車載網路中儲存攜帶轉送訊息傳遞延遲之穩態分析

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(1)國立臺灣師範大學電機工程學系碩士論文指導教授：黃政吉博士. 車載網路中儲存攜帶轉送訊息傳遞延遲之穩態分析 Steady state analysis of delivery delay of store-carry-forward messages in VANETs. 研究生：曾鈺庭撰中華民國一零五年七月.

(2) 車載網路中儲存攜帶轉送訊息傳遞延遲之穩態分析學生：曾鈺庭. 指導教授：黃政吉. 國立臺灣師範大學電機工程系碩士班摘. 要. 在車載網路(Vehicular Ad Hoc Networks, VANETs)中，當道路上發生意外時距離最近的車輛會傳送緊急訊息給後方車輛，由於稀疏的交通量或是很低的無線裝置市場滲透率會發生很多的網路斷開現象，當發生網路斷開的現象時可利用對向車輛使用儲存攜帶轉送(store-carry-forward)來修復，而使用儲存攜帶轉送來修復網路斷開則需花費延遲時間。. 在本論文會利用嵌入的馬可夫鍊(Embedded Markov Chain, EMC)分析前一次網路斷開的狀態對此次網路斷開的影響，並且分為三種類型去做討論，以及計算出使用儲存攜帶轉送傳遞訊息的穩態機率以及延遲時間的平均值與變異數，而數值分析的結果呈現出我們的分析是高度準確的。. 關鍵字：車載網路、儲存攜帶轉送、穩態機率. i.

(3) Steady state analysis of delivery delay of store-carry-forward messages in VANETs Student：Tseng, Yu-Ting. Advisor：Dr. Huang, Jeng-Ji. Department of Electrical Engineering National Taiwan Normal University ABSTRACT. In vehicular ad hoc networks (VANETs), when accident occurs, the vehicles which is the nearest of incident place, sends an emergency message to rear vehicle. There may occur network disconnections because of low penetration of wireless devices or light vehicle traffic. When a network disconnection occurs, a store-carry-forward message delivery can be carried out by vehicles in the reverse direction to help restore the network connection, and it may have some delay time. In this paper, we use the Embedded Markov Chain (EMC) to analysis the previous network disconnection that have impact on the actual network disconnection. And the state will divide into three type to analysis. The steady state probability of a store-carry-forward message delivery, the mean of delay and the variance of delay are investigated. Numerical results show that our analysis is highly accurate.. Keywords— vehicluar ad hoc networks (VANETs), store-carry-forward, steady state probability ii.

(4) 誌. 謝. 在做研究的過程中，最需要感謝的就是指導教授黃政吉博士，由於申請學校 4+1 的計劃，我從大學的專題開始就受到老師很多的幫助，因為有老師的指導與協助，我才能一步步的走到現在，老師總是一針見血的指出我需要進步的地方，並且使用引導式的教學而不是直接說該怎麼做，雖然途中可能會因為理解力不足而多走了很多路，但是那也是種學習。不僅是研究上受到老師諸多的幫助，在生活處事上老師用身教代替言教讓我們了解正確的處事態度，及正確的時間分配觀念，在此對老師至上最深的謝意。. 另外還需感謝鄰近實驗室的蔡德生學長、蔡孟原學長，以及同學杜曉玟，在這做研究的路途中，感謝他們提供了一個讓我能夠任性與發洩的空間，每當做研究做到覺得煩躁或怠惰的時候，和他們聊聊天就會覺得自己不是一個人，彼此分享一下近況、互相加油打氣充滿電後便有了繼續努力的動力。. 最後，還要感謝父母，因為他們對我的栽培與付出讓我就夠毫無顧慮的專心就讀研究所，一直以來他們總是對我的決定表示支持，不管事當初念高中時想要從文組轉到理組，還是念大學的時候決定申請學校的 4+1，他們總是說你自己想好就好，因為有他們支持我才能一步步走到現在。. 曾鈺庭謹致於中華民國一零五年七月. iii.

(5) 目. 錄. 中文摘要 ............................................................................................. i 英文摘要 ............................................................................................ ii 誌. 謝 ........................................................................................... iii. 目. 錄 ....................................................................................... iv. 圖目. 錄 ....................................................................................... vi. 第一章. 緒論 ................................................................................ 1. 1.1 研究動機與背景 .................................................................................1 1.2 研究目的 ...............................................................................................3 1.3 其他相關研究 .......................................................................................4 1.4 論文架構 .............................................................................................6. 第二章. 數學分析模型 ................................................................ 7. 2.1 系統架構 ................................................................................................7 2.1.1 在雙向高速公路上的儲存攜帶轉送.................................................7 2.1.2 嵌入的馬可夫鏈 .................................................................................8 2.1.3 三種類型 .............................................................................................9 2.2 類型一 (Λ1 ) .........................................................................................15 2.2.1 πj−1 = 0 (Π0 ) .................................................................................15 2.2.2 πj−1 = 𝐾 (Π𝐾 ) ................................................................................23 2.3 類型二 (Λ2 ) ........................................................................................28 2.3.1 πj−1 = 0 (Π0 ) .................................................................................28 2.3.2 πj−1 = 𝐾 (Π𝐾 ) ................................................................................33 iv.

(6) 2.4 類型三 (Λ3 ) ........................................................................................37 2.4.1 πj−1 = 0 (Π0 ) .................................................................................37 2.4.2 πj−1 = 𝐾 (Π𝐾 ) ................................................................................39 2.5 穩態機率 ..............................................................................................41 2.5.1 πj−1 = 0 (Π0 ) .................................................................................41 2.5.2 πj−1 = 𝐾 (Π𝐾 ) ................................................................................42 2.6 平均值與變異數 ..................................................................................43 2.6.1 πj−1 = 0 (Π0 ) .................................................................................44 2.6.2 πj−1 = 𝐾 (Π𝐾 ) ................................................................................45 2.6.3 延遲時間的平均值與變異數..........................................................48. 第三章. 數值分析與模擬結果 .................................................. 49. 3.1 模擬環境與參數設定 .......................................................................49 3.2 模擬結果 ...........................................................................................49 3.2.1 穩態機率 ..........................................................................................49 3.2.2 延遲時間平均值與變異數..............................................................51. 第四章. 結論 .............................................................................. 54. 參考. 文. 獻 .............................................................................. 56. 自. 傳 ...................................................................................... 59. v.

(7) 圖. 目. 錄. 圖 1- 1、車載網路示意圖 ..................................................................................2 圖 2- 1、𝜋J−1 = 0 ................................................................................................8 圖 2- 2、𝜋J−1 = 𝐾................................................................................................9 圖 2- 3、在Π0 中的三種類型 ............................................................................10 圖 2- 4、Π0 的三種類型樹狀圖 ........................................................................11 圖 2- 5、在Π𝐾 中的三種類型............................................................................13 圖 2- 6、Π𝐾 的三種類型樹狀圖........................................................................14 圖 2- 7、在Λ1 Π0 中的情形 ................................................................................16 圖 2- 8、在Λ1 Π0 Γ𝐿 中S𝑗 左邊的情形 .................................................................17 圖 2- 9、𝐻𝑗 與前車的距離.................................................................................18 圖 2- 10、在Λ1 Π0 Γ𝑅 中S𝑗 右邊的情形 ...............................................................19 圖 2- 11、與前車的距離...................................................................................21 圖 2- 12、在Λ1 Π𝐾 中的情形 .............................................................................23 圖 2- 13、在Λ1 Π𝐾 Γ𝑅 中S𝑗 右邊的情形 ..............................................................25 圖 2- 14、與前車的距離...................................................................................26 圖 2- 15、在Λ2 Π0 Γ𝐿 中S𝑗 左邊的情形 ...............................................................29 圖 2- 16、在Λ2 Π0 Γ𝑅 中的情形 ..........................................................................31 圖 2- 17、在Λ2 Π𝐾 Γ𝐿 中的情形 ..........................................................................33 圖 2- 18、在Λ3 Π0 Γ𝐿 中的情形 ..........................................................................37 圖 2- 19、在Λ3 Π𝐾 Γ𝑅 中的情形 .........................................................................39 圖 3- 1、分析與模擬結果比較 ........................................................................50 圖 3- 2、平均值結果比較 ................................................................................52 圖 3 - 3、變異數結果比較 ................................................................................53 vi.

(8) 第一章. 緒論. 1.1 研究動機與背景在學術界與產業界的研究發展下，車載網路(Vehicular ad-hoc network, VANET)增加了道路安全與交通舒適，並且在智慧運輸系統(Intelligent Transportation Systems, ITS)中佔有重要的一席之地，像是傳送緊急訊息、自動駕駛、收費系統、定位服務等，都是車載網路在智慧運輸系統上的應用，車載網路的示意圖如圖 1-1，不僅車輛彼此之間可進行通訊，也可利用路邊的機的台進行通訊。而在許多車載網路的應用之中，緊急訊息傳輸被認為是很重要的應用之一。當意外發生或是觀察到特定情況時，車輛會發送緊急訊息給後方的車輛，提供附近的車輛詳細的資訊去立即地做適當得判斷，像是改變路線或是減速行駛，如此一來可以減少事故的發生。. 車載網路會經歷快速的無線傳輸連接的改變，並且還需要處理不同的網路密度。舉例來說，在都市的道路或是在尖峰時段會是高網路密度，而在鄉村的道路或是在離峰時段則是低網路密度。根據文獻[1]所提到的，當在低網路密度的環境下，根據經驗上的統計結果，也就是實際去測量道路上的車輛間距的分佈，會發現在稀疏網路中，也就是低網路密度的情況下車輛之間的距離會呈現指數分佈。由於道路的限制，在一般的情況下，車輛的移動性是高度規律且可預測的。目前有許多關於車載網路連通性的分析模組與品質計算，這是因為在車載網路之中，網路連線對於路徑規劃來說是相當重要的。當往相同方向行徑的連續兩輛車彼此之間的距離超出無線裝置的傳輸範圍時，會發生網路斷開的現象，此時會利用對向的車輛進行儲存攜帶轉送機制(store-carry-forward, SCF)來修復斷開的網路，修復時所造成的延遲時間稱為修復時間(re-healing time)。 1.

(9) 圖 1-1 車載網路示意圖 (資料來源：[8]) 在儲存攜帶轉送機制中，若是發生網路斷開則車輛會攜帶著目前的訊息直到遇見對向的車輛，在文獻[2]中，還會根據車輛與事件發生點的距離決定傳送給車輛怎樣的詳細資訊，對向車輛接收到訊息後會先傳至車輛叢集的最前方，並且會儲存接收到的訊息，攜帶著訊息繼續移動，所謂的車輛叢集是指一群往同方向行進的車輛用單跳或多跳的方式彼此進行通訊，在文獻[3]有提出準確的機率分佈，而多跳傳輸在文獻[4]中有提到，若攜帶訊息之對向車輛的傳輸範圍內有其他車輛，並且是位於他所要傳送訊息的方向時，訊息便會被轉送，若無車輛則會持續攜帶訊息繼續往前行駛直到有車輛出現至傳輸範圍內再將訊息做傳送，如同在文獻[5]中提到。. 在 IEEE802.11p 中[6-7]，達成使用不同通道傳送不同具體情況到不同距離的訊息傳遞，因為不同的通道有著不同的傳輸功率限制，因此會有不同的可傳輸範圍與可達到的資料傳輸速率。裝備著無線通訊系統的車輛利用短距無線通訊協議(Dedicated Short-Range Communication protocol, DSRC)進行通訊，而加上使用儲存轉送機制可將訊息傳送範圍增加。 2.

