三種類型

三種類型我們用Λ_𝑖表示，𝑖 = {1, 2, 3}，第(𝑗 − 1)次網路斷開的狀態用Π_𝑗表 示，𝑗 = {0, 𝐾}。以下我們將根據第(𝑗 − 1)次網路斷開的狀態Π_𝑗去討論各類型發 生的機率，也就是去討論在Π_𝑗的狀態下，此次的網路斷開要如何被修復。

圖 2-2 π_j−1 = 𝐾

(a)

(b)

(c)

圖 2-3 在Π₀中的三種類型

在Π₀的狀態下，表示第(𝑗 − 1)次網路斷開被修復所使用的方式為只利用空 間上的傳遞修復網路斷開，也就是π_j−1 = 0，若是進入類型一(Λ₁)如圖 2-3 (a)所 示，D_𝑗−1為第(𝑗 − 1)次網路斷開之目的地端車輛，訊息從S_𝑗−1傳送至𝐵_𝑗−1，B_𝑗−1 為向西行駛之車輛中位於S_𝑗−1的後方傳輸範圍內，並且是距離S_𝑗最近的一輛車，

A_𝑗−1為B_𝑗−1所在叢集之最前方的車輛，由於只要D_𝑗−1進入對向車輛的傳輸範圍𝑅 之內訊息即可被傳送至D_𝑗−1，因此我們所要考慮的範圍需從D_𝑗−1前方距離𝑅的地 方開始，𝑌_𝐶為A_𝑗−1所在之叢集超過D_𝑗−1傳輸範圍的部分，並且保證𝑌_𝐶 > 0， X_𝐶為 D_𝑗−1所在之叢集長度，S_𝑗為此叢集之最前方的車輛，也就是第𝑗次網路斷開的來 源端車輛。由於A_𝑗−1為叢集之最前方車輛，需要考慮到A_𝑗−1前方距離𝑅之內不會 有車，因為位於A_𝑗−1前方之車輛必定是與A_𝑗−1發生網路斷開之車輛，若是A_𝑗−1所 在的位置位於S_𝑗的右側，並且加上一段𝑅的距離後仍沒有超過S_𝑗則會進入類型 一，故此狀態位於類型一之條件為𝑌_𝐶 + 𝑅 < 𝑋_𝐶 + 𝑅，也就是須將D_𝑗−1的傳輸範 圍與A_𝑗前方距離𝑅不會有車的範圍都考慮進去，將式子作整理可簡化成Y_𝐶 <

𝑋_𝐶，因此進入類型一的機率為

Pr{Λ₁|Π₀} = Pr{Y_𝐶 < 𝑋_𝐶|𝑌_𝐶 > 0} =^1−𝛼

2 . (2-2) 圖 2-4 Π₀的三種類型樹狀圖

若進入類型二(Λ₂)，如圖 2-3 (b)所示，表示A_𝑗−1位於S_𝑗右側的傳輸範圍中，而

(a)

(b)

(c)

圖 2-5 在Π_𝐾中的三種類型

如圖 2-5 (b)所示，若進入類型二(Λ₂)，表示A_𝑗位於𝑆_𝑗的左方，並且在𝑆_𝑗的傳輸範 圍內，此狀態發生的條件為𝑋_𝐶 + 𝑅 < 𝑌_𝐷 < 𝑋_𝐶 + 2𝑅，移項後寫成𝑌_𝐷 − 2𝑅 < 𝑋_𝐶 <

𝑌_𝐷− 𝑅，也就是K − R < 𝑋_𝐶 < 𝐾，從此式可看出K是否超過R會影響𝑋_𝐶的範圍，

因此機率可分成兩種情況去看 當K ≤ R時

Pr{Λ₂|Π_𝐾, 𝐾 ≤ 𝑅} = Pr{0 < 𝑋_𝐶 < 𝐾} = 𝛼 + (1 − 𝛼) ⋅ (1 − 𝑒^{−𝜆′𝐾}) (2-6) 當K > R時

Pr{Λ₂|Π_𝐾, 𝐾 > 𝑅} = Pr{K − R < 𝑋_𝐶 < 𝐾} = (1 − 𝛼) ⋅ (𝑒^{−𝜆′(𝐾−𝑅)}− 𝑒^{−𝜆′𝐾}) (2-7) 如圖 2-5 (c)所示，若進入類型三(Λ₃)表示A_𝑗位於𝑆_𝑗的左方並且A_𝑗超出𝑆_𝑗的傳輸範 圍𝑅，此狀態發生的條件為𝑌_𝐷 > 𝑋_𝐶 + 2𝑅，移項後寫成𝑌_𝐷− 2𝑅 > 𝑋_𝐶，也就是K − R > 𝑋_𝐶，可看出若是K < R則此類型不會發生，因此機率為

