研究動機

大至天體運動，小至晶格原子振盪，自然界中充斥著週期性的運動，而 自然科學中，粒子模型常用於探討氣體分子、簡諧運動則是最常見的週期運 動、雙螺旋排列則出現在植物花葉序及晶體微結構中[1-3]，其週期性軌道 (periodic orbits, P.O.)：彈子球檯、李賽羅圖形[4]具有一定的規律，隱含了豐 富的數學概念。數學上利用幾何和曲線[5-8]表達許多數學上的抽象概念，而 同餘與完全剩餘系[9]、有理數與無理數等，例如： 2為無理數的証明、黃 金比例、π 的性質、無限連分數及輾轉相除法的使用[10-18]。

如何藉由簡單、視覺化的科學現象及二維週期性軌道圖形[20]，了解分 數、有理數與無理數，是我們的研究動機。而粒子與波更是物理學中的重要 課題，更進一步能否以駐波、波包的形式呈現古典粒子的週期性軌道[21-28]。

1.2. 本論文組識

本論文第二章探討基本數論中的幾個概念：由同餘概念出發，並探討有 理數、無理數、輾轉相除法、漸近分數與黃金比例。第三章針對古典粒子與 波型式的彈子球檯、李賽羅圖形的運動特性，並和有理數、無理數比較。第 四章則討論特徵長度、封閉與開放的圓型彈子球檯與完全剩餘系的關係。第 五章則為結論及可能的發展方向。

第二章 數學的基本概念

因為直線是具有方向性的線條，故一個點加上方向，也可以決定一條直線，而這個

改以極座標表示，而 r 與θ具有一特殊的關係，則形成所謂的螺旋線(圖 2.1.6)。其 中阿基米德螺線其半徑隨著角度變大而增大，並具有正比的關係，可表示成：

r= ⋅a θ (2.9) 故在阿基米德螺旋上取θ 為等差數列，則對應之半徑 r 將亦呈等差數列。

而 Logarithmic spiral 則為：

r= ⋅a eb^θ (2.10) 或改寫為

ln r a bθ

⎛ ⎞ =

⎜ ⎟⎝ ⎠ (2.11)

圖 2.1.1 直角座標系上的直線

(x,y)

(x

₀

,y

₀

)

(x

1

,y

1

) X軸

Y軸

斜率=m

(a)圓 (b)拋物線

(c)楕圓 (d)雙曲線 圖 2.1.2 圓錐曲線與截平面

切點

切點

圖 2.1.3 切點與平面上的圓錐曲線

圖 2.1.5 圓與 sin 函數

圖 2.1.6 阿基米德與 logarithmic 螺旋[4]

X軸 Y軸

X軸 Y軸

(a)阿基米德螺旋

(b)Logarithmic

2.2. 從同餘出發

2 2

這是某個月份的日曆，我們可以將一個月分，以 7 天一周作為一個單位，可以分成

1 2 3 4 5

2.5. 有理數與無理數

五條運算法則為：

2.5.2 連分數與輾轉相除法

42897 5609 1

2 2

2.5.3 黃金比例與無理數逼近

可得

圖 2.5.2 自然界的雙螺旋

第三章 週期性軌跡的曲線

週期性的運動常會形成一個封閉性的週期性軌道(periodic orbits,PO) 形成特 定的曲線，其中彈子球檯圖形及李賽羅圖形[4,20]，最為人們熟悉。在此藉由彈 (

Bernoulli)

提出壓力來自粒子對於壁面的碰撞。克勞修斯(

Clausius)

引入統計 方法、提出自由度及平均自由徑的觀念，麥斯威爾(Maxwell)則發現氣體分子的 一種，這由 19 世紀中期法國數學家李賽羅(Lissajou)所設計的一種實驗，將鏡子 黏著於音叉末端，以光線對準音叉後敲擊音叉，經過鏡面的投射可以在屏幕上出 現正弦波的圖形，若將兩個已黏著鏡子的音叉，以垂直的方式置放，則可以獲得 李賽羅圖形。這個實驗將無法以視覺感受的聲音，以光線和屏幕展現出來，故又 稱”看得見的聲音”。大量的應用在頻率測量、電子學等相關領域。