(10) 1.2 研究目的隨著無線網路的發展以及物聯網(Internet of Things, IoT)的興起，車聯網 (Internet of Vehicle, IoV)也逐漸受到重視，而車聯網的核心技術為透過車輛上所裝載的無線通訊裝置來實現智慧通訊系統，在智慧通訊系統中，訊息的傳遞是很重要的一項應用，利用緊急訊息的傳遞可以減少事故的發生。根據緊急訊息傳遞的應用，若是前方發生意外或是有什麼特定事件的發生，最前方的車輛會傳送緊急訊息給後方車輛這，使得後方車輛能夠及時做出反應，那麼就有機會能夠避免連環追撞的情況發生。. 當車輛密度低或是無線通訊的市場滲透率低時，容易發生網路斷開的現象，也就是後方車輛超出前方車輛的訊息傳遞範圍的情形，此時儲存轉送攜帶機制被認為是達到車輛間訊息傳遞之有用的解決辦法，利用對向車輛進行儲存攜帶轉送可以修復網路斷開，並且將訊息傳送至更遠的車輛，而網路斷開的修復也伴隨著訊息傳遞延遲的發生。. 車載網路的興起，使得許多挑戰也隨之浮現，在過去有許多研究探討利用對向車輛進行儲存攜帶轉送機制來修復網路斷開，以及計算修復網路斷開所造成的延遲時間，但是並沒有研究去討論根據儲存攜帶轉送機制進行訊息傳遞的穩態特性，穩態特性對於多個網路斷開來說是很重要的特性。. 本論文欲達成之目的如下： 1.. 根據嵌入的馬可夫鏈分析使用儲存攜帶轉送傳遞訊息的穩態機率. 2.. 計算修復網路斷開所需花費的延遲時間之平均值與變異數. 3.

(11) 1.3 其他相關研究在文獻[1]中，探討在車載網路中嚴重的網路斷開現象，作者使用一個統計上的模型，並利用此模型發展出一個分析的架構去說明網路斷開的特性，計算修復延遲時間的平均值。作者將修復網路斷開的情形分為兩種類型，第一種為可以立即將資訊傳送給對向車道的情況，在此情況下又分為無法直接將訊息傳送至目的地車輛與可以直接將訊息傳送至目的地車輛兩種，在這裡作者提出一種假設，假設傳送訊息的車輛一定位於對向車輛叢集的正中央，因此第一種情況的網路斷開修復時間即為對向車輛將訊息傳送至目的地車輛的時間。而第二種情況為無法將資訊立即傳送至對向車道，如果是第二種情況，那麼網路斷開的修復時間可分為兩部分，訊息傳至對向車所花費的時間與對象車將訊息傳至目的地車輛的時間，而所有的計算都是使用平均值去做計算。. 在文獻[2]中，針對車載網路中緊急訊息傳遞提出一個時間位置重要性 (time/location-critical, TCL)的架構。作者提出可伸縮的調變編碼方式，讓有著不同重要性的訊息可以同時傳遞給不同距離的車輛，使得後方車輛能夠立即做反應以避免追撞的情形發生。作者將車輛叢集長度近似為伽馬分布(Gamma distribution)，伽馬分佈需要用兩個參數來求出，平均值與二階動差，而我們使用的指數分佈只需一個參數即可，因此在分析上來說是比較容易處理的。此外，作者將網路斷開的修復情形分為三種，第一種為在來源端車輛與目的地端車輛之間，沒有對向車輛位於來源端車輛的傳輸範圍內，因此修復網路斷開之對向車輛與目的地端車輛之間的距離為反對向車輛與來源端車輛的距離再加上來源端車輛與目的地端車輛的距離。第二種類型為在來源端車輛與目的地端車輛之間，有對向車輛位於來源端的傳輸範圍內，但是此輛車並無法將訊息繼續傳遞，因此此輛對向車輛會攜帶訊息直到將訊息傳遞給目的地端車輛，因此修復網路斷開之對向車輛與目的地端車輛的距離為對向車輛與目的地端車輛之間 4.

(12) 的距離。第三種類型為在來源端車輛與目的地端車輛之間，有對向車輛位於來源端車輛的傳輸範圍內，並且此對向車輛會將訊息傳送至叢集的最前端，若叢集長度超過目的地端車輛，攜帶訊息之對向車輛與目的地端車輛視為 0，若叢集長度未超過目的地端車輛，則修復網路斷開之對向車輛與目的地端車輛之間的距離為兩者之間的距離，而文獻[2]的分析並沒有考慮到車輛前後的關聯性。. 在文獻[3]中，分析修復網路斷開所需花費的延遲時間之機率分佈，在此分析中叢集的長度扮演著重要的角色，而叢集長度由一個簡單而準確的方式近似成類似指數分佈的機率分佈。除此之外，作者藉由考慮兩個連續網路斷開的相關性得出修復網路斷開的時間分佈的閉型表示式。作者將修復網路斷開的方式分為兩種類型，第一種為由來源端車輛往前看對向車道是否有車輛在傳輸範圍內，有的話為第一種類型，沒有則為第二種類型，若為第二種類型，則會去看來源端車輛叢集的最後一輛車的傳輸範圍內是否有對向車輛，要是沒有車輛在傳輸範圍內則會假設對向車輛的位置正好等於傳輸範圍，因此不論是第一種或是第二種類型，來源端車輛皆可立即將訊息傳送至對向車道，因此修復網路斷開所需的時間皆為對向車輛將訊息送至目的地端車輛所需花費的時間，而文獻三雖然考慮到車輛前後的相關性，卻沒有考慮長期下來的穩態機率。. 在文獻[9]中提出使用路邊基地台(roadside units, RSUs)來增加車載網路的連線；在文獻[10]中使用隨機路點模型(Random Waypoint, RWP)去做為一般的移動模型；在文獻[11]引入參考點群組移動模型(Reference Point Group Mobility, RPGM)去模擬群組的鬥爭行為；文獻[12]使用排隊理論模型(queuing model)去獲得一維隨意網路的連線分布；在文獻[13]提出一個非常詳細的分析上的兩線道交通模型；在文獻[14]中提出病毒式路由，也就是當遇到新的鄰居時便會將自己所擁有的資料傳送過去；在文獻[15]中使用以角色為基礎的多播方式並且藉由儲存攜帶轉送機制在稀疏網路中達到最大的能到達性；文獻[16]會去避免緊急訊息的 5.

(13) 不必要的交遞現象發生；在文獻[17]節點會被假設是一個範圍在[0, z]之間的均勻分布(uniform distribution)去形成一個一維的隨意多跳無線網路，藉由使用拉普拉斯轉換(Laplace Transform)獲得網路連線的機率去做為傳輸範圍的方程式；文獻 [18]提出一個演算法去動態適應車輛的傳輸範圍；而文獻[19]考慮一個二維網格的網路連線，但是沒有考慮車輛的移動性。. 1.4 論文架構本論文架構如下：第一章為緒論簡介；第二章為系統模型架構，此章會介紹系統模型的三種類型，以及計算使用儲存轉送攜帶傳遞訊息的穩態機率與穩態機率下的平均值和變異數；第三章會呈現模擬與分析在穩態機率下的結果，以及和其他文獻做比較後的結果；第四章為結論。. 6.

(14) 第二章. 數學分析模型. 2.1 系統架構 2.1.1 在雙向高速公路上的儲存攜帶轉送研究一個有著多線道的東西雙向高速公路，當意外在東向車道發生，此時距離最近的車輛會觸發緊急訊息或是繞路訊息給向東方行駛或向西方行駛的鄰近車輛。假設所有的車輛皆以相同的速度V (公尺/秒，m/s)在行駛，並且為了簡化運算，雙向車道之車輛密度𝜆是相同的，且車輛之間的距離假設為一個平均為 1/𝜆 (公尺，m)的指數分佈，如同文獻[1-3]，而發生網路斷開表示車輛之間的距離超出車輛上所裝載之無線通訊裝置的傳輸範圍R (公尺，m)，發生網路斷開的 ∞. 機率用α表示，因此發生網路斷開的機率為α = ∫𝑅 𝜆𝑒 −𝜆𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 −𝜆𝑅 。再者，由於車道之間的距離會遠小於無線裝置的傳輸距離，因此可忽略不計，如同文獻 [20]。接著，車輛叢集是指一群往同方向行進的車輛用單跳或多跳的方式彼此進行通訊，根據文獻[3]叢集長度C可以被近似為 ′. 𝑓𝐶 (𝑐 ) = αδ(c) + (1 − α) ∙ 𝜆′ 𝑒 −𝜆 𝑐 , 𝑐 ≥ 0. (2-1). 其中α = 𝑒 −𝜆𝑅 為發生網路斷開的機率，而δ(c)為狄拉克函数(Dirac Delta 1. 1. 𝜆. α𝜆. function)，且 ′ =. −. 𝑅. ，此式子表示有α的機率叢集內只有一輛車，也就是叢. 1−α. 集長度為0，另外有(1 − α)的機率叢集長度會大於0，也就是叢集內至少有兩輛車。從文獻[3]中可看出在稀疏網路中，式(2-1)相當的準確。. 當訊息在東向車道進行傳輸，並且訊息是由前方的車輛向後方車輛進行傳送，當訊息傳送的過程中發生網路斷開現象，也就是後方車輛超出前方車輛的傳輸範圍時，此時會使用對向車輛，也就是西向車道的車輛來修復網路斷開， 7.

(15) 圖 2-1 πj−1 = 0 若無法利用簡單的空間上的轉播(spatial relays)來修復時，儲存攜帶轉送機制是必要的，使用空間上的轉播表示對向車輛不需要移動即可修復網路斷開，而儲存轉送攜帶機制會使用到時間上的轉播(temporal relay)，也就是對向車輛需要移動才能修復網路斷開。另外，由於空間上的轉播所產生的延遲時間以毫秒(ms)為單位，但時間上的轉播延遲時間是以秒(s)為單位，因此空間上的轉播所產生的延遲時間是可忽略的。為了能夠更加快速的將訊息傳送至東向車道之後方車輛，使用時間上的轉播是不可避免的。. 2.1.2 嵌入的馬可夫鏈在我們所提出的嵌入的馬可夫鏈模型中，狀態πj−1 表示第(𝑗 − 1)次網路斷開被修復所利用之車輛與第(𝑗 − 1)次目的地端車輛的距離，若第(𝑗 − 1)次網路斷開可以簡單地被空間上的轉播修復，也就是對向車輛不需移動即可修復此次網路斷開，那麼我們讓πj−1 = 0，如圖 2-1 所示，Sj−1 為第(𝑗 − 1)次網路斷開的訊息來源端車輛，Dj−1 為第(𝑗 − 1)次網路斷開之訊息所要到達的目的地端車輛，Sj 為 Dj−1 所在叢集之最後一輛車，也是發生第𝑗次網路斷開的訊息來源端車輛， Bj−1 為接收到Sj−1 的訊息之對向車輛，也就是向西行駛的車輛，而訊息在車輛叢集內可以順利的將訊息傳送至叢集最末端的車輛Aj−1 ，因此在πj−1 = 0的狀態下就表示Dj−1 已經進入叢集內某輛車或是Aj−1 的傳輸範圍內，因此車輛不需經過移動即可將訊息傳送至Dj−1 ，也就是修復第(𝑗 − 1)次網路斷開。. 8.

