1-1 研究動機
近年來積體光波導越來越重要，積體光學的半導體製程技術以階 梯近似來做波導，所以我們認為用直角座標來計算應是十分恰當的。
但矩形介電質波導並無正解，不論是近似理論解或是數值解都相當複 雜。十餘年來，電腦硬體與軟體的進步，矩陣解法軟體成熟，因此我 們提出一種新的分析理論，可以用計算量較大但較簡單的方法來解複 雜的波導問題。用已知的基底函數，透過數值積分，把問題變成矩陣 的特徵值、特徵向量問題，甚至可以考慮嚴謹的向量解。利用電腦程 式，可以方便的計算出特徵值、特徵向量，而且一次可以得到大部分 低階模態的解。本文提供一種實際的分析理論，以二維的矩形介電質 波導為例子來分析問題。
1-2 簡介
光波導是一種應用在光傳輸上的重要元件，其種類可分為嵌入式 波導(buried waveguide)、山脊形波導(Ridge waveguide)，這兩種波導 有一個方向對稱的特性。但本文所計算的波導是有兩個方向結構對稱 性的矩形光波導{圖 1-2.1}，圖中虛線表示對稱線，所以我們可取四 分之一來分析{圖 1-2.2}，大大簡化了計算量。本文的重點除了分析
介電質波導中的場量性質之外，就是開發以簡單正交基底來求解模態 的方法。
y
x
對稱線 對稱線
{圖 1-2.1}二維矩形波導對稱圖 {圖 1-2.2}二維波導的模擬計算區
在第二章中，我們詳細推導在介電質波導中電磁波的各個場量的 微分方程式，並探討它們在界面上的連續以及微分條件。首先以一維 的波導結構為例子，假設邊界條件以及對稱性條件，以適合的基底函 數來展波導的場型，得到的模態和參考資料[1]的精確解相比，約有 五〜六位的有效位數，算是相當不錯的結果。所以我們繼續用此方法 來展二維的結構。
第三章以馬克斯威爾方程式出發，推導電、磁場不同分量在介電 質波導中的微分方程式，並將它化簡成矩陣的形式。接著同樣假設邊
界條件以及對稱性條件，考慮每一個場量皆須同時滿足 x、y 方向邊
界條件，即可找出適當的基底函數。將二維基底函數的線性組合，帶 入矩陣方程式做運算，運用積分的正解，以及正交函數的特性，可將 繁瑣的算符與積分，換算成簡單的公式解。求解矩陣的特徵值、特徵 向量方程式即可得到波導的模態解。模態的有效折射率約有五位的有
效位數。
在邊界條件與對稱性的制定上，我們以電牆、磁牆<註 1-2.1>來 表示，現實中的波導為連續性的週期結構，不應該在週期間設定邊 界；而此處所模擬的波導就算有邊界也應該在無窮遠處，故此時所設 定的邊界是為了方便計算而虛擬的。但因為在導波的模態(guiding mode)中，場型多半會集中在波核中，在遠離波核的適當位置設定為 邊界，並不會和實際情況相差太多，所以本論文做了這個假設的前 提。也因此，我們才可以選擇滿足此邊界條件與微分條件的簡單正交
基底函數形式，代入矩陣方程式做運算。而且因為我們的結構是x、
y 對稱的矩形波導，所以我們可以取四分之一來分析{圖 1-2.2}。在 x
軸與y 軸上的邊界牆是以對稱性來假設。解完四分之一的波導之後，
即可對稱還原成整個波導的場型。若要能夠完整解出一個波導的低階 模態，需要計算四種不同的對稱性邊界條件才可。
總而言之，此篇論文中所用簡單正交基底函數展開的方法，首先 假設其有不同的邊界或對稱條件，以得到適當基底函數,希望能夠利 用這些基底函數的線性組合來逼近此對稱的波導的模態，即可得到 不同極化的向量模態解。
用已知的基底函數，透過數值積分，來展複雜的波導結構。在 相關的發表文獻上，關於純量場有較多人討論分析過，而向量場至今
較無人討論。有許多用高斯赫米頓多項式(Gauss Hermite polynomial) 來計算，它雖然乘以指數函數加權而正交，所以在中心的函數值大，
遠離中心的函數值較小，所需項數較少即可較接近實際場型。但缺點 是高斯赫米頓多項式不易計算，在某些波導中不易產生簡單的公式 解。而此篇論文中所用簡單正交基底函數展開的方法，每一種邊界條 件的形式都有基底函數，如此一來，不管是多複雜的波導，在經過邊 界條件的定義與計算後，矩陣中每一元素的積分，皆可以得到公式解。
此方法的缺點是計算量的問題，當計算量臨界電腦的極限時，模 態的收斂就會比較差，所以在第六章中，我們附加討論了一種收斂性 較佳的方法，是以導波模態基底來解波導，以分區定義不同的基底函 數來解。如此一來，所需項數較少即可逼近波導的場型。我們僅對於 此方法理論與公式上的推導做分析討論，而詳細的計算與模擬結果則 不在此論文的研究範圍內。我們研究的過程是先詳細分析簡單正交基 底解模態的方法，然後再進階探討如何增加其收斂速度，所以才開發 以導波模態基底來分析波導結構。詳細的內容與數值計算在本實驗室 另一篇論文中有討論。
1-3 馬克斯威爾方程式
在本篇論文的分析中，如何描述光場是一項很基本的問題，本篇
論文的做法是用電磁波的波動方程式來加以描述光場的特性，而使用 電磁波來描述時就一定會使用馬克斯威爾方程式(Maxwell’s equations) 與一些基本的向量公式，所以在此先將馬克斯威爾方程式作一次簡單 的論述。
考慮靜電、靜磁場的模型時，做了如下的定義：
0
∇× = E
(1-3.1)∇× = H J
(1-3.2)D ρ
∇ i =
(1-3.3)0
∇ = i B
(1-3.4) 其中E
為電場強度(electric field intensity)，H
為磁場強度(magnetic field intensity)，D
為電通密度(electric flux density)即電位移(electric displacement)，B
是磁通密度(magnetic flux density)，J
是電流密度 (electric current density)，ρ
則是體電荷密度(volume charge density)。但是，當介質具有等方向性(isotropic)、線性(linear)即非色散 (nondispersive)的性質時，電場強度和電位移就會有
D
=ε E
的關係，磁 場強度和磁通密度的關係則是B
=µ H
，其中ε稱為介電係數(permittivity)，
µ
稱為導磁係數(permeability)。運用其它基本假說與定 律來修正前述的方程式，便產生了馬克斯威爾方程式。當存在源點(source point)時，即必需考慮產生電磁波的區域時，
馬克斯威爾方程式可寫成
對(1-3.13)取旋度(curl)，我們可以得到下面的式子：
（homogeneous vector wave equations）如下：
2 2
其中
ω µε
2 表示成k
2 2
(∇ +
k E
) = 0 (1-3.27)2 2
(∇ +
k H
) = 0 (1-3.28) 此為齊次的向量赫姆霍茲方程式(homogeneous vector Helmholtz’s equation)以此方程式出發，處理光波導的問題，選擇適當方向的光場分量 來求解模態，可以幫助我們將所分析的問題的複雜度加以簡化，在接 下來的分析過程中，我們將利用這種方式來探討我們的問題。
第一章註釋………..
<註 1-2.1>電牆、磁牆的定義
電牆為一個不存在切線方向電場的面，圖表中以 EW 表示 磁牆為一個不存在切線方向磁場的面，圖表中以 MW 表示