3.1.1 方形彈子球檯

圖 3.1.1 一維方形 billiard 邊界 a/2 -a/2

v

圖 3.1.3 二維方形 billiard 邊界

表 3.1.1(p:q) 為有理數之二維 billiard 軌跡 (p,q)

(1,1)

(2,1)

(3,2)

Different phase

3.1.2 二維簡諧運動的李賽羅圖形

同樣的我們考慮三個參數 (表 3.1.2) ，可以發現，當起始位置不為 0

形，無法形成可供辨識或有特定規律的軌跡。故後來量子力學中，以波動解釋粒 子運動，與古典彈子球檯作連結時，也特別著重於週期性軌道的研究與發展。

圖 3.1.4 一維簡諧運動示意圖

(a)一維簡諧運動 (b)位能井形式 -a/2 a/2

-a/2 a/2

θ

圖 3.1.5 二維簡諧運動示意圖 X軸

Y軸

x

y x=a/2

x=-a/2

y=-a/2 y=a/2

(a)彈簧的二維簡諧運動 (b)二維簡諧運動邊界條件

表 3.1.2 (p:q)為有理數之二維李賽羅軌跡 (1,1)

(2,1)

(3,2)

(5,13

(p,q) Different phase

表 3.1.3 二維 billiard 和李賽羅軌跡比較

(p,q) (2,1) (3,2)

billiard

李賽羅

(1,1) (5,13)

表 3.1.5 (p:q)為無理數之二維李賽羅軌跡 (p,qψ)

t

2,1,2 3π

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

(p,qψ) t

2,1,2 3π

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠

2T 4T 8T 16T 32T

表 3.1.4 (p:q)為無理數之二維 billiard 軌跡

圖 3.1.6 二維 billiard 位置隨時間變化

3.2. 二維封閉波動系統的束縛態

billiard 駐波[24-25]，若 x 軸方向的邊界為 0~a，則不含時間的波函數(圖 3.2.1) 可寫成：

圖 3.2.1 一維 billiard 的波函數 n=0

n=2

n=4

n=1

n=3

n=5

n=30 n=6

在量子力學物質波的概念中，波函數的振幅可代表粒子出現的機率。若和古

表 3.2.1 二維 billiard 的波函數 Eigenstate

(n,m) Eigenstate Intensity (n,m) Intensity

(0,0)

(1,0)

(1,1)

(1,2)

(1,3)

(0,1)

(0,2)

(2,2)

(3,0)

(20,20)

表 3.2.2 圓形邊界形成鼓面的駐波 (1,2)

(2,1)

(0,3) (0,2)

(1,1)

Intensity Eigenstate

(n,m) Intensity

Eigenstate

(0,0)

3.2.2

波的干涉

一、波包與相位的關係

rondom distribution

圖 3.2.3 行進波相化變化示意

A*e^iθ

i*A*sin(θ) A*cos(θ)

θ P(x0,y0)

(x0,yt) Δt

圖 3.2.2 波動性干涉示意

圖 3.2.4 不同相位差對波包的影響

2

ψ

A 2

ψ

B

0a 0.2a 0.4a x 0.6a 0.8a 1a

120 (a)波包振幅與距離關係

100 105 110 115 120 100 105 110 115

An B_n

(b)ψ_A的相位分佈 (c) ψ_B的相位分佈

0 0 8 8

圖 3.2.5 不同振幅分佈對波包的影響 (a)波包振幅與距離關係

(b)ψ_A的振幅分佈 (c) ψ_B的振幅分佈

2

ψ

A 2

ψ

C

0 0.2a 0.4a 0.6 0.8 1a

x

120 An

100 105 110 115 120 n

100 105 110 115 n

cn

圖 3.2.6 不同 mode 對波包的影響 波包振幅與距離關係

2

ψ

A 2

ψ

D

0a 0.2a 0.4a 0.6a 0.8a 1a x

3.2.3

對應於彈子球檯的波函數

移動如同彈子球在一維 billiard 的運動。然值得注意的是：在古典彈子球的 billiard 中，彈子球本身不會因位置和時間有所改變，而波包在靠近 x=0、x=a 的邊界時，