(16) 圖 2-2 πj−1 = 𝐾 另一方面，若第(𝑗 − 1)次的網路斷開不僅利用空間上的轉播，還需用到時間上的轉播才能修復，也就是對向車輛需要使用儲存攜帶轉送才可修復此次的網路斷開，在此狀態下須考慮修復網路斷開之對向車輛與其前車之距離，讓πj−1 = K，如圖 2-2 所示，K = ⌈Y𝐷 − 𝑅⌉，Y𝐷 為A𝑗−1 與其前車之距離，而A𝑗−1 的前車為 A𝑗 ，也就是與A𝑗−1 發生網路斷開之車輛，𝐵𝑗−1 為接收S𝑗 訊息之向西行駛的車輛。在此狀態下我們會假設𝐵𝑗−1 將訊息傳送至叢集最前方之車輛A𝑗−1 後𝐷𝑗−1 仍未在叢集內任何一輛車之傳輸範圍內，這時須使用儲存攜帶轉送將訊息送至𝐷𝑗−1 ，因此車輛需要經過移動才可修復網路斷開，而車輛經過移動之後𝐴𝑗−1 必定位於D𝑗−1 前方距離𝑅的位置，因為只要進入傳輸範圍內訊息及可傳送至D𝑗−1 ，圖 2-2 即訊息正好傳送至D𝑗−1 時的狀態。. 為了決定從πj−1 到π𝑗 的轉換機率，在已經知道第(𝑗 − 1)次網路斷開是在哪種狀態下被修復的情況下，去討論第𝑗次網路斷開是在何種狀態下被修復。因此以下的討論會根據前一次車輛的位置去看此次的網路斷開要如何修復，這是因為前一次的車輛位置會影響到此次網路斷開的修復情形，大致上每種狀態皆可分為三種類型做討論。. 2.1.3 三種類型三種類型我們用Λ𝑖 表示，𝑖 = {1, 2, 3}，第(𝑗 − 1)次網路斷開的狀態用Π𝑗 表示，𝑗 = {0, 𝐾}。以下我們將根據第(𝑗 − 1)次網路斷開的狀態Π𝑗 去討論各類型發生的機率，也就是去討論在Π𝑗 的狀態下，此次的網路斷開要如何被修復。 9.

(17) (a). (b). (c) 圖 2-3 在Π0 中的三種類型. 10.

(18) 圖 2-4 Π0 的三種類型樹狀圖在Π0 的狀態下，表示第(𝑗 − 1)次網路斷開被修復所使用的方式為只利用空間上的傳遞修復網路斷開，也就是πj−1 = 0，若是進入類型一(Λ1 )如圖 2-3 (a)所示，D𝑗−1 為第(𝑗 − 1)次網路斷開之目的地端車輛，訊息從S𝑗−1 傳送至𝐵𝑗−1 ，B𝑗−1 為向西行駛之車輛中位於S𝑗−1 的後方傳輸範圍內，並且是距離S𝑗 最近的一輛車， A𝑗−1 為B𝑗−1 所在叢集之最前方的車輛，由於只要D𝑗−1 進入對向車輛的傳輸範圍𝑅 之內訊息即可被傳送至D𝑗−1 ，因此我們所要考慮的範圍需從D𝑗−1 前方距離𝑅的地方開始，𝑌𝐶 為A𝑗−1 所在之叢集超過D𝑗−1 傳輸範圍的部分，並且保證𝑌𝐶 > 0， X 𝐶 為 D𝑗−1 所在之叢集長度，S𝑗 為此叢集之最前方的車輛，也就是第𝑗次網路斷開的來源端車輛。由於A𝑗−1 為叢集之最前方車輛，需要考慮到A𝑗−1 前方距離𝑅之內不會有車，因為位於A𝑗−1 前方之車輛必定是與A𝑗−1 發生網路斷開之車輛，若是A𝑗−1 所在的位置位於S𝑗 的右側，並且加上一段𝑅的距離後仍沒有超過S𝑗 則會進入類型一，故此狀態位於類型一之條件為𝑌𝐶 + 𝑅 < 𝑋𝐶 + 𝑅，也就是須將D𝑗−1 的傳輸範圍與A𝑗 前方距離𝑅不會有車的範圍都考慮進去，將式子作整理可簡化成Y𝐶 < 𝑋𝐶 ，因此進入類型一的機率為 Pr{Λ1 |Π0 } = Pr{Y𝐶 < 𝑋𝐶 |𝑌𝐶 > 0} = 11. 1−𝛼 2. .. (2-2).

(19) 若進入類型二(Λ2 )，如圖 2-3 (b)所示，表示A𝑗−1 位於S𝑗 右側的傳輸範圍中，而 A𝑗−1 加上一段𝑅的距離後會進入S𝑗 左側的傳輸範圍內，因此考慮範圍不只要將 D𝑗−1 右側的傳輸範圍𝑅考慮進來，也須考慮到S𝑗 左側的傳輸範圍𝑅，故進入類型二的條件為𝑋𝐶 + 𝑅 < 𝑌𝐶 + 𝑅 < 𝑋𝐶 + 2𝑅，經過整理後可將式子簡化成𝑋𝐶 < 𝑌𝐶 < 𝑋𝐶 + 𝑅，因此位於類型二的機率為 Pr{Λ2 |Π0 } = Pr{𝑋𝐶 < 𝑌𝐶 < 𝑋𝐶 + 𝑅|𝑌𝐶 > 0} = [𝛼 +. 1−𝛼 2. ′. ] ⋅ (1 − 𝑒 −𝜆 𝑅 ). (2-3). 若進入類型三(Λ3 )，如圖 2-3 (c)所示，表示A𝑗−1 位於S𝑗 左側，理所當然加上了一段𝑅的範圍後仍然會位於S𝑗 的左側，因此我們所需考慮的範圍與在類型二時相同，故進入類型三的條件為𝑌𝐶 + 𝑅 > 𝑋𝐶 + 2𝑅，經果整理後式子可簡化成𝑌𝐶 > 𝑋𝐶 + 𝑅，因此位於類型三的機率為 Pr{Λ3 |Π0 } = Pr{𝑌𝐶 > 𝑋𝐶 + 𝑅|𝑌𝐶 > 0} = [𝛼 +. 1−𝛼 2. ′. ] ⋅ 𝑒 −𝜆 𝑅. (2-4). 而Π0 狀態下的三種類型樹狀圖如圖 2-4 所示。. 在Π𝐾 的狀態下，表示修復第(j − 1)次網路斷開須利用對向車輛，也就是向西行駛之車輛，進行儲存轉送攜帶來修復此次的網路斷開，若進入類型一(Λ1 )，如圖 2-5 (a)所示，D𝑗−1 為第(𝑗 − 1)次網路斷開之目的地端車輛， 𝑆𝑗 為𝐷𝑗−1 所在叢集之最前方車輛，也是第𝑗次網路斷開的來源端車輛，𝑋𝐶 為𝑆𝑗 與𝐷𝑗−1 所在之叢集長度，A𝑗−1 為修復第(𝑗 − 1)次網路斷開之向西行駛之車輛，由於是在Π𝐾 的狀態下，表示我們需要去考慮A𝑗−1 與其前車的關係，因為A𝑗−1 的前車之所在位置會影響到此次的網路斷開的修復情形，A𝑗 是與A𝑗−1 發生網路斷開的車輛，𝑌𝐷 為A𝑗 與 A𝑗−1 的距離。若是A𝑗 位於𝑆𝑗 的右方，則會進入類型一(Λ1 )，此狀態會進入類型一的發生條件為𝑌𝐷 < 𝑋𝐶 + 𝑅，移項後可寫成𝑌𝐷 − 𝑅 < 𝑋𝐶 ，結合先前提過的𝑌𝐷 − 𝑅 = 𝐾，因此可寫成K < 𝑋𝐶 ，而機率為 ′. Pr{Λ1 |Π𝐾 } = Pr{K < 𝑋𝐶 } = (1 − 𝛼) ⋅ 𝑒 −𝜆 𝐾 .. 12. (2-5).

(20) (a). (b). (c) 圖 2-5 在Π𝐾 中的三種類型. 13.

(21) (a). (b) 圖 2-6 Π𝐾 的三種類型樹狀圖. 如圖 2-5 (b)所示，若進入類型二(Λ2 )，表示A𝑗 位於𝑆𝑗 的左方，並且在𝑆𝑗 的傳輸範圍內，此狀態發生的條件為𝑋𝐶 + 𝑅 < 𝑌𝐷 < 𝑋𝐶 + 2𝑅，移項後寫成𝑌𝐷 − 2𝑅 < 𝑋𝐶 < 𝑌𝐷 − 𝑅，也就是K − R < 𝑋𝐶 < 𝐾，從此式可看出K是否超過R會影響𝑋𝐶 的範圍，因此機率可分成兩種情況去看當K ≤ R時 ′. Pr{Λ2 |Π𝐾 , 𝐾 ≤ 𝑅} = Pr{0 < 𝑋𝐶 < 𝐾} = 𝛼 + (1 − 𝛼) ⋅ (1 − 𝑒 −𝜆 𝐾 ). (2-6). 當K > R時 ′. ′. Pr{Λ2 |Π𝐾 , 𝐾 > 𝑅 } = Pr{K − R < 𝑋𝐶 < 𝐾} = (1 − 𝛼) ⋅ (𝑒 −𝜆 (𝐾−𝑅) − 𝑒 −𝜆 𝐾 ). (2-7). 如圖 2-5 (c)所示，若進入類型三(Λ3 )表示A𝑗 位於𝑆𝑗 的左方並且A𝑗 超出𝑆𝑗 的傳輸範圍𝑅，此狀態發生的條件為𝑌𝐷 > 𝑋𝐶 + 2𝑅，移項後寫成𝑌𝐷 − 2𝑅 > 𝑋𝐶 ，也就是K − R > 𝑋𝐶 ，可看出若是K < R則此類型不會發生，因此機率為 ′. Pr{Λ3 |Π𝐾 } = Pr{K − R > 𝑋𝐶 } = 𝛼 + (1 − 𝛼) ⋅ (1 − 𝑒 −𝜆 (𝐾−𝑅) ) 而Π𝐾 狀態下的三種類型樹狀圖如圖 2-6 所示。. 14. (2-8).

