第三章 相關研究方法與腦電波資料集
3.3 希爾伯特黃轉換
希爾伯特黃轉換由黃鍔院士於 1998 年所提出[32]，被認為很適合處理非 線性或非穩定的訊號，且具有多尺度(Multi-scale)、適應性等特性。希爾伯 特 黃 轉 換 的 架 構 主 要 分 成 兩 大 部 分 ： 經 驗 模 態 分 解(Empirical mode decomposition, EMD)和希爾伯特轉換(Hilbert transform, HT)。其中經驗模態 分解法可以將訊號拆解成有限個本質模態函數(Intrinsic mode functions, IMFs)與一個均值趨勢殘留量(Mean trend)的加總，而這些拆解出來的成份皆
(1) 在整筆資料中，局部極小值(Local minima)和局部最大值(Local maxima)的數目之合要與跨零點(Zero-crossing)的數目相同或是最多 相差一個。
(2) 在任何時間點上，局部極大值所定義的上包絡線(Upper envelope)與 局部及小值所定義的下包絡線(Lower envelope)平均值必須為零。
這些條件的目的是為了避免在求得訊號每一個時間點的瞬時頻率時，受到非 對稱波形(Asymmetric wave forms)所造成不必要的干擾，所以理想上希望訊 號任一局部平均值(The local mean)為零，以保持訊號的對稱性。然而對於非 穩定訊號，以局部時間尺度(Local time scale)內的局部平均值來計算整體訊 號的平均值是不可能的，於是在此以條件(2)來解決這個問題。而之所以稱作
「本質模態函數」，是因為此函數皆以振盪成份的模式(The oscillation mode) 內嵌於原始訊號，並根據此定義，本質模態函數以過零點的方式呈現一種特
定模式的振盪，並排除複雜的載波(Riding waves)。
然而，大部分的訊號並無法與本質模態函數的條件吻合。為了確定經驗 模態分解有足夠的能力拆解訊號，則上述兩個條件必須要做一些調整[32]，
調整過後的分解程序稱之為「篩選程序」(Sifting process)，其流程如下：
(1) 確定原始訊號x t( )的極值點，並使用立方雲線(Cubic spline)找出局部 準差(Standard deviation, SD)為停止標準，標準差值介於 0.2~0.3 之 間。
其中n 代表本質模態函數的數目，r tn( )代表最後的殘留訊號。
由於經驗模態分解的條件和篩選程序的定義，所以c tj( ) j=1,...,n每一個本 質模態函數彼此間幾乎具有正交性且平均值為零。
接 著 ， 將 每 一 個 本 質 模 態 函 數c tj( )透 過 希 爾 伯 特 轉 換 至 複 數 平 面 (Complex plane)，而轉換公式如下式(3.7)所示：
( )
j( )
( ) ( ) 可以解決振幅調變(Amplitude modulation)或頻率調變(Frequency modulation) 等訊號，突破訊號進行傅立葉級數展開時，常數振幅和固定頻率上的限制。
式(3.15)將訊號振幅與頻率以時間函數的方式來表示，並可以三維繪圖 的方式來呈現振幅、頻率、時間的關係。希爾伯特頻振幅頻譜圖(Hilbert amplitude spectrum)，H( , )ω ，簡稱(Hilbert spectrum)，可以呈現訊號在時間、t
頻率平面上(Time-frequency plane)振幅的分布，並以彩色編碼的方式來表示 振幅的大小，可以將原始訊號投射到時間、頻率平面，並當作一個雙變數(頻 率、時間)的函數。另外，如果存在某些訊號，適合以振幅的平方值當作能 量密度來呈現，此方式稱作希爾伯特能量頻譜圖(Hilbert power spectrum)。
若 將 希 爾 伯 特 振 幅 頻 譜 對 時 間 積 分 ， 即 可 定 義 邊 際 頻 譜(Marginal
(a)
(b)
(c)
圖3.5 快速傅立葉轉換和希爾伯特黃轉換時頻圖之比較
後，希爾伯特振幅頻譜對時間積分，得到邊際頻譜。所以訊號在時間、頻率、
振幅或能量的分布情形可透過上述程序和計算來得到。
在此以簡單的例子來突顯希爾伯特黃轉換之時頻圖與快速傅立葉轉換
之頻譜圖(Fast Fourier transform, FFT)彼此間的差異。如圖 3.5 所示，圖(a)為 原始時間序列的腦電波訊號，圖(b)為腦電波訊號之快速傅立葉轉換頻譜圖，
圖(c)為原始腦電波訊號經由經驗模態拆解成數個本質模態函數後，進行希爾 伯特轉換所得到的頻譜圖。
可以清楚觀察到，快速傅立葉轉換頻譜圖，圖3.5(b)，僅能反映出訊號 之頻率成份分佈與幅度(Magnitude)之間的變化，然而希爾伯特黃轉換振幅頻 譜圖，圖 3.5(c)，可以同時反映出時間、頻率、幅度之間的變化關係，X 軸 表示時間，Y 軸表示頻率，彩色編碼表示振幅大小，越接近紅色代表振幅或 能量越高。因此，希爾伯特黃轉換可以應用於腦電波訊號的時頻分析，藉此 捕捉腦電波活動的瞬時(Transient)變化，並同時保留訊號在時間域和頻率域 上的資訊，找尋有利於辨識和分析的特徵。