第四章 佈局繞線疊構方式之高頻電磁特性分析
4.1 差動傳輸線之模擬結果分析
4.1.4 差動傳輸線之傳播常數 γ
本小節會模擬當頻率 Freq、線寬 W 及間距 S 變化時，傳播常數γ會有甚麼變化 是變大或變小。傳播常數γ：
4.1.4.1 頻率 frequency 變化
將模擬頻率 Freq 從 1GHz 至 400GHz 時，傳播常數γ有甚麼變化。表 4-1 是模 擬頻 Freq 變數時，差動傳輸線的尺寸大小，其使用製程最小線寬、最小間距。圖 4-14 是將表 4-1 畫成立體圖，以方便對照。
傳輸線 變數
M1至M4 K1至K3 T1
L (um) 30 30 30
t (um) 0.22 0.4 0.9
Lw (um) 2 2 2
S (um) 0.12 0.4 0.5
W (um) 0.1 0.2 0.5
Freq (GHz) 1-400 1-400 1-400
表 4-1 模擬γ時變數頻率之傳輸線尺寸 傳輸線模擬變數示意圖
圖 4-14 模擬傳播常數γ頻率時傳輸線之立體圖
單位:um
模擬傳輸線的相對位置圖
48
表 4-2 M1 至 M4 Odd Mode 隨頻率 Freq 增加對γ的影響
表 4-3 K1 至 T1 Odd Mode 隨頻率 Freq 增加對γ的影響
(a) M3 W=0.1um S=0.12um t=0.22um (b) T1 W=0.5um S=0.5um t=0.9u
圖 4-15 M3、T1 Odd Mode 之傳播常數γ圖
表 4-2 和表 4-3 M1 至 T1 Odd Mode 隨頻率 Freq 增加對 γ 的影響，由表可知：
1. 頻率 50GHz＜Freq＜400GHz：
M1 至 T1 的 β 遠大於 α，由圖 4-15 更清楚看到頻率>50GHz 就 β 遠大於 α。
(1) β 遠大於 α，代表電磁波傳播分佈大部份在 Oxide 介電層傳播，能量損耗低。
Tb(Freq) [GHz] M1 : M2 : M3 : M4 :
1 1 877.08 + 877.69i 841.11 + 842.26i 821.75 + 822.95i 826.62 + 827.85i 2 10 2755.92 + 2783.36i 2643.34 + 2679.78i 2581.26 + 2619.63i 2596.48 + 2635.53i 3 50 5967.16 + 6399.41i 5749.63 + 6161.52i 5603.73 + 6036.53i 5636.98 + 6074.13i 4 100 8145.01 + 9389.91i 7862.43 + 9024.52i 7647.18 + 8866.46i 7692.53 + 8923.00i 5 400 13678.33 + 23046.67i 13229.48 + 21988.96i 12853.03 + 21869.39i 12947.75 + 22019.87i
Lw=2um
M1_M4 Odd Mode Gamma
0 50 100 150 200 250 300 350 400 Freq [GHz]
0 2500 5000 7500 10000 12500 15000 17500 20000 22500
Y1
Lw=2um
M3 K1 Odd Mode Gamma
M3 Alpha
K1 Alpha K1 Beta M3 Beta
0 50 100 150 200 250 300 350 400 Freq [GHz]
0 2500 5000 7500 10000 12500 15000 17500
Y1
Lw=2um
T1 Odd Mode Gamma
T1 Beta
T1 Alpha
49
以 T1、K1、M3 為例，頻率 400GHz：
電磁波損耗 T1＜K1＜M3，M3 損耗最多，T1 損耗最小。
圖 4-16(a) 是 400GHz T1 下內外部磁場分佈圖， β α ，可知 T1 的磁場有 很大部分在傳輸線中間的介電層 A 裡，傳輸線內 B 是淺深藍色，電磁波從 A 到 B，
衰減幅度大，這也表示進入 T1 內部少。再看圖 4-16(b)是 T1 傳輸線內部磁場分佈圖，
傳輸線內部 C 藍色磁場分布很小，電磁波在 T1 內損耗不大。
(a) 傳輸線內外部 T1 W=0.5um S=0.5um t=0.9um (b)傳輸線內部 圖 4-16 T1 400GHz 的磁場分佈圖
β α ，可知 K1 電磁波有部分在介電層裡與傳輸線內部，圖 4-17(a) 是