(22) 根據這三種型態去討論，我們會分別求出三種結果： (1) 修復網路斷開所需移動的距離Ω，也就是攜帶訊息之向西行駛之車輛進入目的地端車輛傳輸範圍內所需移動的距離。 (2) 不用移動即可修復網路斷開的機率FΩ (0)，也就是攜帶訊息之向西行駛之車輛叢集已超過目的地車輛的機率。 (3) 攜帶訊息之向西行駛之車輛與前車之間的距離Φ。. 2.2 類型一 (𝚲𝟏 ) 如同先前所提到的，根據第(𝑗 − 1)次網路斷開是在何種狀態下被修復，可以將類型一(Λ1 )大致上分為兩種狀態，一種為πj−1 = 0的狀態Π0 ，如圖 2-1 所示，表示修復網路斷開所使用之對向車輛，也就是向西行駛之車輛，不需移動即可修復網路斷開，也就是只利用空間上的傳遞修復網路斷開；另一種為πj−1 = K的狀態Π𝐾 ，如圖 2-2 所示，表示修復網路斷開所使用之向西行駛車輛須經過移動才可修復網路斷開，並且此車輛叢集最前方之車輛必定位於此次網路斷開之目的地端車輛右方距離R的位置，也就是不僅利用空間上的傳遞還使用了時間上的傳遞來修復網路斷開。. 2.2.1 𝛑𝐣−𝟏 = 𝟎 (𝚷𝟎 ) 在類型一的情況下，當狀態為πj−1 = 0時，如圖 2-3 (a)所示，此狀態位於類型一之條件如同先前所討論為𝑌𝐶 + 𝑅 < 𝑋𝐶 + 𝑅。在圖 2-7 中，S𝑗 為第𝑗次網路斷開的來源端車輛，S𝑗 右方的情況與圖 2-3(a)相同，而以下的討論會根據距離S𝑗 左方最近的向西方行駛之車輛G𝑗 與S𝑗 之間的距離G是否有超過傳輸範圍R，可以再將此狀態在細分為事件一Γ𝐿 與事件二Γ𝑅 。. 15.

(23) 圖 2-7 在Λ1 Π0 中的情形 A 事件一 (Γ𝐿 ) 若是G𝑗 與𝑆𝑗 的距離G沒有超過傳輸範圍R，也就是G𝑗 位於S𝑗 左方的傳輸範圍之內，那麼便會進入事件一(Γ𝐿 )，而負責修復第𝑗次網路斷開的車輛為G𝑗 或是G𝑗 所在叢集之車輛，而H𝑗 為G𝑗 所在叢集之最前方車輛，因此在此事件我們只考慮S𝑗 左邊的情形，如圖 2-8 所示，以下將求出先前所提的三樣東西，分別為Ω的機率分佈函數、Ω < 0之機率與Φ的機率分佈函數，並且皆以Λ1 Π0 Γ𝐿 為條件做討論。. (1) Ω的機率分佈函數. 在圖 2-7 中，由於G沒有超過傳輸範圍R，表示G𝑗 與𝑆𝑗 的距離G < R，因此G之條件式機率分佈為 f𝐺 (𝑔) = 𝜆𝑒 −𝜆𝑔 f𝐺|G<𝑅 (𝑔) =. 𝜆𝑒 −𝜆𝑔 1−𝑒 −𝜆𝑅. ,0 < 𝑔 < 𝑅. (2-9) (2-10). X 𝐷 為𝑆𝑗 與𝐷𝑗 的距離，車輛間距為指數分佈，發生網路斷開表示車輛間距超過傳輸範圍 R，也就是X 𝐷 > 𝑅，因此X 𝐷 的條件式機率分佈為 fX𝐷 (𝑥) = λe−𝜆(x−R) , 𝑥 > 𝑅. (2-11). 由於只要進入傳輸範圍即可修復網路斷開，因此讓𝑋̂𝐷 = X 𝐷 − 𝑅，𝑋̂𝐷 的機率分佈可以寫成 f𝑋̂𝐷 (𝑥) = λe−𝜆x .. 16. (2-12).

(24) 圖 2-8 在Λ1 Π0 Γ𝐿 中S𝑗 左邊的情形. 讓Z𝐶 為G𝑗 所在的叢集長度，H𝑗 為叢集Z𝐶 中最前面的車輛，若是Z𝐶 的長度為 0，則G𝑗 與H𝑗 為同一輛車，因此Z𝐶 的機率分佈與式(2-1)相同 𝑓Z𝐶 (𝑐 ) = 𝑓𝐶 (𝑐 ), 𝑐 ≥ 0. (2-13). 讓U = 𝑋̂𝐷 − Z𝐶 ，由於𝑋̂𝐷 和Z𝐶 是獨立的，U的機率分佈可由此獲得 ∞. fU (𝑢) = ∫−∞ 𝑓Z𝐶 (𝑐 ) ⋅ 𝑓𝑋̂𝐷 (𝑢 + 𝑐) 𝑑𝑐.. (2-14). 若是向西行駛的車輛H𝑗 還沒超過向東行駛之目的地端車輛D𝑗 的右方傳輸範圍內，那麼H𝑗 所要移動的距離寫做Ω，可以明顯的看出Ω = U − G，由於U和G是獨立的，Ω的機率分佈可以由此獲得 ∞. fΩ (𝑥) = ∫−∞ f𝐺|G<𝑅 (𝑔) ⋅ 𝑓U (𝑥 + 𝑔) 𝑑𝑔, 𝑥 > 0. (2-15). 在這邊要注意式(2-15)是在Λ1 Π0 Γ𝐿 條件下的Ω。. (2) Ω < 0之機率 Ω < 0表示H𝑗 已經超過D𝑗 右方距離R的位置，也就是D𝑗 的傳輸範圍，因此Ω < 0的機率可以由式(2-15)得出 ∞. FΩ (0) = 1 − ∫0 fΩ (𝑥)𝑑𝑥 在這邊要注意式(2-16)是在Λ1 Π0 Γ𝐿 條件下的Ω < 0。 17. (2-16).

(25) 圖 2-9 𝐻𝑗 與前車的距離. (3) Φ的機率分佈函數如圖 2-9 所示，當H𝑗 不用移動就能將訊息送至D𝑗 時，也就是在Ω < 0的時候，表示此次狀態會進入πj = 0，不需計算H𝑗 與前車之距離，因為在這個狀態時 H𝑗 與前車之距離和狀態是獨立的；只有當H𝑗 需要移動時才需要計算H𝑗 與前車H𝑗+1 的距離，也就是車輛H𝑗 所需移動的距離為Ω > 0的時候，表示此次狀態會進入 πj = K，而H𝑗 與其前車H𝑗+1 之間的距離之機率分佈Φ與式(2-11)相同，K可以看成 Φ − R，從這裡可看出H𝑗 與前車之距離會影響到他會進入那個狀態。由於在Ω < 0時不會有H𝑗 與前車H𝑗+1 的距離，因此根據式(2-16)Φ在事件Λ1 Π0 Γ𝐿 中的條件式機率分佈為 fΦ|Ω>0 (𝑥) = (1 − FΩ (0)) ∙ fΦ (𝑥), 𝑥 > R. (2-17). 在這邊要注意式(2-17)是在Λ1 Π0 Γ𝐿 條件下的Φ。. B 事件二 (Γ𝑅 ) 如圖 2-7，若是G𝑗 與𝑆𝑗 的距離G 超過傳輸範圍R，也就是G𝑗 超出S𝑗 的傳輸範圍，那麼便會進入事件二(Γ𝑅 )，表示修復網路斷開所利用之向西行駛之車輛必定位於𝑆𝑗 的右方，因此我們只考慮S𝑗 右邊的情形，如圖 2-10 所示，以下將求出先前所提的三樣東西，分別為Ω的機率分佈函數、Ω < 0之機率與Φ的機率分佈函數，並且皆以Λ1 Π0 Γ𝑅 為條件做討論。 18.

(26) 圖 2-10 在Λ1 Π0 Γ𝑅 中S𝑗 右邊的情形 (1) Ω的機率分佈函數. 在圖 2-7 中，由於G超過傳輸範圍R，表示G𝑗 與𝑆𝑗 的距離G > R，因此G之條件式機率分佈為 f𝐺|G>𝑅 (𝑔) = 𝜆𝑒 −𝜆(𝑔−𝑅) , 𝑔 > 𝑅. (2-18). 接著在圖 2-10 中，位於S𝑗 右方距離S𝑗 最近的向西行駛車輛為F𝑗 ，而兩輛車之間的距離為F，F之機率分佈為 fF (𝑓) = 𝜆𝑒 −𝜆𝑓. (2-19). Aj−1 為修復第(j − 1)次網路斷開之車輛所在叢集之最前方車輛，Aj−1 與S𝑗 的距離用A來表示，由圖 2-10 可看出A = (X 𝐶 + R) − Y𝐶 = (X 𝐶 − Y𝐶 ) + R，X 𝐶 為S𝑗 所在的叢集長度，Y𝐶 為A𝑗−1 所在的叢集超過D𝑗−1 傳輸範圍𝑅的部分，讓C+ = X 𝐶 − Y𝐶 ，因此A = C+ + 𝑅，車輛叢集分布為式(2-1)，但是X 𝐶 不可能等於Y𝐶 ，因此C+ 之機率分佈為 ′. fC+ (𝑐 ) = 𝜆′ 𝑒 −𝜆 𝑐 , 𝑐 > 0. (2-20). 故A之機率分佈為 ′. f𝐴 (𝑎) = fC+ (𝑎 − 𝑅 ) = 𝜆′ 𝑒 −𝜆 (𝑎−𝑅) , 𝑎 > 𝑅.. (2-21). 根據向西行駛之車輛Aj−1 和Fj 的相對位置，可以將事件二分為以下兩種情況做討論，一種為Aj−1 與S𝑗 之間有車輛Fj ，也就是F < A的情形，另一種為Aj−1 與S𝑗 之間沒有其他任何車輛，也就是F > A的情形。 19.

