第五章 ：結果與討論
5.2 未來展望
這個題目未來可以延伸的方向有二：
(1)、考慮電子與電洞波函數的不對稱性：在本文是假設電子與電洞 的波函數對稱為基礎，推導出直接庫倫作用與長程交換作用的理論公 式，但實際量子點裡的電子與電洞的波函數為不對稱，這對長程交換 作用也會產生影響。
(2)、考慮四能帶模型(four band model)：將輕、重電洞的基底全部考 慮進來，進而推導出新的直接庫倫作用以及交換作用的形式。但當考 慮到輕電洞的基底時，重電洞與輕電洞的混成或是輕電洞與自旋波函 數的不可分離，都可能造成理論推導的困難。
附錄一：直接庫倫作用解析公式推導
1
最後可以得到在三維等向性拋物線模型下，電子－電洞的直接庫 (hypergeometric function)。
接著進一步探討其他的可能性，當量子點的形狀不是完全平面旋
轉對稱，即量子點的長寬比ly l x 1時，若lxly，定義：
附錄二：直接庫倫作用的奇異點部份積分
個維度的相鄰格點距離相同，即 x y z的狀況。
圖(A.2.1)、利用數值方法驗證奇異點部份積分結果
可以發現，當積分下限b 0時，數值結果與解析式(A.3.3)的誤差越小。
Singular part integral
error=((num-ana)/ana)*100%
integration lower bound b (*10^-4)
0 2 4 6 8 10 12
error (%)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5
s/2=0.1 s/2=0.05 s/2=0.04
附錄三：長程交換作用數值模擬收斂性整理
在本文的 4.5 節裡，進行了長程交換作用的數值模擬，在此將計 算所需的參數整理如表(A.3.1)所示，計算三重積分式(4.4.6)所需的時 間也整理於圖(A.3.1)以供參考，而數值程式收斂性則整理為圖
(A.3.2)、(A.3.3)、(A.3.4)、(A.3.5) 。
quantity unit
bulk band gap Eg 23300 meV
conduction-valence band
interaction energy Ep 670 meV
dielectric constant 14.5
表(A.3.1)、計算長程交換作用所使用的參數 參考文獻[7]
圖(A.3.1)、進行三重積分所需的時間整理
當每個維度都取 5000 點時，所需的時間約 12 小時，使用的機器為國家高速電腦 中心的 FORMOSAII HPC Cluster，CPU 時脈為 2.2GHz
time required for
exchange interaction matrix element
# of grids of each dimension
0 2000 4000 6000 8000 10000
Time (hour)
0 20 40 60 80
圖(A.3.2)、特徵長度 lx=2(nm)、ly=2.1(nm)、lz=1(nm)長程交換作用收斂分析
圖(A.3.3)、特徵長度 lx=2(nm)、ly=2.1(nm)、lz=3(nm)長程交換作用收斂分析 convergence test for
exchange interaction matrix element
lex=lhx=2(nm), ley=lhy=2.1(nm), lez=lhz=1(nm)
# of grids of each dimension
0 2000 4000 6000 8000 10000
exchange interaction matrix element (eV)
-600
convergence test for
exchange interaction matrix element
lex=lhx=2(nm), ley=lhy=2.1(nm), lez=lhz=3(nm)
# of grids of each dimension
0 2000 4000 6000 8000 10000
exchange interaction matrix element (eV)
-300
圖(A.3.4)、特徵長度 lx=8(nm)、ly=8.4(nm)、lz=1(nm)長程交換作用收斂分析
圖(A.3.5)、特徵長度 lx=8(nm)、ly=8.4(nm)、lz=3(nm)長程交換作用收斂分析
convergence test for
exchange interaction matrix element
lex=lhx=8(nm), ley=lhy=8.4(nm), lez=lhz=1(nm)
# of grids of each dimension
0 2000 4000 6000 8000 10000
exchange interaction matrix element (eV)
-30
convergence test for
exchange interaction matrix element
lex=lhx=8(nm), ley=lhy=8.4(nm), lez=lhz=3(nm)
# of grids of each dimension
0 2000 4000 6000 8000 10000
exchange interaction matrix element (eV)
-14
參考文獻：
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