激子的電子結構與交互作用

(hole picture)，而後者則為電子觀點(electron picture)。而在本文裡的 計算，全都是以電子觀點為主。

根據單能帶的有效質量理論(single band effective mass theory)，描 述電子與重電洞行為的薛丁格方程(Schrodinger equation)可以寫成：

     

其中，

c

_{l,  、hk,}表示電子與電洞的湮滅算符(annihilation operator)，

功用為消滅一個在狀態 l 、帶有自旋   的電子，以及消滅一個在 狀態 k 、帶有 pseudo spin   的電洞。同樣的，

c

_i^_{, 、h}^_{j, 表示電}

子與電洞的創造算符(creation operator)，功用是在狀態 i 產生一個帶 有自旋  的電子，以及在狀態 j 產生一個帶有 pseudo spin  的 其中，e代表電子電量、 代表材料的介電常數(dielectric constant)，

而^

 

^r 如式(2.2.1a)、(2.2.1b)所示，代表電子或電洞在位置r

1 1 1

為指向布拉菲晶格(Bravais lattice)的向量，

為在單位晶胞(unit cell)

的說明激子組態與發光極化的關係。因為電子與重電洞各自的角動量

2.4 電子－電洞的直接庫倫作用

由波函數歸一化條件(normalization condition)可知，Bloch 函數部分的 積分值為一，所以式(2.4.1)變成

       

作用(short-range interaction，SR)，後者則被稱為長程作用(long-range interaction，LR)，如圖(2.5.1)所示，因此電子－電洞的交換作用可以 表示成：

' ' ' ' ,SR ' ' ,LR

ijkl ijkl ijkl

        

文獻[5,7]說明了造成精細結構匹裂的原因：由於自旋激子的不同

當價電帶的 Bloch function 為純重電洞(pure heavy hole)時，式(2.5.4) 的積分結果約等於零，對精細結構匹裂沒有貢獻，所以在此我們只考 態(initial state)與終止態(final state)可以被當成兩個偶極矩，其庫倫作 用等同於式(2.5.6)的積分。

接著，將表(2.2.1)與(2.2.2)所定義的 Bloch function 代入式

稱為 interband dipole matrix element[6,20]，E_p為導電帶與

價電帶間的交互作用能(conduction-valence band interaction energy)，

Eg為導帶與價帶頂端的能隙(energy gap)。

         

第三章：電子與電洞的直接庫倫作用與交換作用

3.1 三維非等向性拋物線位能

由式(2.4.2)與式(2.5.9)可知，想要定量的計算電子與電洞間的直 接庫倫作用以及交換作用，可以先經由有限差分的數值方法得到電子 與電洞的波包函數，再代入式(2.4.2)與式(2.5.9)計算，這需要相當大 的計算量才能得到較可靠的結果[6]。但由於量子點在成長的過程中 磊晶層和覆蓋層或緩衝層間可能發生交互擴散(interdiffusion)以及偏 析作用(segregation)造成分子組成漸變的量子點邊界[9]，因此可以將 量子點內的位能用三維非等向性拋物線位能模型來近似，如圖(3.1.1.) 所示，便可以化簡問題，得到電子－電洞交換作用的解析結果[6,16]。

描述電子或電洞受到三維非等向性拋物線位能作用下的行為，其 漢米頓量如式(3.1.1)所示：

 

2

2 2 2 2 2 2

ˆ 1

ˆ

2 2 ^{x y z}

H P m x y z

m_ ^   

    ， e h/ (3.1.1)

其中，m_^代表電子或電洞的有效質量，而_( x y z, , )表示拋物線侷 限位能在各個方向上的特徵頻率(characteristic frequency)。利用分離 變數法，可解得電子與電洞基態波函數如式(3.1.2a)、(3.1.2b)所示，

可以發現這是高斯函數的形式：

square，rms)的 2倍，如式(3.1.4)所示，可以用來估算電子與電洞的 分布範圍， 如圖(3.1.2)所示。

圖(3.1.2)、用三維非等向性拋物線位能模擬 SAQD 內的基態波函數

在自組式量子點內，由於強烈的量子局限效應，我們可以假設波 包函數^

 

^R 處於最低能態，在本研究中，將使用有限差分法模擬出量 子點電子與電洞的基態波函數後，再代入式(3.1.4)中，就可以計算出 相對應的特徵長度。將使用有限差分法所模擬出來的基態波函數與式 (3.1.1a)、(3.1.1b)作一比較，如圖(3.1.2)所示，發現當波函數集中時，

式(3.1.1a)、(3.1.1b)近似的效果較好。

圖(3.1.2)、有限差分法模擬的基態波函數與高斯函數比較

其中紅線部分為高斯函數，藍線部分則為有限差分法所模擬出來的基態波函數。

量子點形狀為截角金字塔，底部長 Lx=10.5(nm)，寬為 Ly=10(nm)，高為 Lz=1.8(nm)，其餘材料參數請參閱文獻[7]。(本圖由徐燁學弟所完成)