(27) I.. F≤A 若在F < A的情況下，表示比起Aj−1 ，Fj 距離Sj 的距離更近，在這裡需要注意. Fj 和Sj 距離F會受到Aj−1 和Sj 距離A的限制，因為Fj 在Sj 與Aj−1 之間，所以F ≤ A，但是在此要注意到Aj−1 前方距離R的範圍內是不會有車的，因此距離F受到限制的範圍為F ≤ A − R，而A − R之機率分佈與式(2-20)相同，因此F的條件式機率分佈為 ∞. fF|F<A (𝑓) = fF (𝑓) ∫𝑓 fC+ (𝑐)𝑑𝑐. (2-22). 如同事件一所討論，Sj 與𝐷j 的距離為𝑋𝐷 ，即式(2-11)，𝑋̂𝐷 = 𝑋𝐷 − 𝑅為式(2-12)， Fj 將訊息送至𝐷j 所需移動的距離為Ω = F + 𝑋̂𝐷 ，由於𝑋̂𝐷 和F是獨立的，因此Ω的條件式機率分佈為 ∞. fΩ|𝐹<𝐴 (𝑥) = ∫−∞ 𝑓𝐹|𝐹<𝐴 (𝑓) ⋅ 𝑓𝑋̂𝐷 (𝑥 − 𝑓)𝑑𝑓, 𝑥 > 0. (2-23). II. F > A 若F > A，表示Aj−1 和Sj 之間沒有其他向西行駛之車輛，則Aj−1 和Sj 的距離A 會受到Fj 和Sj 距離F的限制，也就是F > A，這是為了確保Aj−1 與Sj 之間不會有其他向西行駛之車輛，但是要注意與在因此A的條件式機率分佈根據式(2-19)與式 (2-21)可得出 ∞. fA|F>A (𝑎) = fA (𝑎) ∫𝑎−𝑅 f𝐹 (𝑓)𝑑𝑓. (2-24). 如同先前所討論，Aj 將訊息送至𝐷j 所需移動的距離為Ω = A + 𝑋̂𝐷 ，由於𝑋̂𝐷 和A是獨立的，因此Ω的條件式機率分佈為 ∞. fΩ|F>A (𝑥) = ∫−∞ 𝑓𝐴|𝐹>𝐴 (𝑎) ⋅ 𝑓𝑋̂𝐷 (𝑥 − 𝑎)𝑑𝑎, 𝑥 > 𝑅. (2-25). 因此事件二之移動距離Ω可由式(2-23)與式(2-25)獲得 f Ω (𝑥 ) = {. fΩ|F<A (𝑥) ,𝑥 ≤ 𝑅 fΩ|F<A (𝑥) + fΩ|F>A (𝑥), 𝑥 > 𝑅. 在這邊要注意式(2-26)是在Λ1 Π0 Γ𝑅 條件下的Ω。 20. (2-26).

(28) (a) F𝑗 與前車的距離. (b) 𝐴𝑗−1 與前車的距離. 圖 2-11 與前車的距離 (2) Ω < 0之機率若是進入事件二，從圖 2-9 可看出向西行駛之車輛必須要移動才能將訊息傳至目的地端車輛D𝑗 ，因此不會有Ω < 0 的機率。. (3) Φ的機率分佈函數如同(1) Ω的機率分佈函數所討論，在圖 2-10 中，根據向西行駛之車輛Aj−1 和 Fj 的相對位置，須將事件二分為以下兩種情況做討論，一種為Aj−1 與S𝑗 之間有車輛Fj ，也就是F < A的情形，另一種為Aj−1 與S𝑗 之間沒有其他任何車輛，也就是 F > A的情形。. I.. F<A ̂ 為Sj 與Fj 的距離，而車輛間的距離為指數分佈，所以 Φ ̂ 如圖 2-11 (a)所示，Φ. ̂ ，根據先前所討與式(2-12)相同，Fj 與前車的距離為Φ，從圖中可看出Φ = F + Φ ̂ 和F是獨立論的Fj 到Sj 之間不會有車，所以Fj 與前車的距離一定會超過F，由於Φ 的，因此Φ的條件式機率分佈為 ∞. fΦ|𝐹<𝐴 (𝑥) = ∫−∞ 𝑓𝐹|𝐹<𝐴 (𝑓) ⋅ 𝑓Φ̂ (𝑥 − 𝑓)𝑑𝑓, 𝑥 > R 在這邊要注意式(2-27)是在Λ1 Π0 Γ𝑅 條件下的Φ。 21. (2-27).

(29) II. F > A. ̂ 為Sj 與Aj 的距離，而車輛間的距離為指數分佈，所以 Φ ̂ 如圖 2-11 (b)所示，Φ 與式(2-12)相同，Aj−1 與前車Aj 的距離為Φ，在這裡要注意Aj−1 到Sj 之間不會有 ̂ ，Φ ̂ 與式(2-12)相同，由於車，因此Aj−1 與前車距離的機率分佈可視為Φ = A + Φ ̂ 和A是獨立的，因此Φ的條件式機率分佈為 Φ ∞. fΦ|F>A (𝑥) = ∫−∞ 𝑓𝐴|𝐹>𝐴 (𝑎) ⋅ 𝑓Φ̂ (𝑥 − 𝑎)𝑑𝑎, 𝑥 > 2R.. (2-28). 在這邊要注意式(2-28)是在Λ1 Π0 Γ𝑅 條件下的Ω，而事件二車輛之間的距離Φ可由式(2-27)與式(2-28)獲得 f Φ (𝑥 ) = {. fΦ|F<A (𝑥) , 2𝑅 ≥ 𝑥 > 𝑅 fΦ|F<A (𝑥) + fΦ|F>A (𝑥), 𝑥 > 2𝑅. (2-29). 在這邊要注意式(2-29)是在Λ1 Π0 Γ𝑅 條件下的Φ。. C 合併兩事件在事件一(Γ𝐿 )求出之移動距離Ω為式(2-15)，而Ω < 0的機率為式(2-16)；在事件二(Γ𝑅 )求出之移動距離Ω為式(2-26)。而進入何種事件的機率由G𝑗 是否進入S𝑗 的傳輸範圍來決定，因此進入事件一的機率P1 由G𝑗 與S𝑗 之間的距離G決定，進入事件一表示G ≤ R根據式(2-9)可得出 𝑅. P1 = ∫0 fG (𝑔)𝑑𝑔 = 1 − 𝑒 −𝜆𝑅. (2-30). 而進入事件二的機率P2 可由式(2-30)獲得 P2 = 1 − P1 = 𝑒 −𝜆𝑅. (2-31). 故類型一在πj−1 = 0的狀態下之移動距離Ω可由式(2-15)、式(2-16)與式(2-26)獲得 fΩ (𝑥) = P1 ∙ (FΩ|Λ1Π0Γ𝐿 (0) + fΩ|Λ1Π0Γ𝐿 (𝑥)) + P2 ∙ fΩ|Λ1Π0Γ𝑅 (𝑥). (2-32). 在類型一πj−1 = 0的狀態下與前車的距離Φ可由式(2-17)與式(2-29)獲得 fΦ (𝑥) = P1 ∙ fΦ|Λ1Π0Γ𝐿 (𝑥) + P2 ∙ fΦ|Λ1Π0Γ𝑅 (𝑥) .. 22. (2-33).

(30) 圖 2-12 在Λ1 Π𝐾 中的情形. 2.2.2 𝛑𝐣−𝟏 = 𝑲 (𝚷𝑲 ) 當狀態為πj−1 = K時，從圖 2-4 (a)中可看出，修復第(j − 1)次網路斷開的西向車輛Aj−1 一定位於東向第(j − 1)次的目的地端車輛𝐷𝑗−1 的右側距離R的位置，也就是D𝑗−1 的傳輸範圍邊界，而與A𝑗−1 發生網路斷開之車輛A𝑗 ，位於𝑆𝑗 的右方， 𝑆𝑗 為第𝑗次網路斷開之向東行駛之來源端車輛，也是𝐷𝑗−1 所在叢集之最前方車輛，𝑌𝐷 為A𝑗−1 與A𝑗 之間的距離，𝑋𝐶 為𝐷𝑗−1 所在之叢集長度，根據先前所討論的此狀態發生的條件為𝑌𝐷 < 𝑋𝐶 + 𝑅，與在𝜋𝑗 = 0時相同，G𝑗 為位於S𝑗 左方距離S𝑗 最近的向西行駛之車輛，可根據G𝑗 與𝑆𝑗 的距離G是否有超過傳輸範圍R，將此狀態在細分為事件一(Γ𝐿 )與事件二(Γ𝑅 )。. A 事件一 (Γ𝐿 ) 若是G𝑗 與𝑆𝑗 的距離G沒有超過傳輸範圍R，也就是G𝑗 在S𝑗 的傳輸範圍之內，那麼便會進入事件一(Γ𝐿 )，而G之條件式機率分佈也與式(2-10)相同，由於進入事件一後只需考慮向東行駛之來源端車輛𝑆𝑗 左方車輛分佈的情況，與𝑆𝑗 的右方無關，並且在類型一時不管在πj−1 = 0的狀態或πj−1 = K的狀態下，影響範圍皆不會影響到𝑆𝑗 的左方，因此Λ1 Π𝐾 Γ𝐿 的討論在事件一時與在Λ1 Π0 Γ𝐿 時相同，以下將求出先前所提的三樣東西，分別為Ω的機率分佈函數、Ω < 0之機率與Φ的機率分佈函數，並且皆以Λ1 Π𝐾 Γ𝐿 為條件做計算。. 23.

(31) (1) Ω的機率分佈函數. 由於Λ1 Π𝐾 Γ𝐿 的討論方法與Λ1 Π0 Γ𝐿 相同，如圖 2-8 所示，我們想要求得的向西行駛之車輛H𝑗 進到D𝑗 的傳輸範圍內所要移動的距離Ω在Λ1 Π𝐾 Γ𝐿 下的機率與式(215)相同。. (2) Ω < 0之機率. 如同在(1) Ω的機率分佈函數所述，在Λ1 Π𝐾 Γ𝐿 條件下的Ω < 0的機率與式(216)相同。. (3) Φ的機率分佈函數如前所述，H𝑗 與前車的距離Φ在Λ1 Π𝐾 Γ𝐿 下的機率也與式(2-17)相同。. B 事件二 (Γ𝑅 ) 由於Λ1 Π𝐾 Γ𝐿 的討論方法與Λ1 Π0 Γ𝐿 相同，如圖 2-12 所示，若是G𝑗 與𝑆𝑗 的距離 G 超過傳輸範圍R，也就是G𝑗 超出S𝑗 的傳輸範圍，那麼便會進入事件二(Γ𝑅 )，表示修復網路斷開所利用之向西行駛之車輛必定位於𝑆𝑗 的右方，因此我們只考慮S𝑗 右邊的情形，如圖 2-13 所示，以下將求出先前所提的三樣東西，分別為Ω的機率分佈函數、Ω < 0之機率與Φ的機率分佈函數，並且皆以Λ1 Π𝐾 Γ𝑅 為條件做討論。. (1) Ω的機率分佈函數由於G超過傳輸範圍R，表示G𝑗 與𝑆𝑗 的距離G > R，因此G之條件式機率分佈與式(2-18)相同。在圖 2-13 中，位於S𝑗 右側最近的向西行駛之車輛為F𝑗 ，而兩輛車之間的距離為F， F之機率分佈與式(2-19)相同。另外與A𝑗−1 產生斷點之向西行駛車輛A𝑗 ，與東向來源端車輛S𝑗 之間的距離為A，從圖 2-4 (b)可看出A = X 𝐶 − 𝐾，因此A之機率分佈與式(2-20)相同。 24.

