第三章 研究方法
3.3 層級分析法
3.3.4 層級分析法之步驟
層級分析法之操作步驟簡單地說，首先將目標問題做問題的描述，再從 中找出可能的影響因素並建立起層級關係，採用兩兩因素成對比較之方式比 較兩因素之間的優劣程度，並依此建立成對比較矩陣，利用矩陣之特徵值與 特徵向量的計算，求得各屬性與方案之權重值，最後再透過綜合評判的方式 得到最終的方案排序，其重要步驟說明如下。
31
一、問題描述
欲將問題以層級分析法方式運作時，對於問題所處之系統應該儘量 詳加瞭解分析，將可能影響問題之因素均納入問題中，同時決定問題之 主要目標。
二、建立層級架構
在此一階段，必須決定問題之目標以及總目標之各項指標，決定各 指標之評估準則及列入考慮之替代方案，而其評估準則以及方案之產生 可應用腦力激盪法、Delphi 法等。
首先在這個階段中包含了形成問題、確立定義、確立要素和層級三 個步驟。然後將複雜的問題系統化，匯集專家學者及決策者的意見來進 行評估並建構層級架構，此層級為研究架構的骨架，用來探討各要素間 對整體的影響，而層級架構中，每一層級只受上一層級的影響且要素間 互相獨立。同一層級內的要素不超過七個為原則，才能得到較好的一致 性。
三、建立成對比較矩陣
此矩陣是以要素間相對的重要程度來建立。主要是以某一層級下各 要素，以上一層級要素為評估準則下，來進行成對比較。衡量尺度是採 用比率尺度（Ratio Scales）來表示，可劃分為五項：同等重要、稍微重 要、頗為重要、非常重要、絕對重要，再加上另外四個介於兩者間的強 度，共可分為九個尺度，並分別給序1~9 的比重。AHP 評估尺度語意及 說明，請見下表：
表3.2 AHP 評估尺度語意表
評估尺度 定 義 說 明 1 同等重要
（Equal Iimportanace） 兩項計畫的貢獻程度具相同重要性
☉等強 （Equally）
3 稍微重要
（Weak Importanace） 經驗與判斷稍微傾向喜好某一計畫
☉稍強 （Moderately）
5 頗為重要
（Essential Importanace） 經驗與判斷稍微傾向喜好某一計畫
☉頗強 （Strongly）
32
表3.2 AHP 評估尺度語意表（續）
7 非常重要
（Very Strong Iimportanace）
實際顯示非常強烈傾向某一喜好某一 計畫
9 絕對重要
（Absolute Importanace） 有足夠證據肯定絕對喜好某計畫
☉絕強 （Extreamly）
2,4,6,8 相鄰尺度之中間值 （Intermediate Values） 需要折衷值時 資料來源：Saaty【38】
將兩兩因素間進行成對比較，即可得到一成對比較矩陣 A。若有 n 個因素需要比較時，則需進行n(n−1) 2次成對比較，若因素 i 與因素 j 的比值為a ，因成對比較有倒數性質（Reciprocal Property），則要素 jij 與要素 i 的比值即為原來比值的倒數即1a 。同理，成對比較矩陣 A 的ij 下三角形部分，即為上三角形部分的倒數。如下所示：
A= [a ] =ij
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
1 ...
/ 1 / 1
...
...
...
...
1 /
1
...
1
2 1
2 12
1 12
n n
n n
a a
a a
a a
．
．
．
．
．
．
．
．
．
若當因素的權重值已知時，亦可用下列方式來表示之：
A= [a ] =ij
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
1 ...
/ 1 / 1
...
...
...
...
1 /
1
...
1
2 1
2 12
1 12
n n
n n
a a
a a
a a
．
．
．
．
．
．
．
．
． =
...
...
...
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
1 1 1 2 1 n
2 1 2 2 2 n
n 1 n 2 n n
w w w w w w w w w w w w
. . .
. . .
. . .
w w w w w w
33
其中a ＝ij Wi Wj， a =1ji a ，ij W=
[
w w1, 2,...,wn]
T＝1
2
. . .
