層級程序分析法

在決策的過程中，由於周遭的環境充滿了不確定性，因此會 使得覺得的過程更為複雜，因此在決策分析的領域中，最常使用 的方式就是透過系統化來分析問題，在依照所排列的優先順序來 決定最適的方案，在這類的決策分析中，最受歡迎的便是於1971 年所發展出來的層級程序分析法（Analytic Hierarchy Process，

AHP）

，以下便針對層級程序分析法做更詳細的介紹。

一、層級程序分析法之起源與內涵

層級程序分析法（Analytic Hierarchy Process，AHP）是結 合定性與定量的一種多目標決策方法，由匹茲堡大學教授Saaty 在1971年所發展出來的，利用組織式架構，同時建立具有相互影 響關係的層級結構，並在這個結構下進行影響因素重要性的比 較，及替選方案評估。【39】層級程序分析法之目的是要將錯綜 複雜的問題系統化，並把各個問題的各個評估面與以層級化，並 用層級分解劃分成不同階層，以進行兩兩比較。層級程序分析法 除了可以應用在決策問題，更可以應用在分析過程上，依Saaty

【77】的經驗，AHP主要可以應用在下列十二種類型問題上：

（一）決定優先順序（setting priorities）

（二）產生替代方案（generating a set of alternatives）

（三）選擇最佳方案（choosing a best policy alternatives）

（四）決定需求（determining requirements）

（五）資源分配（allocating resources）

（六）預測結果與風險評估（predicting outcomes/risk assessment）

（七）績效衡量（measuring performance）

（八）系統設計（designing system）

（九）確保系統穩定（ensuring system stability）

（十）最佳化（optimization）

（十一）規劃（planning）

（十二）解決衝突（resolving conflict）

AHP方法的基本假設，主要包括下列九項【30】 :

（一）一個系統可被分解成許多種類(classes)或成分

(components)，並形成具有方向性的網路層級結構。

（二）層級結構中每一層級的要素均假設具獨立性 (independence)。

（三）每一階層內的要素，可以用上一層級內某些或所有要素作 為評準，進行評估。

（四）比較評估時，可將絕對數值尺度轉換成比例尺度(ratio scale)。

（五）成對比較(pairwise comparison)後，可使用正倒值矩陣 (positive reciprocal matrix)處理。

（六）偏好關係滿足遞移性(transitivity)。不僅優劣關係滿足遞移 性(A優於B，B優於C，則A優於C)，同時強度關係也滿足 遞移性(A優於B二倍，B優於C三倍，則A優於C六倍)。

（七）完全具遞移性不容易，因此容許不具遞移性存在，但需測 試其一致性(consistency)的程度。

（八）要素的優劣程度，經由加權法則(weighting principle)而求 得。

（九）任何要素只要出現在階層結構中，不論其優劣程度是如何 小，均被認為與整個評估結構有關，而並非檢核階層結構 的獨立性。

Vargas【81】提出應用AHP方法之前，其分析元素與層級必 須有以下幾點性質：

（一）對照特性：決策者進行兩兩比較時，對於元素偏好度必須 滿足倒數性質，例如：A比B的偏好程度是3倍，則B比A 的偏好程度為1/3倍。

（二）同質性：元素的比較必須有意義，並且是在一個合理的評 量尺度內。

（三）獨立性：元素之間的比較必須假設互相獨立。

（四）預期性：為使決策目標完成，關係階層必須被完整的描述，

建構關係階層集相關準則必須完整不能有所遺漏或忽略。

整個層級是由目標、準則、次準則及評比之替代方案所構 成，層級數目端視問題的性質及分析深度而定，而每層級的項 目，根據Saaty【77】的研究，在同一層級內的成對比較評估要 素，以不超過七個為限。當層級建構好之後，各層級必須以上一 個層級的準則或目標作為評估基準，進行要素間的成對比較，進