(32) 圖 2-13 在Λ1 Π𝐾 Γ𝑅 中S𝑗 右邊的情形如同先前在πj−1 = 0時的事件二Γ𝑅 所討論的，根據向西方行駛之車輛Aj 和Fj 的相對位置，可以將事件二分為以下兩種做討論，一種為Aj−1 與S𝑗 之間有車輛 Fj ，也就是F < A的情形，另一種為Aj−1 與S𝑗 之間沒有其他任何車輛，也就是F > A的情形，F的機率與在Λ1 Π0 Γ𝑅 時相同為式(2-19)，而A之機率分佈與式(2-20)相同。. I.. F<A 若F < A，表示比起Aj−1 ，Fj 距離Sj 的距離更近，那麼Fj 和Sj 距離F會受到Aj 和. Sj 距離A的限制，也就是F < A，由於A與F的機率分佈都與在Λ1 Π0 Γ𝑅 時相同，因此F的條件式機率分佈也會與式(2-22)相同，Fj 將訊息送至𝐷j 所需移動的距離的討論方式也與在Λ1 Π0 Γ𝑅 的時候相同為Ω = F + 𝑋̂𝐷 ，𝑋̂𝐷 為式(2-12)，由於F和𝑋̂𝐷 皆與之前相同，因此Ω的條件式機率分佈在Λ1 Π𝐾 Γ𝑅 條件下與式(2-23)相同。. II. F > A 若F > A，表示Aj−1 和Sj 之間沒有其他向西行駛之車輛，則Aj−1 和Sj 的距離A 會受到Fj 和Sj 距離F的限制，也就是F > A，因此根據式(2-19)與式(2-20)可得出A 之條件式機率分佈為 ∞. fA|F>A (𝑎) = fC+ (𝑎) ∫𝑎 f𝐹 (𝑓)𝑑𝑓. 25. (2-34).

(33) (a) F𝑗 與前車的距離. (b) 𝐴𝑗 與前車的距離. 圖 2-14 與前車的距離 Aj 將訊息送至𝐷j 所需移動的距離所需移動的距離為Ω = A + 𝑋̂𝐷 ，𝑋̂𝐷 為式(2-12)，由於𝑋̂𝐷 和A是獨立的，因此Ω的條件式機率分佈為 ∞. fΩ|F>A (𝑥) = ∫−∞ 𝑓𝐴|𝐹>𝐴 (𝑎) ⋅ 𝑓𝑋̂𝐷 (𝑥 − 𝑎)𝑑𝑎, 𝑥 > 𝑅. (2-35). 因此事件二之之移動距離Ω可由式(2-34)與式(2-35)獲得 fΩ (𝑥) = fΩ|F<A (𝑥) + fΩ|F>A (𝑥). (2-36). (2) Ω < 0之機率若是進入事件二，從圖 2-12 可看出向西行駛之車輛必須要移動才能將訊息傳至目的地端車輛D𝑗 ，修復第𝑗次網路斷開，因此不會有Ω < 0 的機率。. (3) Φ的機率分佈函數如同在(1) Ω的機率分佈函數所討論，在圖 2-13 中，根據向西行駛之車輛Aj−1 和Fj 的相對位置，須將事件二分為以下兩種情況做討論，一種為Aj−1 與S𝑗 之間有車輛Fj ，也就是F < A的情形，另一種為Aj−1 與S𝑗 之間沒有其他任何車輛，也就是 F > A的情形。. 26.

(34) I.. F<A ̂ 為Sj 與Fj 的距離，而車輛間的距離為指數分佈，所以 Φ ̂ 如圖 2-14(a)所示，Φ. 與式(2-12)相同，Fj 與前車的距離為Φ，在這裡要注意，根據先前所討論的Fj 到Sj ̂ ，由於Φ ̂ 和F的之間不會有車，因此發生網路斷開的機率分佈可視為Φ = F + Φ 機率分佈與在Λ1 Π0 Γ𝑅 的時候相同，因此在Λ1 Π𝐾 Γ𝑅 條件下Φ的條件式機率分佈與式(2-27)相同。. II. F > A ̂ 為Sj 與Aj 的距離，而車輛間的距離為指數分佈，所以 Φ ̂ 如圖 2-14(b)所示，Φ 與式(2-12)相同，Aj 與前車的距離為Φ，在這裡要注意Aj 到Sj 之間不會有車，因此 ̂ ，而A之機率分佈為式(2-34)，因此Φ Aj 與前車距離的機率分佈可視為Φ = A + Φ 之機率分佈為 ∞. fΦ|F>A (𝑥) = ∫−∞ 𝑓𝐴|𝐹>𝐴 (𝑎) ⋅ 𝑓Φ̂ (𝑥 − 𝑎)𝑑𝑎, 𝑥 > R. (2-37). 並且是在Λ1 Π𝐾 Γ𝑅 條件下，而事件二車輛之間的距離Φ可由式(2-27)與式(2-37)獲得 fΦ (𝑥) = fΦ|F<A (𝑥) + fΦ|F>A (𝑥), 𝑥 > 𝑅. (2-38). 在這邊要注意式(2-38)是在Λ1 Π𝐾 Γ𝑅 條件下的Φ。. C 合併兩事件在事件一(Γ𝐿 )求出之移動距離Ω為式(2-15)，而Ω < 0的機率為式(2-16)；在事件二(Γ𝑅 )求出之移動距離Ω為式(2-36)。而進入何種事件的機率由G𝑗 是否進入S𝑗 的傳輸範圍來決定，由於G𝑗 與S𝑗 距離G之機率分佈與在Λ1 Π0 Γ𝐿 時相同為式(2-9)，因此進入事件一之機率P1 也與式(2-30)相同，而進入事件二之機率也會與式(2-31)相同。. 27.

(35) 故類型一在πj−1 = K的狀態下之移動距離Ω可由式(2-15)、式(2-16)與式(2-36) 獲得 fΩ (𝑥) = P1 ∙ (FΩ|Λ1Π𝐾Γ𝐿 (0) + fΩ|Λ1Π𝐾Γ𝐿 (𝑥)) + P2 ∙ fΩ|Λ1Π𝐾Γ𝑅 (𝑥). (2-39). 在類型一πj−1 = K的狀態下與前車的距離Φ可由式(2-17)與式(2-38)獲得 fΦ (𝑥) = P1 ∙ fΦ|Λ1Π𝐾Γ𝐿 (𝑥) + P2 ∙ fΦ|Λ1Π𝐾Γ𝑅 (𝑥) .. (2-40). 2.3 類型二 (𝚲𝟐 ) 在類型二(Λ2 )中討論方式與類型一(Λ1 )相似，同樣根據第(𝑗 − 1)次網路斷開所使用的修復的方式，可以將類型二(Λ2 )分為兩種狀態，一種為πj−1 = 0的狀態 Π0 ；另一種為πj−1 = K的狀態Π𝐾 。. 2.3.1 𝛑𝐣−𝟏 = 𝟎 (𝚷𝟎 ) 當狀態為πj−1 = 0時，如圖 2-3 (b)所示，此狀態位於類型二之條件為𝑋𝐶 + 𝑅 < 𝑌𝐶 + 𝑅 < 𝑋𝐶 + 2𝑅。在圖 2-15 中，S𝑗 為第𝑗次網路斷開的來源端車輛，G𝑗 為位於S𝑗 右方距離S𝑗 最近的向西行駛之車輛，根據G𝑗 與𝑆𝑗 的距離G是否有超過傳輸範圍R，可以再將此狀態在細分為事件一(Γ𝐿 )與事件二(Γ𝑅 )。. A 事件一 (Γ𝐿 ) 如圖 2-15 所示，若是G𝑗 與𝑆𝑗 的距離G沒有超過傳輸範圍R，也就是G𝑗 在S𝑗 的傳輸範圍之內，那麼便會進入事件一(Γ𝐿 )，而負責修復第𝑗次網路斷開的車輛為G𝑗 或是G𝑗 所在叢集之車輛，因此我們只考慮S𝑗 左邊的情形，以下將求出先前所提的三樣東西，分別為Ω的機率分佈函數、Ω < 0之機率與Φ的機率分佈函數，並且皆以Λ2 Π0 Γ𝐿 為條件做討論。. 28.

(36) 圖 2-15 在Λ2 Π0 Γ𝐿 中S𝑗 左邊的情形 (1) Ω的機率分佈函數在圖 2-15 中，由於網路斷開和叢集是交錯出現的，因此在𝐴𝑗−1 左側距離R的範圍內皆不會有車，而𝐴𝑗−1 左側距離R的範圍超過𝑆𝑗 的部分為 L，故在L的範圍內不會有車，根據圖 2-3 (b)可看出L = (𝑌𝐶 + 𝑅) − (𝑋𝐶 + 𝑅) = 𝐶+ ，因此L的機率分佈為 ′. f𝐿 (𝑙) = 𝜆′ 𝑒 −𝜆 𝑙 , 𝑙 > 0. (2-41). M為受到𝐴𝑗−1 影響的範圍L到𝐺𝑗 的距離，M之機率分佈為 f𝑀 (𝑚) = 𝜆𝑒 −𝜆𝑚 , 𝑚 > 0. (2-42). 由於是事件一，表示G沒有超過傳輸範圍R，也就是G𝑗 與𝑆𝑗 的距離G ≤ R，又G = M + L，因此G之條件式機率分佈為 ∞. f𝐺 (𝑔) = ∫−∞ f𝑀 (𝑚)f𝐿 (𝑔 − 𝑚)𝑑𝑚 , 𝑔 > 0 f𝐺|G<𝑅 (𝑔) =. f𝐺 (𝑔) 𝑅 ∫0 f𝐺 (𝑔)𝑑𝑔. ,0 < 𝑔 ≤ 𝑅. (2-43) (2-44). X 𝐷 為𝑆𝑗 與𝐷𝑗 的距離，車輛間距為指數分佈，發生網路斷開表示車輛間距超過傳輸範圍 R，也就是X 𝐷 > 𝑅，因此X 𝐷 的機率分佈為式(2-11)，讓𝑋̂𝐷 = X 𝐷 − 𝑅， 𝑋̂𝐷 的機率分佈為式(2-12)，Z𝐶 為G𝑗 所在的叢集長度，H𝑗 為叢集Z𝐶 中最前面的車輛，若是Z𝐶 的長度為0，則G𝑗 與H𝑗 為同一輛車，因此Z𝐶 的機率分佈為式(2-13)，讓U = 𝑋̂𝐷 − Z𝐶 ，由於𝑋̂𝐷 與Z𝐶 的機率分佈皆與先前相同，因此 U的機率分佈為式 (2-14) 29.

