平面投影轉換

根據[8]，平面投影轉換（homography mapping）的定義為：一群位於同一平 面的點集合x ，在經過投影轉換的處理後，得到一群位於另一平面的對應點集合_i

i′

x ，其間存在一個投影轉換矩陣，可將x 中的每個點轉換為_i x 中對應的點。也_i′ 就是說，對於點的對應， x_i ↔x_i′，如果考慮齊次座標的表示方式，則可求得 一個 3 × 的矩陣 H ，使得兩組對應點和 H 的關係表示如下： 3

′

= _i

i x

Hx λ (3.1)

其中，λ是一個比例常數，而 H 則是個 3×3 的可逆（non-singular）矩陣。

3.2.1 最小對應點數

對於求解投影轉換矩陣 H ，我們遇到的第一個問題是，要有多少個x_i ↔x_i′ 的對應點，才能夠求出 H 。這問題可以透過自由度(Degree of Freedom)和限制數 (Number of Constraint)的計算，得到對應點數目的下限值(Lower Bound)。首先，

H 為一 3 ×3 的矩陣，共有9個變數，但是因為矩陣內加上了一個縮放係數(up to scale)才會需要9個變數，因此實際上 H 的自由度為8。再者，2D平面上的每個點 都有其 x 座標和 y 座標，所以每一組對應的點，就會有2個限制數(分別是 x 座標 的限制和 y 座標的限制)。在經由自由度和限制數的計算後，我們可以得知最少 要有4組對應點才能求出 H 。因此如果我們有4個點的對應關係，則可求得一個

H ，使之完全符合這4個點的對應關係。

3.2.2 Over-determined情形

（homography matrix）。

3.2.3 Homography Matrix的算法

給定一個2D平面上點的對應集合，x_i ↔x_i′，理想情況下，是期望求出一個

因為矩陣運算的關係，所以h^jTx_i=x^T_ih^j，1≤ j≤3，式3.4藉由此關係式化簡後， 立的(linear independent)，第三個方程式其實是由前兩個方程式所產生，所以我們 只需要用到前兩個方程式，把式3.5改寫後得到式3.6： vector，一般而言，SVD分解後的 D 會將singular value由大到小排列，也就是 說V 中第9行的九個元素即為構成 H 的元素。

(4) V 的第9行為：

[

]

3.2.4 使用平面投影轉換取得指向物的三維空間座標

在第二章結束的時候，我們已經取得影像上雷射筆線段的二維座標，為了要 求取指向點，我們必須要將雷射筆的二維座標轉換到三維空間來，而其間的轉換 方式，便是利用這節所介紹的平面投影轉換。因為攝影機拍攝出的畫面，與實際 的三維空間有著投影轉換的關係，因此，我們只要選取了影像平面與三維空間某 個參考平面上共同出現的四個標記點，就可以算出影像平面跟參考平面之間的平 面投影轉換矩陣。如圖3.1所示，地面上圈出的四個紅色圈圈便是我們所選取的 標記點，而這些標記點的三維座標我們都已經事先量測好。

圖 3.1 在三維空間選取的標記點示意圖

圖 3.2 影像平面與參考平面轉換示意圖

圖3.2為影像平面跟參考平面轉換的示意圖， a 、b 、c 、d 為影像平面上的

以算出兩平面間的投影轉換矩陣 H ，再利用 H 跟影像平面上追蹤到的雷射筆端 點 s 、e 算出在三維參考平面的 S 、E，如此我們便完成了使用平面投影轉換求得 雷射筆三維座標的目的。

由於左右攝影機所採取的三維參考平面不同，所以會求解出兩組雷射筆端點 在參考平面上的座標，我們假設這兩組座標為{S_L,E_L}、{S_R,E_R}，而左右攝影 機的相機中心座標為Camera 、_L Camera ，則我們可用_R {S_L,E_L}與Camera 交出_L 一個平面π_L；同理，{S_R,E_R}、Camera 也可交出另一個平面_R π_R。π_L與π_R會交 出一條為雷射筆方向的指向線（pointing line），接著我們便可利用這條指向線與 指向平面的交點求出使用者的指向點。而這些相關的數學運算，將在下一節做詳 細的介紹。