行比較時，依Saaty & Vargas建議採用九個名目評分尺度，這些 評分尺度是由五個語意細分，其詳細說明如下：

表3.4 AHP評估尺度 評估

尺度 定義 定義相對強度

1 同等重要（equal importance） 等強（equal strong）

3 稍微重要（weak importance） 稍強（moderate strong）

5 重要（essential or strong importance）頗強（strong）

7 很重要（demonstrated importance） 極強（very strong）

9 非常重要（absolute importance） 絕強（absolute strong）

2、4、

6、8 重要性介於上述數值中相鄰兩評點之間

二、層級程序分析法之特性

Saaty【77】提出AHP具有以下幾點特色：

（一）當上層級個因子的優先順序發生變動時，將會使下一層級 個因子之優先順序受到影響。

（二）上一層級個因子的目的與功能為下一層級各因子的限制條 件。

（三）分析層級結構內各階層中各因子的做法，比較直接評估整 個系統來的有效率。

（四）層級結構具有相當的彈性易於擴張且穩定。

Saaty【78】提出AHP具有以下幾點優點：

（一）提供一個有意義的整合系統，將複雜的系統轉化成簡單的 成分。

（二）清楚的說明上一層內各因子的優先權重發生變動時，將如

何清楚的影響下一層級內各因子的優先權重。

（三）將元素分成不同層級的集合，使其更易於評估，此方法比 直接評估整體系統有效率。

（四）詳細的劃分整個系統的層級結構，以便深入的瞭解層級結 構的目標。

（五）發展自然系統以層級的方式是相當方便有效的。

（六）層級具有可靠性及彈性，就是局部影響不會影響整體結構。

（七）對於人類的認知而言，層級式的關係容易被接受的，因此 具備易於溝通的特色。

三、層級程序分析法之限制

AHP的用途雖廣但仍有其運用上的限制，一般說AHP在下面 所述之四種狀況下是無法使用的：【38】

（一）有許多的評估基準但無彼此共通之尺度時。

（二）價值判斷無法或難以數值化。

（三）在無資料或難以取得資料環境下做決策時。

（四）在制定前設定各種情況預測決策制定之影響力。

通常人們在表達比較結果時，往往以大約多少或大概在那 一個範圍的方式來表達出來。所以，在探討AHP法時，採區間 估算法以區間方式陳列成對比較矩陣較為合適。然後再透過隨 機變數來處理成對比較所隱含的不確定性找出具不偏性及變 異數最小的決策屬性之相對權重估計式，並結合統計檢定程

序，來檢測成對比較矩陣的一致性。

四、層級程序分析法之使用程序與執行步驟

在層級程序法之使用程序與執行步驟部分，本研究針對層級 程 序 法 之 使 用 程 序 以 及 用 於 大 學 教育 評 鑑 上 之 執 行 步 驟 做 一 詳 細之說明，說明如下：

（一）層級程序分析法之使用程序【30】：

1.對於問題的描述：首先先決定所設定的目標，再進一步的 分析問題。

2.建立層級結構：AHP的特色就是在於將複雜的問題簡化為 易懂的層級結構，分析層級群組時應注意以下幾點：

a.最高層級代表評估的最終目標

b.盡量將重要性相近的要素放在同一層級

c.層級內的要素不宜太多，依Saaty【77】建議最好不要超 過七個，超出者可以在分層解決，以免影響層級的一致 性。

d.層級內各要素，須具備獨立性，若有相依性（Dependence）

存在時，可先將獨立性與相依性各自分析，再將兩者合 併分析。

e.最低層級的要素即為替代方案。

典型的AHP架構如圖3.3所示：

上圖為AHP的完整層級，但實際應用時常將典型關係加 以修改成為具有部分因果關係的層級結構，如圖3.4所示：

最終目標

目標 1 目標 2 目標 3

方案一 方案二 方案三

圖 3.3 AHP 完整層級架構圖

次目標 1-1

...

次目標 1-n1 次目標 2-1

...

次目標 2-n2 次目標 3-1

...

次目標 1-n3

最終目標

目標 1 目標 2 目標 3

次目標 1-1

...

次目標 1-n1 ^{次目標 2-1}

...

^{次目標 2-n2} 次目標 3-1

...

次目標 1-n3

圖 3.4 部分關係之 AHP 層級架構圖

3.建立成對比較矩陣：層級完成後，對同一層進行兩兩比較後建 立成對矩陣。假設層級內的要素為

A

₁,

A

₂ ⋅⋅⋅,

A

_n，其每一要素的權 重為

w

₁,

w

₂⋅⋅⋅,

w

_n，以此建立成對比較矩陣，矩陣每一列是由單一 要素的權重相對於其他要素的權重之比例所對應而成，A_i與

A

_j 的相對重要度以

a

_ij表示，以要素

A

₁,

A

₂⋅⋅⋅,

A

_n的成對矩陣比較矩陣 為

A = [ ] a

ij ，若

w

₁,

w

₂ ⋅⋅⋅,

w

_n為以知，則成對比較矩陣

A = [ ] a

ij 可寫成 公式（3.1）、（3.2）表示【39】：

其中

j i

ij

w

a = w

，

i j

ji

w

a = w

，

i , j = 1 , 2 ,..., n

4.找出最大特徵向量與特徵值：根據成對矩陣可以找出最大特徵 值所對應的特徵向量。將成對比較矩陣

A

乘以各準則權重所構 成的向量

w

：

w = ( w

₁

, w

₂

, ⋅ ⋅⋅ , w

_n

)

^T，公式如下：

[ ]

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

=

n n n

n

n n

ij

w w w

w w

w

w w w

w w

w

w w w

w w

w

a A

2 1

2 2

2 1

2

1 2

1 1

1

（3.1）

（3.2）

上式（3.3）表示，成對矩陣

A

乘上

w

等於n乘以

w

的值。

即

A w = n w

。

n即為

A

的特徵值，

w

為成對矩陣

A

所對應於特徵值的特徵向 量。成對矩陣具有以下幾點特質【42】：

a.矩陣

A

對稱元素相互間互為倒數關係，即

ij

ij

a

a = 1

。

b.矩陣

A

的所有元素均為正值，且滿足

ij

ij

a

a = 1

，則稱為正倒

值矩陣（Positive reciprocal matrix）。

c.成對比較矩陣

A

的秩（Rank）為1。因為每一列皆是第一列 的 常 數 倍 ， 所 以 其 特 徵 值 λ1

(

ⁱ=^1,2,3,...,n

)

