教科書的現況

第四節 教科書的現況

勾股定理在目前的國民中小學課綱要中安排在國民中學第三冊，在此我們 挑選 A、B、C 三個市占率較高的教科書版本作為定理證明內容內的剖析，所參 考之教科書版本均為教育部審核通過之樣書，三個版本恰好對於勾股定理的證 明也有不同的呈現方式：

版本 A(如圖 2.4.1)

證明方式：利用探索活動的發現，將四個全等直角三角形圍成一個以斜邊為邊 長的大正方形，中間會形成一個邊長為兩股差的小正方形，接著用 兩種方式去表示大正方形面積，再運用代數運算式子比較兩種面積 表現式，整理得c² a² 。 b²

證明評析：在證明過程中，雖然圖形中只有以直角三角形斜邊為邊長的正方形 面積，看不見另外以兩股為邊的正方形，可能較難感受到勾股定理 在幾何上的意義，但用此代數證明較為嚴謹，可以簡單整理等式就 能推出勾股定理的式子，此證明是婆什迦羅相當有名的證明，也收 錄在魯米斯《勾股定理》的 A034。

圖 2.4.1 版本 A 的證明

9 版本 B（圖 2.4.2）

證明方式：利用畢達哥拉斯的發現，及探索活動進一步說明「以兩股為邊長的 正方形面積和等於以斜邊為邊長的正方形面積」，如下圖 2.4.2 課本 中的圖形，學生可用直觀的方式，得到甲、乙、丙三個正方形的面 積關係，進一步得勾股定理。

證明評析：以畢達哥拉斯的發想作為動機的引起，以直角三角形三邊延伸的正 方形為主軸去說明三個正方形面積關係，純粹用較直觀的方式去作 面積說明，而補充的另一個證明則是用相同的圖再用代數運算來說 明，這樣學生不但較能感受其幾何意義，並且也利用了代數運算讓 此證明較為嚴謹，此證明也有收錄在魯米斯《勾股定理》的 A035。

圖 2.4.2 版本 B 的證明

10 版本 C(圖 2.4.3)

證明方式：將四個全等直角三角形圍成一個以兩股和





其圖形中會形成一個邊長為斜邊的正方形，接著用兩種方式去表示 以斜邊為邊長的正方形面積，再運用代數運算比較兩種面積表現 式，整理得c² a² 。 b²

證明評析：此版本證明方式與版本 B 的補充證明是相同的，也與版本 A 的類 似，差異是四個直角三角形的排列方法不同，學生從圖形中較難對 勾股定理的幾何意義有所感受，缺少了較直觀的看法，但也較為嚴 謹，此證明收錄在魯米斯《勾股定理》的 A035。

圖 2.4.3 版本 C 的證明

結語：綜合以上我們發現三個版本皆是以圖形的拼湊作為證明的依據，圖形是 輔助用，主要還是利用代數運算來證明，其中版本 A、C 僅使用代數運 算，而版本 B 以直角三角形三邊延伸的正方形為主軸，再進一步作圖形 輔助可直接發現三個正方形面積關係，不但有代數的運算，還有利用到 圖形來說明幾何的意義，學生不但較容易理解，也不失嚴謹。

由此發現三個版本皆是用代數的方式來證明，因為相較於幾何較為嚴 謹，而且皆是魯米斯《勾股定理》書中較為經典的證明，但證明種類不 多，也是因為此時學生的先備知識較少，而在國中三年結束後，學習到 幾何與代數的知識更為廣泛，如果能提供不同的證明方式呈現給學生，

讓學生能以不同的面向看數學，並培養他們的邏輯推理與分析。

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