sx sx if if bx u bx (2-6) 滑動函數可設計為如下： 1 , 2 2 2 1 1 2 1

(1)

∫

a

∫

x1

x2

+ + +

u

1

∫

b

-b

2 ∫

x&

第二章文獻探討

2.1 滑動模式控制理論

2.1.1 滑動模式控制系統理論背景

可變結構系統（Variable Structure Control，VSC），在 50 年代初期，由蘇俄科學家 Emel’yamov 所提出控制理論[19]，應用於非線性時變控制系統[23,24]，被成功應用到控制工程領域[14,18]，它是由改變系統結構，形成許多子結構，而得到自己想要性能的系統，期望初始狀態點

（representative point，簡稱 RP）能依自己所設計控制器，到達滑動面並平穩收斂原點，達到穩定狀態，在設計控制器可區分二階段，一為到達模式，

狀態點可依自己所設計設定的時間內到達滑動線，但易受系統參數變動及外部干擾的影響，在滑動模式由於高度的切換動作造成顫動現象 [20,21,22]，將會使系統產生不想要的高頻成分，甚至造成系統不穩定，當狀態點進入滑動模式時系統動態由滑動模式所掌握，此時系統有降階的功能，並不受參數變動及外部干擾，因此系統具有強健性[25,26,29]。以一個二階線性非時變系統為例，描述滑動模式控制原理，其架構圖如下所示：

圖 2-1 滑動模式控制之二階線性系統方塊圖可列出二階狀態方程式如下所示：

(2)

x1

x2 _漸近線

x1

x2

x u x a x

x 



 

 +



 



 



 



= 



 





1 0 1

1 0

2 1

&

(2-1)





= −

1 1

bx

u bx b>1 (2-2)

令x1 = y，若開關切換至上端，則u= bx₁，轉換成二階線性微分方程式如下： &y&−ay&−(b+1)y=0 (2-3) 假若a=0時，則(2-3)式可區分為兩種不同子結構的方程式如下：

x&&₁ −(b+1)x₁ =0 ,u=bx₁ (2-4) x&&₁ −(−b+1)x₁ =0 ,u=−bx₁ (2-5) 由(2-4)式得知方程式特徵根分別為λ₁ = b+1與λ₂ = − b+1，兩根為一正一負實根，則此系統的相位平面圖為雙曲線，由(2-5)式得知方程式特徵根為λ₁ = −b 1+ i與λ₂ = − −b 1+ i，兩根為共軛虛根，則此系統的相位平面圖為橢圓，如下圖所示：

圖 2-2 u=bx₁ 相位平面圖圖 2-3 u= −bx₁ 相位平面圖

(3)

漸進線漸進線

雙曲線

雙曲線橢圓

滑動線 x2

x1

根據滑動模式控制法則如下：

0 0 ,

,

1 1

≥

<





= −

sx sx if if bx

u bx (2-6)

滑動函數可設計為如下：

1 , ₂

2 2 1 1 2

1

= +

=

=∑

=

c x c x c

x c s

i i

i (2-7)

此二階線性非時變系統，有兩控制器隨著開關上下，而有不同的控制量，開關朝上時，控制量為u= bx₁，相位平面圖為雙曲線，若開關朝下時，

控制量為u=−bx₁，相位平面圖為橢圓，系統被劃分兩個子結構，很難讓系統穩定，能夠適時設計開關時刻，即設計滑動函數的係數之滑動線，系統響應與原先系統有不一樣的結果，若滑動線設計在漸進線下方時，開關朝下，則狀態點由橢圓順滑到滑動線時，即開關改變方向朝上，進入雙曲線，交替變換，狀態點隨者滑動線慢慢趨近原點，如下圖所示：

圖 2-4 滑動線在漸進線下方之相位平面圖

若滑動線設計在漸進線上方時，開關朝下，則狀態點由橢圓順滑到滑

(4)