3.2 直接庫倫作用與交換作用解析結果

假設電子與電洞波函數對稱，即l_x^el_x^h l_x、l^e_yl_y^h l_y、l_z^el_z^h l_z， 則可由文獻[21]得到電子－電洞直接庫倫作用解析結果，由於真實的 量子點在xy方向上有些微的不對稱，於是定義l_  l l_{x y} 為電子與電 洞在橫向的平均特徵長度，當量子點的高寬比分別為l l _{z ||} 1、l l _{z ||} 1、

electron envelope function

z(nm)

hole envelope function

z(nm)

|| 1

direct Coulomb interaction (meV)

同樣的，也可以得到長程交換作用的解析結果[7]，如式(3.2.2)

隙(energy gap)、為材料的介電常數(dielectric constant)、E_P為導帶與 價帶間的交互作用能(conduction-valence band interaction energy)，而

y x

 l l 為波函數特徵長度的變形比例(deformation factor)，如圖(3.2.2) 所示。_z為l_z的函數，表示長程交換作用在三維模型時的修正項，

距離也隨之變大，使得交互作用變小，長程交換作用變小。

assume e-h symmetry

lx

assume e-h symmetry

lx

第四章：數值方法

這一章首先介紹本文所使用的數值積分方法，以及驗證所寫的數 值積分程式的準確性，接著利用數值程式探討解析公式的適用範圍，

最後模擬各種不同特徵長度的電子－電洞交互作用。

在此所使用的數值積分方法為矩形法，並且使用 Fortran 來撰寫 程式碼。程式的使用流程圖如圖(4.0.1)所示：首先輸入所需要的波函 數檔案，接著決定積分範圍、材料參數以及每個維度要切割的格點 數，最後本數值程式就可以輸出所需要的積分值。

圖(4.0.1)、數值程式流程圖 波函數，格式：

 

, , , , , x y z  x y z

 

 

積分範圍： Lx 、Ly、Lz

切割點數：n 、_x n_y、n _z

數值積分程式

輸出結果

材料參數：

4.1 數值積分方法原理

 

_{, , 0}

 

且沒效率的，因此將積分上下限設為有限值L_( x y z, , )，再根據問

圖(4.2.1)、高斯函數分布範圍示意圖

接著將波函數分成(1)球型對稱(l_xl_y l_z l₀)、(2)平面旋轉對稱

格點數所需的時間整理，如圖(4.2.2)、(4.2.3)、(4.2.4)所示，可以發現 雖然不考慮奇異點時，數值積分的收斂比較慢，但大約只需半小時，

兩種方式都可以得到滿意的收斂結果。

圖(4.2.2)、直接庫倫積分的收斂分析圖

圖(4.2.3)、直接庫倫積分的誤差比較圖

圖(4.2.4)、直接庫倫積分所需時間整理

針對球型對稱的狀況，圖(4.2.2)、(4.2.3)、(4.2.4)分別為直接庫倫積分的收斂分析、

誤差分析、以及所需的時間整理。其中空心方格為不考慮奇異點的積分結果 (F )，實心方格為完整的積分結果(_N F +F )，不考慮奇異點的積分與完整的積分_{S N} 在每個維度切 50 個格點的時候都收斂至相同的結果，所需的時間大約為半個小 時，使用的機器為國家高速電腦中心的 FORMOSA II pc cluster，使用的編譯器為

gfortran。

在此固定底部的特徵長度l_x l_y  l 5(nm)，再針對不同的l_z與直 接庫倫作用的關係作圖，材料介電常數為 15.1，如圖(4.2.5)所示，

圖(4.2.5)、平面旋轉對稱直接庫倫積分

經由上述的驗證，可以確信數值積分方法是可信的，於是將利用 數值積分式(4.2.10)與(4.2.11)，驗證波函數完全不對稱時解析公式的 適用範圍。

4.3 直接庫倫作用數值驗證

實際上，量子點系統在xy平面上存在著些微的不對稱性，即，

x y

l l ，因此定義l_  l l_{x y} 為橫向平均特徵長度，修改平面旋轉對稱的 解析結果式(4.2.14)為完全不對稱的情形，如式(4.2.15)所示：

徵長度 lx=5(nm)、lz=1.5(nm)，材料的介電常數為 15.1，可以發現，

即使量子點在xy平面有相當大的不對稱性，式(4.2.15)仍然適用。

因此將使用數值方法來驗證長程交換作用式(3.2.2)的適用範圍。使用

對R

圖(4.4.1)、針對不同的長寬比，長程交換作用數值結果與解析結果比較 可以發現，當1 1在 20% 的範圍內是合理的近似。

4.5 直接庫倫作用與長程交換作用數值模擬結果

本節將針對各種不同的特徵長度，進行直接庫倫作用以及長程交 換作用的數值模擬，在此假設電子－電洞的波函數對稱，固定量子點 的長寬比l l_{y x}為 1.05，選定的特徵長度l_x為 2～9(nm)、l_z為 1～3(nm)，

