本論文旨在提出一套經由機械手臂運行之軌跡推估關節間隙大小並透過最佳化方法提 高機械手臂準度的方法，因此需建立考量自身重量、負重與關節間隙之機械手臂動態模型，
以此動態模型分析關節間隙對機械手臂準度之影響並改善手臂之準度，由上述之描述將下 列要點做為文獻探討之分類依據：
1. 關節間隙之相關文獻
2. 機械手臂精準度提昇方法
2.1
關節間隙之相關文獻2.1.1
關節間隙之影響與分析具有旋轉功能的關節主要可分為 ball joint 與 revolute joint 這兩種，而本論文所探討 的關節為 revolute joint ，故對探討 revolute joint 中的關節間隙文獻進行整理。
由於加工誤差為無法避免的不確定因素，因此無法避免關節內存在間隙，因此 K. L.
Ting等人 [11] 以幾何的方式分析連桿機構存在關節間隙時的誤差範圍，而 S. Mukras 等 人 [6] 則進一步探討因關節間隙使關節內發生磨耗的現象，並以存在關節間隙的 slider crank為例。
2.1.2
存在關節間隙之機械手臂動態模型Screw theory建模
而存在關節間隙之機械結構的動態模型建構方法可以分為兩種，第一種為使用 screw theory方法建模，如 C. R. Tischer 等人 [12] 探討關節間隙對連桿機構的精度影響，而 O.
Altuzarra等人 [13] 則以此方法建立平面五連桿機械手臂存在五個關節間隙時的動態模型，
分析軌跡的誤差。J. Aginaga 等人 [14] 考量關節間隙與桿件變形透過此方法建立平面五連 桿機械手臂的動態模型探討軌跡誤差。
Lagrange equation的 multiplier 方法建模
第二種方法考量因關節間隙產生的接觸力與摩擦力以 Lagrange equation 的 multiplier 方法與牛頓第二運動定理建模，Y. Zhao 等人 [15] 以此方法建立存在一個關節間隙的平面 兩連桿機械手臂的動態模型，而 X. Zhang 等人 [16] 探討 3-RRR 平面機構存在 6 個關節間 隙時的影響，L. X. Xu 等人 [17] 則探討平行五連桿機械手臂存在兩個關節間隙時的影響。
2.2
機械手臂精準度提昇方法工程系統如機械手臂往往涵蓋許多不同性能任務的次系統及其元件，系統間複雜的關 係雖使功能更多樣化，也加深了分析的難度。隨著元件的增加，分析影響機械手臂精準度 之因素也更加困難，而一般要分析一個系統必須
1. 對系統的輸入，輸出，及各子系統之連結有充分瞭解（如圖2.1之 Input）： 以機械手 臂為例，其系統中的各桿件尺寸與關節尺寸、機械手臂中各馬達的轉動角度、機械手 臂與工件座標系，加上控制系統的相關參數，整體成為系統的輸入。
2. 對系統本身所存在的非理想環境有所瞭解（如圖2.1之 Noise）： 在機器手臂的使用 上，系統受環境溫度影響、控制系統誤差、機械缺陷 (間隙、背隙、摩擦) 等都可視為 實際應用時的非理想環境。
3. 對系統在非理想環境下之性能有所掌控（如圖2.1之 Output）： 也因為以上的非理想 環境，機械手臂的 end-effector 位置與姿態、操作精度與準度以及機械手臂之可靠度 都會受影響，分析這樣的影響過程便為可靠度的分析。
圖 2.1: 系統方塊圖
因此若要提高機械手臂之精準度，探討不確定因素所造成之影響為重要步驟，而此步 驟也為大部分提高機械手臂精準度相關研究的方向。
2.2.1
機械手臂之不確定因素由於機械手臂為複雜之系統，因此對機械手臂不確定因素的探討為重要一環。J. L.
