平面陣列天線的 TLS-ESPRIT 演算法

平面陣列天線的訊號抵達方位估測[13]也可以適當的分成兩個子平面陣列 天線，或者從數學上的等價，我們可以把接收到的訊號做適當的行交換，來找出 方位，跟線陣天線不同的是我們需要做兩次行交換，解出兩個角度，並且要配對，

因為假設垂直角解出來有 30 度跟 60 度，水平角解出來有 0 度跟 180 度，那真正 的方位是垂直角 30 度必須配水平角 0 度還是配水平角 180 度?在接下來的推導可 以得到答案。

我們先解出{θ_y1,^⋯,θ_yK}^也就是{sin( ) sin( ),θ1 φ1 ^⋯,sin(θ_K) sin(φ_K)}^，其中θk^是第

k 個訊號源的垂直角，φ_k是第 k 的訊號源的水平角。利用

span( )Aɶ =span(Us) (3.55) 做更進一步的推導:

31

min min

min min

c y K K

32

min min

min min

c y K K

33

徵值。

接下來我們要配對 Φ 跟 Φɶ ，從以上的觀察我們發現-V V 跟_{11 2}^-1₂ -V Vɶ ɶ 有相同_{11 22}^-1 的特徵向量 T，把相同的特徵向量所對應個別的特徵值配對起來，就是我們要的 配對方式。配對完後我們要把 Φ 跟 Φɶ 轉換到θ_k^跟φk^{，方法是我們取出}

2 _{c y}sin(_k) sin(_k) /

j f d C

k e^{− π θ φ}

Φ = 跟Φ =ɶ_k e^{−j2πf dc ysin(θk) cos(φk) /C}的相位，相除得到tanφ_k^，此時的

做 tan 的反函數得到兩個可能的φ_k^{，把這兩個帶回}e^{−j2πf dc ysin(θk)sin(φk) /C}跟

2 _{c y}sin( _k) cos( _k) /

j f d C

e^{− π θ φ} ，會發現只有一組( ,θ φ_{k k})^滿足Φ =k e^{−j2πf dc ysin(θk) sin(φk) /C}跟

2 _{c y}sin( _k) cos(_k) /

j f d C

k e^{− π θ φ}

Φ =ɶ ，及解得我們要的相位。

我們可以從幾何意義上來看我們所做的兩次行交換把接收到的訊號排成向 量 y 換成y1 =E y1 與y2 =E y2 ，如下圖所示。 y 所對應的天線座標為:

y y

[(0, 0) (1, 0) ⋯ (0,1) (1,1) ⋯⋯ (0,N -1) (1,N -1)⋯ (N_x −1,N_y −1)]^T 也就是說 y 即順著 x 軸方向照順序排成一個向量。y₁所對應的天線座標為:

[(0, 0) (1, 0) ⋯ (0, 3) (1,3) ⋯⋯ (0,2) (1,2)⋯(0, 4) (1,4)⋯⋯]^T

也就是說把 x 軸方向的奇數次序(order)先排，再來排 x 軸方向的偶數次序。y₂所 對應的天線座標為:

[(0, 0) (0,1) ⋯ (3, 0) (3,1) ⋯⋯ (2,0) (2,1)⋯(4, 0) (4,1)⋯⋯]^T 即把 y 軸方向的奇數次序先排，再來排 y 軸方向偶數次序。

35

36 的維度是四，如果時間允許的話，我們可以多等幾個符元時間(symbol time)，每 個符元利用不同的相位位移，來增加 y 的維度。例如我們利用兩個符元時間，其 中一個符元的數位類比轉換器輸出是y_A1 =u r_{1 A1}另一個符元的輸出是y_A2 =u r_{2 A2}， 考慮四個區塊 A~D，則接收向量的維度從四增加到八，最多可偵測的方向從三 增加到七，這時y=[y_A1 y_A2 y_B1 y_B2 y_C1 y_C2 y_D1 y_D2]^T。

因此R 可以改寫成: _y

37

38

39

第四章 第四章

第四章 第四章: : : 直視與非直視環境下的波束搜尋流程 : 直視與非直視環境下的波束搜尋流程 直視與非直視環境下的波束搜尋流程 直視與非直視環境下的波束搜尋流程

