矩形介電值波導沒有正解，一般可用數值解法來解，雖然精確但 卻十分複雜。本文用簡單正交基底函數，透過數值積分且為積分正 解，把問題變成矩陣的特徵值、特徵向量問題，且同乘正交函數使矩 陣簡化，並且可依不同極化考慮嚴謹的向量解。
用簡單正交基底函數來展介電值波導模態的方法，每一區有基本 的函數，如此一來，不管是多複雜的波導，在經過邊界條件的定義與 計算後，皆可以有公式解。雖然所用的是直角座標，但此方法可以解 任意的波導結構。以目前最新的個人電腦，使用高階語言(Matlab)，
不需使用特殊的套裝軟體，即可算出矩陣方程式的特徵值、特徵向 量，而且一次可以得到大部分的低階模態解。程式中的積分為純數值 積分，個人電腦計算容易。
本方法缺點是計算量很大，故所取的項數有極限，舉例來說，若
x
、y
方向各取32 項，則矩陣會變成 32*32*2 約是 2000*2000 的矩陣，高速PC (Pentium 4, 2GHz )計算需要數十分鐘的時間。計算量與每一
維基底函數的個數的六次方成正比，如果 x、y 方向各取 50 個模態，
則在做矩陣特徵值與特徵向量的運算時，計算量會很大，速度則會很 慢，需要好幾天的時間。我們知道，本文所用的簡單正交基底並不是 最佳化的基底，其收斂性為有待解決的問題。為此，我們在論文的最
後採用特殊的導波正交基底來討論，我們認為此方法收斂性會優於簡 單正交基底展波導的方法。這個部分，本論文僅止於理論的探討及公 式的推導整理，其數值模擬的部分在另一篇論文有詳細的論述。
參考[10]，我們可以明顯看出收斂性的改善，如此一來，雖然數 值積分的方法變的複雜，但是使用的基底個數少，計算上將大幅減 少，卻能得到相同的精確度。
本文的簡單正交基底方法所解出的傳播常數，和以複雜的橫向耦 合積分方程式所解出的傳播常數比較，約有四〜五位有效數字，而且 模態吻合，故我們認為此方法為可行的解模態的基本方法。
附錄 A 介質界面電場、磁場的連續條件
Normal E
E
n Discontinuous……(1) Continuous……….(5) Parallel EE
t Continuous……….(2) Continuous……….(6) Normal HH
n Continuous……….(3) Continuous……….(7) Parallel HH
t Continuous……….(4) Discontinuous……(8) 3.推導證明：1 2
附錄 B 特殊上下標的定義
*
4.定義 differentiated value 先微分之後再取值 上標：k 表示 x 方向的基底函數的 index
附錄 C 不同邊界下電場、磁場的特性
為了計算所需，定義出磁場與電場的邊界條件，而不同的場量在磁場與電場 上的特性與對稱性整理成表格如下：
電牆 磁牆
函數值 對稱性 函數值 對稱性
E
//E
// = 0 奇對稱E
// 0n
∂ =
∂ 偶對稱
E
⊥E
0n
∂ ⊥ =
∂ 偶對稱
E
⊥= 0 奇對稱H
//H
// 0n
∂ =
∂ 偶對稱
H
// = 0 奇對稱H
⊥H
⊥ = 0 奇對稱H
0n
∂ ⊥
∂ = 偶對稱
附錄 D 不同邊界牆的基底函數詳細表格
以下列出二維矩形波導所有可能的邊界情況下的正交基底函數形式的詳細表格
表二
表三
表四
表五
附錄 E 平板波導特徵方程式推導
cot ( ) tan
當
0 X V < <
時 q 為虛數 q= −j α
參考文獻
[1].Tso-Lun Wu and Hung-Wen Chang, Guiding mode expansion of a TE and TM transverse-mode integral equation for dielectric slab waveguides with an abrupt termination, J. Opt. Soc. Am. A (2001) [2].Tso-Lun Wu and Hung-Wen Chang, Analysis of TE to x and TM to x
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碩士畢業論文,2003
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[9].Likarn Wang and C. S. Hsiao, ”A Matrix Method for Studying TM Modes of Optical Planar Waveguides With Arbitrary Index Profiles”
IEEE Journal of Quantum Electronics, Vol.37,No.12,December 2001 [10].張世明,”精簡正交基底之複雜二維向量介質波導模態解’’ ,國立中山大學光
電工程研究所碩士畢業論文, 2004
中英對照表
homogeneous vector Helmholtz’s equation 齊次的向量赫姆霍茲方程式 homogeneous vector wave equations 齊次向量波方程transverse magnetic mode TM 模態 volume charge density