OFDM 系統在60 GHz 頻帶之非直視傳輸： 混合式波束形成和全雙工中繼器

國

立

交

通

大

學

電信工程研究所

碩

碩

碩

碩

士

士

士

士

論

論

論

論

文

文

文

文

OFDM 系統在 60 GHz 頻帶之非直視傳輸：

混合式波束形成和全雙工中繼器

Non Line-of-Sight Transmission in 60 GHz OFDM Systems：

Hybrid Beamforming and Full-Duplex Relaying

研究生：劉彥廷

指導教授：吳文榕 博士

OFDM 系統在 60 GHz 頻帶之非直視傳輸：

混合式波束形成與全雙工中繼器

Non Line-of-Sight Transmission in 60 GHz OFDM Systems：

Hybrid Beamforming and Full-Duplex Relaying

研 究 生：劉彥廷 Student：Yen-Ting Liu

指導教授：吳文榕 博士 Advisor：Dr. Wen-Wrong Wu

國 立 交 通 大 學

電信工程研究所

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Institute of Communications Engineering College of Electrical and Computer Engineering

National Chiao Tung University In Partial Fulfillment of the Requirements

For the Degree of Master of Science

In

Communications Engineering July 2012

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

i

OFDM 系統在 60 GHZ 頻帶之非直視傳輸：

混合式波束形成和全雙工中繼器

學生：劉彥廷

指導教授

：

吳文榕 博士

國立交通大學電信工程研究所碩士班

摘要

IEEE802.15.3c系統是一適合高速之上網或高畫質之影音傳輸的規格，但操作的頻段 是在免執照的 60 GHz，此頻段的通道對訊號之衰減性高且載波之穿透性低，因此其所 需的傳送功率大且傳輸須直視的環境(LOS)，如何在非直視環境(NLOS)下做低功率的 傳輸是一大挑戰。本篇論文的目的即是研究60GHz 系統中LOS/NLOS 之傳輸技術。我 們使用平面陣列天線(planar antenna array)以及波束形成(beamforming)技術來補償損耗 的方法。首先依據IEEE 802.15.3c的編碼簿，我們提出了一種新的波束搜尋法，可快速 的達到搜尋出最佳波束對的目的，同時也提出一另一方法可以在LOS變動為NLOS時， 仍然能夠可快速的搜尋出最佳波束對。此外，我們也使用全雙工(full-duplex)中繼器來 克服NLOS的問題，並改善傳統半雙工系統吞吐量減半的問題。在全雙工(full-duplex) 中繼器中，接收機會受到傳送機的干擾，稱之為為迴音(echo)，為了使迴音(echo)干擾 消除且同時不影響原本的陣列天線的場型，我們設計了一個混合波束形成器的迴音消除 器，有效的消除了迴音。

ii

Non Line-of-Sight Transmission in 60 GHz OFDM Systems：

Hybrid Beamforming and Full-Duplex Relaying

Student：Yen-Ting Liu

Advisor

：

Dr. Wen-Wrong Wu

Department of Communication Engineering

National Chiao Tung University

Abstract

IEEE 802.15.3c system offers data rates of multiple Gbit/s for applications such as high speed internet access or high quality video streaming. However, it is operated in unlicensed 60GHz band, the propagation loss is high and signal penetration is low. Thus, 60GHz transceivers require high transmission power, and can only be properly operated in LOS environments. This thesis aims to develop LOS/NLOS transmission technologies for 60GHz systems. To solve the problem, we use a hybrid planar antenna array conducting beamforming. First, based on the codebook in IEEE 802.15.3c, we propose a new beam matching method which can find the best transmit and receive beamforming pair quickly. The method is also extended such that it is able to find the beamforming pair shortly after the environment changes from LOS to NLOS. Then, we propose another method, using full-duplex relays, to solve the NLOS problem. In a full-duplex relay, transmitted signal will interfere its received signal, a phenomenon called echo. We then design an echo canceller to suppress echo signal without affecting the original antenna pattern. It is shown that the echo is effectively canceled.

iii

誌謝

本篇論文得以完成，首先由衷感謝我的指導教授- 吳文榕博士，在研究的過程中老 師從未間斷地辛勤指導，每當我遇到研究的難題時，指導我許多專業上的知識與提供研 究上的建議。而在研究期間，感謝 Lab 720 的學長姐們，於研究上給予我非常多的協助 與建議，也經常討論生活中的點滴並且給予我很多寶貴的意見。其中我特別想感謝的是 鈞陶、勝富、汀華、其翰、勝隆，還有我的同儕，嫈珮、宗羲、錫沅等同學陪我一起度 過在研究所的期間，彼此的互相鼓勵使我更有動力做研究。另外還要感謝家彰每天不間 斷幫大家訂便當，婉綺提供電風扇使我度過炎熱的夏天，運凱、侑君、偉豪、萊恩為實 驗室提供歡樂。

iv

目錄

摘要 ...I ABSTRACT ... II 目錄 ... IV 圖目錄 ... VII 表目錄 ... IX 第一章: 簡介 ... 1 第二章: 通道模型 ... 4 2.1 簡介 ... 4 2.2 通道的數學模型 ... 4 2.3 會議室的 3D 模型與群集(cluster)路徑 ... 7 2.4 直視路徑的通道模型 ... 8 2.5 非直視群集的路徑衰減與反射衰減 ... 8 2.6 點對點之通道模型 ... 9 第三章: 波束形成與 DOA 估計 ... 14

3.1 線陣天線(Uniform Antenna Array) ... 14

3.2 線陣天線的波束形成 ... 15 3.2.1 類比波束形成 ... 15 3.2.2 數位波束形成 ... 16 3.2.3 混合式波束形成 ... 16 3.3 線陣天線的訊號抵達方位估計簡介 ... 17 3.3.1 線陣天線的 MUSIC 演算法 ... 17 3.3.2 線陣天線的 TLS-ESPRIT 演算法 ... 19

v

3.3.3 線性陣列天線混合式抵達方向估計 MUSIC 演算法 ... 21

3.3.4 線性陣列天線混合式抵達方向估計 ESPRIT 演算法 ... 23

3.4 平面陣列天線(Planar Antenna Array) ... 24

3.5 平面陣列天線的波束形成 ... 25 3.5.1 類比波束形成 ... 25 3.5.2 數位波束形成 ... 25 3.5.3 混合式波束形成 ... 26 3.6 平面陣列天線的訊號抵達方位估計 ... 28 3.6.1 平面陣列天線的 MUSIC 演算法 ... 28 3.6.2 平面陣列天線的 TLS-ESPRIT 演算法 ... 30 3.6.3 平面陣列天線的混合式訊號抵達方位估計 MUSIC 演算法 ... 34 3.6.4 平面陣列天線的混合式訊號抵達方位估計 ESPRIT 演算法 ... 37 第四章: 直視與非直視環境下的波束搜尋流程... 39 4.1 IEEE 802.15.3c 波束編碼簿 ... 39 4.2. 波束搜尋流程 ... 39 4.2.1 窮舉法 ... 40 4.2.2 兩級訓練法 ... 40 4.2.3 二分法搜尋 ... 42 4.2.4 所提出的波束搜尋流程 ... 44 4.2.5 波束搜尋流程分析 ... 45 4.3 環境變動下的波束搜尋流程 ... 46 第五章: 全雙工中繼器設計 ... 51 5.1 中繼器傳輸簡介 ... 51 5.2 系統模型 ... 52 5.3 迴音干擾通道 ... 53 5.4. 迴音干擾消除 ... 54 5.5 波束形成分析 ... 57 5.6 波束場型限制下的迴音干擾消除 ... 58

