第三章 勾股定理證明工作單
第二節 工作單內容
以下工作單我們將介紹 51 個勾股定理證明，如第一節所述，每一個證明皆 包含三個部分：【作輔助圖】、【求證過程】、【註與心得】，本研究的 51 個 證明中，有 26 個為魯米斯《勾股定理》這本書所收藏，另外有 Alexander Bogomolny 的 17 個證明，清代數學家華蘅芳的 7 個證明及李善蘭的一個證明，
接著我們將介紹下述 51 個勾股定理證明：
A098、G115、G125、G138、G179、G211、G226、G230、G236、G237、
G238、G239、G241、G242-1、G242-2、G243、G246、G247、G248、G249、
G250、G251、G252、G253、G254、G255、Bog008、Bog010、Bog012、
Bog013、Bog016、Bog017、Bog018、Bog019、Bog020、Bog021、Bog022、
Bog023、Bog024、Bog025、Bog026、Bog027、Bog075、華蘅芳 01、華蘅芳 04、華蘅芳 07、華蘅芳 10、華蘅芳 12、華蘅芳 14、華蘅芳 15、李善蘭，其中 包含許多經典證明。
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勾股定理證明-A098
【作輔助圖】
1. 等腰直角三角形ABC分別以AB、 BC 、 AC 為邊長，向外作正方形 ABDE，正方形ACGF、正方形BCHI。
2. 接著連 AF 、連 BH ；並連 AD 與 BE 交於 J 。
【求證過程】
我們先證明輔助圖中的九個等腰直角三角形皆為全等的等腰直角三 角形；再利用面積等式，即可推出畢氏定理的關係式。
1. 不難看出其中五個三角形為全等的三角形，以下我們給個證明：
因為
90 ACF AGF BCH BIF
, 並且有
AC CF FGGABC CH HI IB, 所以可以得到
ABC AFC AFG BHC BHI
(SAS 全等).
2. 另外也可以看到五個三角形全等，同樣地給出證明：
因為
90 ACB AJB AJE BJD DJE
, 並且有
45 ABC ABJ AEJ BDJ DEJ
以及 AB AEEDDB,
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所以可以得到
ABC ABJ AJE BEJ BDJ
(AAS 全等).
3. 綜合以上就可以利用拆解的方式，證明大正方形面積等於兩小正方形 面積和：
因為
,
ABDE ABJ AJE BEJ BDJ AGF ACF BCH BIH ACFG BCHI
所以
ABDE ACFG BCHI, 此為等腰直角三角形的畢氏定理，即
2 2 2
c a b .
【註與心得】
1. 來源：在柏拉圖的對話錄《Plato’s Dialogues》的 Meno 篇裡記載了西 元前 500 年蘇格拉底(Socrates)教導一位奴隸小孩如何將一個正 方形面積變成兩倍大的正方形的方法，也就是所謂的倍平方問 題。當中就可以說是證明了畢氏定理中等腰直角三角形這樣的 特例。收錄在Loomis 的《勾股定理》中代數篇的編號第 098 號 2. 心得：此證明是畢氏定理的一個特例，僅證明了等腰直角三角形會有
畢氏定理關係，也因此證明起來會相當容易。教學上若是在介 紹一般性的畢氏定理前先講解此特例，再讓學生也有從特例推 廣至一般的數學家精神，我想會是不錯的教學流程。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
● ● ●
4. 補充：在數學能力指標裡，有這麼一項：
C-R-04：能知道數學在促進人類文化發展上的具體例子。
這個證明雖然不是處理一般性的勾股定理，但是它背後的故事 是值得讓人深思的。歷史上希臘三哲學家中的柏拉圖在這個故 事當中所傳達的是不論人的背景有多麼地不同，甚至在沒有受 過正規教育的情況下都可以透過推理來學習證明知識的正確 性。
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勾股定理證明-G115
【作輔助圖】
1. 以直角三角形ABC的AB邊為邊，向外作正方形ABDE；再以BC為 邊，向內作正方形BCFG，其中FG與AB交於H；連GD。
2. 接著延伸CA並取一點I使得AI BC，連IE。再延伸BG並交AE於 J，交AE於K。
3. 最後連JF分別交AB於L，交AE於M 。
【求證過程】
先作適當的輔助線，將直角三角形往外作出正方形及正方形邊上全 等的直角三角形。我們利用全等及面積等式推導可以證明大正方形的面 積等於小一正方形的面積以及其中一個梯形的面積和。而這個梯形的面 積剛好又等於是另一股作出來的小正方形面積，也因此我們就證明了畢 氏定理關係式。
1. 不難發現三角形ABC DBG EAI JFG為全等的直角三角形，
以下我們給出證明：
因為
,ABBD 正方形的邊 而且
90 ,
CBA ABK DBG
以及
90 ,
ACB BGD
所以可以得到
ABC DBG
(AAS 全等).
