第三章 週期性軌道的曲線
3.2 二維封閉波動系統的束縛態
3.2.4 對應於李賽羅圖形的波函數
學成果。在拋物線的位能井中，駐波是以 Hermite Function 的形式存在。
( )
2 2圖 3.2.9 一維拋物線位能井的波函數 n=0
n=2
n=1
n=3
n=2 n=5
n=30
在一維拋物線的邊界中，我們可以發現，當 n 值較小時，其產生的波函數，
峰值集中於中間地帶，但當 n 值漸漸加大時，其產生的波函數中間部分漸凹，兩 端則較高。若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較。可 以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高，在中間地帶的出現機率較低，這是 因為粒子在兩側的速度較慢，所待時間較長的緣故，正好符合 n 值極大的情況。
同樣的，我們將許多波函數疊加，形成波包並將其依時間的變化紀錄，可得 到下列圖形，可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動，但觀察 t=1/6T 時圖形可發現，在 billiard 中，波包的位置在 1/3 處，而在拋物線的邊界條件中，
則是在 a/4 處。若比較一維簡諧運動。
sin(2 )
x A t
T
= π ⋅ (3.23)
此時 2
A= ，a 1
t=6T代入，得 4 x= a
可以發現波包在邊界內，並非以等速率作週期性的運動，而是行簡諧運動，
其運動方式及軌跡，如同一個粒子在拋物線邊界內的表現。
圖 3.2.10 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化
t=0
t=1/6 t=1/4
t=2/6 t=1/2
t=5/6 t=3/4 t=4/6
t=T
-a/ -a/4 0 a/4 a/2
若在二維拋物線邊界內的波包，會有什麼樣的運動狀態？首先討論在一個二 維拋物線內的波函數為何？首先此邊界為 x、y 方向互相獨立的二組拋物線形成 的二維邊界，由前可知，拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function， 因為 x、y 方向互相獨立，故波函數可視為 x、y 方向獨立的波函數疊合(表 3.2.5)，即
表 3.2.5 二維拋物線位能井的駐波函數 (3,3)
(2,2)
(2,1) (1,1)
(3,0) (2,0)
(1,0) (0,0)
Intensity eigenstate
(n,m) Intensity
eigenstate (n,m)
表 3.2.6 二維李賽羅波函數所組成的 P.O.
(3,2) (2,1) (1,1)
(p,q) Different phase
第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數
circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系，而所有的碰撞點組成一個完全 剩餘系，則 ,p q 兩個為互質的整數時，代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系，表若 p,q 的值為無理數(表 4.1.2)，無法等切割圓時，則會發現，隨著碰撞次數 的增加軌跡也會越來越密，且不形成封閉的路徑，但和方形 billiard 不同的事，
彈子球隨著不同的初始條件，會有不同半徑的同心圓為禁止區域。形成包若線的 圓形。
圖 4.1.1 二維圓形 billiard 邊界
α
α
(1,5) (1,11) (1,4)
(1,3) (1,1)
(4,11) (5,11) (3,11)
(2,11) (1,11)
表 4.1.1 圓形彈子球檯與完全剩餘系
(80 hits) (160 hits) (40 hits)
(20 hits) (10 hits)
α和圓周角比值為無理數
表 4.1.2 無理數圓形彈子球檯
4.2. 開放式彈子球檯
但出現雙螺旋(圖 4.1.4)的現象且最為明顯、清楚。當(P,Q)=(32,89)時(圖 4.1.5)，雖也有雙旋轉的現象，但注意中心部分，可以看到中心是呈現三個支臂的順時針
(p,q)=(q-p,p)。然在一個開放的邊界中，順、逆時鐘排列是不同的排列方式，故
1
2 3
4
5
圖 4.1.2 二維開放式圓形 billiard
圖 4.1.3 二維封閉、開放式圓形 billiard 比較
順螺旋 逆螺旋
圖 4.1.4 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋
圖 4.1.5 不同(p,q)開放式圓形 billiard 圖形
(1,89) (2,89) (3,89) (4,89) (5,89) (6,89)
(7,89) (8,89) (9,89) (10,89) (11,89) (12,89)
(13,89) (14,89) (15,89) (16,89) (17,89) (18,89)
(19,89) (20,89) (21,89) (22,89) (23,89) (24,89)
(25,89) (26,89) (27,89) (28,89) (29,89) (30,89)
(37,89) (38,89) (39,89) (40,89) (41,89) (42,89)
(43,89) (44,89)
(31,89) (32,89) (33,89) (34,89) (35,89) (36,89)
(1,89) (2,89) (3,89) (4,89) (5,89) (6,89)
(88,89) (87,89) (86,89) (85,89) (84,89) (83,89)
圖 4.1.6 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系
(34,89) (55,89) 向日葵
圖 4.1.7 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋
(34,89) (21,55) (13,34) (8,21)
400 300
200 點數 100
(p,q)
表 4.1.3 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯
圖 4.1.8 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形 (4181,10946)
第五章 結論與展望
彈子球檯或是李賽羅圖形，都是古典粒子的週期性運動，要成形成封閉性的 週期性軌道，必需在有理數的條件下才能成立。若為無理數的情況下，則會形成 開放非封閉的軌跡，若是以波的形式疊加，亦可形成週期性軌跡，且當疊加的數 量越高，其軌跡越是接近古典粒子的情況。而封閉的圓形彈子球檯圖形，則良好 的呈現同餘與完全剩餘系的概念，軌跡是由一個連續、不間斷的折線所組成，而 唯有完全剩餘系，可以以一筆畫形成封閉的軌道。而開放的圓形彈子球檯，則以 視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列，其漸近分數與無理數間的關係。
在自然科學中有許多奇特的現象，具有深刻的數學意涵，希望未來能藉由不 同的週期性現象，發現更有趣的物理現象及視覺呈現，如利用二維及三維擺線、
knot、晶格拼貼。並將抽象的數學概念以具體、視覺化的方式和自然科學結合。
參考文獻
[1] I.Adler,D.Barabe and R. V. Jean,”A History of the Study of Phyllotaxis” Ann.