vi 5.6.1 SVD 法 ... 58 5.6.2 解聯立方程式法 ... 59 5.6.3 Lagrange 演算法 ... 60 5.7 多使用者的波束場型限制下的迴音干擾消除 ... 62 第六章: 模擬結果 ... 66 6.1 波束搜尋演算法效能模擬 ... 66 6.1.1 波束搜尋精準度分析 ... 66 6.1.2 訓練序列數分析 ... 68 6.1.3 不同波束搜尋流程的優缺點分析 ... 69 6.2 非直視環境下的波束搜尋 ... 69 6.3 全雙工中繼器設計 ... 74 6.3.1 波束場型限制下的迴音消除 ... 74 6.3.1.1 SVD 法 ... 75 6.3.1.2 解聯立方程式法 ... 76 6.3.1.3 Lagrange 演算法 ... 78 6.3.2 系統穩定度分析 ... 82 6.3.2.1 殘餘的迴音 ... 82 6.3.2.2 通道估計誤差 ... 84 第七章: 結論 ... 91 REFERENCE ... 92

vii

圖目錄

圖 2-2- 1：群集裡面的射線 ... 5

圖 2-2- 2：功率分佈 (Power Delay Profile) ... 6

圖 2-3- 1：會議室的 3D 模型 ... 7 圖 2-5- 1： 反射衰減，圖的左邊是一次反射的衰減量，圖的右邊是兩次反射的衰減量。 ... 9 圖 2-6- 1：傳送端和接收端的俯視圖的速度分解 ... 10 圖 2-6- 2：旋轉後的座標 ... 11 圖 2-6- 3：傳送端與接收端位置俯視圖 ... 12 圖 2-6- 4：通道響應的所有群集 ... 12 圖 2-6- 5：傳送端與接收端位置俯視圖 ... 13 圖 2-6- 6：通道響應的所有群集 ... 13 圖 3-1- 1 線陣天線架構圖 ... 14 圖 3-2- 1 線陣天線的數位波束形成 ... 16 圖 3-2- 2 線陣天線的混合式波束形成 ... 17 圖 3-4- 1：Nx乘 Ny個天線組成的平面陣列天線 ... 24 圖 3-5- 1：混合式波束形成架構圖 ... 27 圖 3-5- 2：8 8× 平面陣列天線劃分成 4 個區塊分別是 A、B、C、D，每個區塊分享同一 個數位轉類比轉換器。 ... 27 圖 4-2- 1：傳送端與接收端的波束配對 ... 40 圖 4-2- 2：線性陣列天線的兩階段天線選擇 ... 41 圖 4-2- 3：線性陣列天線的兩階段場型 ... 41 圖 4-2- 4：線性陣列天線的兩階段天線選擇 ... 42 圖 4-2- 5：線性陣列天線的兩階段場型 ... 43 圖 4-3- 1：最小平方法 ... 47 圖 5-1- 1：中繼器傳輸 ... 51 圖 5-1- 2：半雙工和全雙工中繼器傳輸 ... 51 圖 5-2- 1：AF 中繼器系統 ... 52 圖 5-3- 1：不同天線之間的距離造成的訊號相位差 ... 54 圖 5-4- 1：迴音干擾消除 ... 55 圖 5-4- 2: 傳送端和接收端分成上下兩部分的陣列天線 ... 55 圖 5-4- 3：利用向量空間處理的迴音干擾消除 ... 56 圖 5-7- 1：多使用者的中繼器系統 ... 62 圖 6-1- 1: 傳送端與接收端位置俯視圖 ... 66 圖 6-1- 2：直視環境下，每種波束搜尋流程的錯誤率 ... 67 圖 6-1- 3: 非直視環境下，每種波束搜尋流程的錯誤率 ... 68 圖 6-1- 4: 平面陣列天線下(K=M=8)，每種波束搜尋流程的訓練序列數 ... 69

viii 圖 6-2- 1: 直視和三組一次反射的群集 ... 70 圖 6-2- 2: 近似全向性的波束場型 ... 71 圖 6-2- 3: 配對錯誤率( k=2 波束搜尋排序，T=5) ... 73 圖 6-2- 4: 配對錯誤率(k=3 波束搜尋排序，T=5) ... 73 圖 6-2- 5: 配對錯誤率(k=4 波束搜尋排序，T=5) ... 74 圖 6-3-1: 線性陣列天線下(K=M=8)，傳送端與接收端的原本波束場型 ... 75 圖 6-3-2: 加入選擇(1)的 f 和 c 後，傳送端與接收端的波束場型 ... 76 圖 6-3-3: 加入選擇(2)的 f 和 c 後，傳送端與接收端的波束場型 ... 76 圖 6-3-4: 加入聯立方程式解出的 f 後，接收端的波束場型 ... 77 圖 6-3-5: 加入聯立方程式解出的 c 後，傳送端的波束場型 ... 77 圖 6-3-6: 不同的 r 對迴音消除的遞迴結果 ... 79 圖 6-3-7 (a) : 原本傳送端的波束場型 ... 79 圖 6-3-8: 不同的 r 對迴音消除的影響 ... 81 圖 6-3-9: 不同的 r 對 f 和 c 能量的影響 ... 81 圖 6-3-10:傳送端和接收端相距最遠的通道 ... 83 圖 6-3-11: 不同的 r 對最大系統放大倍率 g 的影響 ... 83 圖 6-3-12: 通道估計誤差對最大系統放大倍率 g 的影響 ... 85 圖 6-3-13: 不同的 r 對迴音消除的遞迴結果 ... 86 圖 6-3-14：原本傳送端的波束場型(使用者一) ... 87 圖 6-3-15: 不同的 r 對傳送端波束場型的影響(使用者一) ... 87 圖 6-3-16：原本傳送端的波束場型(使用者二) ... 88 圖 6-3-17: 不同的 r 對傳送端波束場型的影響(使用者二) ... 88 圖 6-3-18: 不同的 r 對迴音消除的影響 ... 89 圖 6-3-19: 不同的 r 對 f 和 c 能量的影響 ... 89 圖 6-3-20: 不同的 r 對最大系統放大倍率 g 的影響 ... 90

ix

表目錄

表格 4- 1：線陣天線的訓練序列數 ... 45 表格 4- 2：平面陣列天線的訓練序列數 ... 45

1

第一章

第一章

第一章

第一章:

:

: 簡介

:

簡介

簡介

簡介

隨著無線的應用日趨廣泛，無線個人網路(wireless personal area network;

WPAN) 越來越受到重視。為了因應此趨勢 IEEE 在2005 三月成立了802.15 WPAN Task Group (TG3c) 發展毫米波的實體層規格。此毫米波是操作在免執

照 57 ~ 64 GHz 的頻段，由於此頻段之高衰減特性訊號只適合短距離之傳輸，

WPAN 所定義之資料傳輸率最少是1Gbps 最高可達5Gbps 適合高速之上網或

高畫質之影音傳輸。在此規格中定義了兩個調變模式即單載波和多載波，多載波 使用正交多頻分工(orthogonal frequency division multiplexing; OFDM)，眾所週知

OFDM 是一具有潛力之技術也已經廣泛的應用於多種數位通訊的系統 如 IEEE 802.11 無線區域網路，IEEE 802.16e 廣域的網路，以及數位電視廣播(digital video broadcasting; DVB)等。OFDM 的最大好處是頻譜使用效率高以及可以將

