預測編碼
第四節 小波轉換編碼
小波轉換（Wavelet Transform）又簡稱WT，在最近幾年， 一直受到資料壓 縮的重視，也由於在固定的壓縮率下，它的品質甚至優於DCT，所以JPEG2000也 已經採用WT，在小波編碼（wavelet coding）方面，它來自數學研究領域的理論 發展不僅為數位訊號的分析與處理提供了一套新的架構，在影像處理方面也有相 當成功的應用。
我們在前面介紹了非累贅取樣法，它主要應用於一維波形，心電圖波型就是 一個例子，小波轉換就是另一個適應性取樣法，應用於ㄧ維與高維波型上，假設 我們從一個一維訊號中取樣一列：
{ 63,47,15,3 1,55,55,47 ,23 }
x(n)
y = =
我們將這個取樣做平均值、差值轉換，經過四次轉換，得到最後的
（42,-3,16,10,8,-8,0,12）：
63 47 15 31 55 55 47 23 55 23 55 35 8888 ---8-888 0000 1212 1212 39 45 1616 1616 10101010 8888 ---8-888 0000 1212 1212 42 ----3333 1616 1616 10101010 8888 ---8-888 0000 1212 1212
表 2-4-1 平均值、差值轉換表（一）
第一列為八個原取樣，我們將其分為四對：（63,47）、（15,31）、（55,55）、
（47,23），第二列的前四個數值分別為這四對的平均值，第三列的前兩個數值 為第二列前兩對的平均值，第三列前兩個數值的平均值又造就了第四列的第一個 數值，而粗體字的數值，代表了每一對數值與平均值的偏離度，我們把它稱為詳 細係數（detail coefficients），最後所得的平均值42為原取樣的平均值，我 們稱為直流係數，它對原波形的形狀是沒有影響力的，真正影響的是後面的詳細 係數，我們可以藉由這些詳細係數，來判斷波形的活動度，並依據這些數值決定 取樣率的高低，然後做一個逆轉換，我們把最小的詳細係數-3設為零，得到一個 與原取樣接近的重建取樣：
66 50 18 34 52 52 44 20 58 26 52 32 8 -8 0 12 42 42 16 10 8 -8 0 12 42 0 16 10 8 -8 0 12
表 2-4-2 平均值、差值轉換表（二）
如果我們再把詳細係數-8和8也設為零，做逆轉換後得到
（58,58,26,26,52,52,44,20），我們把這些原取樣與重建取樣同時畫在圖上，
以波形方式表示：
0 10 20 30 40 50 60 70 80
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
原波形 重建波形1 重建波形2
圖 2-4-1 小波轉換編碼圖
重建波形1，因為我們把-3設為零，所以我們採用了一個直流係數及五個詳 細係數，而重建波形2，我們只用了四個係數（8及-8設為零），就得到相當接近 的波形，表示我們的轉換是成功的。
我們把比較小的詳細係數設為零後，也意味著取樣的減少，而減少的取樣就 由前一個來填補空缺，如果原取樣不是偶數時，我們只需要補零來加長取樣長 度，而在設定詳細係數時，我們可以先設一個正數為臨界值，只要絕對值小於臨 界值的話便予以刪除接著以零取代之，最後再將唯一的直流係數與其他詳細係數 做編碼的動作就可以還原了。
我們也可以將此方法推廣到二維影像，只要先對列做轉換，接著再對行做轉 換後，得到一個轉換後的矩陣，而左上角的數值為所有取樣的平均值，也就是直 流係數，其餘的轉換值皆為詳細係數，影像中變化較小的部分，其詳細係數一般
都很小，我們可以設一個臨界值將其變為零，同時讓影像達到壓縮的功效，也就 是失真壓縮。
事實上我們只要對轉換方式稍作修改，我們就可以對重建影像做很好的改 善，使其更為人眼所接受，例如，我們只要在算平均值時，原本除以2改為除以
2
，就是一個新的轉換了，而怎麼改才比較好呢？就要視當時情況而定了，而 在做轉換的動作時，一般我們會加上正常化（normalization）的考慮，讓基底 函數正交（orthogonal），使其彼此正交，內積等於零。以上是對小波轉換編碼做一個最初步的介紹，利用一些簡單的數學基礎，就 可以了解小波的原理，相對地，我們也可以以數學理論來設計一些不同的小波，
在資料壓縮的殿堂裡，就有很多種小波，每個小波都有特定的情況（Akansu 1992），對我們而言設計一個新的小波不是最重要的，最重要的是如何設計一個 好的小波編碼程式（戴顯權，民90）。
小波編碼中最成功的應用便是JPEG2000了，並且有取代JPEG的趨勢，連在動 態影像MPEG-4中，也有小波編碼的影子，這都是因為小波編碼可以滿足下列的需 求：（戴顯權，民90）
具有超低位元的壓縮，在位原率低於0.25位元／像素時，JPEG的失真太大。
同時可以做灰階影像和二階影像的壓縮。
我們可以對小區域特別感興趣（Region of Interest，簡稱ROI），只對一 小部份要求以高解析度表示，其餘以低解析度表示，JPEG則不行。
可以依照解析度的高低做漸進式的傳送。