4.1 IEEE 802.15.3c 波束編碼簿

802.15.3c 的編碼簿[14]設計主要是針對相位控制的陣列(Phased array) ，也 就是為了降低設計複雜度而只控制天線的相位偏移。在編碼簿中每一列向量皆代 表一組天線陣列的相位偏移，又稱為波束向量，根據編碼簿中的波束向量可產生 不同指向的波束，且每一波束向量彼此正交，因此利用編碼簿可以同時產生多組 波束並能將彼此的干擾降到最小。而為了降低射頻端的功率損耗，802.15.3c 採 用的編碼簿解析度僅有 90 度，即只用 2 位元來控制移相器。

41

42

43

44

4.2.4 所提出的波束搜尋流程

我們提出一個新的波束搜尋流程，可以有效降低波束搜尋所需傳送訓練序列 的次數，並減少設計的複雜度。其詳細的搜尋步驟如下：

1. 傳送端傳送一個近似全向性場型的訊號。

2. 接收端利用 DoA 估計接收訊號的角度，再做量化判斷此估計角度屬於編碼 簿中的哪一組波束向量b 。 _r

3. 利用通道的對稱特性，即在同一頻帶下，傳送端看到的通道和接收端看到的 通道是相同的，接收端使用判斷出的波束向量b 傳送訊號回傳送端。 _r 4. 傳送端同樣利用 DoA 估計接收訊號的角度，再做量化判斷此估計角度屬於

編碼簿中的哪一組波束向量b 。 _t

5. 決定最佳的傳送與接收端的波束配對為

(

^{b b 。 t, r}

)

因為此時編碼簿的解析度只有 90 度，即每根天線權重只能從(1,-1,i,-i)中選 擇，值得注意的是全向性場型的訊號只需打開一根天線其餘關閉，但這就需要在 每一天線加裝開關，而且只使用一根天線傳送功率也可能不夠，為了克服這些問 題，我們使用電腦搜尋，找尋一組傳送方向，讓整體的場形近似全向性的場型。

我們定義判斷接近全向性的指標為：

( ) ( )

( )

min max min

i

k k

k w_∈ A θ − A θ (4.80)

其中Ak

( )

θ 為陣列因子(array factor)， ^Ak

( )

^θ 為波束場型(beam pattern)。也就是 在每根天線的權重都二位元的解析度的限制下，選擇整體波束場型的最大值和最 小值差異最小的。

而 DoA 可以採用前面提到的 MUSIC 或 ESPRIT，注意在這個系統中只有一 顆 DAC 或 ADC，所以需要收較多個 OFDM 符元來做 DoA。假設在平面陣列天 線的情況下，天線數為N_x×N_y，共接收 m 個 OFDM 符元，如果採用 MUSIC，

45

最多可以估計的角度數為^min

(

^{m−1,Nx×Ny−1}

)

。如果採用 ESPRIT，則最多可以 估計的角度數為^min

(

^{m/ 2,Nx×Ny / 2}

)

^。

4.2.5 波束搜尋流程分析

假設一維的天線數為 M，一維的波束數 K，在線性陣列天線且 K=M 的情況 下，分析每種波束搜尋流程所需的訓練序列數如下：

窮舉法 K×K

兩級訓練 ^4+9×

(

^{ln k}

( )

⁻¹

)

二分法 ^{4 ln k×}

( )

提出的方法(符元數 m) m+m 表格 4-1：線陣天線的訓練序列數

而平面陣列天線且 K=M 的情況下，假設 G= ×K K，分析每種波束搜尋流程所需 的訓練序列數如下：

窮舉法 G G×

兩級訓練 ^{16 81+ ×}

(

^{ln K}

( )

⁻¹

)

二分法 ^{4 ln G×}

( )

提出的方法(符元數 m) m+m

表格 4-2：平面陣列天線的訓練序列數

46

47

( )

x f 為某個頻率的傳送訊號，且ⁿ

( )

^{f 為雜訊。}

3. 將 4 個通道路徑根據收到訊號的強弱排序，也就是排序 h f_j( )，j 為 1~4，如

(4.8)式所示。其中^y

( )

^{f 、A}

( )

^{f 、}x f 為已知，我們要求出

( )

h_j( )f 並依照振 幅大小排列。現在的問題是如何解出^h

( )

^f ，因為式子(4.8)是一個超定(over- determined)的系統，也就是方程式的個數多於未知數(變數)。這種方程式一般 無解，在此我們使用數個方法來解此問題，包括最小平方法(least square; LS)、

最小平方誤差(minimum mean square error, MMSE)、 依次干擾消除法 (successive interference cancellation algorithm; SIC)、相關性演算法