多路徑之頻率選擇衰落轉換成平坦之衰落因此等化就變得很容易，另一好處是

OFDM 能使用快速傅立葉轉換可以使多載波的調變容易實現。

因為60GHz 通道對訊號之衰減性高且載波之穿透性低，因此當傳送端與接 收端之間有障礙物沒辦法達到直視(Line of Sight; LOS)的傳輸時傳收的效能將 大受影響，如何在NLOS 的環境下能夠正常運作是一大關鍵。因此有研究者在 傳送端與接收端使用陣列天線(Antenna Array)來做波束形成(Beamforming)，希 望可以藉此達到能量集中提高傳輸效能，能量集中並不侷限於單一方位，陣列天 線波束形成技術可以把訊號集中在多個特定方位，也可以使某些特定方位收不到 訊號。波束形成可以用類比或數位的方式來實現，如用類比的方式則無法達到干 擾消除的目的，但如用數位的方式則每一根天線都需要一組數位類比轉換器 (digital-to-analog circuit; DAC)和類比數位轉換器(analog-to-digital circuit; ADC)， 成本會大大的提高，最近有研究者提出用混合式的波束形成(hybrid beamforming)

2 來解決此問題[1]-[3]，其想法是把陣列天線分成少許區塊，同一區塊共同使用同 一個轉換器，如此一來就可在效能與成本之間取得一平衡。使用波束形成之一重 要的前提是訊號的接收方位須能準確的估計，此問題在文獻上稱之為(Direction of Arrival; DoA)，數位波束形成之DoA 的問題已經廣泛的被討論[4]-[5]，也有 應用在混合式陣列天線的訊號來源方位估測演算法 [6]。 本篇論文的目的即是研究 60GHz 系統中使用混合波束形成之 LOS/NLOS 傳輸技術，並提出可能的新方案以克服 60GHz 非直視環境的傳輸障礙。首先我 們依據 IEEE WPAN 802.15.3c 的編碼簿，提出了一種新的波束搜尋法，配合 DoA 的技術並利用通道對稱性的特性，可以大幅的減少傳送的訓練序列數，快速的搜 尋出最佳波束對，並同時提高了精準度。另外我們也考慮環境的變動時波束配對 的問題，亦即傳輸環境可能瞬間從 LOS 變為 NLOS 的狀況，ㄧ個解決的方法是 在一開始做波束搜尋流程時，根據每組波束配對收到的訊號大小，依序排列出最 佳、次佳...等的序列，再依照當時的環境選擇最適當的一組波束配對，例如一開 始採用最佳的波束配對，但當此組波束配對被阻礙物擋住訊號無法傳遞時，改採 用次佳的波束配對。 當系統沒LOS傳輸時，另一個解決辦法是利用中繼器(relay)幫忙傳送端傳送 資料。在分時雙工(time division duplexing; TDD)的系統裡，中繼器通常是半雙工 (half-duplex)，也就是說傳送端把訊號傳給中繼站，中繼站進而把接收到的資料 傳給接收端，亦即同一時間只能做傳收或接收，整體系統之吞吐量(throughput) 會因此而減半。本論文的另一個主題就是在討論全雙工(full-duplex)之中繼器， 亦即中繼器可以同時傳送與接收訊號，系統之吞吐量因此可以倍增。但全雙工中 繼器有一問題，意即接收機會收到傳送機所傳送的訊號，因而干擾到真正要接收 的訊號，一般而言，傳收機傳送訊號很強而要接收訊號很弱，因此造成運作上的 困難，文獻上稱此自我干擾問題為為迴音(echo)。全雙工中繼器迴音消除的方法 有數種[7]-[10]，但都不是針對陣列天線而設計，我們提出了一個混合波束形成 器的迴音消除器(Echo Canceller)，可以有效的解決中繼器之迴音干擾問題。

3

本篇論文的組織如下:第二章我們討論 60 GHz 頻帶在會議室的通道模型，第 三章中敘述混合式波束形成與 DoA 演算法，第四章討論在直視與非直視環境之 下的波束搜尋配對方式，第五章是討論全雙工中繼器，第六章中敘述所提出方法 之模擬結果，第七章則是總結。

4

第二章

第二章

第二章

第二章:

:

: 通道模型

:

通道模型

通道模型

通道模型

2.1 簡介

本章中我們要討論 60GHz 頻帶無線環境的通道模型，主要是根據 Intel [11] 的研究結果。Intel 的研究考慮了 60GHz 的電磁波傳遞特性，目前他們所發表的 版本描述了會議室環境下的通道射線(ray)模型，包含了射線(ray)的空間、時間、 振幅、相位的特徵。其中射線的空間特徵包含了傳送端傳送跟接收端接收的射線 的水平角(azimuth)與仰角(elevation)。Intel 發表的版本並沒有把電磁波的極化 (polarization)的影響考慮進去而且假設通道的統計特性是穩態的(stationary)。

2.2 通道的數學模型

此通道模型是利用群集(cluster)的概念，每一個群集包含了很多空間相近、 時間相近的射線(ray)。由於環境的統計特性是非穩態的(non-stationary)，群集與 射線的空間、時間參數會隨著時間而改變，在不是移動的環境下我們可以假設這 些參數的變動速度是很緩慢的。在我們的通道模型裡空間跟時間的參數我們是假 設穩態的。其通道的數學模型可以表示如下:

(

)

( ) ( )

(

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

)

, _tx, _tx, _rx, _rx i i i , _{tx tx}i , _{tx tx}i, _{rx rx}i , _{rx rx}i i h t ϕ θ ϕ θ =

∑

A C t T− ϕ − Φ θ − Θ ϕ − Φ θ − Θ (2.1)

(

)

(

) (

) (

) (

) (

)

( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , , , , i tx tx rx rx i k i k i k i k i k i k tx tx tx tx rx rx rx rx k C t t

ϕ θ ϕ θ

α δ

τ

δ ϕ ϕ

δ θ θ

δ ϕ

ϕ

δ θ

θ

=

∑

− − − − − (2.2) 其中: • h 是通道的脈衝響應 • t,

ϕ

tx,

θ

tx,

ϕ

rx,

θ

rx 是時間、傳送端與接收端個別的水平角、仰角。

5

• A(i) 與 C(i) 是第 i 個群集的增益與第 i 個群集的脈衝響應。 •

δ

(.) 是脈衝函數(Dirac delta function)。

• T(i),

Φ

tx(i),

Θ

tx(i),

Φ

rx(i),

Θ

rx(i) 是第 i 個群集的時間角度特徵

。

•

α

(i,k) 是第 i 個群集的第 k 個射線的振幅。

•

τ

(i,k),

ϕ

tx(i,k),

θ

tx(i,k),

ϕ

rx(i,k),

θ

rx(i,k) 是第 i 個群集第 k 個射線相對的時間-角度特

徵。 群集裡面的射線參數是經由實驗量測所求得，我們由時間去區分每個射線， 射線的參數包含射線個數、射線跟射線之間的時間差、還有射線的振幅。根據實 驗的結果，我們可以得到射線在時域的統計特性。群集裡面的射線產生機制如圖 2-2-1 所示: 圖 2-2-1：群集裡面的射線

群集包含了一根指標射線(central ray)，它的振幅

α

(i,0)_{是固定的，還包含了比指標}

射線提早抵達的射線，振幅分別是 (i,−N_f) (i,−1) α α … ，以及包含了比指標射線還慢到 達的射線，振幅分別是α(i,1)_…α(i,Nb)。比指標射線還早抵達的射線設定為兩根，比 指標射線還慢抵達的射線為四根。 比指標射線早以及晚抵達的射線時間都用 Poisson 過程去描述，兩個 Poisson 過程的抵達速率分別是 0.2 ns-1_{與 0.12 ns}-1_{，由於射線是用 Poisson 過程去描述，}

