∑
S1
S2
C S
W
輸入狀態變數
索引指標記憶體
實際記憶體
輸出值
期望值 誤差平均分配
_
+
yˆ y
映射 映射
2.3 小腦模型控制器之理論背景
1969 年，Marr 提出小腦皮質（Cerebdlar Cortex）的模型，在 1975 年 Albus 根據 Marr 基本模型發展一套小腦模型（Celebellar Model Articulation Control ; CMAC）的數學模式，由於此模式具有快速學習與一般化的能力，
引發許多不同領域的研究人員對此作深入的研討。目前有關小腦模型應用 方面，用於機械手臂控制，自我學習控制等。
基本上，小腦模型是一種仿效人類小腦皮質分層的架構而來，我們將 小腦皮質層區分三層由外而內，依序為分子層（Molecular Layer）、細胞層、
（Purkinje Cell Layer）及粒狀層（Granular Layer）儲存訊息，小腦利用這 三層儲存在各部份傳入纖維所得訊息，然後由小腦的傳出纖維傳出訊息。
2.3.1 小腦模型控制器基本架構
圖 2-24 小腦模型基本學習架構圖
0 1 2 3 4 5 6 7 8
A B C
D E F
G H I
a c c
b
d e f
g h i
0 1 2 3 4 5 6 7 8
J K L
j k l
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10 28 37 46 55 64 72
Ee Hh
Kk
Bb State(4,4)
S1
S2
19
Q1
Q2
Q3
Q4
小腦模型是仿效人類小腦皮層儲存資料的架構而來，在學習過程中，
必須先行規劃記憶體空間，再依據記憶體內容與期望值之差回饋修正記憶 體內容，達到記憶體內容符合期望值，藉以達到類似人類學習記憶增強之 效果。每一學習參考狀態（reference state）必須量化成數值，並且對應不 同索引指標記憶體，索引記憶體儲存真實記憶體的位址，讀取真實記憶體 內容資料，轉化為一組真實輸出訊號，而輸出信號與期望輸出的差異，回 授到真實記憶體作內容修正調整。如此週而復始直到輸出信號與期望輸出 的差異收斂到一個容許誤差範圍內才完成學習。
小腦模型是一種編碼查表方式得到輸出訊號，具有學習收斂速度，比 類神經網路快，每學習一個樣本時，才影響鄰近真實記憶體內容值。而倒 傳遞類神經網路，再學習一樣本影響整個真實記憶體都要重新學習過，花 費許多時間。
2.3.2 小腦模型控制器記憶體分割
圖 2-25 二維小腦模型記憶體等量分割
每一個變數 s 可以不同方法分解為數個區段（block），每一區段又包含
許多個元素(element)，不同的分區段分割方法，使每一層每一個區段位移 一個或多個元素，以(S ，1 S )狀態變數為例子，每一參考狀態變數都被量2 化成 3 個區段，每一個區段被量化 4 個間隔（元素），分割小腦模型記憶體 單元的劃分，將會影響小腦模型學習結果的普遍能力 ，適當劃分參考狀 態，將會增加 CMAC 模型輸出精確程度，以(S ，1 S )來說明小腦模型如何2 對應到不同的超立方塊及量化層，第一層量化層由{Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，
Bc，Ca，Cb，Cc }，9 個超立方塊所組成，共有四層量化層，每一層有 9 個超立方塊，共有 9＊4＝36 個超立方塊，量化層與超立方塊的關係表如 下所示：
表 2-2 量化層與超立方塊之關係 層 數 超 立 方 塊
第一層(Q )1 Aa Ab Ac Ba Bb Bc Ca Cb Cc 第二層(Q )2 Dd De Df Ed Ee Ef Fd Fe Ff 第三層(Q )3 Gg Gh Gi Hg Hh Hi Ig Ih Ii 第四層(Q )4 Jj Jk Jl Kj Kk Kl Lj Lk Ll
以參考狀態(4,4)為例，該組參考狀態對應第一層量化層超立方塊 Ba 及 第二層量化層 Ee 超立方塊，第三層量化層 Hh 超立方塊，第四層量化層 Kk 超立方塊，對應到 4 個不同超立方塊，映至到第 5，14，23，32 個記憶 單元，Ba 超立方塊對應到參考狀態(4,4) (4,5) (4,6) (4,7) (5,4) (5,5) (5,6) (5,7) (6,4) (6,5) (6,6) (6,7)共 12 個參考狀態，任一組參考狀態(S ，1 S )均會對應2 至每一層量化層之某一個超立方塊。
小腦模型就是將這些超立方塊作為記憶單元的位址，每一個參考狀態 的資料分別放置於四層中，被對應到超立方塊所指的位址，第一層量化層 共有 9 個超立方塊，共有四層超立方體，則超立方塊總數目共為 9＊4＝36 個超立方塊，每一個狀態變數都被量化成 9 個間隔（9 個元素），共有二個 參考狀態，總共有 9＊9＝81 個參考狀態，即需規劃 36 個記憶體空間來儲 存資訊，而小腦模型的架構是利用超立方塊的觀念來儲存資料減少記憶體
空間，達到類化。
2.3.3 小腦模型控制器數學表示法
小腦模型控制器在學習後輸出值，可以使用下列的輸出公式來加以描 述系統狀態，若小腦模型控制器共有 Nq 層的量化層，劃分後形成 Nh 個全 部超立方塊數，則輸出公式為:
[ ] ∑
=
=
=
= Nh
1 j
,
Nh 2 1
Nh , 2
, 1
, s s s j j
s T
s
s a w
w w w a
a a
y a w L M (2-68)
其中 y 為小腦模型控制器在輸入參考狀態s s之輸出值，ast 為索引向 量， w 為真實記憶體之向量，以參考狀態(4,4)為例，每一個參考狀態所對 應的索引向量中，只有第 5，14，23，32 個超立方塊被覆蓋，即只用到第 5，14，23，32 個記憶單元，只有a ，5 a ，14 a ，23 a 被選中設定為 1，其32 餘未被選中設定為 0。
2.3.4 小腦模型控制器學習演算法
小腦模型控制器是使用週期式重覆的學習方式．改變參考狀態對應到 超立方塊．映射到記憶體單元中的資料，達成學習的目的．若有 49 個參 考狀態個數．當作訓練之學習樣本，學習完 49 個學習樣本．稱為一個學 習週期，透過週期式重覆的學習樣本輸入，以改變真實記憶體的內容，經 由多次的學習週期後，能夠使期望值與輸出值之誤差，收斂到容許的誤差 範圍內，就完成學習，可由下列學習演算法來描述：
ws(i) =wsi−1+∆wsi−1
(ˆ ) Ne 1 1 1 1
1
i s T s s s i
s− + − y − − − −
= w α a a w
(2-69)
其中 s 與 s-1 為參考狀態之學習樣本編號，i 為學習週期數， yˆs−1為參
考狀態之學習樣本 s-1 的期望輸出值，α為學習率（learning rate），Ne 為 每一參考狀態所對應之真實記憶體數目．yˆs−1−aTs−1wsi−1為第 s-1 學習樣本之 輸出誤差值。