(correlation algorithm)、分區演算法(windowing algorithm)等。以下依序介紹 各種方法。

最小平方法：^h

( )

^f 的解滿足最小平方差：

( )

( ( ) ( ) ( ) ( ) )

²

( ( ) ( ) ( ) )

²

minf f − f f x f = f − f f

h y A h y B h (4.82)

利用標準方程式(normal equation)可找出最佳近似解：

( )

^{f =}

( ( ) ( )

^{f H f}

)

⁻¹

^{( ) ( )}

^{f H f}

h B B B y (4.83)

其中^B

( )

^{f =A}

( ) ( )

^{f ×x f 。}

圖 4-3-1：最小平方法 y(f)

B(f)h(f)

n(f)

48

最小平方誤差：在式子(4.8)中找到一組估計的^{h^}

( )

^{f =F}

( ) ( )

^{f y f 使得：}

( )

( ) ( )

_{( )}

( ( ) ( ) ( ) )

^

^ 2 2

min min

f f

49

50

是更新h'

( ) (

f_{k i+} , 'h f2_{k i+}

)

…。我們也可以讓視窗重疊，在這種情況下接下 來我們更新的便是h'

( ) ( )

f_i+1 , 'h f_i+2 …。

4. 因為通道都有對稱的特性，即在同一環境下，傳送端看到的通道和接收端看 到的通道是相同的，接收端分別判斷出的波束向量b ，i 為 1~4，並將其回_{r i,} 傳至傳送端。

5. 傳送端同樣利用 DoA 估計接收訊號的角度，找出接收到訊號最強的角度，再 做量化判斷此估計角度屬於編碼簿中的哪一組波束向量b ，i 為 1~4。 _{t i,}

6. 最後決定最佳、次佳、…等的傳送與接收端的波束配對為

(

^{b bt,i, r,i}

)

，i 為 1~4 。

53

Echo response Desired signal

y n n n v n 天線的迴音通道，主要由相位、衰減項和矩形平面天線(Patch Antenna)的波束場 型三項所構成：

57 Echo response

T R

T R Desired signal

c y n factor)：

( )

^{( 1 cos)}

58

59

60

61

63

64

利用(5.47)可將(5.46)式子簡化成：

1,2 1,2 n,2 n,2

65

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

1 2

1 2 1 2

1

1 2 1 2

−

× × + = × × +

→ − = − −

→ = − −  − P B W c u P B W c u

P P BWc P P Bu c P P BW P P Bu

(5.147)

而後我們再假設 c 已知，使用相同的方法即可求出一組新的 f。用這種遞迴的方 式反覆求出新的 f 和 c，直到兩個皆收斂為止。

66

第六章 第六章

第六章 第六章: : : 模擬 : 模擬 模擬 模擬結果 結果 結果 結果

6.1 波束搜尋演算法效能模擬

如 4.2 節所述，關於媒介控制存取層如何從波束編碼簿中，找出最好的傳送 端與接收端的波束對(beam pair)，現有的波束搜尋流程，包括窮舉法、802.15.3c 中採用的兩級訓練(training)法、二分法，以及我們所提出的新波束搜尋法。接下 來我們分別就波束搜尋的精準度和所需的訓練序列數作分析。

6.1.1 波束搜尋精準度分析

以下模擬中的通道我們採用第二章所述的 Intel 會議室模型，且傳送端與接 收端的平面陣列天線法向量對齊傳送端與接收端的連線方向。在這種環境下接收 端只能收到八組群集，分別是一個直視群集，兩個從牆壁的一次反射，一個從天 花板的一次反射，兩個只經由牆壁反射的二次反射，兩個經由牆壁一次反射與天 花板一次反射的二次反射，共八個群集。

圖 6-1-1: 傳送端與接收端位置俯視圖 每個群集的平均能量大小分別為:

9m

9m 4.5m

4m

67

[ ]

[ ]

1 2 8

104 3.3246 0.0625 0.0586 0.2922 0.0144 0.0134 0.0041 0.0041

p p p

Matching error rate

Proposed-T3 Proposed-T4 Two level Tree search

68

在直視路徑被障礙物擋住的 NLOS 環境下，此時接收端只能收到七組群集，

每個群組的平均能量大小如(6.1)式中的 p₂ ⋯ p₈，每種波束搜尋流程的錯誤 率比較如圖 6-1-3 所示。

圖 6-1-3: 非直視環境下，各種波束搜尋流程的錯誤率

6.1.2 訓練序列數分析

從以上模擬結果得知，在平面陣列天線且 K=M 的情況下，LOS 環境時採用 T=4，NLOS 環境時採用 T=5 較為適當。假設 G= ×K K，根據表格 4-2 所示，我 們分析每種波束搜尋演算法所需的訓練序列數如下：

