資料包絡分析法

從系統的觀點來看，教育是一種投入、過程、產出的運作過 程，需要不斷的資源投入，以創造價值。而資料包絡分析法則是 針對非營利組織的特性，採用多元投入與多元產出的角度，以經 濟學的定義來衡量組織的相對效率，且無需事先預設生產函數，

因此以下便針對資料包絡分析法做更詳細的介紹。

一、資料包絡分析法之起源與內涵

Farrell【55】提出以「非預設生產函數」代替「預設生產函 數」來預估效率值，奠定了資料包絡分析法的理論基礎。他並提 出了三個主要的基本假設：【14】

（一）生產前緣（production frontier）是由最有效率的單位構 成，較無效率的單位皆在此邊緣之下。

（二）固定規模報酬（constant returns to scale，CRS）增加一 單位的投入，可以得到等比例之產出。

（三）生產邊界是突向（convex）原點，每點之斜率皆為負值。

利用實際被評估單位與效率前緣的相對關係求出被評估單 位的效率值，衡量出的效率稱為技術效率（Technical Efficiency，

TE），所謂技術效率是指企業在現有的技術上，以一定水準投入

項目所能產生的最大可能產出。落在生產前緣上的被評估單位，

則稱為有效率單位，其效率值為1。若再考慮成本函數之項目價 格比，則可求算出價格效率（Price Efficiency，PE），價格效率是 指在既定的價格比率與技術效率下，投入項目之成本為所有項目 組合中之最低，同時達到技術效率與價格效率則稱為總效率

（overall Efficiency，OE），總效率為技術效率與價格效率之乘 積，即OE=TE×PE。由下圖說明此三種效率之關係，假設使用二 項投入

X

₁、

X

₂，一項產出

Y

，II 為滿足技術效率的等產量曲線^'

（isoquant），表示一生產單位

Y

所需要

X

₁

− X

₂的最小可能生產組 合，另假設

X

₁

− X

₂價格比固定（KK 斜率表示）的情形下，此時^'

C

點之技術效率為OB/OC，價格效率為OA/OB，總效率（OE）

=OA/OC，即總效率為技術效率與價格效率的乘積，如圖3.6所

示：

OA OC ( OB OC ) ( OA OB )

PE TE OE

/ /

/ = ×

×

=

A

B

C I

I’

D K

K’

X1/Y X2/Y

0

圖 3.6 Farrell 效率前緣

由圖3.6來看，如果想要改善C點的技術效率值，在同樣產出 之下必須減少投入，使原投入組合點由C點移至B點，此時該決 策單位在技術上有效率，但在價格上無效率；為有將投入組合點 由B點移至D點，才可滿足技術效率與價格效率最大。

Farrell的 研 究 建 立 了 DEA非 預 設 生 產 函 數 方 式 衡 量 效 率 的 雛 型 ， 但 其 只 能 處 理 之 問 題 仍 限 於 單 一 產 出 的 情 況 。 直 到 Charnes、Cooper & Rhodes【49】於1978年依據Farrell【55】之 效率衡量觀念，建立了一般化之數學模式，發展了一種用來評估 多項投入多項產出的相對效率值，稱之為CCR模式，CCR模式成 為 資 料 包 絡 分 析 法 之 最 初 模 式 。 CCR 模 式 採 用 固 定 規 模 報 酬