n
w w
w
⎡ ⎤⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
w ：因素 i 的權重；i = 1,2,3,…, n i
a ：兩兩因素間的比值：i = 1,2,3,…, n, j = 1,2,3,…, n ij
四、計算特徴向量（Eigenvector）和最大特徴值（Eigenvalue）
（一）特徴向量的解法
特徵向量（Eigenvector）或稱優勢向量（Priority Vector）或權 重（Weight），Thomas L. Saaty 提出四種近似法如下：
1.行向量平均值常態化，又稱 ANC 法（Average of Normalized Columns）。首先將各行元素常態化，再將常態化後之各列元素 加總，最後再除以各列元素之個數。
1 1
1 n ij
i n
j
ij i
W a
n = a
=
=
∑
∑
i,j=1,2,Λ ,n2.列向量平均值常態化，又稱 NRA 法（Normalization of the Row Average）。將各列元素加總後，再進行常態化。
1
1 1
n ij j
i n n
ij
i j
a W
a
=
= =
=
∑
∑ ∑
i,j=1,2,Λ ,n3.列向量幾何平均值常態化，又稱 NGM 法（Normalization of the Geometric Mean of the Rows）。將各列元素相乘後取其幾何平均 數，再進行常態化求得。
（3.3）
（3.4）
34
1
1
1
1 1
n n
ij j i
n
n n
ij
i j
a W
a
=
= =
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∏
∑ ∏
n j
i, =1,2,Λ ,
4.行向量和倒數標準化。將各行元素予以加總，再求其倒數進行常 態化。
1
1 1
1
1
n ij i i
n n j
ij i
a W
a
=
=
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= ⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
∑ ∑
i,j=1,2,Λ ,n
※ 在實務上是採用前三種方法，其中又以第三種（NGM 法）最常被使用。
（二）最大特徴值（λmax）的計算
將成對比較矩陣 A 乘以所求出的特徵向量 W，可得到新的特 徴向量W ′，W ′的每一向量值分別除以對應原向量 W 之向量值，
最後將所求出的各數值求其算數平均數，即可求出λmax。
W W
A × = λ
max×
=
×W A
...
...
...
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
1 1 1 2 1 n
2 1 2 2 2 n
n 1 n 2 n n
w w w w w w w w w w w w
. . .
. . .
. . .
w w w w w w
×
1
2
. . .
n
W W
W
⎡ ⎤⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
＝
1 2
' ' . . .
'n W W
W
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
（3.5）
（3.6）
（3.7）
35
λmax＝ 1 2
1 2 1
'
' '
1 ... n
n
W
W W
n W W W
⎛ ⎞
+ +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
五、一致性檢定
為了要求客觀且較準確的評估，所以必須要求一致性的檢定。此檢 定是利用一致性指標（Consistency Index, C.I.）及一致性比率（Consistency Ratio, C.R.）來計算，而 Saaty【38】建議當 C.I.≤ 0.1 時，為最佳可接受 之誤差，若 C.I.≤ 0.2 時，亦為可接受之誤差。一致性指標定義之公式如 下：
C.I. = max 1
n n λ −
− （3.8）
其中 n：評估要素的個數
而每個成對比較矩陣可依階數 n 來對應隨機指標值（Random Index, R.I.）。AHP 一致性檢定之隨機指標表，請見下表 3.3：
表3.3 隨機指標表
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
R.I. 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 1.48 1.56 1.57 1.59
資料來源：Saaty【38】
一致性比率定義之公式如下：
C.R. = . . . . C I
R I
（若 C.R.≤ 0.1，表示矩陣的具有一致性，即為可接受之矩陣）
以上所述為單一層級的一致性計算，若層級數大於 1 時，則需求出 整體層級的一致性指標（C.I.H）及一致性比率（C.R.H）。公式如下：
C.R.H= . . . . C I H R I H
（3.9）
（3.10）
36
其中：C.I.H=
∑
（每一層級的優先向量）*（每一層級 C.I.值）R.I.H=
∑
（每一層級的優先向量）*（每一層級 R.I.值）（若 C.R.H ≤ 0.1，表示整體層級矩陣具一致性，即為可接受之矩陣）
六、計算方案的優先順序
將每一層級特徵向量（eigenvector）對應上一層級之特徵向量相乘，
求得每一層級的整體權重值（綜合特徵向量），此為最底層各方案對目 標的優先值，讓決策者了解評估結果優先順序來下決策。
37
圖3.3 AHP 法流程圖
資料來源：鄧振源，曾國雄【25、26】
規劃群體 問題描述
影響要素分析
建立層級結構
問卷設計
決策群體
建立成對比較矩陣
求取各層級 C.I.綜合值
決策群體
求取一致性指標
替代方案加權平均
替代方案之選擇 問卷填寫
計算特徵值與特徵向量
求取 H.C.R.值 C.R.< 0.1
H.C.R. < 0.1 是
是
否 否
38
七、層級分析法的優缺點
（一）優點：
1.理論簡單，使用容易且具系統性，在實務上已被廣泛應用。
2.將相關準則的因素納入評估架構中，讓評估更容易可行，且能 具體的表示出各因素優先順序。
3.因將相關評估因素納入具系統完整的層級架構中，可清楚的知 道不佳處，來做為之後的改善。
（二）缺點：
1.傳統 AHP 是用來解決固定精確的問題，對於不精確的問題來評 估往往與現實情況有所差異。
2.要素方案的評估往往是用較主觀的方式來給定因素間的重要 性，不夠客觀。
3.層級數過多，影響評估品質。