(37) 若是向西行駛的車輛H𝑗 還沒超過向東行駛之目的地端車輛D𝑗 的右方傳輸範圍內，那麼H𝑗 所要移動的距離寫做Ω，可以明顯的看出Ω = U − G，由於U和G是獨立的，Ω的機率分佈根據式(2-14)與式(2-44)獲得，並且在Λ2 Π0 Γ𝐿 的條件下 ∞. fΩ (𝑥) = ∫−∞ f𝐺|G<𝑅 (𝑔) ⋅ 𝑓U (𝑥 + 𝑔) 𝑑𝑔, 𝑥 > 0 .. (2-45). (2) Ω < 0之機率 Ω < 0表示H𝑗 已經超過D𝑗 右方距離R的位置，也就是D𝑗 的傳輸範圍，因此Ω < 0的部分可以由式(2-45)得出 ∞. FΩ (0) = 1 − ∫0 fΩ (𝑥)𝑑𝑥. (2-46). 在這邊要注意式(2-46)是在Λ2 Π0 Γ𝐿 條件下的Ω < 0。. (3) Φ的機率分佈函數由於網路斷開發生和叢集是獨立的，因此H𝑗 與前車的關係和在Λ1 Π0 Γ𝐿 時相同，如圖 2-9 所示，因此H𝑗 與前車的距離Φ與式(2-11)相同，由於在Ω < 0時不會有H𝑗 與前車H𝑗+1 的距離，因此根據式(2-46)Φ在事件Λ2 Π0 Γ𝐿 中的條件式機率分佈為 fΦ|Ω>0 (𝑥) = (1 − FΩ (0)) ∙ fΦ (𝑥), 𝑥 > R. (2-47). 在這邊要注意式(2-47)是在Λ2 Π0 Γ𝐿 條件下的Φ。. B 事件二 (Γ𝑅 ) 若是G𝑗 與𝑆𝑗 的距離G 超過傳輸範圍R，也就是G𝑗 超出S𝑗 的傳輸範圍，那麼便會進入事件二(Γ𝑅 )，表示修復網路斷開所利用之向西行駛之車輛必定位於𝑆𝑗 的右方，因此我們只考慮S𝑗 右邊的情形，如圖 2-16 所示，以下將求出先前所提的三樣東西，分別為Ω的機率分佈函數、Ω < 0之機率與Φ的機率分佈函數，並且皆以Λ2 Π0 Γ𝑅 為條件做討論。 30.

(38) 圖 2-16 在Λ2 Π0 Γ𝑅 中的情形 (1) Ω的機率分佈函數. 進入事件二Γ𝑅 表示G超過傳輸範圍R，也就是G𝑗 與𝑆𝑗 的距離G > R，根據式(243)，G之條件式機率分佈為 f𝐺|G<𝑅 (𝑔) =. f𝐺 (𝑔) ∞ ∫𝑅 f𝐺 (𝑔)𝑑𝑔. , 𝑔 > 𝑅.. (2-48). 在圖 2-16 中，Aj−1為修復第(j − 1)次網路斷開之向西行駛之車輛，並且為叢集中最前方之車輛，Aj−1 與S𝑗 的距離用A來表示，由圖 2-14 可看出A = R − L，且進入事件二表示S𝑗 左方距離R之內不會有車輛，也就是M + L > R ⇒ M + (R − A) > R ⇒ M > A，因此根據式(2-41)與式(2-42)，A之機率分佈為 ′. f𝐴 (𝑎) = f𝐿 (𝑅 − 𝐴) = 𝜆′ 𝑒 −𝜆 (𝑅−𝑎) , 𝑎 < 𝑅 ∞. f𝐴|𝑀>𝐴 (𝑎) = f𝐴 (𝑎) ∫𝑎 f𝑀 (𝑚)𝑑𝑚. (2-49) (2-50). 並且這裡是針對類型二(Λ2 )做討論，表示Aj−1 位於Sj 右方範圍R之內，因此0 < A<R f𝐴| 𝑀>𝐴,0<𝐴<𝑅 (𝑎) =. f𝐴|𝑀>𝐴 (𝑎) 𝑅 ∫0 f𝐴|𝑀>𝐴 (𝑎)𝑑𝑎. (2-51). 由於向西行駛之車輛Aj−1 一定位於Sj 右方範圍R之內，因此若是進入事件二一定是由車輛Aj−1 將訊息傳至第j次網路斷開的目的地端車輛𝐷j ，如同先前在類型一(Λ1 )所討論，Aj−1 將訊息傳至𝐷j 所需移動的距離為Ω = A + 𝑋̂𝐷 ，由於𝑋̂𝐷 和A 是獨立的，Ω的機率分佈為 ∞. fΩ (𝑥) = ∫−∞ f𝐴| 𝑀>𝐴,0<𝐴<𝑅 (𝑎) ⋅ 𝑓𝑋̂𝐷 (𝑥 − 𝑎)𝑑𝑎, 𝑥 > 0 31. (2-52).

(39) (2) Ω < 0之機率若是進入事件二，從圖 2-16 可看出向西行駛之車輛必須要移動才能將訊息傳至目的地端車輛D𝑗 ，因此不會有Ω < 0 的機率。. (3) Φ的機率分佈函數. 由圖 2-16 可看出Aj−1 的前車就是距離Sj 左方最近的向西行駛之車輛Gj ，因此 Aj−1 與前車的距離為Φ = M + 𝑅，M為式(2-42)，要注意A的範圍內不會有車，也就是M + R > A，A為式(2-51)，Φ的條件式機率分佈為 ∞. fΦ (𝑥) = ∫−∞ 𝑓M (𝑥 − 𝑎 − 𝑅)f𝐴| 𝑀>𝐴,0<𝐴<𝑅 (𝑎) , 𝑥 > R. (2-53). 在這邊要注意式(2-46)是在Λ2 Π0 Γ𝑅 條件下的Φ。. C 合併兩事件在事件一求出之移動距離Ω為式(2-45)，而Ω < 0的機率為式(2-46)；在事件二求出之移動距離Ω為式(2-52)。而進入何種事件的機率由G𝑗 是否進入S𝑗 的傳輸範圍來決定，因此進入事件一的機率P1 由G𝑗 與S𝑗 之間的距離G決定，進入事件一表示G ≤ R根據式(2-44)可得出 𝑅. P1 = ∫0 fG (𝑔)𝑑𝑔 =. ′ 𝜆′ (1−𝑒 −𝜆𝑅)−𝜆(1−𝑒 −𝜆 𝑅 ) ′ (𝜆′ −𝜆)(1−𝑒 −𝜆 𝑅 ). (2-54). 而進入事件二的機率P2 可由式(2-54)獲得 P2 = 1 − P1 =. ′ 𝜆′ (𝑒 −𝜆𝑅 −𝑒 −𝜆 𝑅 ) ′ (𝜆′ −𝜆)(1−𝑒 −𝜆 𝑅 ). (2-55). 故類型二在πj−1 = 0的狀態下之移動距離Ω可由式(2-45)、式(2-46)與式(2-52)獲得 fΩ (𝑥) = P1 ∙ (FΩ|Λ2Π0Γ𝐿 (0) + fΩ|Λ2Π0Γ𝐿 (𝑥)) + P2 ∙ fΩ|Λ2Π0Γ𝑅 (𝑥). (2-56). 在類型二πj−1 = 0的狀態下與前車的距離Φ可由式(2-47)與式(2-53)獲得 fΦ (𝑥) = P1 ∙ fΦ|Λ2Π0Γ𝐿 (𝑥) + P2 ∙ fΦ|Λ2Π0Γ𝑅 (𝑥) .. 32. (2-57).

(40) 圖 2-17 在Λ2 Π𝐾 Γ𝐿 中的情形. 2.3.2 𝛑𝐣−𝟏 = 𝑲 (𝚷𝑲 ) 如圖 2-4 (b)所示，當狀態為πj−1 = K時，修復第(j − 1)次網路斷開的向西行駛車輛Aj−1 一定位於東向第(j − 1)次的網路斷開目的地端車輛𝐷𝑗−1 的右方距離R 的位置，也就是D𝑗−1 的傳輸範圍邊界，而與A𝑗−1 產生網路斷開之車輛A𝑗 ，位於𝑆𝑗 的右方，此狀態發生的條件為𝑋𝐶 + 𝑅 < 𝑌𝐷 < 𝑋𝐶 + 2𝑅。. A 事件一 (Γ𝐿 ) 在此狀態下，由於在𝑆𝑗 的左方傳輸範圍內一定會有一輛向西行駛的車輛A𝑗 ，根據之前所討論的，此狀態必定會進入事件一，而前面所的到的G𝑗 就等同於這裡的A𝑗 ，以下將求出先前所提的三樣東西，分別為Ω的機率分佈函數、Ω < 0之機率與Φ的機率分佈函數，並且皆以Λ2 Π𝐾 Γ𝐿 為條件做計算。. (1) Ω的機率分佈函數從圖 2-17 可看出，𝐴𝑗 與𝑆𝑗 之間的距離為G，G會受到K的限制，由圖 2-4 (b)可看出G = K − 𝑋𝐶 ，𝑋𝐶 之機率分佈為式(2-1)，因此G之條件式機率分佈根據K的長度需分為兩種作討論，一種為K ≤ R的情形，另一種為K > R的情形。. 33.

(41) I.. K≤R 若是K ≤ R那麼G的範圍上限便是K，也就是0 < G < K，因此G之條件式機率. 分佈為. f G (𝑔 ) = f C (𝐾 − 𝑔 ) fG|0<G<K (𝑔) =. fG (𝑔) 𝐾 ∫0 fG (𝑔)𝑑𝑔. (2-58) (2-59). X 𝐷 的條件式機率分佈為式(2-11)，讓𝑋̂𝐷 = X 𝐷 − 𝑅，𝑋̂𝐷 的機率分佈為式(212)，Z𝐶 為A𝑗 所在的叢集長度，H𝑗 為叢集Z𝐶 中最前面的車輛，若是Z𝐶 的長度為 0，則𝐴𝑗 與H𝑗 為同一輛車，因此Z𝐶 的機率分佈為式(2-13)，讓U = 𝑋̂𝐷 − Z𝐶 ，由於 𝑋̂𝐷 與Z𝐶 的機率分佈皆與先前相同，因此 U的機率分佈為式(2-14). 向西行駛的車輛H𝑗 進到東向目的地端車輛D𝑗 的傳輸範圍內所要移動的距離寫做Ω，可以明顯的看出Ω = U − G，由於𝑈和𝐺是獨立的，Ω的機率分佈可以由此獲得，並且是在Λ2 Π𝐾 Γ𝐿 條件下 ∞. fΩ|K≤R (𝑥) = ∫−∞ fG|0<G≤K (𝑔) ⋅ 𝑓U (𝑥 + 𝑔) 𝑑𝑔, 𝑥 > 0 . II.. (2-60). K>R 若是K > R那麼G的範圍上限便是R，也就是0 < G ≤ R，因此G之條件式機率. 分佈為 fG|0<G≤R (𝑔) =. fG (𝑔) 𝑅 ∫0 fG (𝑔)𝑑𝑔. (2-61). X 𝐷 的條件式機率分佈為式(2-11)，讓𝑋̂𝐷 = X 𝐷 − 𝑅，𝑋̂𝐷 的機率分佈為式(2-12)，Z𝐶 為A𝑗 所在的叢集長度，H𝑗 為叢集Z𝐶 中最前面的車輛，若是Z𝐶 的長度為0，則𝐴𝑗 與 H𝑗 為同一輛車，因此Z𝐶 的機率分佈為式(2-13)，讓U = 𝑋̂𝐷 − Z𝐶 ，由於𝑋̂𝐷 與Z𝐶 的機率分佈皆與先前相同，因此 U的機率分佈為式(2-14)。. 34.