直接庫倫作用使用的材料介電常數為 15.1，而計算長程交換作用的材 料參數請參閱附錄四。

首先來看直接庫倫作用的模擬結果，由圖(4.5.1)可以發現，對自 lx

ly

lx

ly

組式量子點而言，特徵長度l_y的範圍約為 4～5(nm)，l_z的範圍約為 2

～3(nm)[7]，所對應的直接庫倫作用範圍約 15～20(meV)，當固定量 子點底部的長寬時，隨著量子點的高度增加，直接庫倫作用隨之變 小，而對於同一高度的量子點而言，隨著量子點的底部變大，電子－

電洞重疊部分變少，直接庫倫作用也跟著變小。

接著看長程交換作用的模擬結果，由圖(4.5.2)可以發現，當量子 點在 x 軸的長度比較長時，交換作用矩陣元為正值。對自組式量子點 而言，特徵長度l_y的範圍約為 4～5(nm)，l_z的範圍約為 2～3(nm)[7]，

所對應的交換作用範圍約數十個 μeV，由於長程交換作用微觀上可視 為偶極間的交互作用，與距離的三次方成反比，所以對量子點的大小 非常敏感，隨著量子點的尺寸增加，長程交換作用會更快的衰減。

(a)

(b)

圖(4.5.1)、針對不同特徵長度的模擬結果

觀察圖(4.5.1a)、(4.5.1b)可以發現，(1)隨著量子點的尺寸增加，電子－電洞間的 距離也跟著變大，使得直接庫倫作用與長程交換作用都會變小。但由於長程交換 作用微觀上可視為偶極間的交互作用，與距離的三次方成反比，長程交換作用會 更快的衰減。(2)當量子點的 x 軸方向為長軸時，交換作用為正值。(3)對自組式 量子點而言，特徵長度l_y的範圍約為 4～5(nm)，l 的範圍約為 2～3(nm)，所對_z 應的直接庫倫作用與長程交換作用範圍分別為 15～20(meV)與數十 μeV。

第五章：結果與討論

5.1 結論

綜合前面幾章討論的結果，對於電子－電洞間的直接庫倫作用與 交換作用的理論與數值模擬，歸納出以下結論：

(1)、在考慮完整波函數後，電子與電洞在半導體內的直接庫倫作用 仍與在真空中的行為相同，但交換作用因為牽涉到自旋的交互作用，

所以不能忽略 Bloch 函數的影響。

(2)、當量子點的形狀為球形對稱、平面旋轉對稱、甚至三個維度都 不對稱，在三維非等向性拋物線位能下，直接庫倫作用的解析公式都 可以適用。經由理論計算可以得知，當量子點越大時，直接庫倫作用 會變小。

(3)、影響長程交換作用的因素包含了量子點的大小、量子點形狀的 不對稱以及材料特性等，這對調控精細結構匹裂有相當大的幫助。在 數值模擬與理論計算的結果比較後，當量子點的長寬差距在 20%以 內，解析公式都可以給出可信的結果。

5.2 未來展望

這個題目未來可以延伸的方向有二：

(1)、考慮電子與電洞波函數的不對稱性：在本文是假設電子與電洞 的波函數對稱為基礎，推導出直接庫倫作用與長程交換作用的理論公 式，但實際量子點裡的電子與電洞的波函數為不對稱，這對長程交換 作用也會產生影響。

(2)、考慮四能帶模型(four band model)：將輕、重電洞的基底全部考 慮進來，進而推導出新的直接庫倫作用以及交換作用的形式。但當考 慮到輕電洞的基底時，重電洞與輕電洞的混成或是輕電洞與自旋波函 數的不可分離，都可能造成理論推導的困難。

附錄一：直接庫倫作用解析公式推導

1

最後可以得到在三維等向性拋物線模型下，電子－電洞的直接庫 (hypergeometric function)。

接著進一步探討其他的可能性，當量子點的形狀不是完全平面旋

轉對稱，即量子點的長寬比l_y l _x 1時，若l_xl_y，定義：

附錄二：直接庫倫作用的奇異點部份積分

個維度的相鄰格點距離相同，即    x y z的狀況。

圖(A.2.1)、利用數值方法驗證奇異點部份積分結果

可以發現，當積分下限b 0時，數值結果與解析式(A.3.3)的誤差越小。

可以發現，當積分下限b 0時，數值結果與解析式(A.3.3)的誤差越小。

在文檔中 自組式量子點中單一激子的庫倫交互作用 (頁 19-0)