400GHz 下 K1 內外部磁場分佈圖，介電層 A 有磁場分佈，傳輸線內 B 也有，B 是土 黃色電磁波仍多。再看圖 4-17(b)是 K1 傳輸線內部磁場分佈圖，傳輸線內 C 電磁波 比 T1 還要多，電磁波在 K1 損失比 T1 多。
(a) 傳輸線內外部 K1 W=0.2um S=0.2um t=0.4um (b)傳輸線內部 圖 4-17 K1 400GHz 的磁場分佈圖
A B
C B
C B
A B
50
β α ，表示電磁波深入 M3 傳輸線裡，圖 4-18(a) 是 400GHz 下 M3 內外 部磁場分佈圖，介電層 A 紅色，傳輸線內 B 也紅色，電磁波進入 M3 表面並未衰減，
表示 M3 內部很多電磁波。再看圖 4-18(b)是 M3 內部磁場分佈圖，傳輸線內 C 是綠 色未到藍色，磁場多。電磁波穿透 M3，因此在 M3 電磁能量損耗比 K1 更多。
(a) 傳輸線內外部 M3 W=0.1um S=0.12um t=0.22um (b)傳輸線內部 圖 4-18 M3 400GHz 的磁場分佈圖
(2) α、β 斜率：α 其斜率 1/2；β 為 γ 虛部β ，其斜率 1。由圖 4-15 就可知β 、α 。
(3) 傳輸線內側表面聚集很多磁場：當電磁波進入傳輸線內，大部分都會在表面快 速衰減，因此傳輸線內側表面聚集了很多磁場，由圖 4-15、圖 4-16、圖 4-17 可知。
(4) 電磁波的衰減：由圖 4-16、4-17、4-18 可知。往兩個方向衰減 X 方向、Z 方向。
X 方向由兩傳輸線間內側往傳輸線內部遞減，且又往 Z 方向邊走邊衰減，以 α 方式 遞減，如圖 4-18，黑色那條線。
(5) 表面電流：傳輸線內側表面有磁場分佈，就有表面電流形成。
T1 W=0.5 S=0.5 t=0.9 K1 W=0.2 S=0.2 t=0.4 M3 W=0.1 S=0.12 t=0.22 圖 4-19 T1、K1、M3 400GHz 的體電流密度圖 單位:um
X Z=0
Z=30
C A B
B
e-αz
51
圖 4-19 是 400GHz 下 T1、K1、M3 的體電流密度圖，電磁波穿透傳輸線導體程度：
T1＜K1＜M3，截面積：T1＞K1＞M3，體電流密度：T1＜K1＜M3。
(6) 表面電流衰減：圖 4-20 是 M3、K1、T1 在頻率 400GHz 時候，從 Z=0 打 1W 進入 P1 內，再從 Z=30 P1 端看電流分佈情形。M3 打 1W 進入，在 P1 Z=0 電流是紅 色，在 Z=30 M3 內側表面電流還是紅色，但在內部已變成土紅色衰減掉了。衰減幅 度如圖 4-19(e)黑色曲線以 α 方式遞減，且同時在 X、Z 方向衰減。圖 4-21 是電流 在 X、Z 方向衰減示意圖。
(a) 從 Z=0 打 1W 進入 P1 M3 W=0.1 S=0.12 t=0.22 (b) 從 Z=30 P1 看電流情形
(c) 從 Z=0 打 1W 進入 P1 K1 W=0.2 S=0.2 t=0.4 (d) 從 Z=30 P1 看電流情形
(e) 從 Z=0 打 1W 進入 P1 T1 W=0.5 S=0.5 t=0.9 (f) 從 Z=30 P1 看電流情形 圖 4-20 M3、K1、T1 400GHz 傳輸線電流分佈圖
P1 P1
P1 P1
P1 P1
X
X
X Z=0
Z=30
e-αz
Z=30
Z=0 Z=30
Z=0
Z=30
Z=0
Z=30
Z=0 Z=0
Z=30
52
圖 4-21 電流在 X、Z 方向衰減示意圖
2. 頻率 1GHz＜Freq＜50GHz：M1 至 K3 的(β/α)≒1，T1 在 1GHz(β/α)≒1
(1) α≒β：表示很多電磁波跑到傳輸線裡，在介電層裡的比例就降下了。這樣會 造成電磁波在行進時損耗大。
以 T1、K1、M3 為例，頻率在 1GHz 下：
β α β α β α β α ，圖 4-22 (a)是 1GHz 下 M3 內外部磁場分佈圖，電磁波從介電層 A 到 M3 表面 B 的地方幾乎沒有衰減，電磁波進入 M3 內。再看圖 4-22(b)是 M3 傳輸 線內部磁場分佈圖，從介電層 A 到 M3B 再到 M3 內部 C 電磁波一路衰減，但到 M3 C 時，磁場分佈是綠色，表示 M3 內部存在著許多電磁波，電磁波完全穿透了 M3，
損耗非常大。
(a) 傳輸線內外部 M3 W=0.1um S=0.12um t=0.22um (b)傳輸線內部 圖 4-22 M3 1GHz 的磁場分佈圖
A B
C B
Z=30
53
β α ，圖 4-23 (a)是 K1 1GHz 下內外部磁場分佈圖，電磁波從介電層 A 到
K1 表面 B 幾乎沒有衰減，再進入 K1 內部 C，由圖 4-23(b)可知，到 K1C 時，磁場分 佈是淺淺藍，表示傳輸線內部存在些電磁波但比 M3 少。電磁波也是穿透 K1，損耗 也是很大但比 M3 小。