漸進線漸進線

雙曲線

雙曲線橢圓

滑動線 x2

x1

動線時，即開關改變方向朝上，進入雙曲線，順滑到滑動線時，即開關改變方向朝下，進入橢圓結構，反覆切換系統結構，最後狀態點順著滑動線顫動收斂到原點，如下圖所示：

圖 2-5 滑動線在漸進線上方之相位平面圖

狀態點一旦進入滑動線，並順滑在滑動線上，滑向原點，此稱為滑動模式，狀態點進入滑動模式，不受系統參數變動與外部干擾所影響，系統的動態響應，由滑動線所控制與決定，可由下列滑動函數之微分方程式：

2 0

1

1 + =

=c x x

s (2-8)

1 0

1

1 +c x =

x& (2-9) 求得解：

) ( 1

1

) 1

( )

(t x t_s e ^c ^t ^t^s

x = ⋅ ⁻ ⁻ (2-10)

c 為滑動函數之係數，即為滑動線之斜率，1 t 為狀態點進入滑動模式之時_s 刻。

(5)

滑動線

到達模式滑動模式

初始狀態點

x1

x2

2.1.2 滑動模式控制

初始狀態點，位於相位平面圖中任何一個位置，能夠到達滑動線的過程，稱為到達模式，狀態點在滑動線上顫動直到收斂到原點的過程，稱為滑動模式，如下圖所示：

圖 2-6 相位平面圖

以 n 階線性非時變系統為例，採用單輸入單輸出（SISO），其動態方程式數學模式表示如下：

x d

b Ax x y T

u

= +

=

&

(2-11)

n n n

a a

a  _×











=

L L L L L

L L L L

M M M M M M

L K L

2 1

1 0 0 0

0 0

1 0 0

0 0

1 0

A

n

bn_×













= M M M 0 0

b (2-12)

y是輸出信號，A是受控體之系統參數矩陣，u是控制器輸出值，x∈Rⁿ， R1

u∈ ，y∈R¹，其中 x=[x₁ x₂ L xn₋₁ xn]^T，根據滑動模式控制器之設計步驟，首先選取滑動函數如下：

∑=

+ + +

=

= ⁿ

i

n n i

ix c x c x c x

c s

1

2 2 1

1 L (2-13)

(6)

狀態點

x1

<0 s&

<0 s x2

=0 滑動線s 滑動線上方

滑動線下方

狀態點

>0 s&

>0 s

滑動函數變化率滑動函數變化率

其中c=[c₁ c₂ K cn] 為滑動函數之係數，cn =1，並假設滑動函數s=0 下系統是穩定，可由s&=0推導出等價控制率，將滑動函數一次微分如下：

0 )

( + =

=

= u

s& c &x c Ax b (2-14) cAx

cb) ¹ ( ⁻

−

=

u (2-15) 此時控制率u=u_eq稱為等價控制率，則u 為如下：_eq

cAx cb) ¹ ( ⁻

−

eq =

u , cb ≠0 (2-16) 當系統之狀態點進入滑動模式時，系統狀態方程式成為如下：

x cA cb b A cAx cb

b Ax

x& = − ( )⁻¹ = ( − ( )⁻¹ ) (2-17) 則（A−b(cb)⁻¹cA）矩陣之特徵根必須設計全部落於在s平面之左半平面，

才能保證系統進入滑動模式能使收斂至原點，特徵根的值，取決於

[c₁ c₂ K cn]

=

c 向量之係數，一但系統進入滑動模式時，系統之特性

由滑動函數所控制，狀態點無論在滑動線下方s<0 或在滑動線上方

>0

s ，要到達滑動線需要配合狀態點移動速度變化率的方向，即是滑動函

數變化率s&，才能到達滑動線，如下圖所示：

圖 2-7 狀態點到達滑動線相位平面圖

若狀態點位於滑動線上方s>0，趨使狀態點朝向滑動線s=0移動，則必須使s隨者時間而遞減，並在有限時間內到達滑動線s=0，即是s&<0，同理狀態點位於滑動線下方s<0時，趨使狀態點朝向滑動線 s=0移動，

(7)

則必須使 s隨者時間而遞增，並在有限時間內到達滑動線s=0，即是

>0

s& ，可歸納出狀態點要到達滑動線數學公式，如下所示：

<0 s

s& (2-18) 並可在有限時間內到達滑動線s=0，依 Lyapunov 定理可求得：

_s 2

v= 1 ² (2-19) 欲使能量函數v隨者時間而遞減，而對v一次微分為負值，即為如下：

0 s s

v& = &< (2-20)