Pr{Λ₃|Π_𝐾} = Pr{K − R > 𝑋_𝐶} = 𝛼 + (1 − 𝛼) ⋅ (1 − 𝑒^{−𝜆′(𝐾−𝑅)}) (2-8) 而Π_𝐾狀態下的三種類型樹狀圖如圖 2-6 所示。

(a) (b)

圖 2-6 Π_𝐾的三種類型樹狀圖

根據這三種型態去討論，我們會分別求出三種結果：

(1) 修復網路斷開所需移動的距離Ω，也就是攜帶訊息之向西行駛之車輛進 入目的地端車輛傳輸範圍內所需移動的距離。

(2) 不用移動即可修復網路斷開的機率F_Ω(0)，也就是攜帶訊息之向西行駛之 車輛叢集已超過目的地車輛的機率。

(3) 攜帶訊息之向西行駛之車輛與前車之間的距離Φ。

2.2 類型一 (𝚲

_𝟏

)

如同先前所提到的，根據第(𝑗 − 1)次網路斷開是在何種狀態下被修復，可以 將類型一(Λ₁)大致上分為兩種狀態，一種為π_j−1 = 0的狀態Π₀，如圖 2-1 所示，

表示修復網路斷開所使用之對向車輛，也就是向西行駛之車輛，不需移動即可 修復網路斷開，也就是只利用空間上的傳遞修復網路斷開；另一種為π_j−1 = K的 狀態Π_𝐾，如圖 2-2 所示，表示修復網路斷開所使用之向西行駛車輛須經過移動 才可修復網路斷開，並且此車輛叢集最前方之車輛必定位於此次網路斷開之目 的地端車輛右方距離R的位置，也就是不僅利用空間上的傳遞還使用了時間上的 傳遞來修復網路斷開。

2.2.1 𝛑

_𝐣−𝟏

= 𝟎 (𝚷

_𝟎

)

在類型一的情況下，當狀態為π_j−1 = 0時，如圖 2-3 (a)所示，此狀態位於類 型一之條件如同先前所討論為𝑌_𝐶 + 𝑅 < 𝑋_𝐶 + 𝑅。在圖 2-7 中，S_𝑗為第𝑗次網路斷 開的來源端車輛，S_𝑗右方的情況與圖 2-3(a)相同，而以下的討論會根據距離S_𝑗左 方最近的向西方行駛之車輛G_𝑗與S_𝑗之間的距離G是否有超過傳輸範圍R，可以再 將此狀態在細分為事件一Γ_𝐿與事件二Γ_𝑅。

A 事件一 (Γ_𝐿)

若是G_𝑗與𝑆_𝑗的距離G沒有超過傳輸範圍R，也就是G_𝑗位於S_𝑗左方的傳輸範圍之 內，那麼便會進入事件一(Γ_𝐿)，而負責修復第𝑗次網路斷開的車輛為G_𝑗或是G_𝑗所 在叢集之車輛，而H_𝑗為G_𝑗所在叢集之最前方車輛，因此在此事件我們只考慮S_𝑗左 邊的情形，如圖 2-8 所示，以下將求出先前所提的三樣東西，分別為Ω的機率分 佈函數、Ω < 0之機率與Φ的機率分佈函數，並且皆以Λ₁Π₀Γ_𝐿為條件做討論。

(1)