6 那麼射線與射線之間的時間差會是指數分布(Exponential distribution)。比指標射 線提早抵達的射線的平均振幅是A_f( )τ ，比指標射線慢抵達的射線的平均振幅是 ( ) b A τ 。這兩項參數定義如下: ( ),0 / 5 20 ( ) 10 f i r f A τ =α e−τ (2.3) ( ),0 / 10 20 ( ) 10 b i r b A τ =α e−τ (2.4) 其中

γ

f = 1.3 ns and

γ

b = 2.8 ns。 定義射線的振幅是平均值為A_f( )τ 、A_b( )τ 的 Rayleigh 分布，相位為隨機的 均勻分布。下圖 2-2-2 是 Intel 實驗出來的功率分布與 Intel 用此模型模擬出來的 功率分布比較圖。

圖 2-2-2：功率分佈 (Power Delay Profile)

在實驗的量測中，只有訊號在時域變化的量測，沒有角度的量測。因此 Intel 把每一根射線的角度參數設定成期望值為零、變異數為 50_{的常態分佈，無論是}

7 為了更進一步的增加通道模型的準確性，首先我們把群集分類，分成直視群 集、一次反射群集、二次反射群集，這些群集有個自的統計特性。另外，對於同 一群集裡面的射線的參數都被視為有相關的。這些參數都有經由實驗的量測與射 線追蹤模擬(ray tracing)來驗證，因此增加了此通道模型的準確性。

2.3 會議室的 3D 模型與群集(cluster)路徑

圖 2-3-1 表示一會議室之 3D 透視圖，在此我們假設傳送端與接收端都是擺 置在同一張桌子上。 Tx Rx 1st order reflection from ceiling 1st _{order reflection} from wall 2nd order reflection from walls LOS 3 m 3 m 1 m 1 m 4.5 m

Ray Tracing Model for Conference Room

1 m 圖 2-3-1：會議室的 3D 模型 我們把群集分成一個直視路徑群集，和十七個非直視群集，包括:四個四面牆壁 的一次反射、一個天花板的一次反射、四個先經由牆壁再到天花板的二次反射或 先經由天花板再到牆壁的二次反射、八個經由牆壁再經由另一面牆壁的二次反射。 不同的群集有不同的特徵，譬如說四面牆壁的一次反射的仰角為零。這些特徵都 會被採納到我們的通道模型裡面。我們也可以設定某個群集會被擋住，被擋住的 機率可以動態調整。 如果牆壁跟天花板是完美的鏡面反射，每一個群集的射線就只會有一個。我

8 們把反射面的粗糙考慮進去的話，每一個群集會有許多空間跟時間相當接近的射 線，每一個群集裡面的統計特性都經過實驗量測，詳細的模型會在後面敘述。

2.4 直視路徑的通道模型

直視線路徑的群集只有一條射線，它的衰減量的數學式子如下: (0) A = /(4

λ π

d) (2.5) 其中λ是波長， d 是傳送端與接收端的距離。 我們可以定義接收端接收到的功 率如下: 2 4 rx tx rx tx P G G P d

λ

π

  =     (2.6) 其中G 與_tx G 是傳送端與接收端個別的天線增溢，_rx P 是傳送端的功率。接收到的_tx 時間可表示為: LOS d T C = (2.7) 其中 C 是光速。

2.5 非直視群集的路徑衰減與反射衰減

就像之前在直視通道模型中提到的衰減量一樣，我們可以由真空中傳遞法則

(free space propagation law)知道每個群集的指標射線衰減量:

(i) (i)

A =g /(4λ πd_i) (2.8)

其中d 是群集_i

i

的指標射線所走的距離， (i)

g 是每個群集的反射衰減，λ是波長，

9

Reflection Loss for 1st_{Order Reflection}

Mean value = -10 dB RMS = 4 dB

Reflection Loss for 2nd_{Order Reflection}

(total loss for two reflections)

Mean value = -16 dB RMS = 5 dB 圖 2-5-1： 反射衰減，圖的左邊是一次反射的衰減量，圖的右邊是兩次反射的衰 減量。 在之後的模擬中，我們把一次反射的衰減量設為-10 dB，二次反射的衰減量設為 -16 dB。

2.6 點對點之通道模型

接著我們討論如何找出兩點之間所有可能的傳送路徑的過程，包括傳送與接 收訊號的角度和時間延遲。令訊號入射的速度為 v，則可分別拆解成 x 座標上的 分量v_x， y 座標上的分量v ，z 座標上的分量_y vz： x y z v= + +v v v (2.9) 則所傳送訊號的水平角

ϕ

與垂直角ϑ定義如下： 1 tan x y v v

ϕ

₌ − _ _     (2.10) 1 2 2 tan z x y v v v

ϑ

₌ − _ _  ₊    (2.11)

11 圖 2-6-2：旋轉後的座標 其中原本座標

(

x y z 需先轉換為新的座標, ,

)

(

x y z ，也就是把每個軸的單位向', ', '

)

量分別做轉換：

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

, , ', ', ' 1, 0, 0 cos , 0, sin 0,1, 0 sin , 0, cos 0, 0,1 0,1, 0 x y z x y z ψ ψ ψ ψ → → − → − → (2.14) 所以新的座標為：

(

x y z', ', '

) (

= xcosψ −ysinψ, ,z −xsinψ +ycosψ

)

(2.15)

並求得新的距離

(

d_x',d_y',d_z'

)

，也就是知道新的速率比

(

v ', v ', v '_{x y z}

)

，藉此算出新 的水平角與垂直角。 如 2.3 節中所述，在這個通道狀況下共有十八個群集，可以分別求出其水平 角和垂直角。但因為矩形平面天線(Patch antenna)的傳送或接收訊號範圍只有半 個球面，也就是垂直角必須小於 90 度才有可能接收的到。相對的如果垂直角大 於 90 度，即代表此訊號無法傳遞，也就是沒有這條傳輸路徑。而如果任兩條路 徑的傳送端、接收端的水平角和垂直角皆相同，即代表此兩條路徑是重複的。 下面分別模擬兩種不同傳送和接收天線擺放方式的通道狀況，在此會議室長 度設為九公尺、寬九公尺、高兩公尺，傳送端與接收端放在同一張高度為一公尺 的會議桌上面。首先我們設定傳送端與接收端的位置如下圖所示，此圖的視角是 從空中往下看。

'

y

'

z

'

x

x

y

z

ψ

12 圖 2-6-3：傳送端與接收端位置俯視圖 傳送端與接收端的平面陣列天線法向量對齊傳送端與接收端的連線方向，也就是 傳送天線與接收天線是相望，而且是固定的。在這種環境下接收端只能收到八組 群集，分別是一個直視群集，兩個從牆壁的一次反射，一個從天花板的一次反射， 兩個只經由牆壁反射的二次反射，兩個經由牆壁一次反射與天花板一次反射的二 次反射，共八個群集。圖 2-6-4 是這八個群集的響應，時間單位為 802.15.3c 系 統的取樣週期，即 0.39 ns。 圖 2-6-4：通道響應的所有群集 0 100 200 300 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 10-4 time index cluster a m p lit u d e 9m9 9m 4.5m 4m

0 100 200 300 1 2 3 4 0 2 4 6 8 x 10-5 time index cluster a m p li tu d e

14

第三章

第三章

第三章

第三章

:

波束形成與

波束形成與 DoA 估計

波束形成與

波束形成與

估計

估計

估計

3.1

線陣天線

(

Uniform Antenna Array

)

線陣天線的架構如下圖所示: 圖 3-1-1 線陣天線架構圖 假設有 K 個期望值是零、彼此不相干而且是窄頻的訊號入射到有 N 根天線 的線陣天線上，入射到線陣天線的角度分別是θ={ , ,

θ θ

_{1 1 ⋯},

θ

_K}_{， [0 ,180 ]} k ο θ _∈ ° _， 而且 K <N。此陣列的 N 個單一天線彼此相距離 d，而且 d 剛好是頻率是 f_c的弦 波的半波長。 線陣天線接收到的訊號可以看成一個向量 y ，其數學模型可以表示如下: d d θ d sinθ

15

( )

( )

( )

( )

[

]

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

1 2 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) N K K K y n y n n y n s n n n s n n n s n n n n n

θ

θ

θ

      =_{ }                   = _{  }+ _             = + y a a a As n ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ (3.1) 其中 2 sin( ) / 2 ( 1) sin( ) / ( ) 1 c k c k T j f d C j f N d C k e e π θ π θ

θ

_= − − − _   a ⋯ 是一個操控向量(steering vector)，

n

(n)是期望值為零的複數加性高斯白雜訊向量。

3.2

線陣天線的波束形成

3.2.1

類比波束形成

線陣天線的類比波束形成場型(Analog Beamforming Pattern)可表示為:

( 1) 1 ( ) N j m m m RF θ w e − Ψ = =

∑

(3.2) sin 2 2 sin

λ

_θ

π

π

θ

λ

Ψ = = (3.3) 場型 的物理意義是說把接收天線擺放在遠區(Far Zone)所接收到的訊號 振幅。我們可以適當的調整w_m使得RF( )

θ

可以在某個特定方位有最大強度。例 如接收端方位是在

θ

₀，我們可以設定 0 [( 1)sin ] j m m w =e−π − θ (3.4) ( , ) R F φ θ

18

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 0 [ ] [ ] [ ] 1 n P m m m E n n E n n E n n P σ = = = + = + ≈

∑

H y H H H H s H R y y A s s A n n AR A I y y (3.5) 其中R_s為 s 的協方差矩陣，σ_n2I 是單位矩陣對角為σ_n2。我們可以證明在雜訊為 高斯分布下， H yy 的時間平均是R 的最大似然估計。_y N N C × ∈ H s AR A 是一個秩 (rank)為 K 的矩陣，這是因為每一個訊號是不相關而且矩陣 A 的列向量(column vector)互相獨立並且R_s是一個滿秩(full rank)矩陣。

更進一步來把R 做_y SVD 分解我們可以得到:

[

]

   =        H s s y s n H n n Σ _{0 U} R U U 0 Σ _U (3.6) 其中Σ_s與 n Σ _{為對角矩陣，} K K R × ∈ s Σ 、 _Diag{ 2_{, ,} 2_} (N K) (N K) n σn σn R − × − Σ = … ∈ 。從以 上觀察，我們可以得到下面結論: span( )=span( ) span( )⊥span( ) s n A U A U (3.7) 令e_n∈U_n是R 的特徵向量_y (eigenvector)，我們可以得到: 2 2 2 ( ) n n n σ = σ −σ = = = H H n y n n n n H H n s n H s e (R - )e e e e 0 e AR A e v R v (3.8) 其中 H n

v = A e 。因為R_s是正定矩陣(positive definite matrix)，我們得到v R vH _s ≥0 ，

所以說 H n v = A e = 0 。從以上討論，我們可以看出a( )

θ

，θ∈θ，跟特徵向量 n e 垂 直，然後我們可以由以下數學計算得到θ :

19 1 max P_MUSIC( ) θ θ = H θ H θ n n a ( )U U a( ) (3.9) 其中a( )

θ

是操控向量。然而在我們真正執行 DoA 計算之前，我們需要估計有多 少個不同方向的訊號入射到線陣天線。我們假設所有天線的雜訊功率都相等而且 K <N，我們可以重新排列R 的特徵值y (eigenvalue)由大排到小，也就是說 1 2 N 0

λ λ

≥ ≥⋯

λ

> 。若SNR>0時，且不同方向的訊號源共有 K 個，則我們可以假 設得到 2 1 2 K K N n λ + =λ + = =⋯ λ =σ 。

3.3.2 線陣天線的 TLS-ESPRIT 演算法

MUSIC 演算法需要高複雜度的搜尋，而 ESPRIT 演算法[5]改良天線排列的 幾何圖形，讓我們不需要很複雜的搜尋。ESPRIT 演算法把線陣天線分成兩個子 線陣天線。或者從數學上等價的角度，我們可以把它看成是做適當的行(row)交 換來做訊號來源方位估計。 我們把式子(3.1)中 y 做適當的行交換，數學模型可以改寫為:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

1 3 1 2 4 N N y n y n y n n n n y n y n y n −               =_{ }=  +               A y s n AΦ ⋮ ⋮ (3.10)

其中_Φ=_Diag{e-j2 f sin(πc θ1) /C_,⋯_,e-j2 f sin(πc θK) /C_}。跟之前一樣的做法，我們找出 y 的協

方差矩陣如下: 2 n

σ

    =    + =     H H H y s s s s n n n A A R R I U Σ U + U Σ U AΦ AΦ (3.11)

20 接下來我們推導 REPRIT 演算法找出ΦΦΦΦ如下:

[ ]

2 , , 2 1 , , 2 1 , , 2 1 , min min min min − − −     −             =   −          =   −        = −_{ } 1 1 1 1 s A Φ T s2 _F s A Φ T s2 _F s B Φ T s2 _F s2 s ΦT F U _A T AΦ U U _AT ATT ΦT U U B BT ΦT U U U T ΦT (3.12) 其中 1 s U 、 2 s U 分別為U 的上下兩半部。由最小平方誤差(least-square; LS)我們可s 以得到: 1 − ₌ 1 2 † s s T ΦT U U (3.13) 我們要求的方向 Φ 即為 1 2 † s s U U 的特徵值。然而由最小平方誤差求得的 Φ 是有偏差 的最佳解，這是因為雜訊的影響或者時間平均造成的誤差，使得 1 2 s s

span(U )≠span(U )。我們可以使用全部最小平方法(total-least-square; TLS)，利

用最小的校正量，使得 1 2 s s span(U )=span(U ) ，解出來的解即為: 1 − _{= −} -1 12 22 T ΦT V V (3.14) 其中 1 2   _{   }  ₌  _{     }         1 1 2 2 H _{H H} s _{11 12 11 2} s s H H H 21 22 1 22 s U _{V V V V} U U Λ V V V V U (3.15) 我們要找的方向 Φ 就是− -1 12 22 V V 的特徵值。

21

3.3.3

線性陣列天線混合式抵達方向估計 MUSIC 演算法

在混合式陣列天線中，由不同的區塊分享共同的 DAC 和 ADC，而對第 i 格 區塊在某一個時間點接收到的訊號為：

( )

H

( )

( )

i i i i y n =u _As n +n n _ (3.16) 其中u_i為一個操控向量，由各種相位所構成： ,1 ,2 ,1 ,2 , , , 1 i i i i i i N i N u u u u u u       =_{ } = = = =     u ⋯ ⋮ (3.17) 因為此時線陣天線收到的值，在u_i的投影下只剩下一維的資訊，無法用傳統的 DoA 估計角度。所以一個簡單的方式是蒐集更多時間點的訊號，每個時間點採 用不同的u_i，以取得更多軸的資訊來估計角度。假設現在共蒐集了 T 個時間， T<N，則形成一操控矩陣(steer matrix)：