Bot(London) 80:231-244(1997)
[2] A. C. Newell and P. D. Shipman, Plants and Fibonacci, J. Stat. Phys. 121 5/6:937–968(2005)
[3] Chaorong Li,Xiaona Zhang, and Zexian Cao, ”Triangular and Fibonacci Number patterns Driven by Stress on Core/Shell Miscstructures,”Science
309,909-911(2005)
[4] Thomas B. Greenslade, Jr. ,”All about “lissajous Figures”,Phys. Tea. Vol.
31,(1993)
[5] D. Hilbert,S.Cohn-Vossen,Geometry and imagincation,1-7,25-29,凡異
[6] Audun Holme,Geometry :”Our cultural heritage,”87-89,246-247”,Springer(2002) [7] Hansen, Vagn Lundsgaard,Geometry in Nature,2-5,A K Oeters,Ltd(1994)
[8] Manfred R. ,”Number theory in science and communication,”3-540-26596-1 4th Edition,Springer
[15] 林琦焜,”Euler(1707-1783)-數學的莎士比亞,”數學傳播 26 卷第 2 期:39-51 [16] 華羅庚,”華羅庚科普著作選集,”凡異,民 91:47-84
[17] 蔡聰明,”輾轉相除法、黃金分割與費氏數列(上),”數學傳播 19 卷 3 期:1-11 [18] 蔡聰明,”輾轉相除法、黃金分割與費氏數列(下),”數學傳播 19 卷 4 期 1-7 [19] 薛哲修、楊淳青,”量子波包之古典行徑,”物理雙月刊 24 卷 4 期:566-578 [20] Marita Barabash, ”Cycloids, billiards, lissajou: using the computer to visualize
irrational numbers, and what can this be good for,”International Journal of Computers for Mathematical Learning 8:333-356,(2003)
[21] Ovidio M. Bucci,and Guiseppe Pelosi,”From Wave Theory to Ray Optics,” IEEE Antennas and Propagat. Mag.,Vol36,No4:35-42(1994)
[22] Chris Eliasmith, and Paul Tagard, ”Waves, Particles, and Explanatory Coherence,”. J. Phil. Sci.48:1-19(1997)
[23] Y. F. Chen, T. H. Lu, K. W. Su, and K. F. Huang,”Quantun signatures of nonlinear resonances in mesoscopic systems: Efficient extension of localized wave functions,” Phys. Rev. E 72,056210(2005)
2 2
[24] R. W. Robinett,”Visualizing classical periodic orbits from the quantum energy spectrum via the Fourier transform: Simple infinite examples,” Am. J. Phys.
65:1167-1175(1997)
[25] Y. F. Chen, and K. F. Haung,”Localization of wave patterns on classical periodic orbits in a square billiard,”, Phys. Rev. E 66 046215(2002)
[26] Y. F. Chen, and K. F. Haung, ”Vortex structure of quantum eigenstates and classical periodic orbits in two-dimensional harmonic oscillators,”, J. Phys.
A36:7751-7760(2003)
[27] T. H. Lu, Y. F. Chen, and K. F. Huang, “Spatial morphology of macroscopic superposition of the three-dimensional coherent laser waves in degenerate cavities” Phys. Rev. A 77,013828(2008)
[28] M. C. M. Wright, and C. J. Ham, ”Periodic orbits theory in acoustics: spectral fluctuations in circular and annular waveguides,” J. Acoust. Soc. Am.
121(4)(2007)