Ω的機率分佈函數

在圖 2-7 中，由於G沒有超過傳輸範圍R，表示G_𝑗與𝑆_𝑗的距離G < R，因此G之 條件式機率分佈為

f_𝐺(𝑔) = 𝜆𝑒^−𝜆𝑔 (2-9) f_𝐺|G<𝑅(𝑔) = _1−𝑒^{𝜆𝑒−𝜆𝑔}_−𝜆𝑅, 0 < 𝑔 < 𝑅 (2-10) X_𝐷為𝑆_𝑗與𝐷_𝑗的距離，車輛間距為指數分佈，發生網路斷開表示車輛間距超過傳輸 範圍 R，也就是X_𝐷 > 𝑅，因此X_𝐷的條件式機率分佈為

f_X𝐷(𝑥) = λe^{−𝜆(x−R)}, 𝑥 > 𝑅 (2-11) 由於只要進入傳輸範圍即可修復網路斷開，因此讓𝑋̂_𝐷 = X_𝐷 − 𝑅，𝑋̂_𝐷的機率分佈 可以寫成

f_𝑋̂𝐷(𝑥) = λe^−𝜆x. (2-12) 圖 2-7 在Λ₁Π₀中的情形

讓Z_𝐶為G_𝑗所在的叢集長度，H_𝑗為叢集Z_𝐶中最前面的車輛，若是Z_𝐶的長度為 0，則G_𝑗與H_𝑗為同一輛車，因此Z_𝐶的機率分佈與式(2-1)相同

𝑓_Z𝐶(𝑐) = 𝑓_𝐶(𝑐), 𝑐 ≥ 0 (2-13) 讓U = 𝑋̂_𝐷− Z_𝐶，由於𝑋̂_𝐷和Z_𝐶是獨立的，U的機率分佈可由此獲得

f_U(𝑢) = ∫ 𝑓_−∞^∞ _Z𝐶(𝑐) ⋅ 𝑓_𝑋̂𝐷(𝑢 + 𝑐)𝑑𝑐. (2-14)

若是向西行駛的車輛H_𝑗還沒超過向東行駛之目的地端車輛D_𝑗的右方傳輸範圍 內，那麼H_𝑗所要移動的距離寫做Ω，可以明顯的看出Ω = U − G，由於U和G是獨 立的，Ω的機率分佈可以由此獲得

f_Ω(𝑥) = ∫ f_−∞^∞ _𝐺|G<𝑅(𝑔) ⋅ 𝑓_U(𝑥 + 𝑔)𝑑𝑔, 𝑥 > 0 (2-15) 在這邊要注意式(2-15)是在Λ₁Π₀Γ_𝐿條件下的Ω。

(2) Ω < 0之機率

Ω < 0表示H_𝑗已經超過D_𝑗右方距離R的位置，也就是D_𝑗的傳輸範圍，因此Ω <

0的機率可以由式(2-15)得出

F_Ω(0) = 1 − ∫ f₀^∞ Ω(𝑥)𝑑𝑥 (2-16) 在這邊要注意式(2-16)是在Λ₁Π₀Γ_𝐿條件下的Ω < 0。

圖 2-8 在Λ₁Π₀Γ_𝐿中S_𝑗左邊的情形

(3) Φ的機率分佈函數

如圖 2-9 所示，當H_𝑗不用移動就能將訊息送至D_𝑗時，也就是在Ω < 0的時 候，表示此次狀態會進入π_j = 0，不需計算H_𝑗與前車之距離，因為在這個狀態時 H_𝑗與前車之距離和狀態是獨立的；只有當H_𝑗需要移動時才需要計算H_𝑗與前車H_𝑗+1 的距離，也就是車輛H_𝑗所需移動的距離為Ω > 0的時候，表示此次狀態會進入 π_j = K，而H_𝑗與其前車H_𝑗+1之間的距離之機率分佈Φ與式(2-11)相同，K可以看成 Φ − R，從這裡可看出H_𝑗與前車之距離會影響到他會進入那個狀態。由於在Ω <

0時不會有H_𝑗與前車H_𝑗+1的距離，因此根據式(2-16)Φ在事件Λ₁Π₀Γ_𝐿中的條件式機 率分佈為

f_Φ|Ω>0(𝑥) = (1 − F_Ω(0)) ∙ f_Φ(𝑥), 𝑥 > R (2-17) 在這邊要注意式(2-17)是在Λ₁Π₀Γ_𝐿條件下的Φ。

B 事件二 (Γ_𝑅)

如圖 2-7，若是G_𝑗與𝑆_𝑗的距離G 超過傳輸範圍R，也就是G_𝑗超出S_𝑗的傳輸範 圍，那麼便會進入事件二(Γ_𝑅)，表示修復網路斷開所利用之向西行駛之車輛必定 位於𝑆_𝑗的右方，因此我們只考慮S_𝑗右邊的情形，如圖 2-10 所示，以下將求出先 前所提的三樣東西，分別為Ω的機率分佈函數、Ω < 0之機率與Φ的機率分佈函 數，並且皆以Λ Π Γ 為條件做討論。