由此可知v&<0 呈現遞減收斂函數，則保證系統在有限時間內接觸滑動線，

為符合到達模式條件成立，令指數到達法則如下：

s s s

s&= − − (2-21)

0

2 2 − <

−

= s

s s s

s& (2-22) 可保證到達模式以指數型態到達滑動線，到達模式控制律為∆u^，建構如下：

) (

) ( ¹

s s s u= − −

∆ cb ⁻ (2-23)

到達模式有幾項特性，易受系統參數及外部雜訊干擾影響系統暫態響應。

總控制率u為u 與_eq ∆u^{之和，如下所示：}

u=u_eq +∆u (2-24) )

( ) ( )

( ¹ ¹

s s− s

− +

−

= cb ⁻ cAx cb ⁻ (2-25) 由於滑動函數在相位空間劃分數個子結構，狀態點進入滑動模式時，

在子結構之間滑動面來回穿梭，即開關不斷的切換，並無法停留在滑動面上，此種現象稱為顫動，顫動現象會引起許多不當的高頻雜訊，甚至造成系統不穩定。

(8)

G ^PLANT

r +

_

+ u

e& e

∫

f SMC

y

gT

x

s

+

2.1.3 積分型滑動模式控制器

積分型滑動模式控制器，是積分器結合滑動模式控制器，如下圖所示：

圖 2-8 積分型滑動模式控制器方塊圖系統動態方程式描述如下：

) (t, )

Ä

( + +bu+ f x

= A A x

x& (2-26)

i n

i

i n

T x

y⁼ ⁼ ∑₌ ⁺⁻

1

â 1

x

c (2-27)

, 1

1

= +

= ∑₌ⁿ ⁱ ⁿ

i i

T eG g x g

eG

s g x (2-28) y

r

e&= − (2-29) y是輸出信號， c 是輸出向量為[ ^âⁿ ^ân−¹ ^K ^â² ^â¹]，r是輸入命令值，G積分型控制器之增益， A是受控體之系統參數矩陣，ÄA是受控體之系統參數變動量矩陣， f(t, x)是外部干擾，u是控制器輸出值，（Á,b）為可控制型， x∈Rⁿ，u∈R¹， f ∈R¹，y∈R¹

設計 ISMC 控制器步驟如下：

1.決定控制律

首先，取得滑動函數s，如下：

Tx g Ge

s= + (2-30) 針對滑動函數s，微分一次項，取得s&

(9)

)) (t, )

Ä ((

)

(r y g bu f x G

g e G s

T T

+ + +

+

−

= +

=

x A A x&

&

(2-31)

控制律u可分解如下：

u u

u = _eq +Ä (2-32) ueq稱為等價控制律，在Ä A=0及f(t, x) = 0，條件下，由s&=0，求得：

( ) ^]

[ )

(g^Tb ^-1 − + g^TAx

−

= G r y

u_eq (2-33)

= 1 b

g^T (2-34) u

Ä 稱為到達模式控制律，為保證滑動模式會收斂，Äu建構如下：

) 0 , , (

Ä ₁

1

+ >

−

= ä k

ä s ks s

u (2-35) 帶入(2-31)式可使

ä1

s ks s

s&=− − + (2-36) 保證系統必能收斂。

0

1 2

2 ≤

− +

−

=

= s ä

ks s s s

v & (2-37)

2.決定滑動函數係數與積分器增益

當系統在滑動模式下s=0時，系統將減少一階，系統所有動態行為由滑動函數所控制，下列為滑動模式下數學模型，由s=0時，可得到：

) 1 ( ¹

1

Ge x

g g

x _i

n

i i n

n = − ∑₌⁻ + ⁽^gⁿ ⁼ ¹⁾ (2-38) 在s=0時，滑動模式下x_n的狀態可由g₁x₁,K,x_{n 1}₋ ,G,e等狀態變數所組成。

將(2-38)式代入(2-27)式，得到：

n n

i

i i n n

i

i i n

x x

r

x r

y r e

1 1

1 1 1

1

â â

â

−

=

−

=

−

=

∑

−

= +

−

= − +

&

(10)

