簡單正交基底之二維向量介質波導模態解

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(1)⊕ 國立中山大學光電工程研究所碩士論文. 簡單正交基底之二維向量介質波導模態解 Vectorial Modal Analysis of 2D Dielectric Waveguides with Simple Orthogonal Bases. 研究生：曹碩芳撰指導教授：張弘文博士. 中華民國九十三年六月.

(2) 誌. 謝. 首先要感謝我的指導教授張弘文博士，在他悉心的教導與帶領之下，使我可以在數值理論的基礎上紮根，進而完成此篇論文的研究。不論在生活上的照顧或為人處事上的諄諄教誨，都讓我獲益良多。另外還要感謝所上的老師在課業上的指導，使我能對其他相關領域的知識也有所涉獵。同時要感謝實驗室中的學長盛夢徽學長、吳祚倫學長、林明崇學長、周逸軒學長、廖惠民學長以及張永豐學長，不厭其煩的教我許多電腦或程式方面的問題，同時在做論文的過程中更是提供了不少寶貴的建議。還有我的同學張世明、吳宙秦、林政衛、許峻源，在一起修課、考試、做研究時的互相砥礪，一起面對許多快樂及難關，這些日子所培養出來的革命情感，將是我一生珍貴的回憶。感謝學弟王勝民、劉漢強、蔡昂勳、李致維、洪慶龍在口試期間的幫忙，讓我能安心準備口試。還要感謝一直陪在我身邊的男朋友洪挺書，因為有他的鼓勵，使我可以一路勇敢的走到這裡。另外，謝謝我的貓咪伙伴 Lommy 及小捲，這些日子中，許許多多的酸甜苦辣都是和他們串連在一起的，他們是我很重要的精神支柱。最重要的要感謝默默在我背後支持我的家人。父親曹立法先生、. I.

(3) 母親張鳳英女士二十幾年來辛苦的養育和栽培，以及妹妹書瑋、育榕時時為我加油打氣，幫助我順利完成碩士學業以及論文研究。僅將此文獻給我親愛的家人們。曹碩芳 2004.6 于西子灣. II.

(4) 中文摘要介電質光波導是一種應用在光傳輸上的重要元件，本文針對光波導的傳播參數以及特性做基礎的分析討論，並開發一種以簡單正交基底解模態的方法，來解二維矩形介電質波導結構，並詳盡的分析其場型的特性。進而再探討如何以計算量較小的導波模態基底的張量積來展波導。首先，我們詳細推導在介電質波導中電磁波的磁場分量的耦合微分方程式，並探討它們在界面上的連續以及微分條件。然後以一維的結構來驗證此方法的精確度，確認之後才應用到二維的矩形波導。利用簡單的二維基底函數的線性組合，來展直角座標的介電質波導的模態。用嚴謹的數值積分公式化簡，得到矩陣的特徵值、特徵向量方程式來解出此組二維係數。我們假設其有不同的邊界或對稱條件，即可得到不同極化的向量模態解。此篇論文中所用簡單正交基底函數展開的方法，每一種邊界條件的波導形式都可以找到恰當的基底函數，如此一來，不管是多複雜的波導，在經過邊界條件的定義與計算後，矩陣中每一元素的積分，皆可以得到公式解。此方法解出的模態的有效折射率約有四位的有效位數，而場型也相當準確。因此我們認為此方法為可解二維介電質波導模態的方法。. III.

(5) Abstract The dielectric waveguide is an important component used in the optical communication system. In this thesis, we conduct basic research on the propagation constant and the characteristic of the dielectric waveguide.. We develop a method to expand 2-D rectangular dielectric. waveguide modes with simple orthogonal bases.. Furthermore, we. improve the convergent rate by expanding waveguide modes with tensor product of properly chosen guiding-mode bases. We first derive the coupled differential equations of the two transverse magnetic field components which satisfy the continuous boundary conditions across all material interfaces.. Then we investigate and verify. the accuracy of this method on 1-D rectangular waveguide so that we can apply the technique to 2-D rectangular waveguides.. By means of linear. combination of simple 2-D orthogonal bases, we expand the mode of rectangular dielectric waveguide.. Through rigorous mathematical. closed-form integration, we obtain the equivalent matrix whose eigenvalues and associated eigenvectors become the mode propagation constants and mode field distribution functions of the underlying 2-D dielectric waveguide.. Whenever symmetry exists we can reduce the. size of the problem by choosing appropriate boundary conditions in accordance to particular mode polarization desired. This method provides at least four significant digits of propagation constant and detailed field description of the rectangular dielectric waveguide.. We believe that it is an effective method for modal analysis. of 2-D complex dielectric-waveguides.. IV.

(6) 目. 錄 I. 誌謝中文摘要. III. 英文摘要. IV V. 目錄. VII. 圖表目錄第一章. 1. 導論. 1-1. 研究動機. 1. 1-2. 簡介. 1. 1-3. 馬克斯威爾方程式. 4. 第二章. 一維簡單正交基底之介電質波導的理論. 9. 2-1. 波導結構理論分析. 2-2. 微分方程式. 11. 2-3. 數值計算通式推導(TE wave). 15. 2-4. 數值計算通式推導(TM wave). 19. 第三章. 9. 二維簡單正交基底之介電質波導的理論. 24. 3-1. 波導結構理論分析. 24. 3-2. 耦合矩陣方程式. 25. 3-3. 求解波導模態概述. 30. V.

(7) 3-4. 磁場耦合矩陣方程式通解. 34. 3-5. 已定邊界下的基底函數求法. 42. 第四章. 47. 一維的數值計算結果. 4-1. 場型圖. 47. 4-2. 數值計算模擬結果. 52. 二維的數值計算結果. 54. 第五章 5-1. 二維波導磁場的場型圖. 54. 5-2. 數值計算模擬結果. 72. 第六章. 導波基底之介電質波導的理論. 74. 6-1. 導波基底展波導簡介. 76. 6-2. 理論推導. 79. 第七章. 82. 結論. 附錄 A：介質界面電、磁場的連續條件. 84. B：特殊上下標的定義. 86. C：不同邊界上電場、磁場的特性. 88. D：不同邊界牆的基底函數詳細表格. 89. E：平板波導特徵方程式推導. 95. 參考文獻. 98. 中英對照表. 99. VI.

(8) 圖表目錄 {圖 1-2.1}二維矩形波導對稱圖. 2. {圖 1-2.2}二維波導的模擬計算區. 2. {圖 2-1.1}二維波導結構尺寸圖. 9. {圖 2-1.2}一維波導結構尺寸圖. 9. {圖 2-2.1}一維矩形波導對稱圖. 11. {圖 2-2.2}一維波導結構座標示意圖. 11. {圖 2-2.3}一維波導的模擬計算區. 11. {圖 3-1.1}二維波導結構座標示意圖. 24. {圖 3-3.1}二維波導結構計算區邊界示意圖. 32. {圖 3-5.1}二維波導結構四分之一示意圖(對稱性邊界 x 磁 y 磁). 42. {圖 4-1.1}一維波導結構計算區邊界示意圖. 48. {圖 4-1-1.1}一維 TE mode 偶對稱之 E y 的前兩個模態場型圖. 50. {圖 4-1-2.1}一維 TM mode 偶對稱之 H y 的前兩個模態場型圖. 51. {圖 5-1.1}二維波導之四分之一求解象限(x 磁 y 磁). 55. {圖 5-1.2}二維波導之四分之一求解象限(x 電 y 電). 55. {圖 5-1.3}二維波導之四分之一求解象限(x 電 y 磁). 56. {圖 5-1.4}二維波導之四分之一求解象限(x 磁 y 電). 56. {圖 5-1.5}二維波導(x 磁 y 磁)第一個模態之 H x. 60. VII.

(9) {圖 5-1.6}二維波導(x 磁 y 磁)第一個模態之 H y. 60. {圖 5-1.7}二維波導(x 磁 y 磁)第二個模態之 H x. 61. {圖 5-1.8}二維波導(x 磁 y 磁)第二個模態之 H y. 61. {圖 5-1.9}二維波導(x 電 y 電)第一個模態之 H x. 62. {圖 5-1.10}二維波導(x 電 y 電)第一個模態之 H y. 62. {圖 5-1.11}二維波導(x 電 y 電)第二個模態之 H x. 63. {圖 5-1.12}二維波導(x 電 y 電)第二個模態之 H y. 63. {圖 5-1.13}二維波導(x 電 y 磁)第一個模態之 H x. 64. {圖 5-1.14}二維波導(x 電 y 磁)第一個模態之 H y. 64. {圖 5-1.15}二維波導(x 電 y 磁)第二個模態之 H x. 65. {圖 5-1.16}二維波導(x 電 y 磁)第二個模態之 H y. 65. {圖 5-1.17}二維波導(x 磁 y 電)第一個模態之 H x. 66. {圖 5-1.18}二維波導(x 磁 y 電)第一個模態之 H y. 66. {圖 5-1.19}二維波導(x 磁 y 電)第二個模態之 H x. 67. {圖 5-1.20}二維波導(x 磁 y 電)第二個模態之 H y. 67. {圖 5-1.21}二維波導(x 磁 y 磁)第一個模態之磁場. 68. {圖 5-1.22}二維波導(x 磁 y 磁)第二個模態之磁場. 69. {圖 5-1.23}二維波導(x 電 y 電)第一個模態之磁場. 69. {圖 5-1.24}二維波導(x 電 y 電)第二個模態之磁場. 70. VIII.

(10) {圖 5-1.25}二維波導(x 電 y 磁)第一個模態之磁場. 70. {圖 5-1.26}二維波導(x 電 y 磁)第二個模態之磁場. 71. {圖 5-1.27}二維波導(x 磁 y 電)第一個模態之磁場. 71. {圖 5-1.28}二維波導(x 磁 y 電)第二個模態之磁場. 72. {圖 6-1.1}二維矩形介電質波導的模擬計算分區示意圖. 75. {圖 6-1.2}一維介電質波導的分區示意圖. 76. {圖 6-1.3}一維介電質波導的座標示意圖. 77. {表 4-2.1}一維數值計算結果 TE mode. 53. {表 4-2.2}一維數值計算結果 TM mode. 53. {表 5-1.1}二維外邊界為電牆的波導之四種不同的對稱性情況. 55. {表 5-2.1}二維波導(x 磁 y 磁)改變 m、n 之有效折射率. 73. {表 5-2.2}二維波導(x 電 y 電)改變 m、n 之有效折射率. 73. {表 5-2.3}二維波導(x 電 y 磁)改變 m、n 之有效折射率. 74. {表 5-2.4}二維波導(x 磁 y 電)改變 m、n 之有效折射率. 74. IX.