( )

,1 ,2 , , rank i i i i i N T       =_{ } =     u u U U u ⋮ (3.18) 在 T 個時間中觀察到的訊號會形成一個向量：

( )

( )

(

)

(

)

( ) ( )

1 1 i i i i H i i y n y n n y n T n n     +   =_{ }   + −     = + y U A s n ⋮ (3.19) 蒐集所有區塊的訊號，假設共有 M 組區塊，可形成一組新的向量：

22

( )

( )

( )

( )

( )

( )

1 2 1 1 1 2 2 2 M H H H H H H M M M n n n n n n       =_{ }                   =_{ } +_{ }             y y y y U A U U A U s n U A U ⋮ ⋮ ⋮ (3.20) 其中 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 sin 1 2 1 sin 0 0 0 0 , i=1~M 0 0 k j f i Nd i j f i Nd e e π θ π θ − − − −     =       A A ⋱ (3.21) 式子(3.25)的 y 的協方差矩陣為:

( ) ( )

1 1 1 1 2 2 2 2 2 [ ] H H H H n H H M M M M E n n σ =             =_{   } +             H y H s R y y U A U A U A U A R I U A U A ⋮ ⋮ (3.22) 更進一步來把R 做 SVD 分解我們可以得到: _y

[

]

   =        H s s y s n H n n Σ _{0 U} R U U 0 Σ _U (3.23) 從上面的討論我們可以得到下列之特性: 1 1 2 2 sapn( ) span( ) H H H M M       _⊥         n U A U A U U A ⋮ (3.24) 因此我們可以從以下數學式子找出( )

θ

_k :

( )

( )

1 max _θ PMUSIC( )θ θ θ = _H H n n a U U a (3.25)

23

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

(( ) ) ( ) 1 2 sin 2 2 1 sin H j f Nd H j f M Nd H M e e π θ π θ

θ

θ

θ

θ

− − −       =        U a U a a U a ⋮ (3.26)

3.3.4

線性陣列天線混合式抵達方向估計 ESPRIT 演算法

從上面的討論我們可以得到下列之特性: 1 1 2 2 span( ) span( ) H H H M M       ₌         s U A U A U U A ⋮ (3.27) 因此我們可以利用 ESPRIT 演算法解Φx與Φy，推導如下:

[ ]

2 1 1 2 2 , 2 , , 2 1 , , 2 1 , min min min min H H H M M − −       −_{ }           =   −          =   −        = −_{ } 1 1 1 s U T s B Φ T s2 _F s B Φ T s2 _F s2 s ΦT F U A U A U T U A U B T BΦ U U BT BTT ΦT U U U T ΦT ⋮ (3.28) 其中 1 s U 與 2 s U 是U_s的上下半部。由 LS 法我們可以得到: 1 y − ₌ 1 2 † s s T Φ T U U (3.29) 我們要求的方向 Φ 即為 1 2 † s s U U 的特徵值。然而由最小平方誤差求得的 Φ 是有偏差 的最佳解，這是因為雜訊的影響或者時間平均造成的誤差，使得 1 2 s s span(U )≠span(U )。我們可以使用 TLS 演算法，利用最小的校正量，使得

24 1 2 s s span(U )=span(U ) ，所得的解為: 1 − _{= −} -1 12 22 T ΦT V V (3.30) 其中 1 2   _{   }  ₌  _{     }         1 1 2 2 H _{H H} s _{11 12 11 2} s s H H H 21 22 1 22 s U _{V V V V} U U Λ V V V V U (3.31) 我們要找的方向 Φ 就是− -1 12 22 V V 的特徵值。

3.4 平面陣列天線

(

Planar Antenna Array

)

平面陣列天線[11]是由許多相同的天線所組成，天線排列方式一般是成矩形， 如圖 3-4-1 所示，每一個圓點都代表著一個天線。我們定義平面陣列天線的長跟 寬分別是在 x 軸與 y 軸，在 x 軸上面的天線每個相距離d_x，在 y 軸上面的天線 每個相距離d ，_y d_x與d 都是_y 2

λ

_{，令此陣列共有} x y N ×N 個天線。平面陣列天線的 每一個元件都有一個自己的移相器，移相器是用來調整每一根天線所發射出去訊 號的相位。 y d x d (0,0) (Nx-1,0) (Ny-1,0) (Nx-1,Ny-1) x y Isotropic radiator 圖 3-4-1：Nx乘 Ny個天線組成的平面陣列天線

25

3.5 平面陣列天線的波束形成

3.5.1

類比波束形成

平面陣列天線的類比波束形成場型可表示為: ( 1) ( 1) , 1 1 ( , ) y x x x N N j m j n m n m n RF

φ θ

w e − Ψ e − Ψ = = =

∑∑

(3.32) sin cos 2 2 sin cos y

λ

_θ

_φ

π

π

θ

φ

λ

Ψ = = (3.33) sin sin 2 2 sin sin y

λ

_θ

_φ

π

π

θ

φ

λ

Ψ = = (3.34) , , m n j m n w =eΨ (3.35) 場型 的物理意義是說把接收天線擺放在遠區所接收到的訊號振幅。我們 可以適當的調整w_{m n,} 使得 可以在某個特定方位有最大強度。例如接收端 方位是在 ，我們可以設定 0 0 0 0

[( 1)sin cos ( 1)sin sin ] , j m n m n w =e−π − θ φ + − θ φ (3.36) 使得此平面陣列天線往 方位發射出訊號。

3.5.2

數位波束形成

平面陣列天線的數位波束形成場型[12]可表示為: ( 1) ( 1) , 1 1 ( , ) y x x x N N j m j n m n m n DF

φ θ

w e − Ψ e − Ψ = = =

∑∑

(3.37) sin cos 2 2 sin cos y

λ

_θ

_φ

π

π

θ

φ

λ

Ψ = = (3.38) ( , ) R F φ θ ( , ) R F φ θ 0 0 ( ,φ θ ) 0 0 ( ,φ θ )

26 sin sin 2 2 sin sin y

λ

_θ

_φ

π

π

θ

φ

λ

Ψ = = (3.39) , , , m n j m n m n w =k e Ψ (3.40) 例如我們想要往( ,

θ φ

_{0 0})方位發射訊號並且使得在( , )

θ φ

_{1 1} 方位的接收機收不 到往( ,

θ φ

_{0 0})發射的訊號。則我們只需要讓w_{m n,} 滿足下列方程式: 0 0 0 0 1 1 1 1

[( 1)sin cos ( 1)sin sin ] [( 1) sin cos ( 1)sin sin ]

, 0 1 j m n j m n m n w =α e−π − θ φ + − θ φ +αe−π − θ φ+ − θ φ (3.41) 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) 0 RF RF RF RF θ φ θ φ α θ φ θ φ α       =             (3.42) 0 0 0 0

[( 1)sin cos ( 1)sin sin ] [( 1)sin cos ( 1)sin sin ] 0 0 0 ( , ) y x N N j m n j m n m n RF

θ φ

e−π − θ φ + − θ φ eπ − θ φ+ − θ φ = = =

∑∑

(3.43) 1 1 1 1

[( 1)sin cos ( 1)sin sin ] [( 1)sin cos ( 1)sin sin ] 1 0 0 ( , ) y x N N j m n j m n m n RF

