b=11
當 m=248 a= 214013 b= 2531011 表 B-1 本論文中 LCG 所使用的參數
此兩組參數經過數學及統計學家證實，具有均勻分佈、滿週期等優良 特性，本論文中所使用到的亂數皆由此產生。
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