(11) 第一章. 導論. 1-1 研究動機近年來積體光波導越來越重要，積體光學的半導體製程技術以階梯近似來做波導，所以我們認為用直角座標來計算應是十分恰當的。但矩形介電質波導並無正解，不論是近似理論解或是數值解都相當複雜。十餘年來，電腦硬體與軟體的進步，矩陣解法軟體成熟，因此我們提出一種新的分析理論，可以用計算量較大但較簡單的方法來解複雜的波導問題。用已知的基底函數，透過數值積分，把問題變成矩陣的特徵值、特徵向量問題，甚至可以考慮嚴謹的向量解。利用電腦程式，可以方便的計算出特徵值、特徵向量，而且一次可以得到大部分低階模態的解。本文提供一種實際的分析理論，以二維的矩形介電質波導為例子來分析問題。. 1-2 簡介光波導是一種應用在光傳輸上的重要元件，其種類可分為嵌入式波導(buried waveguide)、山脊形波導(Ridge waveguide)，這兩種波導有一個方向對稱的特性。但本文所計算的波導是有兩個方向結構對稱性的矩形光波導{圖 1-2.1}，圖中虛線表示對稱線，所以我們可取四分之一來分析{圖 1-2.2}，大大簡化了計算量。本文的重點除了分析 1.

(12) 介電質波導中的場量性質之外，就是開發以簡單正交基底來求解模態的方法。 y. 對稱線. 對稱線. x. {圖 1-2.1}二維矩形波導對稱圖. {圖 1-2.2}二維波導的模擬計算區. 在第二章中，我們詳細推導在介電質波導中電磁波的各個場量的微分方程式，並探討它們在界面上的連續以及微分條件。首先以一維的波導結構為例子，假設邊界條件以及對稱性條件，以適合的基底函數來展波導的場型，得到的模態和參考資料[1]的精確解相比，約有五〜六位的有效位數，算是相當不錯的結果。所以我們繼續用此方法來展二維的結構。第三章以馬克斯威爾方程式出發，推導電、磁場不同分量在介電質波導中的微分方程式，並將它化簡成矩陣的形式。接著同樣假設邊界條件以及對稱性條件，考慮每一個場量皆須同時滿足 x、y 方向邊界條件，即可找出適當的基底函數。將二維基底函數的線性組合，帶入矩陣方程式做運算，運用積分的正解，以及正交函數的特性，可將繁瑣的算符與積分，換算成簡單的公式解。求解矩陣的特徵值、特徵向量方程式即可得到波導的模態解。模態的有效折射率約有五位的有 2.

(13) 效位數。在邊界條件與對稱性的制定上，我們以電牆、磁牆<註 1-2.1>來表示，現實中的波導為連續性的週期結構，不應該在週期間設定邊界；而此處所模擬的波導就算有邊界也應該在無窮遠處，故此時所設定的邊界是為了方便計算而虛擬的。但因為在導波的模態(guiding mode)中，場型多半會集中在波核中，在遠離波核的適當位置設定為邊界，並不會和實際情況相差太多，所以本論文做了這個假設的前提。也因此，我們才可以選擇滿足此邊界條件與微分條件的簡單正交基底函數形式，代入矩陣方程式做運算。而且因為我們的結構是 x、 y 對稱的矩形波導，所以我們可以取四分之一來分析{圖 1-2.2}。在 x 軸與 y 軸上的邊界牆是以對稱性來假設。解完四分之一的波導之後，即可對稱還原成整個波導的場型。若要能夠完整解出一個波導的低階模態，需要計算四種不同的對稱性邊界條件才可。總而言之，此篇論文中所用簡單正交基底函數展開的方法，首先假設其有不同的邊界或對稱條件，以得到適當基底函數,希望能夠利用這些基底函數的線性組合來逼近此對稱的波導的模態，即可得到不同極化的向量模態解。用已知的基底函數，透過數值積分，來展複雜的波導結構。在相關的發表文獻上，關於純量場有較多人討論分析過，而向量場至今. 3.

(14) 較無人討論。有許多用高斯赫米頓多項式(Gauss Hermite polynomial) 來計算，它雖然乘以指數函數加權而正交，所以在中心的函數值大，遠離中心的函數值較小，所需項數較少即可較接近實際場型。但缺點是高斯赫米頓多項式不易計算，在某些波導中不易產生簡單的公式解。而此篇論文中所用簡單正交基底函數展開的方法，每一種邊界條件的形式都有基底函數，如此一來，不管是多複雜的波導，在經過邊界條件的定義與計算後，矩陣中每一元素的積分，皆可以得到公式解。此方法的缺點是計算量的問題，當計算量臨界電腦的極限時，模態的收斂就會比較差，所以在第六章中，我們附加討論了一種收斂性較佳的方法，是以導波模態基底來解波導，以分區定義不同的基底函數來解。如此一來，所需項數較少即可逼近波導的場型。我們僅對於此方法理論與公式上的推導做分析討論，而詳細的計算與模擬結果則不在此論文的研究範圍內。我們研究的過程是先詳細分析簡單正交基底解模態的方法，然後再進階探討如何增加其收斂速度，所以才開發以導波模態基底來分析波導結構。詳細的內容與數值計算在本實驗室另一篇論文中有討論。. 1-3 馬克斯威爾方程式在本篇論文的分析中，如何描述光場是一項很基本的問題，本篇 4.

(15) 論文的做法是用電磁波的波動方程式來加以描述光場的特性，而使用電磁波來描述時就一定會使用馬克斯威爾方程式(Maxwell’s equations) 與一些基本的向量公式，所以在此先將馬克斯威爾方程式作一次簡單的論述。. 考慮靜電、靜磁場的模型時，做了如下的定義：. ∇× E = 0. (1-3.1). ∇× H = J. (1-3.2). ∇i D = ρ. (1-3.3). ∇i B = 0. (1-3.4). 其中 E 為電場強度(electric field intensity)， H 為磁場強度(magnetic field intensity)， D 為電通密度(electric flux density)即電位移(electric displacement)， B 是磁通密度(magnetic flux density)， J 是電流密度 (electric current density)， ρ 則是體電荷密度(volume charge density)。但是，當介質具有等方向性(isotropic)、線性(linear)即非色散 (nondispersive)的性質時，電場強度和電位移就會有 D = ε E 的關係，磁場強度和磁通密度的關係則是 B = µ H ，其中 ε 稱為介電係數 (permittivity)， µ 稱為導磁係數(permeability)。運用其它基本假說與定律來修正前述的方程式，便產生了馬克斯威爾方程式。當存在源點(source point)時，即必需考慮產生電磁波的區域時， 5.

(16) 馬克斯威爾方程式可寫成. ∇× E = −. ∂B ∂t. ∇× H = J +. (1-3.5) ∂D ∂t. (1-3.6). ∇i D = ρ. (1-3.7). ∇i B = 0. (1-3.8). 我們也寫出它的積分形式與意義. ∫ E idl. ∂B ida t ∂ a. = −∫. (法拉第定律). (1-3.9). (安培定律). (1-3.10). ∫ Dida = ∫ ρ dV. (高斯定律). (1-3.11). ∫ B ida = 0. (無磁單極). (1-3.12). l. ∂D. ∫ H idl = ∫ ( ∂t l. + J )ida. a. s. v. s. 在一無源區域(source free region)， ρ 、 J 皆為零.我們討論波在非導電性、線性、同向性、均勻(homogeneous)的簡單介質中傳播，我們以 ε 、 µ 來描述介質的特性，由於通常在波導問題中很少遇到磁性材料，所以介質的導磁係數 µ 等於自由空間中的導磁係數 µ0 ，則馬克斯威爾方程式可化成 ∇× E = − ∇× H =. ∂B ∂H = −µ ∂t ∂t. (1-3.13). ∂D ∂E =ε ∂t ∂t. (1-3.14). ∇⋅D = 0. (1-3.15). ∇⋅B = 0. (1-3.16) 6.

(17) 對(1-3.13)取旋度(curl)，我們可以得到下面的式子： ∇ × ∇ × E = −µ. ∂ (∇ × H ) ∂t. (1-3.17). 在 ∇ × ∇ × E = ∇(∇i E ) − ∇ 2 E 的關係式中，∇i E = 0 ，帶入(1-3.17)且(1-3.14) 也帶入(1-3.17)，可以得到無源區域的電場齊次向量波方程（homogeneous vector wave equations）如下： ∇ 2 E − µε. ∂2 E =0 ∂t 2. ∇ 2 H − µε. ∂2H =0 ∂t 2. (1-3.18). 同理 (1-3.19). 電場和磁場均為時間諧和函數，以 e jωt 來表示隨時間的變量，即 E = E0 e jωt. (1-3.20). 對無源狀況下的簡單介質而言，這四式可變為： ∇ × E = − jωµ H. (1-3.21). ∇ × H = jωε E. (1-3.22). ∇⋅ D = 0. (1-3.23). ∇⋅ B = 0. (1-3.24). (1-3.18)與(1-3.19)兩式可以表示成 E 與 H 的二階偏維分方程式 (∇ 2 + ω 2 µε ) E = 0. (1-3.25). (∇ 2 + ω 2 µε ) H = 0. (1-3.26). 同理. 7.

(18) 其中 ω 2 µε 表示成 k (∇ 2 + k 2 ) E = 0. (1-3.27). (∇ 2 + k 2 ) H = 0. (1-3.28). 此為齊次的向量赫姆霍茲方程式(homogeneous vector Helmholtz’s equation) 以此方程式出發，處理光波導的問題，選擇適當方向的光場分量來求解模態，可以幫助我們將所分析的問題的複雜度加以簡化，在接下來的分析過程中，我們將利用這種方式來探討我們的問題。. 第一章註釋…………………………………………………………………….. <註 1-2.1>電牆、磁牆的定義電牆為一個不存在切線方向電場的面，圖表中以 EW 表示磁牆為一個不存在切線方向磁場的面，圖表中以 MW 表示 8.

(19) 第二章. 一維簡單正交基底之介電質波導的理論. 2-1 波導結構理論分析. 2LB. 2Lb 2La 2LA. {圖 2-1.1}二維波導結構尺寸圖. 本篇論文要探討的波導結構如{圖 2-1.1}所示, 在 x、y 平面有固定的截面積，波核為折射率 n1 的介質組成，波覆為折射率 n2 的介質組成，在波導的外圍以邊界牆來定義。在計算此結構之前，我們先以相同方法分析一維的波導結構{圖 2-1.2}，驗證此方法的精確程度。 2LA. y. 2LA. z. x. 2La. {圖 2-1.2}一維波導結構尺寸圖. 波往 z 方向傳播，其傳播常數為 γ = α + j β，且具有時間諧和形式，故其任意場的分量 u 可描述為 u ∝ e −γ z e jωt. (2-1.1) 9.

