第二章、 文獻回顧
第五節 蒙地卡羅方法模擬 GRR
壹、隨機亂數
Robert and Casella（2004）指出蒙地卡羅模擬構成要素如下︰
一、機率密度函數（Probability Density Function，PDF）：物理(數學)系統必須要有的函數。
二、隨機亂數產生器：一個隨機數的來源，可提供亂數。
三、抽樣規則：從被指定的PDF取樣，有可用的單位間隔隨機數。
蒙地卡羅模擬需要隨機亂數產生器，亂數產生，亂數產生的方法可分成物理性及軟體 性兩種方法。軟體性的亂數產生方法是運用特殊的演算法或人工方法來產生長週期性與隨 機性的亂數序列，透過演算法所產生，並不是真實的隨機亂數，所以此類的亂數產生器一 般也稱作為擬亂數產生器（Pseudo Random Number Generator）。常見的擬亂數產生器使用 線性同餘法（Linear Congruential Method）、多階層餘法（Multiple Recursive Method）或梅 森旋轉法（Mersenne Twister）等演算法來產生擬亂數。
工業界的量測系統分析，通常由穩定生產線隨機挑選若干只另件，要求多位測手操用 同具量器對每只另件獨立量測數回，一般假設某製程穩定產製另件，而且另件某品質特性 𝑥� 呈現常態分配 𝑵(𝜇𝑅, 𝜎𝑅𝑅𝑅2 )，而其隨機亂數產生，最小值等於 0，最大值等於 1，成為常 態累積分配函數的機率值，轉換成蒙地卡羅模擬方法的累積機率函數。
貳、蒙地卡羅模擬
Tsu-Ming Yeh, Jia-Jeng Sun.（2013）, 藉由統計模擬方法，結合蒙地卡羅模擬（Monte Carlo Simulation），可以有效評估的量測能力的再現度和同現度的可能範圍，決定量測能 力指標%𝑮𝑮𝑮的機率分配，研究測量系統分析的量測雙現變異，和數據類數（Number of Distinct Category, NDC），以便建立一個於量測系統的測量能力的評價預測模型，其變異 數分析，結合蒙地卡羅模擬軟體(Crystal Ball)進行運算，運算Model透過蒙地卡羅模式建立
求解，依照實際量測數據並定義其分佈狀態後，將參數之隨機變數以Crystal Ball之蒙地卡 羅分析技術配合同餘法亂數產生10,000次，藉此模擬量測數值，得知其量測能力指標
%𝑮𝑮𝑮的機率分配是否相符假設條件，再使用MSA指導手冊（2010），長式表格法（Long Form Table）估算相關變異數。
在產業界的量測行為前提，其量測系統分析時，是設定量測行為條件下，可運用蒙地 卡羅模擬方法（Monte Carlo Simulation），產生亂數，得知累加累積機率函數的機率值與 常態位置對應關係，來模擬其量測系統的實驗量測值，因此，首先需定義機率密度函數分 佈，並其累加累積機率函數，調整最大值為 1，而穩定生產線隨機挑選若干只另件，其機 率分佈為常態分配，而常態機率密度函數為連續隨機變數 𝑿 服從一個位置參數為 𝝁 、尺 度參數為 𝝈 的機率分配，可記為：𝑿~𝑵( 𝝁, 𝝈𝟐 )或 𝑿~𝑵( 𝒙, 𝝁, 𝝈 )表示常態分配（Normal Distribution），則其機率密度函數（Probability Density Function，PDF），機率密度函數為 𝒇(𝒙) =√𝟐𝟐𝝈𝟏 𝒆�−(𝒙−𝝁)𝟐𝟐𝝈𝟐 � ， (−∞ < 𝑥 < +∞)，另其 𝑿 的累積分配函數（Cumulative Distribution Function ， CDF ） ， 是 指 隨 機 變 數𝑿 小 於 或 等 於 𝒙 的 機 率 ， 用 機 率 密 度 函 數 表 示 為 𝑭(𝒙 ; 𝝁, 𝝈) = √𝟐𝟐𝝈𝟏 ∫ 𝒆−∞𝒙 �−(𝒙−𝝁)𝟐𝟐𝝈𝟐 �𝒅𝒙 ，其累加累積的機率值，最小值等於 0，最大值等於 1，
將常態累積分配函數的機率值，成為蒙地卡羅方法的累積機率函數。若累積分配函數將常 態化，則標準常態分配的累積分配函數習慣上記為 Φ ，它僅僅是指 𝝁 = 𝟏 ，𝝈 = 𝟏 時的 值，Φ(𝒛) =√𝟐𝟐𝟏 ∑ 𝒆𝒛−∞ −𝟏𝟐𝒛𝟐𝒅𝒛，若將一般形式的常態分配轉換為標準常態分配的方法是 𝒛 = (𝒙 − 𝝁) 𝝈⁄ ，其PDF（x）及CDF（x）圖詳如圖2.6。
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圖2.6 標準常態分配PDF（x）及CDF（x）圖 資料來源：本研究整理
因此，本研究使用蒙地卡羅方法的意涵，設定量測行為條件，運用製造產生亂數，得 知累加累積機率函數的機率值與常態分配位置對應之關係，其示意圖詳如圖2.7，如此可設 定量測行為條件，使用蒙地卡羅模擬方法（Monte Carlo Simulation Method）的意涵，結合 統計概念，運用函數製造產生隨機亂數，其隨機亂數為0∼1之間數值，其值可視為累加累積 機率函數的機率值，再使用反函數，得到其累加累積機率函數的機率值與常態分配位置對 應之數值，所得位置對應之數值，再利用轉換為標準常態分配的方法是 𝒛 = (𝒙 − 𝝁) 𝝈⁄ ， 與設定量測系統參數之平均數與標準差，可求得其模擬量測系統的實驗量測值。
圖2.7 模擬 GRR實驗量測值對應圖 資料來源：本研究整理
產業界量測系統分析如何評價精度是否充分，通常由穩定生產線隨機挑選若干只另件，