（Constant Return to Scale，CRS）假設，即增加一部分投入，同 時會使產出也有相對一部分的增加。【14】

假設考慮

n

個受評估單位，使用

m

種投入，

s

種產出，

x

個投 入數量，

y

個產出數量，

v

_i與

u

_r分別為各種投入與產出的權重，

則

x

_ik為第

i

項投入在受評估單位

k

的投入量，

y

_rk為第

r

項產生在 受評估單位

k

的產出量，則第

k

個受評估單位之投入項線性組合

為 ^m _ik

i i

x

∑ v

=1

；產出項線性組合為 ^s _rk

r r

y

∑ u

=1

，

h

_k為第

k

的受評估單位之

效率值

ik m

i i s

r

rk r k

x v

y u

h ∑

∑

=

=

=

1

1 ，而CCR模式之效率值公式如下：

ik m

i i s

r

rk r k

x v

y u

h ∑

∑

=

=

=

1

max

1

st

1

1

1

≤

∑

∑

=

= m

i ij i s

r

rj r

x v

y u

其中 j=1,2...,n ，u_r,v_i ≥

ε

>0，r=1,2,...s，i=1,2,...,m

上式（3.10）中的限制是每一個受評估單位的「實際產出」

與「實際投入」之比值，其值介於0與1之間。

v

_i與

u

_r之最佳值是 由（3.10）式中獲得，不需由決策者事前決定。

h

_k

= 1

，表示受評 估單位有效率；

h

_k

< 1

，表示受評估單位無效率。

由於上式（3.10）之規劃模式不為線性規劃模式，求解不易。為 了將其轉換為線性規劃模式，因此令（3.10）式目標函式中的分

母 ^m _ik

i i

x

∑ v

=1

為1，則可將上式（3.10）轉換如下：

rk s

1 r

r

k u y

h

max

∑

=

=

st 1v x_ik

m

1 i

i =

∑

=

u y v x_ij 0

s

1 r

m

1 i

i rj

r − ≤

∑ ∑

= =

其中 j=1,2...,n，u ,v ≥

ε

>0，r =1,2,...s，i=1,2,...,m

（3.10）

（3.11）

在CCR模式之後，Banker、Charnes and Cooper於1984年針對 CCR模式加以修正，提出了BCC模式。其擴大了CCR模式的效率 觀點與運用範圍，CCR模式是假設處於固定規模報酬（Constant Return to Scale，CRS）的情況下，然而BCC模式是假設變動規模 報酬（Variable Return to Scale，VRS），即部分投入增加，不會 使得產出項亦會有相對部分的增加。BCC模式加入了「規模效 率」，結合了「純粹技術效率」與「規模效率」而成「整體技術 效率」。BCC模式之效率值公式如下：