接著考慮ABC EAI： 其中因為
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CAB IAE AEI
所以可以得到
ABC EAI
(AAS 全等).
ACB FGJ
ABC JFG
(SAS 全等).
再綜合以上四個全等式，可以得到
ABC DBG EAI JFG
.
AFH KJE
以及
, KEJ AEI
CAB ABC EAI FAH
所以可以得到
AHF EKJ
(ASA 全等).
3. 接著發現BKA DHB亦為全等的三角形，以下是它的證明：
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BAK HBD
所以可以得到
BKA DHB
(SAS 全等). BDG HBD HBG
KAB HBG HBD KAB AKGH
ABDE AKHG KEDG BGD HGB AKHG KEDG ABC HGB
AKHG KEDG BCFH AFL FLH
KEDG AKHG BCFG HGB AFL FLH KEDG BGD BCFG KJE
KEDG FJG BCFG KJE KEDG FJG KJE BCFG
JEDH BCFG
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【註與心得】
1. 來源：這個證明是一位 West Phila. 的中學生 Joseph Zelson 所給出。收 錄在Loomis 的《勾股定理》中幾何篇的編號第 115 號。
2. 心得：這個證明初看到會覺得複雜，輔助線將圖形切割成十一塊，並 且要先證明其中的一塊梯形面積等於正方形面積，並非那麼直 觀。使得在教學上的難度提高。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
● ●
4. 補充：在數學能力指標中，有這麼幾項：
S-4-09：能理解三角形的全等定理，並應用於解題和推理。
以及
N-3-22 及 S-3-06：能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯 形的面積公式。
此證明正是利用圖形的分割，以及三角形的全等來推理出畢氏定理 關係式。
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勾股定理證明-G125
【作輔助圖】
1. 以直角三角形的AB AC BC, , 三邊為邊，分別向內、向內、向外作正方 形ABDE、正方形ACFG以及正方形BCHI。其中BD與CH 交於N。 2. 在CF延伸線上取一點J，使BJ與AB等長。
3. 連JI，並延伸直線與ED的延伸線交於K。連JG並延伸與EA的延伸 線交於L。
4. 過E作AC的垂線，垂足M 。最後連DI(之後將證明D H I 三點共 線)。
【求證過程】
先以一個大長方形將直角三角形ABC及其三邊所製造的正方形圍 住，並且以輔助線適當地將長方形分割成正方形、直角三角形以及梯 形。在證明其中幾個三角形及梯形有全等性質後，以兩種不同的方式分 割長方形，即可以從面積關係當中推導出畢氏定理關係式。
1. 不難發現ABC,GJF,JIB,DBI,EAM為全等三角形，以下我們給出 證明：
首先因為
BCBI(正方形的邊), 並且
ACBJ, 以及
90
ACB JBI
, 所以
23 ABC JBI
(SAS 全等).
ABC GFJ
(SAS 全等).
ABC EAM
(AAS 全等).
ABC DBI
(SAS 全等).
DIK BIJ
EAM JIB EAM
GAL
24
90 90
,
KDI IDB
FGJ DBI GJF AGL
AGL IDK
(SAS 全等).
BAG CAB
MEA ABC EAM
DEM
ABDE ALG GFJ AGFB EKJL
BCHI ACFG ALG GFJ EMHD
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【註與心得】
1. 來源：此證明收錄在 Loomis 的《勾股定理》中幾何篇的編號第 125 號。
2. 心得：不同於其它拼圖式證明是直接將兩個正方形分割再拼成兩個小 正方形，這個證明方式是用相同的拼片將長方形留下大正方形 或兩個小正方形，來證明面積的相等。算是一種反面思考的證 明法式。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
● ● ●
4. 補充：在數學能力指標中，有這麼幾項：
S-4-09：能理解三角形的全等定理，並應用於解題和推理。
以及
N-3-22 及 S-3-06：能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯 形的面積公式。
此證明正是利用圖形的分割，以及三角形的全等來推理出畢氏定理 關係式。
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勾股定理證明-G138
【作輔助圖】
1. 以直角三角形ABC的AC及BC為正方形的一邊，分別向內作正方形 ACDE及正方形BCFG。其中FG交AB於H。
2. 以直角三角形ABC的AB為正方形的一邊，向外作正方形ABIJ。 3. 並過C作IJ的垂直線垂足K，交AB於L，交BG於M ，交DE於N 。
其中BI交DE於O。連GI，連EJ。
4. 最後在BI上取一點Q，使IQ與BO等長。並過Q作GI的垂直線，垂 足為P。
【求證過程】
此證明為拼圖式證明，我們先在直角三角形的三邊上分別作正方 形，接著以輔助線將大正方形切割成數塊，再透過全等證明，就可以使 用這些拼片拼成兩個較小的正方形。也就證明了畢氏定理的關係式。
1. 不難發現ABC,AJE,JIN,IBG為全等三角形，以下我們給出證明：
其中ABC,AJE是因為
ABAJ 正方形的邊 , 並且
ACAE 正方形的邊 , 以及
90
CAB BAE JAE
, 所以
ABC AJE
(SAS 全等).
