本章節模擬使用者選用機械手臂時的現況，並以本研究之方法進行演示。假設情境為 使用者取得廠商提供的機械手臂型錄後要從中比較兩台機械手臂（A、B）於工作空間中何 者的準度較高，但從型錄中只能得知兩者的重複精度相同，無法從其他的資訊得知工作空 間中的表現，且若選用的機械手臂於工作空間中的表現不如預期時要如何改善。
將本研究之方法用於此工程案例中之流程如下：
圖 5.1: 工程案例之流程
5.1
機械手臂之參數與性能量測此小節旨在呈現「廠商以不同的路徑測試出機械手臂較優的性能指標，使消費者難於 比較機械手臂間的性能高低，也無法得知廠商如何測試性能以及這些性能是否滿足工作空 間中的需求」之情境。因此以兩不同關節間隙之機械手臂 A、B 為例，使用不同的路徑量 測出相同的重複精度，並說明重複精度的定義與量測方法。
機械手臂參數
機械手臂 A 與機械手臂 B 的幾何參數與動態模型參數均相同如表5.1與5.2：
表 5.1: 機械手臂 A、B 之幾何參數
桿件編號 桿長 (m) 質量 (kg) 轉動慣量 (kg·m2)
1 0.3 2.5 0.0233
2 0.65 0.8 0.0282
3 0.65 0.8 0.0282
4 0.3 2.5 0.0233
5 0.2 1.7 0.0084
表 5.2: 機械手臂 A、B 之動態模型參數
軸半徑 10.0mm Baumgarte-α 20
動摩擦係數 0.05 Baumgarte-β 20
額外負重 F 0.98 N Restitution coefficient 0.9 Integration step size 0.00001 s Young’s modulus 207 GPa
Poisson’s ratio 0.3
重複精度定義與計算
ISO中所定義的機械手臂重複精度為：對同一個位置指令從同一方向重複運行 n 次後 實際到達位置的一致程度，如圖5.2所示。其中 RP 為位置分佈範圍的球半徑，而重複精度 的計算公式為下：
RP = l± 3S (5.1)
式中：
l = 1 n
'n i=1
li
li =+
(xi− x)2+ (yi− y)2+ (zi− z)2
S = , -- -.
/n i=1
(li− l)2 n− 1
(5.2)
其中：S 為標準差，xi、yi、zi 為運行第 i 次的位置，x、y、z 為平均位置且為分佈中 心。
RP
X
Y Z
圖 5.2: 位置分佈範圍示意圖
機械手臂 A、B 之重複精度量測
A 0.328 mm 0.171 mm 0.483 mm 0.056mm B 0.460 mm 0.480 mm 0.460 mm 0.056mm
5.2
推估關節間隙大小並比較工作空間中之表現本小節以第四章之方法推估機械手臂 A、B 之關節間隙大小，透過模擬計算常用之工 作路徑上的誤差來比較手臂 A、B 於工作空間中的表現，並以手臂 A 演示推估關節間隙之 方法。
5.2.1
推估關節間隙大小由於每條路徑均可取得三個特徵，理論上三個未知數只需三個方程式即可求解，因此 只需運行一條路徑就可用三種特徵的關係式推估出三個關節間隙，但為了探討三種特徵間 何者較能準確推估出間隙，因此選用三條不同實驗路徑 y1、y3、y7 上同一特徵之方程式 求解關節間隙如方程式（5.3）所示（以截距關係式為例）。表5.1、5.2、5.3為機械手臂 A、
B之參數。
Yy1,slope = fy1,slope(c2, c3, c4) Yy3,slope = fy2,slope(c2, c3, c4) Yy7,slope = fy3,slope(c2, c3, c4)
(5.3)
實驗數據圖
以下為三個實驗路徑之誤差曲線圖及其特徵表5.4：
time(s)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25
error(mm)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
error
圖 5.4: 機械手臂 A 運行實驗路徑 y1 的軌跡誤差曲線
time(s)
表 5.4: 機械手臂 A 之軌跡誤差曲線的特徵量化值
實驗軌跡 斜率 截距 震幅
y1 -0.0759 0.5504 0.8699 y3 -0.0817 0.5439 0.8676 y7 -0.0480 0.5187 0.8658
關節間隙推估之結果
表5.5∼5.8為關節間隙推估之結果，其中斜率特徵無法求出關節間隙之解，推測是因量 化斜率特徵時的軌跡誤差曲線擬合誤差較大使此特徵無法準確推估間隙值。最後選擇以準 確度較高的截距特徵推估出的關節間隙進行工作路徑誤差計算。
表 5.5: 機械手臂 A 推估之間隙大小
關節間隙 c2 c3 c4
給定之間隙大小 0.328 mm 0.171 mm 0.483 mm
特徵
斜率 無解 無解 無解
截距 0.340 mm 0.159 mm 0.478 mm 震幅 0.317 mm 0.190 mm 0.478 mm