â â ( )

1

1 1 1

1

1x g x Ge

r _i

n

i i n

i

i i

n + +

−

= ∑ ∑⁻

=

−

= +

−

g x Ge r

n

i

i i i i

n + + +

−

=∑⁻

= −+ 1

1

1 â ) â

â

( (2-39) 在滑動模式下整個系統動態行為，由下列動態方程式所決定：

r Ge x

g e

Ge x g x

n i

x x

n

i

i i i i n

i n

i i n

i i

+ +

+

−

=

+

−

=

−

=









∑

−

= −+

−

=

− +

1 1

1

1 1

1

â ) â â

(

) (

2) , , 1 (

&

& K

(2-40)

可將寫成矩陣形態為：

br Ax+

=

x& (2-41)

r

e x

x x

G g g

- g - g

G g

g g

e x

x x

n n

n

n n n

n n

n

n n

1 1

1 2 1

1 2 1 1 1

2 2 1

1

1 2

1

1 1 2 1

1 0 0 0

â - â â

â â

â

- -

-

0 0

1 0

0

0 0

0 1

0

×

−

− ×

−

×

− 









 +

























−

=













M M

K K

L L

M M

M M M

M

K K

&

M

&

(2-42)

亦即：

1 1 2 1

×

− 











=

n n

e x

x x

&

M

&

&x (2-43)

(11)

n n n

n n

n

G g g

g g

G g

g A

− ×

−

− 











−

=

1 2 1 1 1

1 2 1

1

1 2

1

â - â â

- â â

- â

- g

- -

0 0

1 0

0

0 0

0 1

0

K K

L L

M M

M M M

M

K K

(2-44)

1 1

0 0 0

 ×















=

n

b M (2-45)

系統的特徵方程式如下：

0 -A = I

s (2-46) 設計上(2-45)式特徵根為負數，則系統保證為收歛穩定系統。亦為下式所示：

1) , 1, ( 0 lim

0

lim = −







→

∞

→

∞

→ i n

e x

t

t i K

&

(2-47)

其中e&為系統的誤差，當時間趨近無限長，則系統的誤差趨近零，整個系

統將是零穩態誤差

將(2-43)式代入(2-45)式可得如下：

G g s g

g g

G g

s g

s

n n

n

1 2

1 1 1

1 2 1

1

1 2

1

â â â

â â

â

g

0 0

1 - s

0

0 0

0 1

-

− +

−

+

=

−

K K

L L

M M

M M M

M

K K A

I (2-48)

(12)

s s

G g

s g

g s s

n n

n 2 1 1

1 2

1

â â â

â

0 0

1 0

0 0

0 1

+ +

−

=

−

K K

L L

M M

M M M M

K K

(2-49)

] s

) [(

- ] )

[(s g_n_-₁ sⁿ ² g_n_-₂sⁿ ³ g₁ G ₁s ₂ sⁿ^-² ₃ ⁿ^-³ _n

s + + + + β +β +β + + β

= ⁻ ⁻ K K

0 )

- ( )

-

( _-₁ β₁ ^-¹ + _-₂ β₁ ^-² + + ₁ β ₁ − β =

+

= n₋ n

n n

n g G s g G s g G s G

s K (2-50)

利用狀態回授及極點配置法，可設計所要的特徵根為_λ₁,_λ₂,K,_λ_n，而特徵方程式為如下：

0

á á

á

) (

) )(

(

2 - n 2 1 - n 1

2 1

=

+ + +

+

=

−

n n

n

s s

s

s s

s

L L λ λ

λ

(2-51)

比較(23)式及(24)式，決定滑動函數係數g₁,g₂,K,g_n與決定積分器增益G 如下：















n n n

n n n- n- n- n-

n n

á á

G á g

á á

G á

g

á á

G á g G á

â â â

â

1 1 1 1

1

2 2 2 2

2

1 1 1 1

1

−

= +

=

−

= +

=

−

= +

=

−

=

−

M

(2-52)