(20) 本文波導模擬的 α = 0 ，故上式可寫成 u ∝ e − j β z e jωt. (2-1.2). 而波導內部之介電質其場量強度滿足齊次的赫姆霍茲向量方程式如下 (∇ 2 + k 2 ) E = 0. (2-1.3). (∇t2 + k 2 − β 2 ) E = 0. (2-1.4). 我們知道 E 、 H 的六個分量並非完全獨立，所以我們不需解六個二階微分方程式才能得到 E 、 H 的六個分量，只需解 EZ 、 H Z 兩個即可。而在均勻波導中往 z 傳的行進波，依極化情況可分成三類 1. 橫波(TEM)：電、磁場均不存在傳播方向的分量 Ez = 0 H z = 0 2. 橫磁波(TM)：磁場不存在傳播方向的分量 Ez ≠ 0 H z = 0 3. 橫電波(TE)：電場不存在傳播方向的分量 H z ≠ 0 Ez = 0 我們討論時是將波分成 TE、TM 兩種極化分別討論，且在一維的波導分析中，TE 與 TM 兩種不同極化條件下，微分方程式的推導有相當大的差異。因介質界面 ε 的不連續，導致切線方向的磁場斜率不連續<附錄 A >，所以在推導一維 TM 極化 H y 的微分方程時，會變得比較複雜。將波動微分方程式化簡後，即可求解方程式中的 β ，我們知道 β 的解是離散的數列，這些數值，即為此波導中各個模態的傳播常數值。. 10.

(21) 2-2 微分方程式我們知道一維波導的結構對稱性並訂出座標，我們依照這個座標分別以 TE、TM 兩種極化來求解模態。. y. LA. 對稱線. 2LA. z. x. La. {圖 2-2.1}一維矩形波導對稱圖. {圖 2-2.2}一維波導結構座標示意圖. x n2. i. n1. y. z. {圖 2-2.3}一維波導的模擬計算區. 2-2-1 推導 TE wave 微分方程式無源狀況下的簡單介質，馬克斯威爾方程式可寫為： ∇ × E = − jωµ H. (2-2-1.1). ∇ × H = jωε E. (2-2-1.2) 11.

(22) ∇⋅ D = 0. (2-2-1.3). ∇⋅ B = 0. (2-2-1.4). 對(2-2-2.1)取旋度(curl)，我們可以得到下面的式子： ∇ × ∇ × E = − jωµ (∇ × H ). (2-2-1.5). 在 ∇ × ∇ × E = ∇(∇i E ) − ∇ 2 E 的關係式中， ∇i E = 0 ，帶入(2-2-1.5) 且(2-2-1.2)也帶入(2-2-1.5)，可以得到無源區域的電場齊次向量波方程式（homogeneous vector wave eqations）如下： ∇ 2 E + ω 2 µε E = 0. (2-2-1.6). (∇ 2 + ω 2 µε ) E = 0. (2-2-1.7). (∇ 2 + k 2 ) E = 0. (2-2-1.8). 得到電場 E 的二階偏微分方程式但磁場的微分方程式並非同理可得，因為 ε 是隨 x 而變化而不是常數值，我們將在下一小節詳加討論。本節探討 TE wave 的 E y 的微分方程式. (∇ 2 + k 2 ) E y ( x) = 0. (2-2-1.9). (∇t2 − β 2 + k 2 ) E yn ( x) = 0 (. (2-2-1.10). ∂2 + k 2 ) E yn ( x ) = β 2 E yn ( x ) 2 ∂x. (2-2-1.11). ∂2 ( 2 + k02 n 2 ( x )) E yn ( x ) = β 2 E yn ( x ) ∂x 12. (2-2-1.12).

(23) (− k y2 + k02 n 2 ( x)) E yn ( x) = β 2 E yn ( x). (2-2-1.13). 2-2-2 推導 TM wave 微分方程式同樣由馬克思威爾方程式開始，無源狀況下的簡單介質，馬克思威爾方程式可寫為： ∇ × E = − jωµ H. (2-2-2.1). ∇ × H = jωε E. E=. 1. jωε. ∇×H. (2-2-2.2). ∇⋅ D = 0. (2-2-2.3). ∇⋅ B = 0. (2-2-2.4). (2-2-2.2)代入(2-2-2.1) ∇ ×[. 1. jωε. ∇ × H ] = − jωµ H. (2-2-2.5). 1 ∇ × [ ∇ × H ] = ω2µ H. (2-2-2.6). ε. 應用向量定理 ∇ × (φ A) = ∇φ × A + φ∇ × A. (2-2-2.7). (2-2-2.6)改寫為 1 1 ∇ × (∇ × H ) + ∇ × (∇ × H ) = ω 2 µ H. ε. ε. (2-2-2.8). 其中 ∇. 1. ε. =. ∂ 1 xˆ ∂x ε. (2-2-2.9). 13.

(24) ∇=. ∂ ∂ ∂ xˆ + yˆ + zˆ ∂x ∂y ∂z. (2-2-2.10) (2-2-2.11). H = H y yˆ. ∇×H =. xˆ. yˆ. ∂ ∂x 0. ∂ ∂y Hy. zˆ ∂ ∂ ∂ = H y zˆ − H y xˆ ∂z ∂x ∂z 0. xˆ 1 ∂ 1 ∇ × (∇ × H ) = ∂x ε ε ∂ − Hy ∂z. ∇ × (∇ × H ) =. yˆ. zˆ. 0. 0. 0. ∂ Hy ∂x. xˆ. yˆ. zˆ. ∂ ∂x ∂ − Hy ∂z. ∂ ∂y. ∂ ∂z. 0. ∂ Hy ∂x. ∂ 1 ∂ )( H y ) yˆ ∂x ε ∂x. (2-2-2.13). ∂2 ∂2 ˆ − H y H y yˆ y ∂x 2 ∂z 2. (2-2-2.14). = −(. =−. (2-2-2.12). (2-2-2.9) ~ (2-2-2.14)代入(2-2-2.8)，再經過化簡 ∂ 1 ∂ 1 ∂2 ∂2 −( )( H y ) yˆ − ( 2 H y yˆ + 2 H y yˆ ) = ω 2 µ H y yˆ ε ∂x ∂x ε ∂x ∂z. (2-2-2.15). ∂ 1 ∂ ∂2 ∂2 ε( )( H y ) yˆ + ( 2 H y yˆ + 2 H y yˆ ) = −ω 2εµ H y yˆ ∂x ε ∂x ∂x ∂z. (2-2-2.16). ∂2 ∂2 ∂ 1 ∂ ( 2 + 2 )H y + ε ( )( H y ) = − k 2 H y ∂x ∂z ∂x ε ∂x. (2-2-2.17). (. ∂2 ∂2 ∂ 1 ∂ + ) H y + ε ( x )( )( H y ) = − k02 n 2 ( x ) H y 2 2 ∂x ∂z ∂x ε ( x ) ∂x. 得(2-2-2.18)為 H y 的微分方程式。. 14. (2-2-2.18).

(25) 2-3. 數值計算通式推導(TE wave). 2-3-1 解 E y 的場型由上一節所推導出的 E y 的矩陣方程式(2-2-1.13)式. (− k y2 + k02 n 2 ( x)) E yn ( x) = β 2 E yn ( x). (2-3-1.1). 朝 z 方向傳播的波的電場形式可令為. E y ( x, z ) = E yn ( x )e − iβ z. (2-3-1.2). 我們試著將 E yn ( x) 寫成基底函數的線性組合，希望能以此方法來逼近實際 E yn ( x) 的值，寫成 E yn ( x ) = ∑ a J φ yJ ( x ). J =1. (2-3-1.3). n. (2-3-1.1)中，將折射率用 step function 表示 n 2 ( x) = n22 + (n12 − n22 )[u ( x) − u ( x − La )]. (2-3-1.4). L = −k y2 + k02 n 2 ( x ). (2-3-1.5). 令. 所以.  Lφ 1y. Lφ y2. 乘以正交函數 φ yI ∗.  a1  a   2 n Lφ y    = β φ y1 φ y2      an  I =1.  a1  a   2 n φ y         an . (2-3-1.6). n.  < φ yI ∗ | Lφ yJ ( x ) >  [ a ] = β 2 [ I ] [a ]. 15. (2-3-1.7).

(26) 此時我們令： A =< φ yI ∗ | Lφ yJ ( x ) >. (2-3-1.8). λ = β2. 故我們可寫成 [ A][a ] = λ [ I ][a ]. (2-3-1.9). 其中. A=.  Φ1y ∗ ( LΦ1y )dx ∫  Φ 2 ∗ ( LΦ1 )dx y ∫ y   n∗ 1  ∫ Φ y ( LΦ y )dx. ∫Φ ∫Φ. 1∗ y. ( LΦ 2y )dx. 2∗ y. ( LΦ 2y )dx. ( LΦ ny )dx       n∗ n ∫ Φ y ( LΦ y )dx . ∫Φ. 1∗ y. (2-3-1.10) 因為 L 有兩個運算子，較難表示，故再將 A 寫成 B、C. [[ B ] + [C ]][a ] = λ [ I ][a ]. (2-3-1.11). LA. BIJ = [ −k + k n ] ∫ Φ Iy ∗Φ Jy dx = [− k y2 + k02n22 ]δ IJ 2 y. 2 2 0 2. (2-3-1.12). 0. La. C IJ = [k02 ( n12 − n22 )] ∫ Φ Iy ∗Φ Jy dx. (2-3-1.13). 0. 2-3-2 解 H x 的場型 H x 的微分方程式. (− k x2 + k02 n 2 ( x)) H xn ( x) = β 2 H xn ( x). (2-3-2.1). 朝 z 方向傳播的波的磁場形式可令為. H x ( x, z ) = H xn ( x )e − iβ z. (2-3-2.2). 16.

(27) 我們試著將 H xn ( x) 寫成基底函數的線性組合 H xn ( x ) = ∑ bJ φxJ ( x ). J =1. (2-3-2.3). n. (2-3-1.1)中，折射率用 step function 表示 n 2 ( x) = n22 + (n12 − n22 )[u ( x) − u ( x − La )]. (2-3-2.4). L = −k x2 + k02 n 2 ( x ). (2-3-2.5). 令. 所以.  Lφx1.  b1  b   2 n Lφx    = β φx1 φx2     bn . Lφx2. 乘以正交函數 φxI ∗. I =1.  b1  b   2 n φx         bn . (2-3-2.6). n.  < φ xI ∗ | Lφ xJ ( x ) >   b  = β 2 [ I ]  b . (2-3-2.7). 此時我們令： A =< φxI ∗ | LφxJ ( x ) >. (2-3-2.8). λ = β2. 故我們可寫成：. [ A]  b  = λ [ I ]  b . (2-3-2.9). 其中. 17.

(28)  Φ1x∗ ( LΦ1x )dx ∫  Φ 2∗ ( LΦ1 )dx x = A ∫ x   n∗ 1  ∫ Φ x ( LΦ x )dx. ∫Φ ∫Φ. 1∗ x. ( LΦ 2x )dx. 2∗ x. ( LΦ 2x )dx. ( LΦ nx )dx       n∗ n Φ Φ ( ) L dx ∫ x x . ∫Φ. 1∗ x. (2-3-2.10) 因為 L 有兩個運算子，較難表示，故再將 A 寫成 B、C. [[ B ] + [C ]][a ] = λ [ I ][a ]. (2-3-2.11). LA. BIJ = [ −k x2 + k02 n22 ] ∫ Φ Ix ∗Φ Jx dx = [− k x2 + k02n22 ]δ IJ. (2-3-2.12). 0. La. C IJ = [k ( n − n )] ∫ Φ Ix ∗Φ Jx dx 2 0. 2 1. (2-3-2.13). 2 2. 0. 18.