(42) 向西行駛的車輛H𝑗 進到東向目的地端車輛D𝑗 的傳輸範圍內所要移動的距離寫做Ω，可以明顯的看出Ω = U − G，由於𝑈和𝐺是獨立的，Ω的機率分佈可以由此獲得，並且是在Λ2 Π𝐾 Γ𝐿 條件下 ∞. fΩ|K>R (𝑥) = ∫−∞ fG|0<G≤R (𝑔) ⋅ 𝑓U (𝑥 + 𝑔) 𝑑𝑔, 𝑥 > 0.. (2-62). (2) Ω < 0之機率 Ω < 0表示H𝑗 已經超過D𝑗 右方距離R的位置，也就是D𝑗 的傳輸範圍，而Ω會受到K的影響，因此與在(1) Ω的機率分佈函數時相同，需分為兩種情況做討論，分別是K ≤ R與K > R。. I.. K≤R Ω < 0的部分在K ≤ R時可以由式(2-60)得出 ∞. FΩ|K≤R (0) = 1 − ∫0 fΩ|K≤R (𝑥)𝑑𝑥. (2-63). 在這邊要注意式(2-63)是在Λ1 Π0 Γ𝐿 條件下的Ω < 0。. II. K > R. Ω < 0的部分在K > R時可以由式(2-62)得出 ∞. FΩ|K>R (0) = 1 − ∫0 fΩ|K>R (𝑥)𝑑𝑥. (2-64). 在這邊要注意式(2-64)是在Λ2 Π0 Γ𝐿 條件下的Ω < 0。. (3) Φ的機率分佈函數根據先前所提的，由於網路斷開的發生和叢集是獨立的，因此H𝑗 與前車的關係和在Λ1 Π0 Γ𝐿 時相同，如圖 2-9 所示，因此H𝑗 與前車的距離Φ與式(2-11)相同，由於在Ω < 0時不會有H𝑗 與前車H𝑗+1 的距離，以下需分為兩種情況做討論，分別是K ≤ R與K > R。 35.

(43) I.. K≤R 根據式(2-63)Φ在事件Λ2 Π𝐾 Γ𝐿 中並且在K ≤ R時的條件式機率分佈為 fΦ|K≤R,Ω>0 (𝑥) = (1 − FΩ (0)) ∙ fΦ (𝑥), 𝑥 > R. (2-65). 在這邊要注意式(2-65)是在Λ2 Π𝐾 Γ𝐿 條件下的Φ。. II. K > R 因此根據式(2-64)Φ在事件Λ2 Π𝐾 Γ𝐿 中並且在K > R時的條件式機率分佈為 fΦ|K>R,Ω>0 (𝑥) = (1 − FΩ (0)) ∙ fΦ (𝑥), 𝑥 > R. (2-66). 在這邊要注意式(2-66)是在Λ 2 Π𝐾 Γ𝐿 條件下的Φ。. B 事件二 (Γ𝑅 ) 由於類型二(Λ2 )的發生條件，在類型二πj−1 = K的狀態下，從圖 2-17 中可看出來源端S𝑗 的左側傳輸範圍內一定會有向西行駛之車輛𝐴𝑗 的存在，因此在此狀態下不會有事件二。. C 合併兩事件在圖 2-17 中，根據以上兩種事件的討論，在類型二πj−1 = K的狀態下，必定會進入事件一，並不會進入事件二，因此進入事件一的機率P1 = 1，進入事件二的機率P2 = 0，故移動距離Ω一樣分成兩種情況去討論，分別是K ≤ R與K > R兩種情況。. I.. K≤R 在K ≤ R時根據式(2-60)、式(2-63)可得出 fΩ| K≤R (𝑥) = FΩ|Λ2Π𝐾Γ𝐿,K≤R (0) + fΩ|Λ2Π𝐾Γ𝐿 ,K≤R (𝑥). 而進入類型二πj−1 = K的狀態下之與前車的距離Φ為式(2-65)。. 36. (2-67).

(44) 圖 2-18 在Λ3 Π0 Γ𝐿 中的情形 II.. K>R 在K > R時根據式(2-62)、式(2-64)可得出 fΩ|K>R (𝑥) = FΩ|Λ2Π𝐾Γ𝐿,K>R (0) + fΩ|Λ2Π𝐾Γ𝐿,K>R (𝑥). (2-68). 而進入類型二πj−1 = K的狀態下之與前車的距離Φ為式(2-66)。. 2.4 類型三 (𝚲𝟑 ) 在類型三(Λ3 )討論方式與類型一、二相似，根據第(𝑗 − 1)次網路斷開所使用的修復方式，將類型三分為兩種狀態，一種為πj−1 = 0的狀態Π0 ；另一種為 πj−1 = K的狀態Π𝐾 。. 2.4.1 𝛑𝐣−𝟏 = 𝟎 (𝚷𝟎 ) 如圖 2-3 (c)所示，當狀態為πj−1 = 0時，此狀態位於類型三之條件為𝑌𝐷 > 𝑋𝐶 + 2𝑅，從圖 2-18 中可明顯看出向西行駛之車輛A𝑗−1 所在之叢集已超過向東行駛之來源車輛S𝑗 ，因此S𝑗 的左方一定會有向西行駛之車輛。. A 事件一 (Γ𝐿 ) 根據之前所討論的，此狀態必定會進入事件一，以下將求出先前所提的三樣東西，分別為Ω的機率分佈函數、Ω < 0之機率與Φ的機率分佈函數，並且皆以 Λ3 Π0 Γ𝑅 為條件做計算。 37.

(45) (1) Ω的機率分佈函數. 在圖 2-18 中，由於A𝑗−1 所在之叢集已超過S𝑗 ，因此Z𝐶 為A𝑗−1 所在的叢集超過 S𝑗 後的長度， Z𝐶 的機率分佈與式(2-20)相同，𝑋̂𝐷 的機率分佈為式(2-12)，讓U = 𝑋̂𝐷 − Z𝐶 ，由於𝑋̂𝐷 與Z𝐶 是相互獨立的，因此 U的機率分佈為 ∞. fU (𝑢) = ∫−∞ 𝑓Z𝐶 (𝑐 ) ⋅ 𝑓𝑋̂𝐷 (𝑢 + 𝑐) 𝑑𝑐. (2-69). 因此我們想要求得的向西行駛之車輛A𝑗−1 進到D𝑗 的傳輸範圍內所要移動的距離 Ω = U，故Ω的機率分佈為 f Ω (𝑥 ) = f U (𝑥 ), 𝑥 ≥ 0. (2-70). 在這邊要注意式(2-70)是在Λ3 Π0 Γ𝐿 條件下的Ω。. (2) Ω < 0之機率. Ω < 0表示H𝑗 已經超過D𝑗 右方距離R的位置，也就是D𝑗 的傳輸範圍，因此Ω < 0的部分可由式(2-70)得出 ∞. FΩ (0) = 1 − ∫0 fΩ (𝑥)𝑑𝑥. (2-71). 在這邊要注意式(2-71)是在Λ3 Π0 Γ𝐿 條件下的Ω < 0。. (3) Φ的機率分佈函數. 由於網路斷開的發生和叢集是獨立的，因此A𝑗−1 與前車的關係和在Λ1 Π0 Γ𝐿 時相同，如圖 2-9 所示，因此A𝑗−1 與前車的距離Φ與式(2-11)相同，由於在Ω < 0時不會有A𝑗−1 與前車的距離，因此根據式(2-71)Φ在事件Λ3 Π0 Γ𝐿 中的條件式機率分佈為 fΦ|Ω>0 (𝑥) = (1 − FΩ (0)) ∙ fΦ (𝑥), 𝑥 > R 在這邊要注意式(2-72)是在Λ3 Π0 Γ𝐿 條件下的Φ。. 38. (2-72).

(46) 圖 2-19 在Λ3 Π𝐾 Γ𝑅 中的情形 B 事件二 (Γ𝑅 ) 從圖 2-18 中可看出在類型三πj−1 = 0的狀態下，由於A𝑗−1 所在的叢集必定超過S𝑗 ，因此在此狀態下不會有事件二。. C 合併兩事件在圖 2-18 中，根據以上兩種事件的討論，在類型三πj−1 = 0的狀態下，進入事件一的機率P1 = 1，進入事件二的機率P2 = 0，故移動距離Ω根據式(2-70)與式 (2-71)可得出 fΩ (𝑥) = FΩ|Λ3Π0Γ𝐿 (0) + fΩ|Λ3Π0Γ𝐿 (𝑥). (2-73). 而進入類型三πj−1 = 0的狀態下之與前車的距離Φ為式(2-72)。. 2.4.2 𝛑𝐣−𝟏 = 𝑲 (𝚷𝑲 ) 如圖 2-4(c)所示，當狀態為πj−1 = K時，修復第(j − 1)次網路斷開的向西行駛之車輛Aj−1 一定位於第(j − 1)次網路斷開的向東方行駛之目的地端車輛的右側距離R的位置，而與A𝑗−1 發生網路斷開之車輛A𝑗 ，位於𝑆𝑗 的右方並且超過𝑆𝑗 的傳輸範圍R，此狀態發生的條件為𝑌𝐷 > 𝑋𝐶 + 2𝑅。. 39.

(47) A 事件一 (Γ𝐿 ) 由類型三的發生條件可得知，在πj−1 = K的狀態下，與A𝑗−1 發生網路斷開之車輛A𝑗 會超過𝑆𝑗 的右方的傳輸範圍R，從圖 2-19 中可看出在類型三πj−1 = K的狀態下不會有事件一。. B 事件二 (Γ𝑅 ) 在圖 2-19 中，根據在事件一(Γ𝐿 )所討論的，向西行駛的車輛A𝑗 一定超過𝑆𝑗 左方的傳輸範圍，因此根據先前所討論的，此狀態必定會進入事件二，以下將求出先前所提的三樣東西，分別為Ω的機率分佈函數、Ω < 0之機率與Φ的機率分佈函數，並且皆以Λ3 Π𝐾 Γ𝑅 為條件做計算。. (1) Ω的機率分佈函數. 在圖 2-19 中，Aj−1 不僅為修復第(j − 1)次網路斷開之向西行駛之車輛，並且也是此次修復網路斷開之車輛，也就是由車輛Aj−1 將訊息傳至第j次網路斷開向東行駛之目的地端車輛𝐷j ，故Aj−1 將訊息傳至𝐷j 所需移動的距離為Ω = 𝑋̂𝐷 + X C + 𝑅， 𝑋̂𝐷 之機率分佈為式(2-12)，X C 之機率分佈會受到K的限制，因此可根據式(2-1)得出 fXC (𝑐 ) =. f𝐶 (𝑐) 𝐾−𝑅 f𝐶 (𝑐) ∫0. (2-74). 因此Ω的機率分佈在Λ1 Π𝐾 Γ𝑅 條件之下為 ∞. f Ω (𝑥 ) = {. ∫−∞ fXC (𝑐) ⋅ 𝑓𝑋̂𝐷 (𝑥 − 𝑐 − 𝑅)𝑑𝑐, 𝐾 ≥ 𝑥 > 𝑅 ∞. ∫−∞ fXC (𝑐) ⋅ 𝑓𝑋̂𝐷 (𝑥 − 𝑅)𝑑𝑐. , 𝑥 > 𝐾.. (2-75). (2) Ω < 0之機率. 若是進入事件二，從圖 2-19 可看出向西行駛之車輛必須要移動才能將訊息傳至目的地端車輛D𝑗 ，修復第𝑗次網路斷開，因此不會有Ω < 0 的機率。 40.