圖 2-9 𝐻_𝑗與前車的距離

(1)

Ω的機率分佈函數

在圖 2-7 中，由於G超過傳輸範圍R，表示G_𝑗與𝑆_𝑗的距離G > R，因此G之條件 式機率分佈為

f_𝐺|G>𝑅(𝑔) = 𝜆𝑒^{−𝜆(𝑔−𝑅)}, 𝑔 > 𝑅 (2-18) 接著在圖 2-10 中，位於S_𝑗右方距離S_𝑗最近的向西行駛車輛為F_𝑗，而兩輛車之間的 距離為F，F之機率分佈為

f_F(𝑓) = 𝜆𝑒^−𝜆𝑓 (2-19) A_j−1為修復第(j − 1)次網路斷開之車輛所在叢集之最前方車輛，A_j−1與S_𝑗的距離 用A來表示，由圖 2-10 可看出A = (X_𝐶 + R) − Y_𝐶 = (X_𝐶 − Y_𝐶) + R，X_𝐶為S_𝑗所在 的叢集長度，Y_𝐶為A_𝑗−1所在的叢集超過D_𝑗−1傳輸範圍𝑅的部分，讓C₊ = X_𝐶 − Y_𝐶，因此A = C₊+ 𝑅，車輛叢集分布為式(2-1)，但是X_𝐶不可能等於Y_𝐶，因此C₊ 之機率分佈為

f_C+(𝑐) = 𝜆^′𝑒^{−𝜆′𝑐}, 𝑐 > 0 (2-20) 故A之機率分佈為

f_𝐴(𝑎) = f_C+(𝑎 − 𝑅) = 𝜆^′𝑒^{−𝜆′(𝑎−𝑅)}, 𝑎 > 𝑅. (2-21)

根據向西行駛之車輛A_j−1和F_j的相對位置，可以將事件二分為以下兩種情況 做討論，一種為A_j−1與S_𝑗之間有車輛F_j，也就是F < A的情形，另一種為A_j−1與S_𝑗 之間沒有其他任何車輛，也就是F > A的情形。

圖 2-10 在Λ₁Π₀Γ_𝑅中S_𝑗右邊的情形

I. F ≤ A

(2) Ω < 0之機率

若是進入事件二，從圖 2-9 可看出向西行駛之車輛必須要移動才能將訊息 傳至目的地端車輛D_𝑗，因此不會有Ω < 0 的機率。

(3) Φ的機率分佈函數

如同(1) Ω的機率分佈函數所討論，在圖 2-10 中，根據向西行駛之車輛A_j−1和 F_j的相對位置，須將事件二分為以下兩種情況做討論，一種為A_j−1與S_𝑗之間有車 輛F_j，也就是F < A的情形，另一種為A_j−1與S_𝑗之間沒有其他任何車輛，也就是 F > A的情形。

I.

F < A

如圖 2-11 (a)所示，Φ̂為S_j與F_j的距離，而車輛間的距離為指數分佈，所以 Φ̂ 與式(2-12)相同，F_j與前車的距離為Φ，從圖中可看出Φ = F + Φ̂，根據先前所討 論的F_j到S_j之間不會有車，所以F_j與前車的距離一定會超過F，由於Φ̂和F是獨立 的，因此Φ的條件式機率分佈為

f_Φ|𝐹<𝐴(𝑥) = ∫ 𝑓_−∞^∞ _{𝐹|𝐹<𝐴}(𝑓) ⋅ 𝑓_Φ̂(𝑥 − 𝑓)𝑑𝑓,𝑥 > R (2-27) 在這邊要注意式(2-27)是在Λ₁Π₀Γ_𝑅條件下的

Φ

。

(a) F_𝑗與前車的距離 (b) 𝐴_𝑗−1與前車的距離 圖 2-11 與前車的距離

II.