(29) 2-4. 數值計算通式推導(TM wave). 2-4-1 解 H y 的場型由(2-2-2.18)為推導出的 H y 的微分方程式 (. ∂2 ∂2 ∂ 1 ∂ + ) H y + ε ( x )( )( H y ) = − k02 n 2 ( x ) H y 2 2 ∂x ∂z ∂x ε ( x ) ∂x. (2-4-1.1). (. ∂2 ∂ + k02n 2 ( x ) − (ln ε ) x ) H yn ( x ) = β 2 H yn ( x ) 2 ∂x ∂x. (2-4-1.2). 因為波往 z 方向傳，故 H y 的形式. H y ( x, z ) = H yn ( x )e − iβ z. (2-4-1.3). H y 用基底函數展開 H yn ( x ) = ∑ bJ φ yJ ( x ). J =1. n. (2-4-1.4). (2-4-1.2)式中的 n 2 ( x ) = n22 + ( n12 − n22 )[u( x ) − u ( x − La )]. (ln ε ) x = ln. ε2 δ ( x − La ) ε1. (2-4-1.5). (2-4-1.6). 令. ∂2 ∂ L = 2 + k02 n 2 ( x ) − (ln ε ) x ∂x ∂x. ∂2 ε ∂ = 2 + k02 {n22 + ( n12 − n22 )[u( x ) − u( x − La )]} − ln 2 δ ( x − La ) ∂x ε1 ∂x (2-4-1.7). 19.

(30)  Lφ 1y.  b1  b   2 n Lφ y    = β φ 1y φ y2      bn . Lφ y2. 乘以正交函數 φ yI ∗. I =1.  b1  b   2 n φ y        bn . (2-4-1.8). n.  < φ yI ∗ | Lφ yJ ( x ) >   b  = β 2 [ I ]  b . (2-4-1.9). 令： A =< φ yI ∗ | Lφ yJ ( x ) >. (2-4-1.10). λ = β2. 故我們可寫成：. [ A]  b  = λ [ I ]  b . (2-4-1.11). 其中  Φ1y ∗ ( LΦ1y )dx ∫  Φ 2 ∗ ( LΦ1y )dx A = ∫ y   n∗ 1  ∫ Φ y ( LΦ y )dx. ∫Φ ∫Φ. 1∗ y. ( LΦ 2y )dx. 2∗ y. ( LΦ 2y )dx. ( LΦ ny )dx       n∗ n Φ Φ L dx ( )  y y ∫. ∫Φ. 1∗ y. (2-4-1.12). 因為 L 有三個運算子，較難表示，故再將 A 寫成 B、C、D. [[ B ] + [C ] + [ D ]]  b  = λ [ I ]  b  LA. BIJ = [ −k + k n ] ∫ Φ Iy ∗Φ Jy dx = [− k y2 + k02n22 ]δ IJ 2 y. 2 2 0 2. (2-4-1.13) (2-4-1.14). 0. La. C IJ = [k02 ( n12 − n22 )] ∫ Φ Iy ∗Φ Jy dx. (2-4-1.15). 0. 20.

(31) DIJ = − ln. ε2 I ∗ Φ y ( x ) |x = La [Φ Jy ( x )], x |x = La ε1. (2-4-1.16). 2-4-2 解 E x 的場型 E x 的矩陣方程式. (. ∂2 ∂ n 2 2 k n ( x ) (ln ε ) (ln ε ) ) E x ( x ) = β 2 E xn ( x ) + + + 0 xx x 2 ∂x ∂x. (2-4-2.1). E x 的形式. E x ( x, z ) = E xn ( x )e − iβ z. (2-4-2.2). E x 用基底函數展開 E xn ( x ) = ∑ a J φxJ ( x ). (2-4-2.3). (2-4-2.1)式中的 n 2 ( x ) = n22 + ( n12 − n22 )[u( x ) − u ( x − La )] (ln ε ) x = ln. (2-4-2.4). ε2 δ ( x − La ) ε1. (2-4-2.5). 令. L=.  Lφx1. ∂2 ∂ 2 2 k n ( x ) (ln ε ) (ln ε ) + + + 0 xx x ∂x 2 ∂x. Lφx2.  a1  a   2 n Lφx    = β φx1 φx2      an . 21. (2-4-2.6).  a1  a   2 n φx         an . (2-4-2.7).

(32) 乘以正交函數 φxI ∗. I =1. n.  < φ xI ∗ | Lφ xJ ( x ) >  [ a ] = β 2 [ I ] [a ]. (2-4-2.8). A =< φxI ∗ | LφxJ ( x ) >. (2-4-2.9). 令：. λ = β2. 故我們可寫成：. [ A][a ] = λ [ I ][a ]. (2-4-2.10). 其中  Φ1x ∗ ( LΦ1x )dx ∫  Φ 2 ∗ ( LΦ1x )dx A = ∫ x   n∗ 1  ∫ Φ x ( LΦ x )dx. ∫Φ ∫Φ. 1∗ x. ( LΦ 2x )dx. 2∗ x. ( LΦ 2x )dx. ( LΦ nx )dx       n∗ n Φ Φ L dx ( )  x x ∫. ∫Φ. 1∗ x. (2-4-2.11). 因為 L 有四個運算子，較難表示，故再將 A 寫成 B、C、D、E. [[ B ] + [C ] + [ D ] + [ E ]][a ] = λ [ I ][a ] L. BIJ = [ −k x2 + k02n22 ]∫ Φ Ix ∗Φ Jx dx = [− k x2 + k02n22 ]δ IJ. (2-4-2.12) (2-4-2.13). 0. La. C IJ = [k ( n − n )] ∫ Φ Ix ∗Φ Jx dx 2 0. 2 1. (2-4-2.14). 2 2. 0. DIJ = ∫ (ln ε ) xx Φ Ix*Φ Jx dx. 表示成 (ln ε ) x = ln = ln. ε2 δ ( x − La ) ε1. ε2 {δ ( x − La )}, x Φ Ix*Φ Jx dx ∫ ε1 22. (2-4-2.15).

(33) = ln. ε2 ' δ ( x − La )Φ Ix*Φ Jx dx ∫ ε1. = ln. ε2 ' δ ( x − La )Φ Ix*Φ Jx dx ∫ ε1. <註 2-4-2.1> = ln E IJ = ln. {. ε2 − k x2 Φ Ix*Φ Jx  |x = La ,x ε1. }. (2-4-2.16). ε2 I ∗ Φ x ( x ) |x = La [Φ Jx ( x )], x |x = La ε1. (2-4-2.17). 第二章註釋…………………………………………………………………….. <註 2-4-2.1> ∞. ∞. ∫ δ ( x) f ( x)dx = [δ ( x) f ( x)] | − ∫ δ ( x) f '. 0. ∞ 0. 0. = f (0) |∞0 − f ' (0) = 0 − f ' (0) = − f ' (0). 23. '. ( x)dx.

(34) 第三章. 二維簡單正交基底之介電質波導的理論. 3-1 波導結構理論分析 y. x. z. {圖 3-1.1}二維波導結構座標示意圖. 二維波導結構如圖所示。首先，在不均勻材料中(折射率不為定值，波核和波覆分別為 n1、n2)，直角座標下的 Maxwell equation 可推導成磁場或電場的耦合 Helmholtz 方程式。因為在介質交界面上折射率不相同，造成電場 E x 、 E y 在與界面垂直的分量不連續<附錄 A>，故需要用傅氏級數展開，收斂很慢。而磁場則不會有此困擾，因為材料是介電質， µ 在邊界上連續，所以 H x 、 H y 在邊界上不管切線、法線方向皆為連續函數。而且在 E x 、 E y 、 E z 、 H x 、 H y 、 H z 六個純量中，僅有兩項是線性獨立的，所以我們只要選用其中兩項來做即可，故我們選擇 H x 、 H y 來做，整理成矩陣形式如下： ∂  2 2 ∇t + k − (ln ε ) y ∂y  ∂  (ln ε ) x ∂y . ∂ ∂x.   H x  Hx  2    = β   H ∂ H y  ∇t 2 + k 2 − (ln ε ) x   y  ∂x . (ln ε ) y. (3-1.1). 根據邊界條件選取適當的基底，帶入矩陣即可化成矩陣特徵值、特徵向量的問題，始能找出波導的常數與場型分佈，在以下各節中有詳細的論述。 24.

(35) 3-2 耦合矩陣方程式推導 3-2-1 電場的耦合矩陣方程式首先，在不均勻材料中(折射率不為定值)，直角座標下的馬克斯威爾方程式（Maxwell equation）可推導成磁場或電場的耦合 Helmholtz 方程式。. ∇×E = −. ∂ B = − jωµ H ∂t. (3-2-1.1). ∇ × E + jωµ H = 0. (3-2-1.2). ∇ × ∇ × E + jωµ (∇ × H ) = 0. (3-2-1.3). 其中. ∇×H =. ∂ D = jωε E ∂t. (3-2-1.4). (3-2-1.3)式化為 ∇ × ∇ × E + jωµ ( jωε E ) = 0. (3-2-1.5). 又在直角座標系統（Cartesian coordinate system）內. ∇ × ∇ × E = ∇( ∇ i E ) − ∇ 2 E. (3-2-1.6). 故(3-2-1.5)式可化為. −∇2 E + ∇(∇i E ) + jωµ ( jωε E ) = 0. (3-2-1.7). 其中. ∇i E ≠ 0 ，且 ∇i E = − E i∇(ln ε ) 將(3-2-1.8)代入(3-2-1.7)可得. 25. <註 3-2-1.1>. (3-2-1.8).

(36) ∇ 2 E + k 2 E + ∇( E i∇ ln ε ) = 0. (3-2-1.9). 將下列算符代入(3-2-1.13)展開，並整理得到(3-2-1.18). ∇=. ∂ ∂ ∂ xˆ + yˆ + zˆ ∂x ∂y ∂z. (3-2-1.10). ∂2 ∂2 ∂2 ∇ = 2+ 2+ 2 ∂x ∂y ∂z. (3-2-1.11). ∇2 = ∇t2 − β 2. (3-2-1.12). ∂2 ∂2 ∇ = 2+ 2 ∂x ∂y. (3-2-1.13). 2. 2 t. (∇ 2 + k 2 ) E + (.   ∂ ∂ ∂ ∂ xˆ + yˆ ) ( E x xˆ + E y yˆ )i( ln ε xˆ + ln ε yˆ )  = 0 ∂x ∂y  ∂x ∂y  (3-2-1.14). (∇t 2 − β 2 + k 2 ) E + (. ∂ ∂ xˆ + yˆ ) ( E x (ln ε ) x + E y (ln ε ) y )  = 0 ∂x ∂y  (3-2-1.15). 化成矩陣的形式<註 3-2-1.2>. ∂  2 2 ∇ + k + (ln ε ) + (ln ε ) t xx x  ∂x  ∂  (ln ε ) xy + (ln ε ) x  ∂y. ∂ ∂x.    Ex   Ex  2   = β   ∂ E Ey  ∇t 2 + k 2 + (ln ε ) yy + (ln ε ) y   y  ∂y  (ln ε ) yx + (ln ε ) y. (3-2-1.16). 3-2-2 磁場的耦合矩陣方程式同理磁場的微分方程式推導，也由馬克斯威爾方程式開始. 26.