2.1.4 積分型滑動模式控制器之數位模擬與分析

1. 數位模擬

以受控體為三階線性非時變(SISO)系統為例

u y y

y

y ′′′ − 4 ′′ −16 ′ +12 = 以三階為例，狀態方程式如下：

(13)

u x

x x

x x x















 +

































−

=

















1 0 0

4 16 12

1 0 0

0 1 0

3 2 1

&

[ ]

















=

3 2 1

0 0 1

x x x y

y r e&= −

而系統特徵根分別為 0.6593,-2.9114, 6.2521 故系統在開迴路是不穩定因而吾人設計 ISMC 系統其特徵值為-2,-3,-4

0 24 26 9

) 4 )(

3 )(

2 ( -

2

3 + + + =

=

+ + +

=

s s

s

s s s sI A

即得α₁ = 9,α₂ = 26,α₃ = 24,β₁ = 0,β₂ = 0,β₃ = 1便可設計滑動函數之參數值為及積分器之增益值：

24

3

3 = −

β

− α

= G

g₁ = α₂ + Gβ₂ = 26

9

â â â

3 1 1 1 1

2 = á +G = á − áⁿ =

g

g₃ = 1 可選定滑動函數如下：

e x

Ge x g x x

x x

g g

s

3 24

2 1

3 3 2 2 1 1

9

26 + −

=

+ +

=

狀態變數初值

















=

















0 0 0

3 2 1

x x x

) 24 13

42 12

( x₁ x₂ x₃ e u_eq =− + + − &

y r s

s s

u= − − + + − 10 100

Ä

設定r =1，取樣時間 t=0.01 秒，模擬結果，分別如下圖所示：

(14)

0 2 4 6 8 1 0 - 1

- 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 2

t i m e ( s )

system response

x1 x2 x3

0 2 4 6 8 1 0

0

(15)

0 2 4 6 8 1 0 0

0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1

t i m e ( s )

y (output)

0 2 4 6 8 1 0

- 0 . 2 5 - 0 . 2 - 0 . 1 5 - 0 . 1 - 0 . 0 5 0 0 . 0 5 0 . 1

t i m e ( s )

sliding function

(b) 滑動函數響應圖

(c) 輸出時間響應圖圖 2-11 ISMC 之時間響應圖 2. 分析

在模擬過程中，得知可適用於開迴路不穩定系統，由圖 9 可觀察系統各狀態變數時間響應曲線，以狀態變數為系統之輸出值即x1 = y，狀態變數暫態響應曲線無超越量，在有限時間之內，到達穩定狀態，由圖(a)可觀察誤差時間響應曲線，隨著時間增長，而快速收斂至零誤差，由圖(b)可觀察滑動函數時間響應，隨著時間增長，而快速收斂到滑動面^s=0，由圖(c) 可觀察輸出時間響應曲線，系統輸出穩態誤差為零，提升系統暫態響應與

(16)

2.2 模糊理論

2.2.1 模糊理論之背景

模糊理論在 1965 年由美國 Zadeh 查德教授，提出模糊集合的觀念，以模糊邏輯推理仿似人類的思考模式，描述日常生活中的事物，以彌補明確的值來描述事物的缺點。模糊控制理論在 1974 年成功應用於蒸汽機之速度控制上，引發許多不同領域的研究人員對此作深入的研討，並應用最為廣泛，如工業控制與家用電器上，模糊控制理論已應用在人們的日常生活中，在各個領域中，並獲得豐碩的成果。

2.2.2 模糊集合

傳統集合與模糊集合的差異性，在於符號表示方式不盡相同，傳統集 合以 A 表示時，而 (x)

µA 定義為傳統集合 A 的特徵函數，特徵函數只取 0 與 1 兩值敘述集合，也就是 (x)

µA 不是 1 就是 0，模糊集合以

A 表示，而~

) (

~ A x

µ 定義為模糊集合

A 的歸屬函數，歸屬函數以取連續數值敘述集合，~

) (

~ A x

µ 的值是界於[ ]⁰^,¹ ^之間。

模糊集合之表示法如下:

1.連續型歸屬函數表示法

集合的元素是有無限個，則模糊集合

~

A 表示法如下:

∫

= x

x

A ^A

) (

~

µ

(2-53) 2.非連續型歸屬函數表示法

集合的元素是有限個，則模糊集合

A 表示法如下:~