表 5.6: 機械手臂 A 以截距與震幅推估出間隙的準確率
特徵 關節間隙
平均準確度 c2 c3 c4
截距 96.34% 92.98% 98.96% 96.09%
震幅 96.65% 88.89% 98.96% 94.83%
表 5.7: 機械手臂 B 推估之間隙大小
關節間隙 c2 c3 c4
給定之間隙大小 0.460 mm 0.480 mm 0.460 mm
特徵
斜率 無解 無解 無解
截距 0.449 mm 0.487 mm 0.469 mm 震幅 0.432 mm 0.502 mm 0.491 mm
表 5.8: 機械手臂 B 以截距與震幅推估出間隙的準確率
特徵 關節間隙
平均準確度 c2 c3 c4
截距 97.61% 98.54% 98.04% 97.41%
震幅 93.91% 95.42% 93.26% 94.20%
5.2.2
工作空間中之表現由於平行五連桿機械手臂主要實際用途為抓放物件為主，如圖5.7所示，於起點 S1抓 取物件並放置於終點 S2即達成任務，因此本研究以一理想工作路徑來評估機械手臂 A、B 於工作空間中之性能高低。透過模擬間隙對機械手臂於工作空間中的性能影響，比較出性 能較高的機械手臂。
x(mm)
-500 -400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400 500
y(mm)
-600 -500 -400 -300 -200 -100 0 100
S1 S2
圖 5.7: 平行五連桿機械手臂工作時常用之理想路徑示意圖
路徑參數設定
路徑參數之設定如圖5.8、5.9所示，Q1、Q2、Q3 為目標點其座標分別為（-180 mm , -600 mm）、（0 mm , -575 mm）、（180 mm , -600 mm），透過計算行經這三個目標點時的 誤差來比較機械手臂 A、B 的性能高低。p1、p2、p3、p4、p5為路徑上的斷點並將路徑分成 4個段落 part 1∼part 4，而每個段落上所運行的時間為 t1、t2、t3、t4，v2y、v3y、v5y分別 為到達 p2、p3、p5時 y 方向的速度，v2x、v3x、v4x分別為到達 p2、p3、p4時 x 方向的速 度，其中 p2可由 t1、v2y、v2x 決定，p3x固定為 0，p4的 y 座標可由 t3與 v3y 決定且 p4x
與 p5x相同，t4 可由 p4y、p5y、t3 計算，因此可將以上參數可分為固定參數與設計變數。
• 固定變數：p2、t1、v2y、v3y、v5y、v2x、v3x、v4x
• 設計變數：p1、p3y、p5、t2、t3
x(mm)
而理想路徑之參數設定為下：
表 5.9: 理想路徑之參數設定
i pi vix(m/s) viy(m/s) ti(s) 1 (-180 mm, -600 mm) 0 0 0.05 2 p2(t1, v2x, v2y) 0 0.3 0.2 3 (0 mm, -575 mm) 1.5 0 0.2 4 (180 mm, p4y(t3, v3y)) 0 v4y(v3y, t3) t4(p4, p5, t3) 5 (180 mm, -600 mm) 0 0
機械手臂性能模擬結果
將機械手臂之關節間隙設定為推估出之間隙大小，透過模擬計算出機械手臂 A、B 行 經目標點的誤差，兩者之平均誤差分別為 0.652 mm 與 0.816 mm，以此結果判定機械手 臂 A 於工作空間之性能表現優於機械手臂 B。而手臂 A、B 原先給定之間隙所計算出之目 標點平均誤差分別為 0.637 mm 與 0.813 mm，兩者之性能比較手臂 A 確實優於 B，可以 發現此方法能準確比較出工作空間中性能較好之機械手臂，但性能較好的手臂仍有可能無 法滿足工作空間之需求，因此本研究透過最佳化方法規劃誤差較小的目標路徑來提升手臂 的準度。誤差結果比較如表5.10所示：
表 5.10: 誤差結果比較與驗證
機械手臂 Q1誤差 Q2誤差 Q3誤差 平均誤差 性能
給定之關節間隙 A 0.562 mm 0.569 mm 0.780 mm 0.637 mm 較優 B 0.915 mm 0.698 mm 0.826 mm 0.813 mm
推估之關節間隙 A 0.560 mm 0.566 mm 0.829 mm 0.652 mm 較優 B 0.912 mm 0.708 mm 0.828 mm 0.816 mm
5.3
最佳化目標路徑本小節以機械手臂 A 為對象，使用最佳化方法規劃誤差較小之目標路徑來提升工作空 間中的準度。非理想機械手臂的運行通常是以理想路徑來控制，但實際軌跡與理想路徑間 存在誤差，因此本研究以最佳化目標路徑來控制非理想機械手臂的方式，使手臂實際軌跡 與理想路徑上之目標點的誤差降低讓手臂準度提昇。
5.3.1
最佳化方方程式與最佳化結果目標路徑的參數與章節5.2.2中描述的相同，在考量推估之關節間隙影響下透過最佳化 方法調整設計變數 p1、p3y、p5、t2、t3減少機械手臂形經目標點時的誤差，藉此設計出誤 差較小的目標路徑。最佳化目標路徑方程式為下：