(37) ∇ × H = jωε E. (3-2-2.1). ∇ × ∇ × H = jω∇ × (ε E ). (3-2-2.2). ∇(∇i H ) − ∇ 2 H = jω ∇ε × E + ε∇ × E . (3-2-2.3). 其中 ∇i H = 0 ，證明如下由馬克斯威爾方程式可知. ∇i B = 0. (3-2-2.4). 又 B = µ H ， µ 是常數，不隨介質不同而改變. ∇i µ H = 0. (3-2-2.5). ∇i H = 0. (3-2-2.6). 故(3-2-2.3)式化為. −∇ 2 H = jω (∇ε × E ) + jωε (∇ × E ). (3-2-2.7). ∇ × E = − jωµ H. (3-2-2.8). 而其中. 1 jω (∇ε × E ) = jω ( ∇ε × ε E ). ε. 1 = ( ∇ε ) × ( ∇ × H ). ε. = (∇ ln ε ) × (∇ × H ). (3-2-2.9). 代入(3-2-2.7)可得. ∇2 H + k 2 H + (∇ ln ε ) × (∇ × H ) = 0 整理成矩陣形式. 27. (3-2-2.10).

(38) ∂  2 2 k (ln ε ) ∇ + − t y  ∂y  (ln ε ) ∂ x  ∂y. ∂ ∂x.   H x  H x  2   = β   ∂ H H y  ∇t 2 + k 2 − (ln ε ) x   y  ∂x  (ln ε ) y. (3-2-2.11). 3-2-3 二維的矩陣方程式可驗證一維的微分方程式以二維的電場的矩陣來驗證一維的方程式 ∂  2 2 ∇t + k + (ln ε ) xx + (ln ε ) x ∂x  (ln ε ) + (ln ε ) ∂ xy x  ∂y. ∂ ∂x.    Ex   Ex    = β2   ∂ E  Ey  ∇t 2 + k 2 + (ln ε ) yy + (ln ε ) y   y  ∂y  (ln ε ) yx + (ln ε ) y. (3-2-3.1) 因為 ε 只在 x 方向有變化，所以 (ln ε ) y = 0 ;且若為 TE wave，則令 Ex = 0 ，故矩陣(3-2-3.1)剩下. (∇ 2 + k 2 ) E y ( x ) = 0. (3-2-3.2). (∇t2 − β 2 + k 2 ) E yn ( x ) = 0. (3-2-3.3). (. ∂2 + k 2 ) E yn ( x ) = β 2 E yn ( x ) 2 ∂x. (3-2-3.4). ∂2 ( 2 + k02 n 2 ( x )) E yn ( x ) = β 2 E yn ( x ) ∂x. (3-2-3.5). (− k y2 + k02 n 2 ( x)) E yn ( x) = β 2 E yn ( x). (3-2-3.6). 也可由磁場的二維矩陣來驗證 H y ，二維磁場矩陣如下. 28.

(39) ∂  2 2  ∇t + k − (ln ε ) y ∂y  ∂   (ln ε ) x ∂y . ∂ ∂x.   H x  Hx  2    = β   ∂ H H y  ∇t 2 + k 2 − (ln ε ) x   y  ∂x  (ln ε ) y. (3-2-3.7) 因為 ε 只在 x 方向有變化，所以 (ln ε ) y = 0 ;且為 TM wave，所以令 H x = 0 ，故矩陣(3-2-3.7)剩下 (∇t 2 + k 2 − (ln ε ) x. ∂ )H y = β 2H y ∂x. (3-2-3.8). ∂2 ∂ ( 2 + k02n 2 ( x ) − (ln ε ) x ) H yn ( x ) = β 2 H yn ( x ) ∂x ∂x. (3-2-3.9). 得(3-2-3.9)式和一維的 TM mode 的 H y 的微分方程式(2-2-2.18)式相同參考 Akira Ishimaru p61 的結果(3-107)式 ∂2 ∂ 1 ∂ H y + ε ( x) [ H y ] + k02 n 2 ( x ) H y = 0 2 ∂z ∂x ε ( x ) ∂x. 也和(2-2-2.18)式相同. 29. (3-2-3.10).

(40) 3-3 求解波導模態概述在不均勻材料中(折射率不為定值)，直角座標下的 Maxwell. equation 可推導成電場的耦合 Helmholtz 方程式的矩陣形式。 ∂  2 2 ∇t + k + (ln ε ) xx + (ln ε ) x ∂x  ∂  (ln ε ) xy + (ln ε ) x  ∂y. ∂ ∂x.    Ex   Ex    = β2   ∂ E Ey  ∇t 2 + k 2 + (ln ε ) yy + (ln ε ) y   y  ∂y  (ln ε ) yx + (ln ε ) y. (3-3.1) 以及磁場的耦合 Helmholtz 方程式的矩陣形式 ∂  2 2  ∇t + k − (ln ε ) y ∂y  ∂   (ln ε ) x ∂y . ∂ ∂x.   H x  Hx  2    = β   ∂ H H y  ∇t 2 + k 2 − (ln ε ) x   y  ∂x  (ln ε ) y. (3-3.2) 在以下的數值計算模擬，我們選取磁場的耦合方程式來做，因為電場垂直介面的分量在介面上不連續，但是磁場在介質交界面上兩個方向的分量都是連續的<附錄 A >。所以選用磁場來計算模態可省去計算上的複雜度。用簡單正交基底解二維向量介電質波導模態的方法步驟概述如下，首先將(3-3.2)寫成.  L11 L  21. L12   H x  H x  2 = β H  L22   H y   y. (3-3.3). 步驟一：根據邊界條件選取適當基底 φ k ( x、 ) φ l ( y ) 的線性組合來展 H、 x H y ，考慮 H x 分成 x、y 兩個方向的邊界條件來定兩個一維基底. 30.

(41) φxxk ( x、 ) φxyl ( y ) ， H y 同理可令為 N. M. H x = ∑∑ aklφxxk ( x )φxly ( y ). (3-3.4). l =1 k =1 N. M. H y = ∑∑ bklφ yxk ( x )φ yl y ( y ). (3-3.5). l =1 k =1. <註 3-3.1> <註 3-3.2> 步驟二：重新編碼 J = k + (l − 1) M N. M. H x = ∑∑ aklφxxk ( x )φxyl ( y ) l =1 k =1. MN. =. J = k + ( l −1) M. ∑a Φ J. J =1. J x. ( x, y ). J =1,2,. ,MN. k =1,2,.....M l =1,2,......N N. M. H y = ∑∑ bklφ yxk ( x )φ yyl ( y ) l =1 k =1. =. MN. J = k + ( l −1) M. ∑b Φ J. J =1. J y. ( x, y ). J =1,2,. (3-3.6). ,MN. k =1,2,.....M l =1,2,......N. (3-3.7). <註 3-3.3> 步驟三：(3-3.6)、(3-3.7)帶回矩陣(3-3.3).  L11Φ 1x ,  1  L21Φ x ,. , L11Φ MN x , L21Φ MN x. L12 Φ 1y , L22 Φ 1y ,.  Φ 1x , , Φ MN x =β  0  2.  a1      MN MN   , L12 Φ y a    1  , L22 Φ MN y  b     MN   b   a1        a MN  0   Φ y 1 , , Φ y MN   b1     MN   b . (3-3.8). 步驟四：乘以正交函數積分，可化成矩陣特徵值、特徵向量的問題. 31.

(42)   < Φ Ix ∗ | L11Φ x J >      < Φ Iy ∗ | L21Φ x J >   . I∗ J  I  < Φ x | L12 Φ y >    a  = β2    < Φ Iy ∗ | L22 Φ y J >    b  0 . 0 a  I   b . (3-3.9) <註 3-3.4> <註 3-3.5> 最後求解此矩陣方程式的解即可得波導的傳播常數與場型分佈。. 在上述的計算過程中，會遇到幾個關鍵的步驟，首先是訂定波導的邊界。我們以電牆、磁牆<註 1-2.1>來表示，現實中的波導常為連續性的週期結構，不應該在週期間設定邊界；而此處所模擬的波導雖然只有一個週期，但理論上邊界也應該在無窮遠處，故此時所設定的邊界是一種近似的假設，為了方便計算而設計的。因為在導波的模態. (guiding mode)中，場型多半會集中在波核中，在遠離波核的適當位置設定為邊界，並不會和實際情況相差太多，因此本論文做了這個假設。所以，我們才可以選擇滿足此邊界條件與微分條件的簡單正交基底函數形式，代入微分方程式做運算。 y. 外邊界. LB. Lb LA. 對稱性邊界. x. La. {圖 3-3.1}二維波導結構計算區邊界示意圖. 接著為了精簡計算量，所以我們不是整個波導全區來計算，而是 32.

(43) 考量此波導的二維對稱的特性，所以只取四分之一波導{圖 3-3.2}來分析。在 x = LA 、y = LB 是假設的外邊界，在 x 軸與 y 軸上的邊界牆是以對稱性來假設，依照電牆、磁牆的定義，我們可以知道電場、磁場的切線或法線分量在不同牆上的性質與對稱性<附錄 C >。所以，{圖. 3-3.2}的波導，邊界和其所對應的基底函數，即可以依物理意義設定下來，在 3-5 節有詳細的論述或參考<附錄 D >。然而，當我們要完整解出一個波導的低階模態時，需要考慮到各種可能的對稱性，不可有所遺漏。就本文長、寬不相等的矩形波導而言，需要考慮四種不同的對稱性邊界條件才可以完整算出低階模態。這四種不同邊界的情況，我們將在 5-1 節的數值模擬中詳細討論。. 33.