(a) 傳輸線內外部 K1 W=0.2um S=0.2um t=0.4um (b)傳輸線內部 圖 4-23 K1 1GHz 的磁場分佈圖
β α ，圖 4-24 (a)是 T1 1GHz 下內外部磁場分佈圖，電磁波從介電層 A 到
T1 表面 B 是有衰減的，衰減後再到 T1 內部 C。圖 4-24 (b)是 T1 內部磁場分佈圖，
電磁波到 T1C 時，磁場分佈是淺藍色，表示傳輸線內部存在少部份電磁波但比 K1 少，電磁波也穿透 T1，損耗也是大但比 K1 小。
(a) 傳輸線內外部 T1 W=0.5um S=0.5um t=0.9um (b)傳輸線內部 圖 4-24 T1 1GHz 的磁場分佈圖
A B
C B
A B
C B
54
(2) 表面電流：從上面可知電磁波都穿透 M3、K1、T1，電流也就佈滿整個傳輸線 如圖 4-25。電磁波穿透程度：M3＞K1＞T1，截面積：M3＜K1＜T1，體電流密度：
M3＞K1＞T1。
M3 W=0.1 S=0.12 t=0.22 K1 W=0.2 S=0.2 t=0.4 T1 W=0.5 S=0.5 t=0.9 圖 4-25 M3、K1、T1 1GHz 的體電流密度圖 單位:um
55
4.1.4.2 線寬 Width 變化
將模擬線寬 W=0.1um~4um，傳播常數 γ 有甚麼變化。表 4-4 是模擬線寬 W 時，差 動傳輸線的尺寸表。圖 4-26 模擬傳播常數 γ 時變數線寬 W 之傳輸線立體圖
傳輸線 變數
M3 K1 T1
L (um) 30 30 30
t (um) 0.22 0.4 0.9
Lw (um) 2 2 2
S (um) 0.5 0.5 0.5 W (um) 0.1~4 0.1~4 0.1~4 Freq (GHz) 1&400 1&400 1&400
表 4-4 模擬 γ 時變數 W 之傳輸線尺寸 傳輸線模擬變數示意圖
圖 4-26 模擬傳播常數 γ 時變數線寬 W 之傳輸線立體圖，單位:um
圖 4-27 M3、K1、T1 1GHz 圖 4-28 M3、K1、T1 400GHz 線寬 W 增加對 γ 的影響線 寬 W 增加對 γ 的影響
0.1 0.6 1.1 1.6 2.1 2.6 3.1 3.6 4.0
$W [um]
0 100 200 300 400 500 600
Y1
S=0.5um
M3 K1 T1 1GHz Gamma
T1 Beta T1 Alpha K1 Beta
K1 Alpha M3 Beta M3 Alpha
0.1 0.6 1.1 1.6 2.1 2.6 3.1 3.6 4.0
$W [um]
0 2500 5000 7500 10000 12500 15000 17500 20000
Y1
S=0.5um
M3 K1 T1 400GHz Gamma
M3 T1
Alpha Beta K1
M3
K1 T1
Name
56
$W [um] α β (β /α )
0.1 562.903 564.207 1.002 0.2 428.664 430.430 1.004 0.3 358.840 361.022 1.006 0.4 319.602 322.117 1.008 0.5 291.124 293.906 1.010 0.6 272.182 275.209 1.011 0.7 256.796 260.042 1.013 0.8 244.920 248.401 1.014 0.9 234.598 238.276 1.016
1 225.412 229.253 1.017
$ W [ u m ] α β (β /α )
0 . 1 7 3 3 6 . 1 3 41 7 4 6 4 . 0 1 52 . 3 8 1 0 . 2 4 5 0 0 . 2 4 41 6 6 0 5 . 8 2 33 . 6 9 0 0 . 3 3 2 9 3 . 9 0 61 6 4 3 7 . 4 4 84 . 9 9 0 0 . 4 2 7 3 2 . 9 5 31 6 3 9 2 . 1 2 15 . 9 9 8 0 . 5 1 0 6 6 . 5 7 71 6 3 6 8 . 9 0 21 5 . 3 4 7 0 . 6 9 8 5 . 7 1 61 6 4 3 3 . 3 6 51 6 . 6 7 1 0 . 7 9 1 8 . 2 6 71 6 4 6 8 . 1 9 41 7 . 9 3 4 0 . 8 8 6 2 . 8 0 41 6 5 0 0 . 6 6 81 9 . 1 2 4 0 . 9 8 1 1 . 7 2 01 6 5 0 6 . 6 7 02 0 . 3 3 5 1 7 9 1 . 9 3 61 6 5 4 5 . 3 4 32 0 . 8 9 2 (a) M3 頻率 1GHz (b)M3 頻率 400GHz