minC f (C) = Eerror = 'k
j=1
ωjEj(C)
subject to Qj, Pj∈ W
C = [p1, p3y , p5, t2 , t3] 'k
j=1
ωj = 1
where j = 1, 2, ..., k
(5.4)
其中 j 為目標點的順序，k 為目標點的總數量，此案例中 k = 3，Pj為存在關節間隙之手臂 行經目標點時的 end effector，Qj 為目標點，在誤差計算上給定每個目標點之權重 ωj，此 案例中三個目標點之權重相同均為 13，最佳化之目標函數 Eerror 為目標點之總誤差，E 代 表目標點之誤差，ωj 為第 j 個目標點之權重，W 為機械手臂的工作空間。表5.11為最佳化 目標路徑之參數，表5.12為考量原先給定之關節間隙以最佳化目標路徑控制機械手臂 A 的 準度表現。
表 5.11: 最佳目標路徑之參數
i pi vix(m/s) viy(m/s) ti(s) 1 (-179.901 mm, -599.444 mm) 0 0 0.05 2 p2(t1, v2x, v2y) 0 0.3 0.212 3 (0 mm, -574.457 mm) 1.5 0 0.154 4 (180 mm, p4y(t3, v3y)) 0 v4y(v3y, t3) t4(p4, p5, t3) 5 (180 mm, -599.420 mm) 0 0
表 5.12: 目標點之誤差表現比較
Q1 Q2 Q3 平均誤差
理想路徑控制下的目標點誤差 0.562 mm 0.569 mm 0.780 mm 0.637 mm 最佳目標路徑控制下的目標點誤差 0.004 mm 0.011 mm 0.080 mm 0.031 mm
準度改善 99.3% 98.1% 89.7% 95.1%
x(mm)
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
y(mm)
-605 -600 -595 -590 -585 -580 -575 -570
ideal path target points
(a)
x(mm)
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
y(mm)
-605 -600 -595 -590 -585 -580 -575 -570
path target points
(b)
圖 5.10: 理想路徑與最佳化目標路徑比較 (a) 理想路徑 (b) 最佳化目標路徑
x(mm)
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
y(mm)
-605 -600 -595 -590 -585 -580 -575 -570
actual path target points
(a)
x(mm)
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200
y(mm)
-605 -600 -595 -590 -585 -580 -575 -570
actual path target points
(b)
圖 5.11: 非理想機械手臂實際軌跡比較 (a) 以理想路徑控制 (b) 以最佳化目標路徑控制
time(s)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
torque(N*m)
-15 -10 -5 0 5 10 15
J1
J5
(a)
time(s)
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
torque(N*m)
-25 -20 -15 -10 -5 0 5 10 15
J1
J5
(b)
圖 5.12: 以逆向運動學所得之控制扭矩 (a) 理想路徑 (b) 最佳化目標路徑
time(s)
精度讓使用者難以比較機械手臂間性能高低」之現況。
2. 透過高斯程序回歸（Kringing）建立軌跡誤差曲線與關節間隙之關係式來推估機械手 臂 A、B 的關節間隙大小。在三種特徵中，使用截距與震幅的關係式能夠有效推估出 間隙大小，推估準確度分別超過 95% 與 90%。由於以截距關係式所得的推估準確度 最高，因此最佳化目標路徑時考量的間隙大小是透過截距關係式推估出的間隙值。
3. 為了改善機械手臂的性能，考量推估出之關節間隙下對機械手臂 A 進行目標路徑最 佳化使目標點的誤差減少。並以原先給定之間隙大小的機械手臂 A 進行準度驗證，
在理想路徑的控制下機械手臂 A 於目標點的平均誤差為 0.637 mm，而透過最佳目 標路徑控制時的平均誤差則為 0.031 mm，準度改善率為 95.1%。上述之結果驗證本 研究之方法能夠有效的提高機械手臂之性能。
第 六 章