(44) 3-4 磁場耦合矩陣方程式求模態通解：試著求解矩陣方程(3-2-2.11)的特徵值、特徵向量，即可算出波導的傳播常數與場型分佈。在推導的過程中，我們暫不代入滿足邊界條件的基底函數的形式，而是先推導出通解。 ∂  2 2 ∇t + k − (ln ε ) y ∂y  ∂   (ln ε ) x ∂y . ∂ ∂x.   Hx  H x  2   = β   ∂ H H y  ∇t 2 + k 2 − (ln ε ) x   y  ∂x  (ln ε ) y. (3-4.1) 寫成  L11 L  21. Hx  L12   H x  2  H  = β H   L22   y   y. (3-4.2). 同乘以正交函數後積分   < Φ Ix ∗ | L11Φ x J >      < Φ Iy ∗ | L21Φ x J >   . I∗ J  I  < Φ x | L12 Φ y >    a  = β2    < Φ Iy ∗ | L22 Φ y J >    b  0 . 0 a  I   b . (3-4.3) 此時我們令： A11 ( I , J ) = < Φ Ix * | L11Φ x J > . ,. A12 ( I , J ) = < Φ Ix * | L12Φ y J > . A21 ( I , J ) = < Φ Iy * | L21Φ x J > . ,. A22 ( I , J ) =  < Φ Iy * | L22Φ y J > . (3-4.4). λ = β2. 故我們可寫成：  A11 A  21. A12   a  I = λ 0 A22   b  . 0 a  I   b . 其中. 34. (3-4.5).

(45)  Φ1*x L11Φ1x dxdy  ∫ 1  Φ 2* x L11Φ x dxdy ∫ A11 ( I , J ) =    MN * 1  ∫ Φ x L11Φ x dxdy. ∫Φ ∫Φ. L Φ 2x dxdy. 1* x 11. L Φ 2x dxdy. 2* x 11.  L Φ MN x dxdy      MN * MN ∫ Φ x L11Φ x dxdy . ∫Φ. 1* x 11. (3-4.6) A11 ( I , J ) 矩陣中，第 I 行、第 J 列的元素可表示如下 A11 ( I , J ) = ∫ ∫ Φ Ix∗  L11Φ Jx dxdy   ∂ = ∫ ∫ Φ Ix∗ (∇t 2 + k 2 − (ln ε ) y )Φ Jx dxdy ∂y  . 未避免過於複雜，我們將上式分成三個部分 ∇ t 2 、 k 2 、 (ln ε ) y. (3-4.7) ∂ 來討論 ∂y. 第一部份. ∫∫Φ. I∗ x. ∇t 2Φ Jx dxdy.  d2  d2 k = ∫ ∫ φ ( x )φ ( y ) ( 2 + 2 )φxx ( x )φxyl ( y ) dxdy dy  dx  i∗ xx. j∗ xy. = − ∫ ∫ φxxi* ( x )φxyj* ( y )(k xk, x + k xl , y )φxxk ( x )φxyl ( y )dxdy 2. 2. = −  (k xk, x ) 2 + ( k xl , y ) 2  ∫ ∫ φxxi* ( x )φxyj* ( y )φxxk ( x )φxyl ( y )dxdy = −  ( k xk, x )2 + ( k xl , y ) 2  δ ikδ jl. (3-4.8). 第二部分. ∫∫Φ. k Φ Jx dxdy. I* 2 x. b a. = ∫ ∫ Φ Ix k0 2n2 2Φ Jx dxdy + ∫ ∫ Φ Ix k0 2 ( n12 − n2 2 )Φ Jx dxdy ∗. ∗. 0 0. 此處 k 2 = k02 n22 + k02 (n12 − n22 ) [u ( x + a) − u ( x − a) + u ( y + b) − u ( y − b)]. 35.

(46) b a. = k02n22δ ikδ jl + k02 ( n12 − n22 ) ∫ ∫ φxxi* ( x )φxyj* ( y )φxxk ( x )φxyl ( y )dxdy 0 0. a. b. = k n δ δ jl + k ( n − n ) ∫ φ ( x )φ ( x )dx ∫ φxyj* ( y )φxyl ( y )dy 2 2 0 2 ik. 2 0. 2 1. 2 2. i* xx. (3-4.9). k xx. 0. 0. 第三部分 − ∫ ∫ Φ Ix* (ln ε ) y. ∂ J Φ x dxdy ∂y. 其中 (ln ε ) y = ln. ε2 δ ( y − b) [ u( x ) − u( x − a )] <註 3-4.3> ε1. = − ∫ ∫ φxxi* ( x)φxyj* ( y ) ln. ε2 δ ( y − b) [u ( x) − u ( x − a)]φxxk ( x)[φxyl ( y )], y dxdy ε1. a. = − ∫ φxxi* ( x )φxyj* ( y )| 0. y =b. ln. ε2 [u( x) − u( x − a )]φxxk ( x ) φxyl ( y ) , y |y =bdx ε1. ε2 l φ ( y )  | φ j* ( y )| ∫ φxxi* ( x )φxxk ( x )dx y =b ε1  xy  , y y =b xy 0 a. = − ln. (3-4.10). (3-4.11). 即可得知 A11 A11 (i, j , k , l ) = ∫∫ Φ Ix*  L11Φ Jx dxdy   ∂ = ∫∫ Φ Ix* (∇t 2 + k 2 − (ln ε ) y )Φ Jx dxdy ∂y   = − ( k xk, x ) 2 + ( k xl , y ) 2  δ ik δ jl + k02n22δ ikδ jl a. b. + k ( n − n ) ∫ φ ( x )φ ( x )dx ∫ φxyj* ( y )φxyl ( y )dy 2 0. 2 1. 2 2. i* xx. 0. k xx. 0. ε 2 j* φxy ( y )|y =b φxyl ( y )  , y |y =b ∫ φxxi* ( x )φxxk ( x )dx ε1 0 a. − ln. = −  ( k xk, x )2 + ( k xl , y ) 2  OxxA (i, k )OxyB ( j, l ) + k0 2n22OxxA (i, k )OxyB ( j, l ) + k0 2 ( n12 − n2 2 )Oxxa (i, k )Oxyb ( j, l ) − ln. 36. ε 2 j* φ (b)φ 'lxy (b)Oxxa (i, k ) ε1 xy. (3-4.12).

(47) 我們已求出 A11 的通式，接著求 A12 A12 (i, j , k , l ) = ∫∫ Φ Ix*  L12 Φ Jy  dxdy ∂    = ∫∫ Φ Ix*  (ln ε ) y  Φ Jy  dxdy ∂x   .  ε  ∂  = ∫ ∫ φxxi* ( x )φxyj* ( y )  ln 2 δ ( y − b ) [u( x ) − u( x − a )]  φ yxk ( x )φ yyl ( y ) dxdy ∂x   ε1  = ∫∫ ln a. = ∫ ln 0. ε2 δ ( y − b ) [u( x ) − u( x − a )]φxxi* ( x )φxyj* ( y ) φ yxk ( x )  , x φ yyl ( y )dxdy ε1. ε2 [u( x ) − u( x − a )]φxxi* ( x )φxyj* ( y ) |y =b φ yxk ( x ) , x φ yyl ( y ) |y =b dx ε1. ε = ln 2 φxyj* ( y ) |y =b φ yyl ( y ) |y =b ∫ φxxi* ( x ) φ yxk ( x )  dx ,x ε1 0 a. = ln. ε 2 j* φxy (b)φ yyl (b) Dxya , x (i, k ) ε1. (3-4.13). 接著求 A21 A21 (i, j, k , l ) = ∫∫ Φ Iy*  L12 Φ Jx  dxdy  ∂   = ∫∫ Φ Iy*  (ln ε ) x  Φ Jx  dxdy ∂y   .  ε  ∗ ∗ ∂  = ∫ ∫ φ yxi ( x )φ yyj ( y )  ln 2 δ ( x − a ) [u( y ) − u( y − b)]  φxxk ( x )φxyl ( y ) dxdy ∂y   ε1  = ∫∫ ln b. = ∫ ln 0. ε2 δ ( x − a ) [u( y ) − u( y − b)]φ yxi ( x )φ yyj ( y )φxxk ( x ) φxyl ( y )  , y dxdy ε1 ∗. ε2 [u( y ) − u( y − b)]φ yxi ( x ) |x =a φxxk ( x ) |x =a φ yyj ( y ) φxyl ( y ) , y dy ε1 ∗. ∗. ε 2 i* φ ( x ) |x =a φxxk ( x ) |x =a ∫ φ yyj* ( y ) φxyl ( y ) , y dy ε1 yx 0 b. = ln. ∗. 37.

(48) = ln. ε 2 i* φ yx (a )φxxk (a ) D yxb , y ( j, l ) ε1. (3-4.14). 最後求 A22 A22 (i, j, k , l ) = ∫ ∫ Φ Iy*  L22Φ Jy dxdy ∂   = ∫ ∫ Φ Iy*  (∇t 2 + k 2 − (ln ε ) x )Φ Jy dxdy ∂x  . (3-4.15). 未避免過於複雜，我們將上式分成三個部分 ∇ t 2 、 k 2 、 (ln ε ) x. ∂ 來討論 ∂x. 第一部份. ∫∫Φ. I* y. ∇t 2 Φ Jy dxdy.  d2  d2 = ∫ ∫ φ yxi* ( x)φ yyj* ( y ) ( 2 + 2 )φ yxk ( x)φ yyl ( y ) dxdy dy  dx . = − ∫ ∫ φ yxi* ( x)φ yyj* ( y )[(k yk, x ) 2 + (k yl , y ) 2 ]φ yxk ( x)φ yyl ( y )dxdy = − (k yk, x ) 2 + (k yl , y ) 2  ∫ ∫ φ yxi* ( x)φ yyj* ( y )φ yxk ( x)φ yyl ( y )dxdy = −  ( k yk , x ) 2 + ( k yl , y ) 2  δ ik δ jl. (3-4.16). 第二部分. ∫∫Φ. I∗ y. k 2Φ Jy dxdy b a. = ∫ ∫ Φ k n Φ dxdy + ∫ ∫ Φ Iy k0 2 ( n12 − n2 2 )Φ Jy dxdy I∗ 2 2 y 0 2. J y. ∗. 0 0. 此處 k 2 = k02 n22 + k02 (n12 − n22 ) [u ( x + a) − u ( x − a) + u ( y + b) − u ( y − b)]. (3-4.17) b a. = k n δ δ jl + k (n − n ) ∫ ∫ φ yxi* ( x)φ yyj* ( y )φ yxk ( x)φ yyl ( y )dxdy 2 2 0 2 ik. 2 0. 2 1. 2 2. 0 0. a. b. 0. 0. = k02 n22δ ik δ jl + k02 (n12 − n22 ) ∫ φ yxi* ( x)φ yxk ( x)dx ∫ φ yyj* ( y )φ yyl ( y )dy 38. (3-4.18).

