巢狀式設計

以雙因子實驗設計模型來說，上述所提到假設Ａ因子和Ｂ因子分別有 a 水準和 b 水 準，且Ａ因子和Ｂ因子任何水準交叉之組合都有隨機樣本；而巢狀式設計模型有別於傳 統的雙因子實驗設計模型，主要差異在Ａ因子和Ｂ因子各有其水準，使二因子的水準交 叉只有局部，並不能貫穿至全數實驗樣本。例如：給定 A1、A2、A3、A4 及 A5 共五只 另件，而 B1、B2 及 B3 分別代表三位不同量測人員分別進行量測上述五只另件，如下 圖 3.2 所示：

圖 3.2 巢狀式量測設計圖 資料來源：本研究整理

進一步推廣至 n 只另件來看，將同樣 n 只零件交由 b 位測手操作同具量器量測，而 每位對上述每只零件都各自獨立量測 r 回，由於操作方式未必相同，假設量測成果符合 如下模式：

𝑦_𝑖𝑖𝑖 = 𝜇 + 𝛼_𝑖 + 𝛽_(𝑖)𝑖+ 𝜀̃_{(𝑖𝑖)𝑖} ，𝜀̃_{(𝑖𝑖)𝑖}~𝑵(0, σ_RPT² )，1 ≤ i ≤ n ， 1 ≤ j ≤ b ，1 ≤ k ≤ r

，其中 i 為另件，j 為量測人員，k 為量測回數。式中 𝑦_𝑖𝑖𝑖 為測量值，𝜇為總平均數，

𝛼𝑖

、

𝛽_(𝑖)𝑖

、

𝜀̃_{(𝑖𝑖)𝑖} 別代表另件偏誤、測手偏誤和量器誤差。且假設另件效應為∑ 𝛼𝑖 = 0，

人員效應∑ 𝛽_(𝑖)𝑖 = 0。其組內平均為 𝜇𝑖𝑖 = 𝜇 + 𝛼𝑖 + 𝛽_(𝑖)𝑖

，其中另件平均為

𝜇𝑖∙ = 𝜇 + 𝛼𝑖， 測手平均為𝜇∙𝑖 = 𝜇 + 𝛽_(𝑖)𝑖，故知另件效應和測手效應分別呈現如下模式。

𝛼𝑖 = 𝜇𝑖∙− 𝜇，1 ≤ 𝑀 ≤ 𝑛 ，∑ 𝛼𝑖 = 0 𝛽_(𝑖)𝑖 = 𝜇_∙𝑖− 𝜇，1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑏 ，∑ 𝛽_(𝑖)𝑖= 0

B₁ B₂ B₃ B₁ B₂ B₃ B₁ B₂ B₃ B₁ B₂ B₃ B₁ B₂ B₃ A₅

A₁ A₂ A₃ A₄

例如表 3.4 之數據，三位測手操作同乙具量器對十只另件各自獨立量測三回數。

表 3.4 三位測手對十只另件各自獨立量測三回數表

另件 測手

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A

0.29 -0.56 1.34 0.47 -0.80 0.02 0.59 -0.31 2.26 -1.36 0.41 -0.68 1.17 0.50 -0.92 -0.11 0.75 -0.20 1.99 -1.25 0.64 -0.58 1.27 0.64 -0.84 -0.21 0.66 -0.17 2.01 -1.31

B

0.08 -0.47 1.19 0.01 -0.56 -0.20 0.47 -0.63 1.80 -1.68

0.25 -1.22 0.94 1.03 -1.20 0.22 0.55 0.08 2.12 -1.62

0.07 -0.68 1.34 0.20 -1.28 0.06 0.83 -0.34 2.19 -1.50

C

0.04 -1.38 0.88 0.14 -1.46 -0.29 0.02 -0.46 1.77 -1.49 -0.11 -1.13 1.09 0.20 -1.07 -0.67 0.01 -0.56 1.45 -1.77 -0.15 -0.96 0.67 0.11 -1.45 -0.49 0.21 -0.49 1.87 -2.16

資料來源：本研究整理 壹、平方和

將 nbr 筆另件數值 𝑦_𝑖𝑖𝑖 全部視作單群數據，對整群數據之總平均 𝑦�_∙∙∙ 而言，其平方 和代表總變異(Variation Total)。所以，可將總平方和 𝑆𝑅示如下式。按範例，𝑆𝑅 = 𝟗𝟗. 𝟗𝟗𝟕𝟏。

 𝑆_𝑅 = ∑^𝑛_𝑖=1∑^𝑏_𝑖=1∑^𝑟_𝑖=1�𝑦_𝑖𝑖𝑖− 𝑦�_∙∙∙�² = ∑^𝑛_𝑖=1∑^𝑏_𝑖=1∑^𝑟_𝑖=1𝑦_𝑖𝑖𝑖² − 𝑦_∙∙∙²⁄𝑛𝑏𝑟 就第 i 只另件來看，第 j 位測手共計量測 r 回，這些個別量測數值 𝑦𝑖𝑖𝑖 對組平均 y�ij∙會 有其組內平方和，1 ≤ i ≤ n 及 1 ≤ j ≤ b 。將上述 nb 項組內平方和全部加總後是稱量器 變異(Variation Gage)；所以，可將量器平方和 𝑆_𝐺 示如下式。按範例，𝑆_𝐺 = 𝟐. 𝟕𝟕𝟕𝟗。

𝑆_𝐺 = ∑^𝑛_𝑖=1∑^𝑏_𝑖=1∑^𝑟_𝑖=1�𝑦_𝑖𝑖𝑖− 𝑦�_𝑖𝑖∙�² = ∑^𝑛_𝑖=1∑^𝑏_𝑖=1∑^𝑟_𝑖=1𝑦_𝑖𝑖𝑖² − ∑^𝑛_𝑖=1∑^𝑏_𝑖=1𝑦_𝑖𝑖∙² ⁄𝑟