因此AED90 AEJ, 可以推得D E J三點共線.
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CBA ABG
GBI
所以
ABC IBG
(SAS 全等).
CAB CBA
AJE ABC AJE NJI
CBA CAB
BIG ABC IBG JIN
ABC JIN
(ASA 全等).
HBG HIB
ION
所以
BHG ION
(AAS 全等).
3. AHF,IQP,BOD亦為全等的三角形，以下我們給個證明：
其中IQP,BOD是因為
IQBO,
28 QIP OIN
NOI
IQP BOD
(AAS 全等). FAH CAB
CBA
BOD AHF
(ASA 全等).
ABIJ AEJ ABOE JIN ONPQ IQP AEJ ABOE IPQ JIN ONPQ ABC ABOE BOD ABC ONPQ ACDE BCFH AHF ONPQ
ACDE BCFH IQP ONPQ ACDE BCFH ION
ACDE BCFH BHG ACDE BCFG
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【註與心得】
1. 來源：此證明由 M. Rogot 給出，因為 E. Fourrey 的書《Curiosities of Geometry》而聞名。記載於 Loomis 的《勾股定理》書中的幾何 篇中編號第138 號。
2. 心得：此證明亦屬於拼圖式的證明，只要證明對應的拼片為全等圖 形，則可以透過面積關係來證明畢氏定理。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
● ●
4. 補充：在數學能力指標中，有這麼幾項：
S-4-09：能理解三角形的全等定理，並應用於解題和推理。
以及
N-3-22 及 S-3-06：能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯 形的面積公式。
此證明正是利用圖形的分割，以及三角形的全等來推理出畢氏定理 關係式。
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勾股定理證明-G179
【作輔助圖】
1. 以直角三角形ABC的AB、BC為正方形的一邊，向外作正方形ABDE 及正方形BCFG。
2. 在AB延伸線上取一點H，使BH 與AC等長，並以BH為正方形的一 邊，向下作正方形BHIJ。
3. 延伸GB，交AE於K。並過A作BK的垂直線，垂足L，同樣地過D 作BK的垂直線，垂足M 。
4. 在AB線段上取一點N，使得BN與KE等長。並過N作BK的垂直 線，垂足O。
5. 再從BK延伸線上取一點P使得KP與NO等長，連PE。 6. 最後延伸DB交CF於Q，延伸CB交IJ 於R。
【求證過程】
此證明屬拼圖式證明，我們先作以直角三角形三邊的三個正方形，
再以適當的輔助線將正方形切割，其中大正方形被切割為五塊。接著我 們要透過全等圖形的證明，確定可以用這五塊拼出兩個小的正方形，也 就以面積的方式證明了畢氏定理的關係式。
1. 我們不難發現ABC BAL, ,DBM,BRJ這四個三角形為全等三角形，
以下我們給出證明：
其中ABC,BAI是因為
ABBA(共用邊), 並且
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ABC BAI
(AAS 全等).
CBA CAB
ABL ABC BAL DBM
ABC DBM
(AAS 全等).
CBA RBJ
BRJ
所以
ABC BRJ
(AAS 全等).
LAK BAL
ABC ABC BAL QBC
AKL BQC
(ASA 全等).
3. 而EKP BNO, 亦為全等三角形，以下是它的證明：
因為
KEBN,
32 PKE LKA
KAL
EKP BNO
(SAS 全等).
MDE MDB
RBJ BDM BRJ RBH
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再加上
90 ,
QBG ABL
BAL
ABDE AKL ALON BNO DEKM DBM BQC BGFQ EKP DEKM BRJ
BCQ BGFQ EKP DEKM BRJ BCFG BHIR BRJ
BCFG BHIJ
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勾股定理證明-G211
【作輔助圖】
1. 以直角三角形ABC的 AC 邊為邊，向下作正方形 ACDE 。 2. 延長 AC 使 CF BC
3. 過 F 作 CD 平行線 FG ，使 FGCD。 4. 過 B 作 CF 平行線交 FG 於 H 。
5. 延長 AB 交 FD 於 I 。
【求證過程】
先從直角三角形 ABC 的兩邊作向下、向外作正方形，再補至長方
先從直角三角形 ABC 的兩邊作向下、向外作正方形，再補至長方