F > A

2.2.2 𝛑

_𝐣−𝟏

= 𝑲 ( 𝚷 _𝑲 )

當狀態為π_j−1 = K時，從圖 2-4 (a)中可看出，修復第(j − 1)次網路斷開的西 向車輛A_j−1一定位於東向第(j − 1)次的目的地端車輛𝐷_𝑗−1的右側距離R的位置，

也就是D_𝑗−1的傳輸範圍邊界，而與A_𝑗−1發生網路斷開之車輛A_𝑗，位於𝑆_𝑗的右方，

𝑆_𝑗為第𝑗次網路斷開之向東行駛之來源端車輛，也是𝐷_𝑗−1所在叢集之最前方車 輛，𝑌_𝐷為A_𝑗−1與A_𝑗之間的距離，𝑋_𝐶為𝐷_𝑗−1所在之叢集長度，根據先前所討論的此 狀態發生的條件為𝑌_𝐷 < 𝑋_𝐶 + 𝑅，與在𝜋_𝑗 = 0時相同，G_𝑗為位於S_𝑗左方距離S_𝑗最近 的向西行駛之車輛，可根據G_𝑗與𝑆_𝑗的距離G是否有超過傳輸範圍R，將此狀態在 細分為事件一(Γ_𝐿)與事件二(Γ_𝑅)。

A 事件一 (Γ_𝐿)

若是G_𝑗與𝑆_𝑗的距離G沒有超過傳輸範圍R，也就是G_𝑗在S_𝑗的傳輸範圍之內，那 麼便會進入事件一(Γ_𝐿)，而G之條件式機率分佈也與式(2-10)相同，由於進入事件 一後只需考慮向東行駛之來源端車輛𝑆_𝑗左方車輛分佈的情況，與𝑆_𝑗的右方無關，

並且在類型一時不管在π_j−1 = 0的狀態或π_j−1 = K的狀態下，影響範圍皆不會影 響到𝑆_𝑗的左方，因此Λ₁Π_𝐾Γ_𝐿的討論在事件一時與在Λ₁Π₀Γ_𝐿時相同，以下將求出 先前所提的三樣東西，分別為Ω的機率分佈函數、Ω < 0之機率與Φ的機率分佈 函數，並且皆以Λ₁Π_𝐾Γ_𝐿為條件做計算。

圖 2-12 在Λ₁Π_𝐾中的情形

(1)

Ω的機率分佈函數

由於Λ₁Π_𝐾Γ_𝐿的討論方法與Λ₁Π₀Γ_𝐿相同，如圖 2-8 所示，我們想要求得的向西 行駛之車輛H_𝑗進到D_𝑗的傳輸範圍內所要移動的距離Ω在Λ₁Π_𝐾Γ_𝐿 下的機率與式(2-15)相同。

(2)

Ω < 0之機率

如同在(1) Ω的機率分佈函數所述，在Λ₁Π_𝐾Γ_𝐿條件下的Ω < 0的機率與式(2-16)相同。

(3) Φ的機率分佈函數

如前所述，H_𝑗與前車的距離Φ在Λ₁Π_𝐾Γ_𝐿下的機率也與式(2-17)相同。

B 事件二 (Γ_𝑅)

由於Λ₁Π_𝐾Γ_𝐿的討論方法與Λ₁Π₀Γ_𝐿相同，如圖 2-12 所示，若是G_𝑗與𝑆_𝑗的距離 G 超過傳輸範圍R，也就是G_𝑗超出S_𝑗的傳輸範圍，那麼便會進入事件二(Γ_𝑅)，表 示修復網路斷開所利用之向西行駛之車輛必定位於𝑆_𝑗的右方，因此我們只考慮S_𝑗 右邊的情形，如圖 2-13 所示，以下將求出先前所提的三樣東西，分別為Ω的機 率分佈函數、Ω < 0之機率與Φ的機率分佈函數，並且皆以Λ₁Π_𝐾Γ_𝑅為條件做討

由於Λ₁Π_𝐾Γ_𝐿的討論方法與Λ₁Π₀Γ_𝐿相同，如圖 2-12 所示，若是G_𝑗與𝑆_𝑗的距離 G 超過傳輸範圍R，也就是G_𝑗超出S_𝑗的傳輸範圍，那麼便會進入事件二(Γ_𝑅)，表 示修復網路斷開所利用之向西行駛之車輛必定位於𝑆_𝑗的右方，因此我們只考慮S_𝑗 右邊的情形，如圖 2-13 所示，以下將求出先前所提的三樣東西，分別為Ω的機 率分佈函數、Ω < 0之機率與Φ的機率分佈函數，並且皆以Λ₁Π_𝐾Γ_𝑅為條件做討

在文檔中 車載網路中儲存攜帶轉送訊息傳遞延遲之穩態分析 (頁 16-0)