(49) 第三部份 − ∫ ∫ Φ Iy* (ln ε ) x. ∂ J Φ y dxdy ∂x. 表示成 (ln ε ) x = ln. ε2 δ ( x − a ) [u ( y ) − u ( y − b) ] ε1. (3-4.19).  ∂   = − ∫ ∫ Φ Iy*  (ln ε ) x  Φ Jy  dxdy ∂x     ε  ∂  = − ∫ ∫ φ yxi* ( x)φ yyj* ( y )  ln 2 δ ( x − a ) [u ( y ) − u ( y − b)]  φ yxk ( x)φ yyl ( y ) dxdy ∂x   ε 1  = − ∫ ∫ φ yxi* ( x)φ yyj* ( y ) ln. ε2 δ ( x − a) [u ( y ) − u ( y − b) ][φ yxk ( x)], x φ yyl ( y )dxdy ε1. b. = − ∫ [φ yxi* ( x)]| φ yyj* ( y ) ln x=a. 0. = − ln. ε2 [u ( y) − u ( y − b)][φ yxk ( x)], x|x=aφ yyl ( y)dy ε1. b ε 2 i* [φ yx ( x)]| [φ yxk ( x)], x | ∫ φ yyj* ( y )φ yyl ( y )dy x =a x =a ε1 0. (3-4.20). 即可得知 A22 A22 (i, j , k , l ) = ∫ ∫ Φ Iy*  L22 Φ Jy dxdy ∂   = ∫ ∫ Φ Iy*  (∇t 2 + k 2 − (ln ε ) x )Φ Jy dxdy ∂x   = −  ( k yk , x ) 2 + ( k yl , y ) 2  δ ik δ jl a. b. + k n δ δ jl + k ( n − n ) ∫ φ ( x )φ ( x )dx ∫ φ yyj* ( y )φ yyl ( y )dy 2 2 0 2 ik. 2 0. 2 1. i* yx. 2 2. k yx. 0. 0. ε 2 i* φ yx ( x ) |x =a φ yxk ( x ) , x |x =a ∫ φ yyj* ( y )φ yyl ( y )dy ε1 0 b. − ln. = −  (k yk , x ) 2 + (k yl , y ) 2  O yxA (i, k )O yyB ( j, l ) a b + k0 2n22O yxA (i, k )O yyB ( j, l ) + k0 2 ( n12 − n2 2 )O yx (i, k )O yy ( j, l ). − ln. ε 2 i* φ ( a )φ 'kyx ( a )O yyb ( j, l ) ε1 yx 39. (3-4.21).

(50) 我們將上面的推導的重點(3-4.5)、(3-4.12)、(3-4.13)、(3-4.14)、(3-4.21) 式歸納整理如下，首先是求解模態的特徵矩陣方程式  A11 A  21. A12   a  I = λ 0 A22   b  . 0 a  I   b . (3-4.22). 此方程式中每一元素的通式整理如下 A11 (i, j , k , l ) = − ( k xk, x ) 2 + ( k xl , y ) 2  δ ik δ jl + k02n22δ ikδ jl a. b. 0. 0. + k02 ( n12 − n22 ) ∫ φxxi* ( x )φxxk ( x )dx ∫ φxyj* ( y )φxyl ( y )dy. ε − ln 2 φxyj* ( y )| φxyl ( y )  | ∫ φxxi* ( x )φxxk ( x )dx , y y =b y =b ε1 0 a. = −  ( k xk, x )2 + ( k xl , y ) 2  OxxA (i, k )OxyB ( j, l ) + k0 2n22OxxA (i, k )OxyB ( j, l ) + k0 2 ( n12 − n2 2 )Oxxa (i, k )Oxyb ( j, l ) − ln. ε 2 j* φxy (b)φ 'lxy (b)Oxxa (i, k ) ε1. (3-4.23). A12 (i, j , k , l ). ε = ln 2 φxyj* ( y ) |y =b φ yyl ( y ) |y =b ∫ φxxi* ( x ) φ yxk ( x )  dx ,x ε1 0 a. = ln. ε 2 j* φxy (b)φ yyl (b) Dxya , x (i, k ) ε1. (3-4.24). A21 (i, j, k , l ) = ln. ε 2 i* φ ( x ) |x =a φxxk ( x ) |x =a ∫ φ yyj* ( y ) φxyl ( y ) , y dy ε1 yx 0. = ln. ε 2 i* φ (a )φxxk (a ) D yxb , y ( j, l ) ε1 yx. b. (3-4.25). A22 (i, j , k , l ). 40.

(51) = −  ( k yk , x ) 2 + ( k yl , y ) 2  δ ik δ jl a. b. + k n δ δ jl + k ( n − n ) ∫ φ ( x )φ ( x )dx ∫ φ yyj* ( y )φ yyl ( y )dy 2 2 0 2 ik. 2 0. 2 1. i* yx. 2 2. k yx. 0. 0. ε 2 i* φ yx ( x ) |x =a φ yxk ( x ) , x |x =a ∫ φ yyj* ( y )φ yyl ( y )dy ε1 0 b. − ln. = −  (k yk , x ) 2 + (k yl , y ) 2  O yxA (i, k )O yyB ( j, l ) a b + k0 2n22O yxA (i, k )O yyB ( j, l ) + k0 2 ( n12 − n2 2 )O yx (i, k )O yy ( j, l ). − ln. ε 2 i* φ ( a )φ 'kyx ( a )O yyb ( j, l ) ε1 yx. 41. (3-4.26).

(52) 3-5. 已定邊界下的基底函數求法圖一為四分之一的波導，首先以一種邊界情況為例子。我們設定. x=LA 與 y=LB 處為電牆，而 x=0 與 y=0 處為磁牆。 y LB. 電牆(EW). 磁牆(MW) 電牆(EW) Lb. x La. 磁牆(MW) LA. {圖 3-5.1}二維波導結構四分之一示意圖 (對稱性邊界 x 磁 y 磁)<註 3-5.1>. 我們想要討論 Ex、 E y 、H x、H y 分別該用什麼正交基底函數來展，這些分量分別要滿足二維的邊界條件，所以都會是 x、y 兩個函數組 ) φ l ( y ) 函數合的形式。首先寫出通式，而現在要分別找到恰當的 φ k ( x、 N. M. E x = ∑∑ aklφxxk ( x )φxyl ( y ) l =1 k =1. MN. =. J = k + ( l −1) M. ∑a. J. J =1. Φ Jx ( x, y ). J =1,2,. ,MN. k =1,2,.....M l =1,2,......N N. M. E y = ∑∑ bklφ yxk ( x )φ yyl ( y ) l =1 k =1. =. MN. J = k + ( l −1) M. ∑b Φ J =1. J. J y. ( x, y ). J =1,2,. (3-5.1). ,MN. k =1,2,.....M l =1,2,......N. (3-5.2). 電場的 x 分量 Ex 需滿足 x、y 方向的邊界條件。就 x 方向而言，在 x=0 處是法電對磁牆的關係；在 x=A 處是法電對電牆的關係。其場的特性為 42.

(53) Ex ( x = 0) = 0. ∂Ex ( x = A) =0 ∂x. (3-5.3). 滿足此邊界條件的正交基底函數選取為 1 ( )π x k − 2 2 sin A A. φxxk ( x ) =. (3-5.4). Ex 也需滿足 y 方向的邊界條件。就 y 方向而言，在 y=0 處是切電對磁. 牆的關係；在 y=B 處是切電對電牆的關係。其場的特性為 ∂Ex ( y = 0) =0 ∂y. (3-5.5). Ex ( y = B) = 0. 滿足此邊界條件的正交基底函數選取為 1 (l − )π y 2 2 cos B B. φxyl ( y ) =. (3-5.6). 所以 1 1 ( ) x ( )π y k − π l − 2 k l 2 2 E x = ∑∑ aklφxx ( x )φxy ( y ) = ∑∑ amn sin A cos B AB l k l =1 k =1 N. M. (3-5.7) 同理，電場的 y 分量 E y 需滿足 x、y 方向的邊界條件，就 x 方向而言，在 x=0 處是切電對磁牆的關係；在 x=A 處是切電對電牆的關係。其場的特性為 ∂E y ( x = 0) ∂x. =0. E y ( x = A) = 0. (3-5.8). 滿足此邊界條件的正交基底函數選取為 φ yxk ( x ) =. 1 ( k − )π x 2 2 cos A A. (3-5.9). 43.

(54) E y 也需滿足 y 方向的邊界條件。就 y 方向而言，在 y=0 處是法電對. 磁牆的關係；在 y=B 處是法電對電牆的關係。其場的特性為 E y ( y = 0) = 0. ∂E y ( y = B) ∂y. (3-5.10). =0. 滿足此邊界條件的正交基底函數選取為 φ yyl ( y ) =. 1 ( )π y l − 2 2 sin B B. (3-5.11). 1 1 (k − )π x (l − )π y 2 2 bmn cos sin ∑∑ A B k l. (3-5.12). 所以 Ey =. 其中. 2 AB. 2 2 、是歸一係數 A B. 電場的分量做完後，以相同的方法作磁場的部分。我將簡化細節描述，直接寫出數學形式 H x ： x 方向邊界條件. 基底函數. y 方向邊界條件. 基底函數. Hx =. ∂H x ( x = 0) =0 ∂x. H x ( x = A) = 0. 1 ( )π x k − 2 2 cos A A. φxxk ( x ) =. H x ( y = 0) = 0. ∂H x ( y = B) =0 ∂y. 1 (l − )π y 2 2 sin B B. φxyl ( y ) =. 1 1 k − π l − ( ) x ( )π y 2 2 2 ∑∑ akl cos A sin B AB k l. 44. (3-5.13). (3-5.14) (3-5.15). (3-5.16). (3-5.17).

(55) H y ： x 方向邊界條件. 基底函數. y 方向邊界條件. 基底函數. Hy =. H y ( x = 0) = 0. φ yxk ( x ) =. φ yyl ( y ) =. ∂x. =0. 1 ( )π x k − 2 2 sin A A. ∂H y ( y = 0) ∂y. ∂H y ( x = A). =0. H y ( y = B) = 0. 1 (l − )π y 2 2 cos B B. 1 1 k − π l − ( ) x ( )π y 2 2 2 ∑∑ bkl sin A cos B AB k l. (3-5.18) (3-5.19) (3-5.20). (3-5.21). (3-5.22). 我們已經成功找出用來展各個分量的基底函數，在 5-1 節中，我們將會以磁場的分量為例，將基底函數帶入運算，並且考慮四種對稱性是如何完整的還原整個波導的場形。其他所有可能組合之不同邊界條件的基底函數詳細列表於<附錄. D >。. 第三章註釋………………………………………………………………………… <註 3-2-1.1> 由馬克斯威爾方程式可知. ∇i D = 0 又 D = ε E ， ε 不是常數，隨介質不同而改變 ∇i(ε E ) = 0. ε∇i E + E i∇ε = 0 1 ∇i E = − E i ( ∇ ε ). ε. ∇i E = − E i∇(ln ε ) <註 3-2-1.2> E x ：代表電場的 x 分量 45.