ik m

i i s

r

rk r

k

x v

u y u

h ∑

∑

=

=

−

=

1 1

0

max

st 1

1 1

0

≤

−

∑

∑

=

= m

i ij i s

r rj r

x v

u y u

其中 j=1,2...,n ，u_r,v_i ≥

ε

>0，r=1,2,...s，i=1,2,...,m 上式（3.12）之線性規劃模式如下：

0 1

max

h u y

_rk

u

s

r r

k =

∑

−

=

st 1v x_ik

m

1 i

i =

∑

=

₀ 0

1 1

≤

−

∑

−

∑

= =

u x v y

u

_ij

s

r

m

i i rj

r

（3.12）

（3.13）

其中

j

=1,2...,

n

，

u

_r,

v

_i ≥

ε

>0，

r

=1,2,...,

s

，

i

=1,2,...,

m

在BCC模式中較CCR模式多了一個常數項

u

₀。可知相對效率

最大值產生於 ₀

1 1

u x v y

u

_ik

s

r

m

i i rk

r ≤ +

∑ ∑

= =

，因此藉此來判斷受評估單位之

規模報酬為何：

1.若u₀ = ，則受評估單位處於固定規模報酬 0 2.若u₀ > ，則評估單位處於規模報酬遞減 0 3.若u₀ <0，則評估單位處於規模報酬遞增

然而藉由CCR與BCC模式導出了規模效率，其公式如下：

規模效率=整體技術效率/純粹規模效率=CCR/BCC

二、資料包絡分析法之特性

Lewin於1982與1986年【63】【64】提出了資料包絡分析法之 特性，其說明如下：

（一）可同時處理多重投入與多重產出。

（二）為一綜合指標衡量效率：表示受評估單位利用投入達到 生產的關係。

（三）可獲得資源使用狀況之相關資訊：DEA可以瞭解受評估 單位之資源使用狀況，以提供決策者做參考。

（四）無須事先決定投入、產出項之權重，因此不受人為主觀 的影響。

（五）單位不變特性：績效值不受到投入、產出項單位之影響。

（六）可以因應受評估單位的不可控制因素而做調整，亦即可 以評估不同環境下受評估單位之效率。

三、資料包絡分析法之限制

Engert（1995）【53】以及Zahedi（1986）【84】提出了資料 包絡分析法之限制，其說明如下：

（一）DEA模式所得到的是結果為相對效率，而非絕對效率。

（二）由於效率前緣是由受評估單位中最有效率之受評估單位 所構成，且此效率前緣表示所有衡量對象實際上所能達 到的極值，因此DEA對於資料極為敏感，亦受到錯誤極 端值的影響。

（三）DEA之受評估單位之各數至少為投入與產出項個數的兩 倍，否則DEA無法強而有力的區隔有效率單位。

（四）受評估單位間的同質性必須高且盡量採用正式資料，否 則衡量效果不佳。

（五）DEA無法提供任何有關投入與產出項間的因果關係。

四、資料包絡分析法之使用程序與執行步驟

在資料包絡分析法之使用程序與執行步驟部分，本研究針對 資 料 包 絡 分 析 法 之 使 用 程 序 以 及 用於 大 學 教 育 評 鑑 上 之 執 行 步 驟做一詳細之說明，說明如下：

（一）資料包絡分析法之使用程序：

本研究經由相關文獻彙整，將DEA之使用程序彙整如下：

1.定義並選擇適當的受評估單位：運用DEA必須尋找同質性 高的受評估單位。

2.決定攸關且適切之投入與產出項目：一般而言投入產出項 可依相關文獻、經驗判斷或是專家意見法訂定。

3.選擇DEA之模式：由上述DEA之起源與內涵瞭解DEA有許 多的使用模式，因此使用者可視情況來選擇DEA的模式。

4.進行DEA之實際運算 5.經由實際運算來分析結果

（二）資料包絡分析法用於大學教育評鑑之執行步驟：

由於DEA用於大學教育評鑑之使用程序解說不易，因此在 此部分，本研究將舉一實例進行實際操作，包括投入、產出項 的選取與實際的操作，詳細說明如下：

1.投入、產出項選取部份：本研究經由相關文獻探討以及評估 資料收集的可行性，將投入、產出項選取如下：

表3.7 投入項之選取

投入項 定義

經常門 系所人事費、業務費 資本門 系所圖書費、儀器設備費

空間大小 系所可使用空間大小（以坪數計算）

表3.8 產出項之選取

產出項 定義

教學部分 系所教師教學評鑑之平均值 研究部分 系所發表論文篇數

招生部分 系所之在學人數

各系所在投入、產出項之詳細資料敘述如下：

表3.9 各系所投入、產出項資料 系

別 經常門 資本門 空間大小 教學 研究 招生

A 14,524,312 2,053,039 480.1708 84.35 9 635

B 14,504,893 2,120,169 660.8292 81.22 15 613

C 16,482,583 2,116,569 713.125 84.47 37 517

D 16,485,011 3,049,650 580.0083 82.80 10 648 E 5,608,244 1,088,520 161.6417 86.24 3 205 F 19,445,270 1,853,100 530.0896 84.44 26 777 G 7,494,961 88,150 173.5271 86.18 1 233 H 7,389,713 1,544,239 263.8563 83.17 2 295 I 6,897,944 793,800 164.0188 84.67 3 228 J 3,834,399 498,800 116.4771 81.17 1 210

K 5,757,638 949,870 202.0521 87.25 4 223 L 3,417,420 604,270 116.4771 78.19 1 244 M 10,202,701 1,427,700 202.0521 83.97 7 342 N 6,051,273 1,134,760 121.2313 82.16 4 316 O 8,669,868 1,356,660 185.4125 87.13 42 192