θ φ

e−π − θ φ+ − θ φ eπ − θ φ+ − θ φ = = =

∑∑

(3.44) 上列數學式子所代表的意義是，類比波束先形成到兩個不同的方位，然後解數位 的權重使得某一特定方位可以接收到最大能量，另一方位則為零。由上列數學式 子也可以看出w_{m n,} 振幅跟相位會隨著 ,m n 改變而改變。

3.5.3

混合式波束形成

由於 DAC 和 ADC 的成本比較高，如果我們可以使用比較少的 DAC 和 ADC

28

4 4

[( 1)sin cos ( 1)sin sin ]

section1 section1 ,

1 1

4 4

4 (sin sin ) [( 1)sin cos ( 1)sin sin ]

section2 section2 , 1 1 4 (sin cos ) [ section3 section3 , ( , ) ( , ) ( , ) j m n m n m n j j m n m n m n j j m n RF w e RF e w e RF e w e π θ φ θ φ π θ φ π θ φ θ φ π θ φ π θ φ θ φ θ φ − + − = = − + − = = = = =

∑∑

∑∑

4 4

( 1)sin cos ( 1)sin sin ]

1 1

4 4

4 (sin cos ) 4 (sin sin ) [( 1)sin cos ( 1)sin sin ]

section4 section4 , 1 1 ( , ) m n m n j j j m n m n m n RF e e w e θ φ θ φ π θ φ π θ φ π θ φ θ φ θ φ − + − = = − + − = = =

∑∑

∑∑

(3.46) 每個區塊的天線權重為： sec 1 , sec 2 , sec 3 , sec 4 , section1 , section2 , section3 , section4 , tion m n tion m n tion m n tion m n j m n j m n j m n j m n

w

e

w

e

w

e

w

e

Ψ Ψ Ψ Ψ

=

=

=

=

(3.47) 在混合式波束形成中，假如要往( ,

θ φ

_{0 0})方位發射訊號，同時讓( , )

θ φ

_{1 1} 方位的天線 收不到訊號的話，w₁~w₄須滿足下列方程式: 1

section1 0 0 section2 0 0 section3 0 0 section4 0 0 2

section1 1 1 section1 1 1 section1 1 1 section1 1 1 3

4 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0 w RF RF RF RF w RF RF RF RF w w θ φ θ φ θ φ θ φ θ φ θ φ θ φ θ φ      _{ }   =  _{ }           (3.48)

3.6 平面陣列天線的訊號抵達方位估計

3.6.1 平面陣列天線的 MUSIC 演算法

平面陣列天線的 MUSIC 演算法可以由線陣天線的 MUSIC 演算法加以延伸 而得，他們主要的差別是在於線陣天線只搜尋一個角度，而平面陣列天線是要搜 尋兩個角度。平面陣列天線的訊號抵達方位估測是估計三維空間的方位，平面陣 列天線的訊號抵達方位估測需要估測兩個角度，一個是垂直角θ，另外一個是水 平角

φ

平面陣列天線收到的訊號 y 可以排成一個向量，它的數學模型表示如下

29

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

1 2 x y N N y n y n n n n y _× n       =_{ }= +       y Asɶ n ⋮ (3.49) 此時： 1 1 1 1

2 sin( ) cos( )/ 2 ( 1) sin( ) cos( )/

2 sin( ) sin( )/ 2 ( 1) sin( )sin( )/

vec( ( , ) ( , )) vec( ( , ) ( , )) ( , ) 1 ( , ) 1 c x k k c x k k c y k k c y k k y x y K K x K K T j f d C j f N d C x k k T j f d C j f N d C y k k e e e e π θ φ π θ φ π θ φ π θ φ θ φ θ φ θ φ θ φ θ φ θ φ − − − − − −   =_ ⊗ ⊗ _   =_{ }   =_{ } A a a a a a a ɶ _⋯ ⋯ ⋯ (3.50) ⊗是克羅內克積(kronecker product)。vec(.)是一個把矩陣的列(column)排成一整列 向量的函數。 y 的協方差矩陣可表示為:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2 0 [ ] [ ] [ ] 1 n P m m m E n n E n n E n n P σ = = = + = + ≈

∑

H y H H H H s H R y y A s s A n n AR A I y y ɶ ɶ ɶ ɶ (3.51) 更進一步來把R 做 SVD 分解可得: _y

[

]

y +     =        H s n s s n H n n Σ Σ _{0 U} R U U 0 Σ _U (3.52) 跟 3.3.1 一樣的分析，我們可以得到: span( ) span( ) span( ) span( ) = ⊥ s n A U A U ɶ ɶ (3.53) 然後我們可以由以下數學計算得到θ 與

φ

: , 1 max ( , ) , , MUSIC P θ φ θ φ = H θ φ H θ φ n n a (ɶ )U U a(ɶ ) (3.54)

30

3.6.2

平面陣列天線的 TLS-ESPRIT 演算法

平面陣列天線的訊號抵達方位估測[13]也可以適當的分成兩個子平面陣列 天線，或者從數學上的等價，我們可以把接收到的訊號做適當的行交換，來找出 方位，跟線陣天線不同的是我們需要做兩次行交換，解出兩個角度，並且要配對， 因為假設垂直角解出來有 30 度跟 60 度，水平角解出來有 0 度跟 180 度，那真正 的方位是垂直角 30 度必須配水平角 0 度還是配水平角 180 度?在接下來的推導可 以得到答案。

我們先解出{θ_y1,⋯,θ_yK}也就是{sin( ) sin( ),

θ

₁

φ

₁ ⋯,sin(

θ

K) sin(

φ

K)}，其中

θ

k是第

k 個訊號源的垂直角，

φ

_k是第 k 的訊號源的水平角。利用

span( )Aɶ =span(Us) (3.55)

31 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 , 2 1 1 ,

2 sin( )sin( )/ 2 sin( )sin( )/

1 1

,

( ) 2 sin( )sin( )/ ( ) 2 sin( )sin( )/

min min min x xK c y c y K K x xK y c y y c y K K x xK j f d C j f d C N j f d C N j f d C e e e e θ θ π θ φ π θ φ θ θ π θ φ π θ φ θ θ − − − − − × − × − = −    = −    s A T s A T s A T U AT E U E AT a a a a E U E a a ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ⋯ ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2

2 2 sin( )sin( )/ 2 2 sin( )sin( )/

1 1 2 sin( )sin( )/ 1 2 sin( )sin( )/

, 3 2 sin( )sin( )/ 3 min x xK c y c y K K x xK c y c y K K x xK c y x j f d C j f d C j f d C j f d C j f d C e e e e e e θ θ π θ φ π θ φ θ θ π θ φ π θ φ θ θ π θ φ θ − × − × − × − × − × − ×         _ = − F s A T T a a a a E U a a a ɶ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯

[ ]

2 2 sin( )sin( )/ 2 2 1 , , , , 2 2 1 1 , , , min min min min c y K K xK j πf d θ φ C θ − − −                               =  −  =  −                    =   −  = −      1 1 1 1 F s s A Φ T A Φ T s2 _F s2 _F s s2 s B Φ T ΦT F s2 _F T a U A U AT T U AΦ U ATT ΦT U B U U T ΦT BT ΦT U ⋮ ⋯ ⋮ (3.56)