撞點及軌跡交會處，顯然的節點是由許多波疊加、干涉出來的結果，而節點的出 現代表波包在軌跡上出現的機率為一個不連續的分佈。這在古典力學和量子力學 中是一個很大的差異。至此，已成功的將波以疊加的方式，組成古典彈子球檯的 軌跡。但改變觀察的尺度，疊加的波函數數量不同(表 3.2.4)。可以發現，當疊加 的數量較少時，得到的軌跡較寬，無法呈現直線的軌跡，而是以波的狀態呈現，

且具明顯的干涉條紋。但隨著疊加的數量增加，所得到的軌跡寬度越窄，也越接 近直線，粒子的出現機率也越限制在特定軌跡上，即越接近古典粒子的結果，符 合量子力學在大尺度的情況下，必需接近古典力學結果的條件，也是古典力學與 量子力學得以結合的部分。

當疊加的波函數越多，能量越是集中於一個點上，波長則逐漸縮短，可以發 現其波的表現逐漸帶有粒子的性質。這便是波、粒二重性。由德布羅依的公式的 物質波概念，可以了解，當一個粒子在尺度接近，也應呈現波動的形式。

而古典軌跡出現與否，不在於觀測事物的大小，無論是一個固定邊界的機械 波、波導內的電磁波抑或位能井內電子形成的物質波，只要數量級夠大，疊加的 波函數夠多，波動也能和粒子結合呈現粒子性。

圖 3.2.7 一維 billiard 內波包位置隨時間變化 t=0T

t=1/4T

t=1/2T

t=3/4T

X=0 X=L t=1/6T

t=2/6T

t=4/6T

t=5/6T

圖 3.2.8 二維 billiard 內波包位置隨時間變化

(5,13) (3,2) (2,1) (1,1)

(p,q) Different phase

表 3.2.3 二維 billiard 波函數所組成的 P.O.

表 3.2.4 不同 mode 情況下，二維 billiard 波函數所組成的 P.O.

m

(1,1)

(2,1)

(3,2)

10 20

5 15

(p,q)

3.2.4 對應於李賽羅圖形的波函數

學成果。在拋物線的位能井中，駐波是以 Hermite Function 的形式存在。

( )

^{2 2}

圖 3.2.9 一維拋物線位能井的波函數 n=0

n=2

n=1

n=3

n=2 n=5

n=30

在一維拋物線的邊界中，我們可以發現，當 n 值較小時，其產生的波函數，

峰值集中於中間地帶，但當 n 值漸漸加大時，其產生的波函數中間部分漸凹，兩 端則較高。若以此與古典粒子在一維拋物線邊界內運動的位置機率分佈比較。可 以發現古典粒子在兩側邊界的位罝機率較高，在中間地帶的出現機率較低，這是 因為粒子在兩側的速度較慢，所待時間較長的緣故，正好符合 n 值極大的情況。

同樣的，我們將許多波函數疊加，形成波包並將其依時間的變化紀錄，可得 到下列圖形，可發現此波包和 billiard 同樣在邊界內週期性的運動，但觀察 t=1/6T 時圖形可發現，在 billiard 中，波包的位置在 1/3 處，而在拋物線的邊界條件中，

則是在 a/4 處。若比較一維簡諧運動。

sin(2 )

x A t

T

= π ⋅ (3.23)

此時 2

A= ，a 1

t=6T代入，得 4 x= a

可以發現波包在邊界內，並非以等速率作週期性的運動，而是行簡諧運動，

其運動方式及軌跡，如同一個粒子在拋物線邊界內的表現。

圖 3.2.10 一維簡諧運動波函數位置隨時間變化

t=0

t=1/6 t=1/4

t=2/6 t=1/2

t=5/6 t=3/4 t=4/6

t=T

-a/ -a/4 0 a/4 a/2

若在二維拋物線邊界內的波包，會有什麼樣的運動狀態？首先討論在一個二 維拋物線內的波函數為何？首先此邊界為 x、y 方向互相獨立的二組拋物線形成 的二維邊界，由前可知，拋物線內可允許的駐波形式為 Hermite function， 因為 x、y 方向互相獨立，故波函數可視為 x、y 方向獨立的波函數疊合(表 3.2.5)，即

表 3.2.5 二維拋物線位能井的駐波函數 (3,3)

(2,2)

(2,1) (1,1)

(3,0) (2,0)

(1,0) (0,0)

Intensity eigenstate

(n,m) Intensity

eigenstate (n,m)

表 3.2.6 二維李賽羅波函數所組成的 P.O.