表 4-5 M3 頻率 1GHz、400GHz 線寬 W 增加α、β相對比值
圖 1-27、圖 4-28 與表 4-5 是 M3、K1、T1 1GHz、400GHz 時，線寬 W 增加對 γ 的影響。由表 4-5 中可知：
1. 線寬 W 增加，(β/α)值增加，電磁波損耗有降低，但在低頻 1GHz，M3、K1 損失 仍大。
2. 原因：一般磁場分佈大部份集中在傳輸線中間介電層裡。線寬增加，磁場繞行傳 輸線間距變遠，能量分散。傳輸線內側就不易被電磁波穿透，由圖 4-29 可知，M3 內 側磁場 W=0.5um＜W=0.1um，電磁波穿透程度 W=0.5um＜W=0.1um，電磁波損耗減 少。
(a) M3 S=0.5、W=0.1、t=0.2 1GHz (b) M3 S=0.5、W=0.5、t=0.22 圖 4-29 M3 頻率 1GHz 不同線寬 W 之磁場圖
57
4.1.4.3 間距 Space 變化
將模擬間距 S=0.12um 至 1um 時，傳播常數 γ 有甚麼變化。表 4-6 是模擬間距 S 變 數時，差動傳輸線的尺寸。圖 4-30 模擬頻率時傳輸線之立體圖。
傳輸線 變數
M3 K1 T1
L (um) 30 30 30
t (um) 0.22 0.4 0.9
Lw (um) 2 2 2
S (um) 0.12~1 0.12~1 0.12~1 W (um) 0.5 0.5 0.5 Freq (GHz) 1&400 1&400 1&400
表 4-6 模擬 γ 時變數 S 之傳輸線尺寸 傳輸線模擬變數示意圖
圖 4-30 模擬傳播常數 γ 時間距 S 傳輸線之立體圖，單位:um
圖 4-31 M3、 K1 、T1 1GHz 圖 4-32 M3、 K1 、T1 400GHz 間距 S 增加對 γ 的影響 間距 S 增加對 γ 的影響 0.12 0.25 0.37 0.50 0.62 0.75 0.87 1.00
$S [um]
100 150 200 250 300 350 400 450
Y1
W=0.5um
M3 K1 T1 1GHz Gamma
T1 Beta Alpha Beta Alpha K1 Alpha
Beta M3
0.12 0.25 0.37 0.50 0.62 0.75 0.87 1.00
$S [um]
0 2500 5000 7500 10000 12500 15000 17500 20000
Y1
W=0.5um
M3 K1 T1 400GHz Gamma
K1 T1
Alpha
M3 K1 T1
M3
Beta
58
$S [um] α β (β /α )
0.12 406.151 409.163 1.00742 0.13 395.555 398.505 1.00746 0.14 389.382 392.318 1.00754 0.15 378.468 381.380 1.00769 0.16 377.624 380.482 1.00757 0.17 372.164 375.021 1.00768 0.18 362.799 365.663 1.00789 0.19 360.863 363.729 1.00794
0.2 357.064 359.866 1.00785
$ S [ u m ] α β (β /α )
0 . 1 2 4 8 9 7 . 1 4 0 1 8 8 8 9 . 7 7 73 . 8 5 7 0 . 1 3 4 6 3 9 . 7 6 7 1 8 5 4 5 . 6 1 63 . 9 9 7 0 . 1 4 4 5 1 0 . 3 5 5 1 8 3 5 1 . 7 0 64 . 0 6 9 0 . 1 5 4 2 7 3 . 1 4 1 1 8 0 3 5 . 8 9 14 . 2 2 1 0 . 1 6 4 1 9 8 . 0 4 4 1 8 0 2 3 . 8 3 14 . 2 9 3 0 . 1 7 4 0 7 8 . 9 2 2 1 7 8 9 7 . 0 2 54 . 3 8 8 0 . 1 8 3 9 1 7 . 5 3 1 1 7 6 5 4 . 3 1 64 . 5 0 6 0 . 1 9 3 8 7 2 . 3 6 9 1 7 6 2 1 . 8 6 74 . 5 5 1 0 . 2 3 7 4 1 . 5 6 0 1 7 5 1 2 . 6 6 04 . 6 8 1