其中 2 sin(1)sin(1) / 2 sin( )sin( ) /

Diag{ j f dc y C, , j f dc y K K C} e− π θ φ e− π θ φ = Φ _⋯ ， 1 s U 、 2 s U 分別為E U_{1 s}的 上下半部，E₁為行交換矩陣。 如此一來，我們可以得到: 1 − _{= −} -1 12 22 T ΦT V V (3.57) 其中 1 2   _{   }  ₌  _{ }             1 1 2 2 H _{H H} s 11 12 11 2 s s H H H 21 22 1 22 s U _{V V V V} U U Λ V V V V U (3.58)

我們就解出了 2 sin(1)sin(1) / 2 sin( )sin( ) /

Diag{ j f dc y C, , j f dc y K K C} e− π θ φ e− π θ φ = Φ _⋯ 為− -1 12 22 V V 的特 徵值。

32

接著我們用另外一種行交換方式解出{

θ

_x1,⋯,

θ

_xK}也就是

1 1

{sin( ) cos( ),

θ

φ

⋯, sin(

θ

_K) cos(

φ

_K)}，推導如下:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 , 2 2 2 ,

2 sin( )sin( )/ 2 sin( )sin( )/

2 2

,

( ) 2 sin( )sin( )/ ( ) 2 sin( )sin( )/

min min min x xK c y c y K K x xK y c y y c y K K x xK j f d C j f d C N j f d C N j f d C e e e e θ θ π θ φ π θ φ θ θ π θ φ π θ φ θ θ − − − − − × − × − = −    = −     s A T s A T s A T U AT E U E AT a a a a E U E a aa ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ⋯ ⋯ ⋮ ⋱ ⋮ ⋯ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2

2 2 sin( )cos( )/ 2 2 sin( )cos( )/

2 1 2 sin( )cos( )/ 1 2 sin( )cos( )/

, 3 2 sin( )cos( )/ 3 min y yK c y c y K K y yK c y c y K K y yK c y y j f d C j f d C j f d C j f d C j f d C j e e e e e e θ θ π θ φ π θ φ θ θ π θ φ π θ φ θ θ π θ φ θ − × − × − × − × − × − ×        _ = − F s A T T a a a a E U a a a ɶ ⋯ ⋯ ⋮ ⋯ ⋮ ⋯ ⋯ 2 2 sin( ) cos( )/ 2 2 1 , , , , 2 1 , , , min min min min c y K K yK f d C π θ φ θ − −                               =  −  =  −               _{  }   =  _{ }− _ = _{ }−       1 1 1 F s s A Φ T A Φ T s2 _F s2 _F s s2 B Φ T ΦT s2 _F T a U A U AT T AΦ ATT ΦT U U U B U BT ΦT U ⋮ ⋯ ⋮ ɶ ɺ ɶ ɺ ɺ ɶ ɺ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ 2 1 −   U T ΦTs1  _F ɶ (3.59)

其中 2 sin(1) cos(1) / 2 sin( ) cos( ) /

Diag{ j f dc y C, , j f dc y K K C} e− π θ φ e− π θ φ = Φɶ _⋯ ， 1 s Uɶ 、 2 s Uɶ 分別為E U_{2 s}的 上下半部，E₂為行交換矩陣。 如此一來，我們可以得到: 1 − _{= −} -1 12 22 T ΦTɶ V Vɶ ɶ (3.60) 其中 1 2   _{   }  ₌  _{     }         1 1 2 2 H _{H H} s 11 12 11 2 s s H H H 21 22 1 22 s U _{V V V V} U U Λ V V V V U ɶ ɶ ɶ ɶ (3.61)

我們就解出了 2 sin(1) cos(1) / 2 sin( ) cos( ) /

Diag{ j f dc y C, , j f dc y K K C} e− π θ φ e− π θ φ = Φɶ _⋯ 為− -1 12 22 V V 的特

33 徵值。 接下來我們要配對 Φ 跟 Φɶ ，從以上的觀察我們發現 ₂-1 11 2 -V V 跟 -1 11 22 -V Vɶ ɶ 有相同 的特徵向量 T，把相同的特徵向量所對應個別的特徵值配對起來，就是我們要的 配對方式。配對完後我們要把 Φ 跟 Φɶ 轉換到

θ

_k跟

φ

_k，方法是我們取出 2 _{c y}sin(_k) sin(_k) / j f d C k e π θ φ − Φ = 跟 j2 f d_{c y}sin( _k) cos(_k) /C k e π θ φ − Φ =ɶ _{的相位，相除得到tan} k

φ

，此時的 做 tan 的反函數得到兩個可能的

φ

k，把這兩個帶回 2 c ysin( k)sin(k) / j f d C e− π θ φ 跟 2 c ysin( k) cos( k) / j f d C e− π θ φ ，會發現只有一組( ,

θ φ

_{k k})滿足 j2 f d_{c y}sin(_k) sin( _k) /C k e π θ φ − Φ = 跟 2 _{c y}sin( _k) cos(_k) / j f d C k e π θ φ − Φ =ɶ _{，及解得我們要的相位。} 我們可以從幾何意義上來看我們所做的兩次行交換把接收到的訊號排成向 量 y 換成y₁ =E y₁ 與y₂ =E y₂ ，如下圖所示。 y 所對應的天線座標為: y y [(0, 0) (1, 0) (0,1) (1,1) (0,N -1) (1,N -1) (Nx −1,Ny −1)] T ⋯ ⋯⋯ ⋯ 也就是說 y 即順著 x 軸方向照順序排成一個向量。y₁所對應的天線座標為: [(0, 0) (1, 0) ⋯ (0, 3) (1,3) ⋯⋯ (0,2) (1,2)⋯(0, 4) (1,4)⋯⋯]T 也就是說把 x 軸方向的奇數次序(order)先排，再來排 x 軸方向的偶數次序。y₂所 對應的天線座標為: [(0, 0) (0,1) ⋯ (3, 0) (3,1) ⋯⋯ (2,0) (2,1)⋯(4, 0) (4,1)⋯⋯]T 即把 y 軸方向的奇數次序先排，再來排 y 軸方向偶數次序。

35 我們把區塊 A~D 的天線，相對位置一樣的天線讓它們經過移相器後所位移 的相位相同，也就是對於不同的區塊， u 都相同:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

B B C C D D y n n y n n y n n = = = ur ur ur (3.63) 我們把四個區塊的數位類比轉換器的輸出排成一個向量:

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

A A A B B B C C C D D D A A x A y A x y y n n n y n n n n y n n n y n n n n                   =_{ }=_{ }=_{ }                         =_{ }       ur uA s ur uA s y ur uA s ur uA s uA uA Φ s uA Φ uA Φ Φ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ ɶ (3.64) 其中 1 1 1 1 vec( ( , ) ( , )) vec( ( , ) ( , )) A y x y K K x K K Aɶ =_ a θ φ ⊗a θ φ ⋯ a θ φ ⊗a θ φ _T，

2 sin( ) cos( ) / 2 ( 1) sin( ) cos( ) /

( , ) 1 j f dc x k k C j fc Nx dx k k C x k k e e π θ φ π θ φ

θ φ

_= − − − _   T a ⋯ ， 2 ( 1) sin( )sin( ) / 2 sin( )sin( ) / ( , ) 1 j f dc x k k C j fc Ny dx k k C y k k e e π θ φ π θ φ θ φ _= − − − _   T a ⋯ ， c 1 1 c

4 -j2 f sin cos / 4 -j2 f sin cos /

Diag{e d C, ,e d K K C} x π θ φ π θ φ × × = Φ _⋯ c 1 1 c

4 -j2 f sin sin / 4 -j2 f sin sin /

Diag{e d C, ,e d K K C} y π θ φ π θ φ × × = Φ _⋯ 那麼 y 的協方差矩陣為: