平均值與變異數

在第二章的第二節到第四節將三種類型分別做討論，並且求出三樣東西，分 別為移動距離Ω的機率分佈函數、不需移動即可修復網路斷開的機率Ω < 0之機 率以及與前車的距離Φ的機率分佈函數，在這裡會利用先前求出的Ω的機率分佈 函數去計算平均值與變異數，為了求出變異數，我們會先求出二階動差，以下 將分別以π_j−1 = 0 (Π₀)與π_j−1 = K (Π_𝐾)兩種狀態做討論。

2.6.1 𝛑

= 𝟎 ( 𝚷 _𝟎 )

A 類型一 (Λ₁)

根據第二章所討論的，在π_j−1 = 0 (Π₀)狀態下的類型一 (Λ₁)的Ω的機率分佈 函數在事件一時為式(2-15)，在事件二時為式(2-26)，而事件一發生的機率為式 (2-30)，事件二發生的機率為式(2-31)，因此平均值與二階動差為

E[𝑋|Λ₁Π₀] = P₁∙ ∫ 𝑥 ∙ f₀^∞ _{Ω|Λ1Π0Γ𝐿}(𝑥)𝑑𝑥+ P₂∙ ∫ 𝑥 ∙ f₀^∞ _{Ω|Λ1Π0Γ𝑅}(𝑥)𝑑𝑥 (2-84) 𝐸[𝑋²|Λ₁Π₀] = P₁∙ ∫ 𝑥₀^{∞ 2}∙ f_{Ω|Λ1Π0Γ𝐿}(𝑥)𝑑𝑥+ P₂∙ ∫ 𝑥₀^{∞ 2}∙ f_{Ω|Λ1Π0Γ𝑅}(𝑥)𝑑𝑥. (2-85)

B 類型二 (Λ₂)

在π_j−1 = 0 (Π₀)狀態下的類型二(Λ₂ )的Ω的機率分佈函數在事件一時為式(2-45)，在事件二時為式(2-52)，而事件一發生的機率為式(2-54)，事件二發生的機 率為式(2-55)，因此平均值與二階動差為

E[𝑋|Λ₂Π₀] = P₁∙ ∫ 𝑥 ∙ f₀^∞ _{Ω|Λ2Π0Γ𝐿}(𝑥)𝑑𝑥+ P₂∙ ∫ 𝑥 ∙ f₀^∞ _{Ω|Λ2Π0Γ𝑅}(𝑥)𝑑𝑥 (2-86) 𝐸[𝑋²|Λ₂Π₀] = P₁∙ ∫ 𝑥₀^{∞ 2}∙ f_{Ω|Λ2Π0Γ𝐿}(𝑥)𝑑𝑥+ P₂∙ ∫ 𝑥₀^{∞ 2}∙ f_{Ω|Λ2Π0Γ𝑅}(𝑥)𝑑𝑥. (2-87)

C 類型三 (Λ₃)

在π_j−1 = 0 (Π₀)狀態下的類型三 (Λ₃ )的Ω的機率分佈函數在事件一時為式(2-70)，事件二時不會發生，故事件一發生的機率為 1，事件二發生的機率為 0，因 此平均值與二階動差為

E[𝑋|Λ₃Π₀] = ∫ 𝑥 ∙ f₀^∞ _{Ω|Λ3Π0Γ𝐿}(𝑥)𝑑𝑥 (2-88) 𝐸[𝑋²|Λ₃Π₀] = ∫ 𝑥₀^{∞ 2}∙ f_{Ω|Λ3Π0Γ𝐿}(𝑥)𝑑𝑥. (2-89)

D 三種類型合併

根據上述三種類型求出的平均值與二階動差，乘上各自的發生機率後相加，

三種類型的發生機率在π_j−1 = 0的狀態下根據先前所討論的分別為式(2-2)、式(2-3)與式(2-4)，依序為類型一之發生機率、類型二之發生機率與類型三之發生機 率，因此平均值就可由三種類型之發生機率式(2-2)、式(2-3)與式(2-4)以及三種 類型的平均值式(2-84)、式(2-86)與式(2-88)得出

E[𝑋] = ∑³_𝑖=1Pr{Λ_𝑖|Π₀} × E[𝑋|Λ_𝑖Π₀] (2-90) 而二階動差可由三種類型之發生機率式(2-2)、式(2-3)與式(2-4)以及三種類型的 二階動差式(2-85)、式(2-87)與式(2-89)得出

𝐸[𝑋²] = ∑³_𝑖=1Pr{Λ_𝑖|Π₀} × E[𝑋²|Λ_𝑖Π₀] (2-91) 因此變異數可由三種類型合併後之平均值式(2-90)與二階動差式(2-91)獲得

𝑉𝑎𝑟[𝑋] = 𝐸[𝑋²] − (𝐸[𝑋])². (2-92)

2.6.2 𝛑

= 𝑲 ( 𝚷 _𝑲 )

A 類型一 (Λ₁)

根據第二章所討論的，在π_j−1 = K (Π_K)狀態下的類型一 (Λ₁)的Ω的機率分佈 函數與在π_j−1 = K (Π_K)狀態下時相同，因此在事件一時為式(2-15)，在事件二時 為式(2-36)，而事件一發生的機率為式(2-30)，事件二發生的機率為式(2-31)，因 此平均值與二階動差為

E[𝑋|Λ₁Π_K] = P₁∙ ∫ 𝑥 ∙ f₀^∞ Ω|Λ₁Π_𝐾Γ_𝐿(𝑥)𝑑𝑥+ P₂∙ ∫ 𝑥 ∙ f₀^∞ Ω|Λ₁Π_𝐾Γ_𝑅(𝑥)𝑑𝑥 (2-93) 𝐸[𝑋²|Λ₁Π_K] = P₁∙ ∫ 𝑥₀^{∞ 2}∙ f_{Ω|Λ1Π𝐾Γ𝐿}(𝑥)𝑑𝑥+ P₂∙ ∫ 𝑥₀^{∞ 2}∙ f_{Ω|Λ1Π𝐾Γ𝑅}(𝑥)𝑑𝑥. (2-94)

B 類型二 (Λ₂)

在π_j−1 = K (Π_𝐾)狀態下的類型二(Λ₂)之Ω的機率分佈函數在事件一的K ≤ R 時為式(2-60)，在事件一的K > R時為式(2-62)，而根據第二章所討論，事件二在 此類型不會發生，故事件一發生的機率為 1，事件二發生的機率為 0，因此平均 值與二階動差需分成兩種情況去做討論，分別為K ≤ R與K > R。

I. K ≤ R

在K ≤ R時平均值與二階動差可根據式(2-60)獲得

E[𝑋|Λ₂Π_K, K ≤ R] = ∫ 𝑥 ∙ f₀^∞ _{Ω|Λ2Π𝐾Γ𝐿,K≤R}(𝑥)𝑑𝑥 (2-95) E[𝑋²|Λ₂Π_K, K ≤ R] = ∫ 𝑥₀^{∞ 2}∙ f_{Ω|Λ2Π𝐾Γ𝐿,K≤R}(𝑥)𝑑𝑥 (2-96)

II.

在K > R時平均值與二階動差可根據式(2-62)獲得

E[𝑋|Λ₂Π_K, K > R] = ∫ 𝑥 ∙ f₀^∞ _{Ω|Λ2Π𝐾Γ𝐿,K>R}(𝑥)𝑑𝑥 (2-97) E[𝑋²|Λ₂Π_K, K > R] = ∫ 𝑥₀^{∞ 2}∙ f_{Ω|Λ2Π𝐾Γ𝐿,K>R}(𝑥)𝑑𝑥 (2-98)

C 類型三 (Λ₃)

在π_j−1 = K (Π_K)狀態下的類型三(Λ₃)的Ω的機率分佈函數根據第二章所討 論，事件一不會發生，而事件二的Ω的機率分佈函數為式(2-75)，故事件一發生 的機率為 0，事件二發生的機率為 1，因此平均值與二階動差為

E[𝑋|Λ₃Π_𝐾] = ∫ 𝑥 ∙ f₀^∞ _{Ω|Λ3Π𝐾Γ𝑅}(𝑥)𝑑𝑥 (2-99) 𝐸[𝑋²|Λ₃Π_K] = ∫ 𝑥₀^{∞ 2}∙ f_{Ω|Λ3Π𝐾Γ𝑅}(𝑥)𝑑𝑥 (2-100)

D 三種類型合併

2.6.3 延遲時間的平均值與變異數

根據上述所計算出的移動距離之平均值與變異數可得出在狀態π_j−1 = 0時利 用式(2-90)得出延遲時間之平均值為

E[T|Π₀] = E[𝑋]/2𝑣 (2-107) 利用式(2-92)可得出變異數為

𝑉𝑎𝑟[𝑇|Π₀] = 𝑉𝑎𝑟[𝑋]/(2𝑣)² (2-108) 而在狀態π_j−1 = 𝐾時需分成兩種情況，分別為K ≤ R與K > R。

I. K ≤ R

在K ≤ R時利用式(2-101)得出平均值為

E[𝑇|Π_K, K ≤ R] = E[𝑋|K ≤ R]/2𝑣 (2-109) 利用式(2-103)可得出變異數為

𝑉𝑎𝑟[𝑇|Π_K, K ≤ R] = 𝑉𝑎𝑟[𝑋|K ≤ R]/(2𝑣)² (2-110)

II. K > R

在K > R時利用式(2-104)得出平均值為

E[𝑇|Π_K, K > R] = E[𝑋|K > R]/2𝑣 (2-111) 利用式(2-106)可得出變異數為

𝑉𝑎𝑟[𝑇|Π_K, K > R] = 𝑉𝑎𝑟[𝑋|K > R]/(2𝑣)² (2-112)

在得出了各狀態下的平均值與變異數後，與先前求出的穩態機率𝚷做內積即 可得到穩態機率下之延遲時間的平均值與變異數。