第 i 只另件的量測平均𝑦�_𝑖∙∙ ，係由 b 位測手各自量測 r 回計算而得，這 n 筆量測平均

如下證明，下式 𝑆_𝑅 = 𝑆_𝐵+ 𝑆_𝐵(𝐵)+ 𝑆_𝐺 是總平方和的分解公式。

因此，量器變異數的不偏估計值是 𝐸_𝐺 。

將 n 項另件平均視為同組數據，如下證明另件均方和 V𝐵 的期望值是𝜎_𝑅𝑅𝑅² + nb∅𝐵。此 處 ∅𝐵 = ∑^𝑛_𝑖=1𝛼_𝑖²⁄(𝑛 − 1) 並無變異數的必要意涵。

𝐸(𝐸_𝐵) =_𝑛−1¹ 𝐸(𝑆_𝐵) =_𝑛−1¹ 𝐸[∑^𝑛_𝑖=1𝑦_𝑖∙∙²⁄ − 𝑦𝑏𝑟 _∙∙∙²⁄𝑛𝑏𝑟] =_𝑛−1¹ [∑ (𝜎^𝑛_{𝑖=1 𝑅𝑅𝑅}² + 𝑏𝑟𝜇_𝑖²)− (𝜎_𝑅𝑅𝑅² + 𝑛𝑏𝑟𝜇²)] =_𝑛−1¹ [(𝜎_𝑅𝑅𝑅² + 𝑛𝑏𝑟𝜇²+ 𝑏𝑟 ∑^𝑛_𝑖=1𝛼_𝑖²) − (𝜎_𝑅𝑅𝑅² + 𝑛𝑏𝑟𝜇²)] = 𝜎_𝑅𝑅𝑅² + 𝑏𝑟∅_𝐵 因此，另件變異數的不偏估計值是 (𝐸𝐵− 𝐸𝐺) 𝑏𝑟⁄ 。

將 n 項測手測值平均的組內平方和除以n(b − 1)是測手的均方和 V_𝐵(𝐵)，如下計算測手 均方和的期望值 𝜎_𝑅𝑅𝑅² + 𝑟∅_𝐵，此處 ∅_𝐵 = ∑^𝑏_𝑖=1𝛽_𝑖²⁄(𝑏 − 1)並無變異數的必要意涵。

𝐸�V_𝐵(𝐵)� =_{𝑛(𝑏−1)}¹ 𝐸�𝑆_𝐵(𝐵)� =_{𝑛(𝑏−1)}¹ 𝐸�∑^𝑛_𝑖=1∑^𝑏_𝑖=1𝑦_𝑖𝑖∙² ⁄𝑟− ∑^𝑛_𝑖=1𝑦_𝑖∙∙²⁄𝑏𝑟� =

1

𝑛(𝑏−1)�∑^𝑛_𝑖=1∑ �𝜎^𝑏_{𝑖=1 𝑅𝑅𝑅}² + 𝑟𝜇_𝑖𝑖²�− ∑ (𝜎^𝑛_{𝑖=1 𝑅𝑅𝑅}² + 𝑏𝑟𝜇_𝑖²)� =_{𝑛(𝑏−1)}¹ ��𝑛(𝑏 − 1)𝜎_𝑅𝑅𝑅² + 𝑟�𝑛𝑏𝜇²+ 𝑏 ∑^𝑛_𝑖=1𝛼_𝑖² + 𝑛 ∑^𝑏_𝑖=1𝛽_𝑖²�� − 𝑏𝑟(𝑛𝜇²+ ∑^𝑛_𝑖=1𝛼_𝑖²)� =_{𝑛(𝑏−1)}¹ �𝑛(𝑏 − 1)𝜎_𝑅𝑅𝑅² + 𝑛𝑟 ∑^𝑏_𝑖=1𝛽_𝑖²� = 𝜎_𝑅𝑅𝑅² + 𝑟∅𝐵

因此，測手變異數的不偏估計值 ∅𝐵 是�V𝐵(𝐵)− 𝐸𝐺� 𝑟⁄ 。 參、變異分析

詳如表 3.5，我們編製如下量測系統的 ANOVA 表。量器均方和 𝐸_𝐺、測手均方和 𝐸_𝐵(𝐵) 及另件均方和 𝐸_𝐵 分別等於量器平方和、測手平方和及另件平方和除以各自的對應自由度。

如前所述，它們的期望值分別是 𝐸(𝐸𝐺) = 𝜎_𝑅𝑅𝑅² 、 𝐸�𝐸𝐵(𝐵)� = 𝜎_𝑅𝑅𝑅² + 𝑟∅𝐵 與𝐸(𝐸𝐵) = 𝜎_𝑅𝑅𝑅² + 𝑏𝑟∅_𝐵；此處 ∅_𝐵 與 ∅_𝐵 並無變異數之實質意涵。將測手均方和 𝐸_𝐵(𝐵) 及另件均方 和 𝐸_𝐵 分別除以量器均方和 𝐸_𝐺 之數值是測手 F-值及另件 F-值。當測手之間的差異並不顯 著時 ∅𝐵≈ 0 ，而使測手 F-值近乎 1.0；當另件之間的差異並不顯著時∅𝐵 ≈ 0 ，而使另件 F-值近乎 1.0。

表 3.5 雙因子巢狀式量測系統的 ANOVA 表

在文檔中 I-Shou University Institutional Repository:Item 987654321/19823 (頁 58-64)