(56) E y ：代表電場的 y 分量 (ln ε ) x ：括號下標一個 x，代表對 x 的一次微分 (ln ε ) xx ：括號下標兩個 x，代表對 x 的兩次微分 <註 3-3.1>. φxxk ( x ) ：括號 x 表示 x 方向的基底函數，上標 k 表模態的 index，第一個下標 x 表 x 方向分量場. <註 3-3.2>. φxyl ( y ) ：括號 y 表示 y 方向的基底函數，上標 l 表模態的 index，第一個下標 x 表 x 方向分量場. <註 3-3.3> Φ Jx ( x, y ) ：為 x 分量的二維基底，可將其視為兩個一維基底張量積來討論 <註 3-3.4>. I = i + ( j − 1) M. i, k =1,2,.....M. j, l =1,2,......N. <註 3-3.5>  a1. a MN. t a  b MN  =   b . b1. <註 3-4.1>. i, k = 1...M. j, l = 1... N. <註 3-4.2> 括號加下標 ( ) x 或先逗號再取下標 ( ), x，皆表示括號內的函數對下標微分。. O、D 以及其他特殊上下標的定義詳見附錄 B。 <註 3-4.3> (ln ε ) y. 在 y=b 有值在 y=otherwise. b +ε. ∴. ∫ε (ln ε ). b−. b +ε. y. dy = ln ε |. 表示成 (ln ε ) y = ln. b −ε. 為0. = ln ε |( y =b +ε ) − ln ε |( y =b −ε ) = ln ε 2 − ln ε1 = ln. ε2 δ ( y − b) [ u ( x ) − u ( x − a ) ] ε1. <註 3-5.1> x 磁 y 磁：表示 x 軸為磁牆，y 軸為磁牆 x 電 y 磁：表示 x 軸為電牆，y 軸為磁牆。其他同理可得。 46. ε2 ε1.

(57) 第四章. 一維的數值計算結果. 4-1 一維波導的場形圖為了做數值模擬的計算，所以我們以一種邊界情況為例子來討論，分別解出 TE wave 的 E y 與 TM wave 的 H y ，最後並畫出前兩個模態的場型圖。波導的結構如圖所示，我們取外邊界(x=LA)為電牆，對稱性邊界. (x=0)為偶對稱邊界。對求解 TE mode 的 E y 而言，由於在 x=0 處是選取偶對稱性的邊界條件，所以 x=0 處是取為磁牆；對求解的 TM mode 的 H y 而言，由於在 x=0 處也選取偶對稱性的邊界條件，所以 x=0 處是取為電牆。這謹代表奇對稱或偶對稱的單一情形。所以此處解出的第二個模態並不是波導的第二個模態，僅僅是此種對稱條件下的第二個模態而已。. x 外邊界 n2. i. y. n1. 對稱性邊界. z. {圖 4-1.1}一維波導結構計算區邊界示意圖. 4-1-1 解 E y 的場型我們要解的是 TE mode 的 E y ，必須滿足 x 方向的邊界條件，所 47.

(58) 以我們選取基底函數為 1 ( J − )π x 2 2 cos LA LA. φ yJ ( x) =. (4-1-1.1). 代入 E yn ( x ) = ∑ a J φ yJ ( x ) (2-3-1.3)式中將電場以基底函數的線性組合展開，在經過 2-3 節的推導，即可得到特徵矩陣方程式。我們已經在 2-3 節最後推導出特徵方程式的通解形式，所以此處我們只需將基底函數(4-1-1.1)以及正交函數直接代入(2-3-1.11)〜. (2-3-1.13)即可，此三式可重新整理為. [[ B ] + [C ]][a ] = λ [ I ][a ]. (4-1-1.2). LA. BIJ = [ −k + k n ] ∫ Φ Iy ∗Φ Jy dx = [− k y2 + k02n22 ]δ IJ 2 y. 2 2 0 2. (4-1-1.3). 0. La. C IJ = [k02 ( n12 − n22 )] ∫ Φ Iy ∗Φ Jy dx 0. 1 1 La ( I − )π x ( J − )π x 2 2 2 cos cos = [k ( n − n )] dx LA ∫0 LA LA 2 0. 2 1. 2 2. (4-1-1.4). 此時，我們即把(2-3-1.11)〜(2-3-1.13)寫成 Matlab 程式求解特徵值特徵向量。由特徵值可得知每一個模態的傳播常數；由特徵向量可得知線性組合中每一個基底函數的係數，即可以畫出每一個模態的場形。此處我們畫出前兩個模態{圖 4-1.1}。若我們要還原整個波導的場形，則考慮 E y 在 x=0(磁牆)處為切線方向電場，其垂直微分等於零，也就是在此面上 E y 值為最大值。在這. 48.

(59) 種情況下，我們說 E y 為偶對稱。即可將全區的場型以對稱性畫出。. The Ey field for fundamental mode & 2nd mode at ncore=1.5 , ncladding =1 4 Field for beta0 Field for beta1. 3. Field intensity. 2 1 0 -1 -2 -3 -4. 1 Distance from Waveguide center. {圖 4-1-1.1}一維 TE mode 偶對稱之 E y 的前兩個模態場型圖. 4-1-2 解 H y 的場型我們要解的是 TM mode 的 H y ，必須滿足 x 方向的邊界條件，所以我們選取基底函數為 φ yJ ( x ) =. 2 Jπ x cos LA LA. (4-1-2.1). 代入 H yn ( x ) = ∑ bJ φ yJ ( x ) (2-4-1.4)式中將磁場以基底函數的線性組合展開，在經過 2-4 節的推導，即可得到特徵矩陣方程式。我們已經在 2-4 節最後推導出特徵方程式的通解形式，所以此處我們只需將基底函數以及正交函數直接代入(2-4-1.13) ~(2-4-1.16)即可，此三式可重新整理為. 49.

(60) [[ B ] + [C ] + [ D ]]  b  = λ [ I ]  b . (4-1-2.2). LA. BIJ = [ −k y2 + k02n22 ] ∫ Φ Iy ∗Φ Jy dx = [− k y2 + k02n22 ]δ IJ. (4-1-2.3). 0. La. C IJ = [k ( n − n )] ∫ Φ Iy ∗Φ Jy dx 2 0. 2 1. 2 2. 0. 1 1 ( I − )π x ( J − )π x 2 2 2 cos = [k02 ( n12 − n22 )] ∫ cos dx L0 LA LA. (4-1-2.4). La. DIJ = − ln. ε2 I ∗ Φ y ( x ) |x = La [Φ Jy ( x )], x |x = La ε1. (4-1-2.5). 此時，我們即把(2-4-1.13) ~(2-4-1.16)寫成 Matlab 程式求解特徵值特徵向量。由特徵值可得知每一個模態的傳播常數；由特徵向量可得知線性組合中每一個基底函數的係數，即可以畫出每一個模態的場形。此處我們畫出前兩個模態如圖. The Hy field for fundamental mode & 2nd mode at ncore=1.5 , ncladding =1 4 Field for beta0 Field for beta1. 3. Field intensity. 2 1 0 -1 -2 -3 -4. 1 Distance from Waveguide center. {圖 4-1-2.1}一維 TM mode 偶對稱之 H y 的前兩個模態場型圖. 50.

(61) 我們可以從 TM 的場形圖中，可看出在介質交界面上場形斜率不連續，即滿足理論上磁場在不連續介面的邊界條件，場值連續，一階微分不連續，詳細推導於<附錄 A>。. 51.

(62) 4-2 一維數值計算結果我們嘗試改變基底函數的個數 m 與波導的寬度 LA，探討對有效折射率 neff 的精確度的影響。參數定義如下：. m：所取的基底數目 LA：波導的寬度 La：core 的寬度波長 λ ：1.3 參考值：以複雜的精確公式解解出. TE case m=20 LA. neff 1. neff 2. 參考值. m=100 neff 1. neff 2. neff 1. neff 2. 5 1.47473 1.26322 1.47479 1.26383 10 1.47440 1.25830 1.47479 1.26379 20 1.47077 1.04424 1.47476 1.26351 1.47479 1.26383 {表 4-2.1}一維數值計算結果 TE mode. TM case 參考值 m=20 m=100 neff 1 neff 2 neff 1 neff 2 neff 1 neff 2 1.46984 1.22470 1.46962 1.22016 1.46976 1.22592 1.46968 1.22136 1.46533 1.06103 1.46980 1.22368 1.46978 1.22143 {表 4-2.2}一維數值計算結果 TM mode 52.

(63) 由上面的表格可知有效折射率值在 m 值大時較準確，因為基底個數取得較多，當然會比較容易逼近真正的場型；但當 m 值小時，只在 LA 值小時比較準確。若 LA 取的太大，則需要較多的基底函數才夠，如此一來，計算量會變的很大；若基底個數 m 取的少，則會比較不準。若 LA 取太小，則真正場型的衰減會碰到假邊界，基底函數為了滿足邊界條件，會導致所求出的模態的有效折射率也不那麼準確。所以，選取恰當的 LA 與 m 值，始能解出較準確的模態解。. 53.

(64) 第五章. 二維的數值計算結果. 5-1 二維波導的場形圖為了做數值模擬的計算，所以我們以一種邊界情況為例子來討論。第三章中提到我們選擇做磁場的分析，故此處我們以解出 H x、H y 來描述波導的模態與場型。最後並畫出四種對稱性之下前兩個模態的場型圖。. 情況一情況二情況三情況四. Y 軸磁牆. 電牆. 磁牆. 電牆. X 軸磁牆. 電牆. 電牆. 磁牆. {表 5-1.1}二維外邊界為電牆的波導之四種不同的對稱性情況. y LB. y 電牆(EW). LB. 磁牆(MW). 電牆(EW). Lb 0. 電牆(EW). 電牆(EW). La. LA. x. Lb 0. 磁牆(MW). 電牆(EW). La. LA. x. 電牆(EW). {圖 5-1.1}二維波導之四分之一求解象限(x 磁 y 磁). {圖 5-1.2}二維波導之四分之一求解象限(x 電 y 電). 54.

(65) y. y LB. 電牆(EW). LB 電牆(EW). 磁牆(MW). Lb 0. 電牆(EW). Lb. 電牆(EW). La. LA. x. 0. 電牆(EW). La. LA. x. 磁牆(MW). 電牆(EW). {圖 5-1.3}二維波導之四分之一求解象限(x 電 y 磁). {圖 5-1.4}二維波導之四分之一求解象限(x 磁 y 電). 在一種對稱性情況之下，所解出的第二個模態並不是波導的第二個模態，僅僅是此種對稱條件下的第二個模態而已。以情況一為例，對稱性邊界(x=0；y=0)為磁牆，而我們以解 H y 為例子來說明。 H y 在. x=0 處為切線方向的磁場，對於磁牆而言其值為零，所以此處為奇對稱； H y 在 y=0 處為法線方向的磁場，對於磁牆而言應為最大值，也就是重直微分應為零，所以此處是偶對稱。一種對稱情況下所解出的前兩個模態僅僅是此種狀況下的前兩個模態，而非整個波導的前兩個模態。以下分別討論四種不同的對稱情況：. 情況一：四分之一波導的結構如圖所示，假設外邊界(x=LA；y=LB)為電牆，對稱性邊界(x=0；y=0)為磁牆。而我們要解的是磁場的分量 H x 、 H y ，分別都要考慮 x、y 方向的邊界條件。在 3-5 節中的例子即詳細. 55.