(3,2) (2,1) (1,1)

(p,q) Different phase

第四章 開放式圓形彈子球檯與漸近分數

circle billiard 的軌跡視為一個以 q 為模的剩餘系，而所有的碰撞點組成一個完全 剩餘系，則 ,p q 兩個為互質的整數時，代入不同的 p 仍會是一個完全剩餘系，表

若 p,q 的值為無理數(表 4.1.2)，無法等切割圓時，則會發現，隨著碰撞次數 的增加軌跡也會越來越密，且不形成封閉的路徑，但和方形 billiard 不同的事，

彈子球隨著不同的初始條件，會有不同半徑的同心圓為禁止區域。形成包若線的 圓形。

圖 4.1.1 二維圓形 billiard 邊界

α

α

(1,5) (1,11) (1,4)

(1,3) (1,1)

(4,11) (5,11) (3,11)

(2,11) (1,11)

表 4.1.1 圓形彈子球檯與完全剩餘系

(80 hits) (160 hits) (40 hits)

(20 hits) (10 hits)

α和圓周角比值為無理數

表 4.1.2 無理數圓形彈子球檯

4.2. 開放式彈子球檯

但出現雙螺旋(圖 4.1.4)的現象且最為明顯、清楚。當(P,Q)=(32,89)時(圖 4.1.5)，

雖也有雙旋轉的現象，但注意中心部分，可以看到中心是呈現三個支臂的順時針

(p,q)=(q-p,p)。然在一個開放的邊界中，順、逆時鐘排列是不同的排列方式，故

1

2 3

4

5

圖 4.1.2 二維開放式圓形 billiard

圖 4.1.3 二維封閉、開放式圓形 billiard 比較

順螺旋 逆螺旋

圖 4.1.4 開放式圓形 billiard 圖形中的雙螺旋

圖 4.1.5 不同(p,q)開放式圓形 billiard 圖形

(1,89) (2,89) (3,89) (4,89) (5,89) (6,89)

(7,89) (8,89) (9,89) (10,89) (11,89) (12,89)

(13,89) (14,89) (15,89) (16,89) (17,89) (18,89)

(19,89) (20,89) (21,89) (22,89) (23,89) (24,89)

(25,89) (26,89) (27,89) (28,89) (29,89) (30,89)

(37,89) (38,89) (39,89) (40,89) (41,89) (42,89)

(43,89) (44,89)

(31,89) (32,89) (33,89) (34,89) (35,89) (36,89)

(1,89) (2,89) (3,89) (4,89) (5,89) (6,89)

(88,89) (87,89) (86,89) (85,89) (84,89) (83,89)

圖 4.1.6 二維開放式圓形 billiard 與完全剩餘系

(34,89) (55,89) 向日葵

圖 4.1.7 二維開放式圓形 billiard 與天然雙螺旋

(34,89) (21,55) (13,34) (8,21)

400 300

200 點數 100

(p,q)

表 4.1.3 不同漸近分數的開放圓形彈子球檯

圖 4.1.8 高階漸近分數二維開放式圓形 billiard 圖形 (4181,10946)

第五章 結論與展望

彈子球檯或是李賽羅圖形，都是古典粒子的週期性運動，要成形成封閉性的 週期性軌道，必需在有理數的條件下才能成立。若為無理數的情況下，則會形成 開放非封閉的軌跡，若是以波的形式疊加，亦可形成週期性軌跡，且當疊加的數 量越高，其軌跡越是接近古典粒子的情況。而封閉的圓形彈子球檯圖形，則良好 的呈現同餘與完全剩餘系的概念，軌跡是由一個連續、不間斷的折線所組成，而 唯有完全剩餘系，可以以一筆畫形成封閉的軌道。而開放的圓形彈子球檯，則以 視覺感受表現黃金比例及雙螺旋排列，其漸近分數與無理數間的關係。

在自然科學中有許多奇特的現象，具有深刻的數學意涵，希望未來能藉由不 同的週期性現象，發現更有趣的物理現象及視覺呈現，如利用二維及三維擺線、

knot、晶格拼貼。並將抽象的數學概念以具體、視覺化的方式和自然科學結合。

在文檔中 自然科學中的數學概念 (頁 8-0)