P 11,060,324 1,130,800 221.0688 80.44 4 300 Q 5,661,118 838,720 161.6417 81.31 11 225

3. 實際操作結果：經由上述投入、產出項進行系所的實際操 作，結果如下：

表3.10 DEA實際操作結果 系

別

整體技術

效率（%） 排名 純粹技術

效率（%）排名 規模報酬 規模效率

（%） 排名 A 76.54 7 100.00 1 固定 0.7654 7 B 78.92 4 98.88 4 遞增 0.7981 4 C 86.17 3 100.00 1 固定 0.8617 3 D 61.52 12 97.52 6 遞增 0.6308 12 E 78.29 5 100.00 1 固定 0.7829 6 F 100.00 1 100.00 1 固定 1 1 G 71.45 10 100.00 1 固定 0.7145 11 H 54.47 13 96.37 7 遞增 0.5652 13 I 76.11 8 99.90 2 遞增 0.7618 8 J 100.00 1 100.00 1 固定 1 1

K 73.25 9 100.00 1 固定 0.7325 10 L 100.00 1 100.00 1 固定 1 1 M 78.14 6 99.64 3 遞增 0.7842 5

N 100.00 1 100.00 1 固定 1 1 O 100.00 1 100.00 1 固定 1 1

P 69.27 11 93.98 8 遞增 0.7371 9 Q 89.75 2 97.57 5 遞增 0.9199 2

由上表可以發現，各效率皆達到1的系所分別為F、J、L、N、

O等系，其餘系所可藉由其整體效率、純粹技術效率與規模效率 來了解其所需要改善的部分，但是以O系來看，其研究部份所發 表之論文篇數明顯高於其他系所，但是其在學人數部份表現並不 佳，甚至是為所有系所中最差的，但是其效率值仍然達到1，因 此在這裡突顯了資料包絡分析法易受到極端值的影響。另外決策 者也可經由資料包絡分析法的結果進行排序，來建立系所的獎懲 制度。

五、資料包絡分析法應用於教育評鑑之相關文獻

本研究彙整資料包絡分析法應用於教育評鑑之相關文獻，包 括粱復興【24】的「公立高級職業學校績效評估—類別資料包絡 分析法的應用」、郭玲如【25】的「台北縣九十學年度國民小學 校務評鑑之研究」、劉明超【36】的「台灣地區高級職業學校教 育管理效率評估之研究—DEA模式之應用分析」、王建正【3】

的「國民小學學校經營效率評鑑指標之研究—DEA評鑑模式」、

陳 雪 珍 【 20】的「台灣地區公立高級 中 學 管 理 績 效 之 探 討 與 評 估」、林麗能【12】的「雲嘉南地區高級職業學校行政績效之評 估」等研究，詳細整理如下：

表3.11 資料包絡分析法用於教育評鑑之相關文獻 作者 論文題目 研究方法 研究目的

粱 復 興

（民93）

公立高級職業學校績效 評估—類別資料包絡分 析法的應用

資 料 包 絡 分析法

利 用 資 料 包 絡 分 析 法 評 估 台 灣 直 轄 市 與 非 直 轄 市 公 立 職 業 學 校 整 體 效 率 、 規 模 效 率 、 技 術 效 率 與 混 合 效 率 ， 並 衡 量 是 否 有 類別差異

郭 玲 如

（民93）

台北縣九十學年度國民 小學校務評鑑之研究

資 料 包 絡 分析法

旨 在 瞭 解 台 北 縣 九 十 學 年 度 國 民 小 學 校 務 評 鑑 之 成 效 ， 並 根 據 研 究 結 果 提 出 結 論 與 建議

劉明超

（民90）

台灣地區高級職業學校 教育管理效率評估之研 究—DEA模式之應用分 析

資 料 包 絡 分析法

以 DEA評 估 模 式 檢 驗 各 高 級 職 業 學 校 教 育 管 理 效 率 之 執 行 成 效 評估

王 建 正

（民89）

國民小學學校經營效率 評鑑指標之研究—DEA 評鑑模式

資 料 包 絡 分析法

建 構 出 一 套 能 用 於 國 民 小 學 學 校 經 營 效 率 評 鑑 —DEA 評 鑑 模 式

在文檔中 中 華 大 學 (頁 64-78)