-35 -30 -25 -20

10^-3 10^-2 10^-1 10⁰

SNR(dB)

Matching error rate

Proposed-T3 Proposed-T4 Proposed-T5 Two level Tree search

69

圖 6-1-4: 平面陣列天線下(K=M=8)，各種波束搜尋流程的訓練序列數

6.1.3 不同波束搜尋流程的優缺點分析

根據 4.2 節和以上的模擬，綜合比較每種波束搜尋流程可得知，窮舉法是最 簡單且精確但所需訓練序列數最高，而兩級訓練和二分法都可以有效降低訓練序 列數，但兩級訓練法較不精確，而二分法另外需要天線控制開關和類比振幅控制 器。相對的，我們提出的方法只要可以接收夠多的 OFDM 符元數，可以有效降 低訓練序列數且提高精准度。

6.2 非直視環境下的波束搜尋

如 4.4 節中所述，我們可以利用配對排序的方式在變動的環境下(LOS 瞬間 變為 NLOS)穩定的傳輸資料。假設我們想利用 T 個 OFDM 符元來搜尋出 k 組較 佳的波束配對(T 需要大於 k)，則系統模型可以表示如下：

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

10⁰ 10¹ 10² 10³ 10⁴

M

Number of searching

Exhaused Two level Tree search Proposed-T3 Proposed-T4 Proposed-T5

70

72 或 MMSE 法配合依次干擾消除法(SIC-LS、SIC-MMSE)，當遞迴次數夠多時錯誤 率可改善，我們以 W 加一個數字來代表分區的大小，例如 W3 表示分區大小為 3，我們模擬了 LS-W3、LS-W5、LS-W10、MMSE-W3、MMSE-W5、MMSE-W10 等情況，比較各種搜尋波束排序方法的模擬結果如圖 6-2-4 和圖 6-2-65 所示，其

73

Matching error rate

LS

Matching error rate

LS

74

圖 6-2-5: 配對錯誤率(k=4 波束搜尋排序，T=5)

6.3 全雙工中繼器設計

6.3.1 波束場型限制下的迴音消除

全雙工中繼器是在同一個時槽中做接收和傳送，相對於半雙工中繼器而言可 以提高有效的傳輸速率，但會產生迴音干擾的問題。利用第五章提到的迴音消除 方法可以解決此問題(如圖 5-4-3)。其中選擇 c 和 f 的方法有很多種，除了迴音消 除的效果外，需考慮對於陣列天線波束形成的影響。以下分別針對各種方法做模 擬並分析討論。在以下的模擬中，我們採用 IEEE 802.15.3c 的波束編碼簿，接收 端和傳送端皆是假設為 8 根的線陣天線，且波束數 K 設為 8。

-36 -34 -32 -30 -28 -26 -24 -22

10^-4 10^-3 10^-2 10^-1 10⁰

SNR(dB)

Matching error rate

LS SIC-LS SIC-MMSE Correlation MMSE LS-W3 LS-W5 LS-W10 MMSE-W3 MMSE-W5 MMSE-W10

78

6.3.1.3 Lagrange 演算法

如 5.6.3 節的推導，因為上述的聯立方程式有無限多組解，無法判斷那一組 解是最佳的。因此現在再多考慮其他方向的波束形成，即除了維持想要傳送或接 收的方向的波束形成場型盡量不變之外，還要使其他方向的干擾降到最低。數學 模型如下所示：

( )

^{2 , 2}

2

1 2

2

1 2

min

. . 1

1

H H H H

r k r

s t f f c c

+ + = +

+ =

+ =

f,c f f c c f Ac f c f Ac

(6.157)

這是一個有限制條件的最佳化問題，在求解的過程中因為同時對 f 和 c 微分太過 複雜，所以考慮用遞迴的方式，即先假設其中一個變數，代入求的另一個，再更

這是一個有限制條件的最佳化問題，在求解的過程中因為同時對 f 和 c 微分太過 複雜，所以考慮用遞迴的方式，即先假設其中一個變數，代入求的另一個，再更

在文檔中 OFDM 系統在60 GHz 頻帶之非直視傳輸： 混合式波束形成和全雙工中繼器 (頁 41-0)