Caenen等人 [18] 與 J. H. Jang 等人 [19] 將造成誤差的不確定因素分為幾何誤差與非幾何 誤差兩類，而 K. L. Conrad 等人 [20] 則歸類為結構誤差（例如關節內的摩擦與桿件變形）、
設計誤差（例如桿長與、關節位置與設計時不同）與動態誤差（例如馬達轉角的誤差）。
2.2.2
提升精準度之方法在機械手臂的發展上通常透過校正受不確定因素影響之參數的方式提高精準度，因 此 Z. S. Roth 等人 [21] 的研究將校正分為三個層級，第一層級為校正馬達的位置感測 器。由於早期的感測器性能較差，所以需要校正，但隨著感測器技術的進步，此種校正 方法以不常使用。第二層級為校正機械手臂的運動學模型，而大部分的運動模型使用 Denavit-Hartenberg齊次轉換矩陣 [22]（DH 矩陣）建構，故此層級代表校正 DH 矩陣中 的參數，如 B. Karan 等人 [23] 透過修正系統 DH 矩陣中的參數（DH 參數）來提高手臂準 度。第三層級為針對其他因素校正，包含馬達背隙、桿件的撓性和磨耗等。而 A. Y. Elatta 等人 [24] 將常見的校正方法流程歸納為四個步驟，依序為建立機械手臂幾合模形、測量機 械手臂的幾何參數、辨別幾何參數的誤差、補償幾何參數誤差。
理想 Denavit-Hartenberg 齊次轉換矩陣參數
DH齊次轉換矩陣是一個座標間轉換的系統方法，廣泛用於計算機械手臂的順逆運動 學，而在計算運動學之前，需先訂定機械手臂連桿與關節間的關係以及關節的座標系。連
桿與關節間的關係為：第 i 根連桿近端為 i 接頭，遠端為 (i + 1) 接頭，如圖2.2所示，而座
以下將使用 DH 齊次轉換矩陣的方法由 (i − 1) 座標系透過轉換矩陣i−1Ai 轉換至 i 座
T (x, α) =
x0
非理想 Denavit-Hartenberg 齊次轉換矩陣參數
理想機械手臂系統可以表視為方程式（2.7），f 為機械手臂系統，d、ψ、a 與 α 為機
表 2.2: 存在不確定因素之 DH 參數表
座標系 di ψi Li αi
1 (0.076+δd1) m δψ1+ψ1 (0+δa1) m δα1+90◦ 2 (0+δd2) m 90◦+δψ2+ψ2 (0.4+δa2) m δα2+0◦ 3 (-0.012+δd3) m δψ3+ψ3 (0+δa3) m δα3+90◦ 4 (0.3543+δd4) m 0◦ (0+δa4) m 90◦
2.3
先前研究─ ─串連式機械手臂最佳參數校正與精度提昇機器手臂實體幾何參數之精確度，為決定該手臂能否依預設軌跡運作的一項重要因子，
一般手臂幾何參數的尋找仰賴其他高定位精度系統的輔佐，因此我們先前的研究以設計的 方法探討機器手臂的準度提昇方案，分析機械手臂之不確定因素並探討不確定因素所導致 的加工誤差，進而了解並提升手臂的運作效能。藉由觸碰校正板上之校正點所產生之封閉 機構鏈，再以最佳化方式，尋找出在封閉鏈中最佳化的手臂幾何參數，免除仰賴外在設備 校正手臂真實幾何參數之繁瑣程序，達到提昇精度的效果，結果經由實驗驗證有實際效益。
2.3.1
研究方法先前研究以校正 DH 參數的方式來提高手臂準度，因此設計一組機械手臂校正桌，使 用相機系統取得校正點的座標，讀取各關節馬達的 encorder 取得各軸轉角，並用最佳化的 方法迭代 DH 參數來降低不確定因素之影響，找出滿足精度要求的 DH 參數以提高機械手 臂精度，圖2.4此研究流程圖。
No
Yes
Yes
No
c d e
D
c e
D H
n
n
f
圖 2.4: 校正 DH 參數之研究流程圖
校正桌之設計與相機系統
此研究之對象為 3 自由度串連式機械手臂 [25]，其關節均為 revolute joint ，而存在 不確定因素的 DH 參數為表2.2，我們設計一校正桌與機械手臂整合為機械手臂校正系統如 圖2.5，其中校正桌包含校正板與傾斜機構此兩部分。
圖 2.5: 機械手臂校正系統1(a)校正桌 (b) 校正板上視圖 (c) 傾斜機構 (d) 傾斜機構上視圖
1. 校正桌設計
校正桌中的校正板上共有 33 個校正點分別組成圓形與直線兩種形狀。傾斜機構為增 加校正桌自由度之設計如圖2.6，主要為提供校正板能夠有 roll 與 pitch 方向的傾斜，
其目的在於探討不同的校正空間下精度校正之結果，而此研究中 roll 與 pitch 方向轉 角分別為 11.7◦ 與 11.8◦。
(a) (b) (c)
圖 2.6: 校正桌傾斜方向 (a) 水平放置, (b) roll 方向 (c) pitch 方向
• 相機系統
我們以 T-20S 相機系統2（Vicon Motion System Ltd.）抓取校正點座標以及驗證校
1本實驗平台為台大機械系林沛群教授提供
2相機系統為台大機械系林沛群教授提供
正後機械手臂的精度。
2.3.2
最佳化方法此研究的最佳化流程如圖2.4所示，取得校正點位於機械手臂系統中的真實座標與各軸 轉角後，由正向運動學計算出理想校正點座標，將每個校正點真實座標與理想座標的誤差 加總後得到目標函數，透過修正機械手臂的 DH 參數找出滿足限制條件下的最佳 DH 參數，
其限制條件為平均精度與各 DH 參數的誤差範圍。上述最佳化過程所建構出的最佳化方程 式 (2.9) 為下：
minDH′ E = 'k
j=1
(|Xj− Xj′(DH′)|)
with respect to δdi, δψi, δai, δαi
subject to |δdi| ≤ ed
|δψi| ≤ eψ