中 ， 只 有 一 個 為 非 零，其餘均為零，而非零的特徵值以λ 表示。 _max

d.矩陣

A

具有正的特徵值，其中最大的特徵值為λ ，其所對_max 應的特徵向量元素也都是正值。

e.矩陣

A

的對角線和為

n

。從特徵值的特性得知特徵值的和也

[ ]

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎣

⎡

⋅

⋅

=

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎣

⎡

⋅

⋅

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

=

=

n n

n n n

n

n n

ij

w w w

n

w w w

w w w

w w

w

w w w

w w

w

w w w

w w

w

a w

A

2 1 2

1

2 1

2 2

2 1

2

1 2

1 1

1

（3.3）

為

n

， 故 λ_max

= n

， 所 以 決 策 的 判 斷 前 後 若 具 有 一 致 性

（consistence），其特徵值必須等於

n

。

5.求取特徵值：實際進行成對比較時，由於

a

_ij是由主觀而得，

因此與實際的

j i

w

w

有差距，

j i

ij

w

a ≈ w

。當

a

_ij有微量變動時，特

徵值也會跟著變動，當特徵值不再等於

n

時，

λ

_max還是主要 的特徵值，並且非常接近理論權重時的特徵值。即λ 取代_max

n，公式如下：

w w

A

=

λ

_max × 求算最大特徵值λ 的步驟如下： _max

a.將成對比較矩陣

A

乘以已求得之特徵向量

w

，將得到一個 新的向量

w '

，公式如下：

'

w w

A

=

b.將

w '

之每一向量值分別對應除以原

w

之每一向量值，再將 所得的所以數值相加起來求算數平均數，即可求得

λ ，公式如下： max

（3.4）

（3.5）

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎣

⎡

⋅

= ⋅

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎣

⎡

⋅

⋅

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎥ ⎥

⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎢ ⎢

⎢

⎣

⎡

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

' ' 2 ' 1 2

1

2 1

2 2

2 1

2

1 2

1 1

1

n n n

n n

n

n n

w w w

w w w

w w w

w w

w

w w w

w w

w

w w w

w w

w

（3.6）

6.一致性檢定：當特徵值不等於n時，

λ

_max與n的差異可作為判 斷一致性高低的評量標準，利用

( λ

_max −

n )

的值可以看出不一 致的結果【77】。因此，AHP利用一致性指標（Consistency Index， C.I.）與一致性比率（Consistency Ratio，C.R.）來

衡 量 成 對 比 較 矩 陣 的 一 致 性 ， 以 便 對 不 合 理 的 評 估 值 做 修 正。其公式如下：

. .

. . .

. R I

I R C C =

當

C . I . = 0

時 表 示 評 估 者 前 後 判 斷 完 全 具 有 一 致 性 ， 而

1

. 0 . . I ≤

C

時表示誤差在可接受範圍內。

C.I.之算式如上式（3.8），R.I值稱為隨機指標，是從評估尺 度1~9所產生的正倒值矩陣，在不同的階數（Order）下所產 生的，其說明如下：

表3.5 隨機指標表 階

數

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

R.I. 0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 1.48 1.56 1.57 1.58 若

C . R . ≤ 0 . 1

時，則矩陣的一致性是可以接受的。

⎟⎟ ⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ + + ⋅ ⋅ ⋅ +

=

n n

w w w

w w w n

'

1 ' 2 1

' 1 max

λ

1

（3.7）

. 1

.

^max

−

= − n I n

C

λ

（3.8）

（3.9）

（二）層級程序分析法用於大學教育評鑑之執行步驟：

在此以大學系所評鑑為例，大學系所評鑑的單位繁多，

此時較適用部份的AHP層級架構，也就是針對評鑑構面與指 標進行兩兩比較得知其相對重要性，進而得到各項構面與指 標之權重，因此以下之使用程序是以部份AHP層級架構的方 式表述。

1. 確立學系發展的目標：首先先確立學系所要發展的目標與 願景

2. 可由單位主管遴選相關之評鑑委員，例如：系所評鑑可遴 選各院代表，如各院院長及系所主任。

3. 建立層級架構：

（1）根據過去相關研究及前述之一般情況下之使用程序 準則，擬定初步的層級架構。

（2）依照初步之層級架構擬定問卷，由評鑑委員填寫問 卷，確立此層級架構。當中包含封閉式與開放式問 答，封閉式問答主要是確定各層級指標項目是否應 納入評鑑項目，開放式問答主要是希望評鑑委員提 供哪些層級指標項目是重要但未納入評鑑項目。

在文檔中 中 華 大 學 (頁 48-64)