(a) M3 頻率 1GHz (b) M3 頻率 400GHz表 4-7 M3 頻率 1GHz、400GHz 間距 S 增加α、β相對比值
圖 4-31、圖 4-32 和表 4-5 是 M3、K1、T1 1GHz、400GHz 時，間距 S 增加對 γ 的影響。由表 4-7 中可知：
1. 間距 S 增加，(β/α)值增加，損耗有降低，但在低頻 1GHz，M3、K1 損失仍大。
2. 原因：當間距 S 增加時，介質中的磁場也會變多如圖 4-33 (b)，相對在傳輸線附近 的磁場也變小。電磁波就不易進入傳輸線內，α、β 值就減少。
(a) M3 S=0.12、W=0.1、t=0.22 1GHz (b) M3 S=0.5、W=0.1、t=0.22
(a) M3 S=0.12、W=0.1、t=0.22 400GHz (b) M3 S=0.5、W=0.1、t=0.22 圖 4-33 M3 頻率 1GHz、400GHz 不同間距 S 之磁場圖
59
傳播常數
α、β 原因
α=β δ> width
(β/α)↑ δ<width
(β/α)↑ 傳輸線周圍磁場分散
(β/α)↑ 介電層中磁場增加
變數
1GHz<低頻<50GHz 50GHz<高頻<400GHz
線寬W增加 距離S增加
表 4-8 整理各變數對傳播常數γ之α、β影響
從表 4-8 可知頻率高頻、線寬增加、間距增加，(β/α)值皆上升，介電質中電磁波 分佈增加，就不易穿透傳輸線，損耗也會減少。頻率低時，β＝α，電磁波完全穿透傳 輸線，造成能量損失很大。
4.1.4.4 前向波電壓
利用電壓公式、α 與 β 值就可以求出圖 4-34 M3 頻率 1GHz、10GHz、100GHz、
400GHz 前向波電壓。電壓公式如下：
α β
由圖中可知 1GHz 電壓波前進至 5mm 時已經快衰減完了；10GHz 到 2mm、100GHz 到 0.5mm(500um)、400GHz 到 0.3mm(300um)。
圖 4-34 M3 頻率 1GHz、10GHz、100GHz、400GHz 前向波電壓圖 M3 400GHz 為例：
圖 4-35 是 M3 400GHz 前向波電壓圖。400GHz 的 α=13168.8(Np/m)
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
$Z [mm]
-1.00 -0.75 -0.50 -0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
V (z,t )
HFSSDesign1
M3 Odd Mode V(z,t)
1G
400G
10G100G
Freq(Hz) Z(mm)
1G 5
10G 2
100G 0.5
400G 0.3
60
=13.1688(Np/mm)，其表示電壓波到 Z=100um 已衰減至 α β V，
衰減 7dB 值；β=21985(rad/m) =21.985 (rad/mm)，300um 內約有 1 個週期。波長 λ
β
。
圖 4-35 M3 400GHz 前向波電壓圖 T1 400GHz 為例：
圖 4-36 是 T1 400GHz 前向波電壓圖。T1 400GHz 的 α=1391.05(Np/m)
=1.391(Np/mm)，表示電壓波到 Z=1mm 已衰減至 α β V 約 1/4，衰減 6dB 值；β=18496.5(rad/m) =18.49 (rad/mm)代表 1mm 內約有 3 個週期。
d(m1,m2)之 DeltaX 就是波長λ
β
≒0.34um，DeltaY 就是每一 週期電壓就衰減-0.24V。當電壓波到 Z=1.5mm 時，電壓幾乎快衰減完了。
圖 4-36 T1 400GHz 前向波電壓圖
0 50 100 150 200 250 300
$Z [um]
-1.00 -0.75 -0.50 -0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
V (z,t )
HFSSDesign1
M3 Odd Mode 400G V(z,t) forward wave
m1
m2
Name X Y
m1 100.0000 -0.1603 m2 285.0000 0.0254
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$Z [mm]
-1.00 -0.75 -0.50 -0.25 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
V(z ,t )
T=1ns
T1 400G V(z,t)_forward wave
m2
m1