|δai| ≤ ea
|δαi| ≤ eα
E ≤ kA where i = 1, 2, ..., N
j = 1, 2, ..., k
DH′ = [∆d, ∆ψ, ∆a, ∆α]N×4
∆d = [d1+ δd1 d2+ δd2...dN + δdN]T
∆ψ = [ψ1+ δψ1 ψ2+ δψ2...ψN + δψN]T
∆a = [a1+ δa1 a2+ δa2...aN + δaN]T
∆α = [α1+ δα1 α2+ δα2...αN + δαN]T
(2.9)
最佳化設計的目標函數 E 為所有校正點真實座標與理想座標的誤差總和，Xj 與 Xj′ 分別 為校正點的真實座標與理想座標，i、j 為手臂關節與校正點的順序，N、k 為關節與校正 點的總數量，DH′為最佳化過程中要設計的機械手臂 DH 參數，di、ai、αi為機械手臂的 初始 DH 參數，ψi 為機械手臂位於校正點上時的關節轉角，而 δdi、δψi、δai、δαi是最佳
化過程中的設計變數，為機械手臂 DH 參數的修正量，ed、eψ、ea、eα為 DH 參數的修正 量範圍，A 為校正點的平均準度。此研究的最佳化程式是透過 matlab 的 fmincon 函數找 出滿足限制條件的最佳 DH 參數。
2.3.3
研究結果經由前述之步驟後取得三種校正空間最佳化之 DH 參數如表2.3：
表 2.3: 校正前後 DH 參數之比較
i Model di ψi ai αi
1 original 0.076 m ψ1 0 m 90◦ normal 0.0755 m -0.6036◦+ψ1 0.0003 m 90.0783◦
roll 0.0740 m -0.6093◦+ψ1 0.0020 m 90.0783◦ pitch 0.0780 m -0.7509◦+ψ1 0.0020 m 88.0000◦ 2 original 0 m 90◦+ψ2 0.4 m 0◦
normal -0.0004 m 90.0704◦+ψ2 0.4002 m -1.0250◦ roll 0.0003 m 91.4311◦+ψ2 0.4020 m -1.0250◦ pitch -0.0009 m 90.5759◦+ψ2 0.4020 m 1.8774◦ 3 original -0.012 m ψ3 0 m 90◦
normal -0.0124 m -0.1320◦+ψ3 -0.0001 m 89.4740◦ roll -0.0117 m -0.3118◦+ψ3 0.0004 m 89.4740◦ pitch -0.0127 m 0.4572◦+ψ3 -0.0002 m 88.0000◦ 4 original 0.3543 m 0◦ 0 m 90◦
normal 0.3545 m 0◦ -0.0001 m 90◦ roll 0.3563 m 0◦ 0.0004 m 90◦ pitch 0.3523 m 0◦ -0.0002 m 90◦
將這三組 DH 參數分次更新至機械手臂控制系統中，從控制系統中操作手臂移動至目 標座標位置，透過相機系統抓取實際座標位置計算誤差，其誤差結果為表2.4：
表 2.4: 校正後準度驗證（單位：mm）
Verification point Initial error Normal Roll Pitch point 1 (355,-275,50) 26.234 15.849 18.793 22.375 point 2 (355,-135,50) 26.522 17.444 15.677 20.094 point 3 (495,-275,50) 28.178 17.122 26.898 27.686 point 4 355,-415,50) 27.651 16.329 21.531 23.417 point 5 (215,-275,50) 25.949 16.230 12.514 16.230 point 6 (355,-275,150) 26.568 15.643 19.179 23.440 Average error 26.850 16.436 19.099 22.207 Improvement 38.789% 28.868% 17.292%
上述之結果顯示此研究對於提升機械手臂之準度已有初步且不錯之結果，最好的 校正空間為校正板平放之空間，其平均誤差由 26.850 mm 改善至 16.436 mm ，提高了 38.789%的準度，而最差的空間為校正板傾斜 pitch 方向之空間，平均誤差改善至 22.207 mm，提高了 17.292% 的準度，我們推測造成此結果差距之因素為機械手臂結構中剛性不 足、馬達背隙等因素所造成，使此研究之機械手臂最適合校正板水平放置的校正空間進行 校正，而對於其他不同結構的機械手臂，其所適合之校正空間則可能不完全相同，因此也 得知，不同空間下機械手臂會有不同的準度表現。
上述之結果顯示此研究對於提升機械手臂之準度已有初步且不錯之結果，最好的 校正空間為校正板平放之空間，其平均誤差由 26.850 mm 改善至 16.436 mm ，提高了 38.789%的準度，而最差的空間為校正板傾斜 pitch 方向之空間，平均誤差改善至 22.207 mm，提高了 17.292% 的準度，我們推測造成此結果差距之因素為機械手臂結構中剛性不 足、馬達背隙等因素所造成，使此研究之機械手臂最適合校正板水平放置的校正空間進行 校正，而對於其他不同結構的機械手臂，其所適合之校正空間則可能不完全相同，因此也 得知，不同空間下機械手臂會有不同的準度表現。