幾何概念的認知理論與相關研究

到理論建立（劉秋木，1996；Clements & Battista, 1992; Van De Walle, 2001/2005;

Nickson, 2000/2004）。如緒論所言，本研究關注在四邊形的包含關係概念之建立，

故僅就 van Hiele 幾何思考層次論與相關的實徵研究進行整理，其中理論回顧首先 概論幾何思考各層次的核心概念與學童表現，再詳細說明與四邊形包含關係最直 接相關的兩階段──分析（analytic）期和非形式演繹（abstract/relational）期之概念 與學生具體行為。

一、van Hiele 的幾何思考層次論

根據 van Hiele 的觀點，幾何思考層次的發展可分為五個階段（劉秋木，1996；

Clements & Battista, 1992; Van De Walle, 2001/2005; Nickson, 2000/2004），視覺

（visual）期的學童是根據圖形的外觀來辨認、命名和分類圖形，例如學生說「這 是菱形」，意指這個形狀和他學過被稱為菱形的圖形看起來很相似；分析（analytic）

期的學童則將圖形視為是一群屬性的集合，例如「菱形是四邊等長的圖形」，意指 菱 形 是 指 一 組 包 含 了 他 學 過 被 稱 為 菱 形 的 屬 性 的 集 合 ； 非 形 式 演 繹

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（abstract/relational）期的學童可以從圖形定義，即充分必要屬性去理解圖形和圖 形間的關係。例如「正方形也是菱形」，學生的想法是「正方形是菱形再加上四角 直角的屬性」；演繹（formal deduction）期的人能在公理系統中推論出定理，證明 各種幾何問題；嚴密系統（rigor）階段的人可以在不同的數學系統進行演繹推理。

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1992；盧銘法，1996；Usiskin, 1982）。以使用最廣泛的 Usiskin（1982）的 van Hiele 幾何測驗（VHG）進行說明，該測驗每個思考層次皆使用五題選擇題測量，五題 中達對四題便是達到該思考層次的水準。和四邊形包含關係建立最相關的「分析 期」和「非形式演繹期」，前者題目比較多是測量幾何屬性，如「對任一菱形而言，

下列(Ａ)到(Ｄ)中，哪一個性質是錯誤的？」；後者的題目有包含關係和不同圖形的 屬性比較，如「下列各圖形中，哪些是長方形？」。目前採該測驗的研究發現有六 成的國中生已達「分析期」和「非形式演繹期」（左台益、梁勇能，2001；Usiskin, 1982）。 右的學童為「分析期」，62.10%的學童為「非形式演繹期」。Wu 和 Ma（2006）使 用自編的吳氏幾何概念測驗調查國小學童，採 Usiskin（1982）的計分標準，結果

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2005；陳晚蓁、楊德清，2002；謝貞秀、張英傑，2003；Fujita, 2012; Matsuo &

Silfverberg, 2008）。

根據過去文獻的討論，研究者整理出學童在兩種作業上的表現，主要受到原 英傑，2003；張英傑，2001）。

其次，國小高年級以上的學生之中，約有三分之一到一半的學生可圖形的數 學定義，例如「長方形是四角直角的四邊形」；在圖形分類錯誤的情形減少，長方 形降至 20%左右、菱形和平行四邊形則不到 10%（石宛臻，2004；許歆宜，2005；

吳昭容，2004；陳晚蓁、楊德清，2002；Fujita, 2012）。值得注意的是「可說出定

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義」不意味「可理解圖形的包含關係」，原因是學童不會按照圖形類別間的關係進 行分類。實徵研究只發現約 40.5%到 84%的國小五年級的學童不知道正方形是長方 形的一種；正方形、長方形、菱形都是平行四邊形的一種；正方形是菱形的一種，

顯示學童沒有圖形類別間的包含關係，而是將各種圖形視為獨立（石宛臻，2004；

吳昭容，2004；許歆宜，2005；謝貞秀、張英傑，2003）。中學生也將近有 70%和 65%的學生無法理解長方形和平行四邊形各自的包含關係（陳晚蓁、楊德清，2002；

Fujita, 2012）。有學者認為上述情形表示學童無法應用定義於圖形分類作業上，顯 示學童並非理解圖形概念，僅是背誦定義（許歆宜，2005；Fujita, 2012）。

綜合本節文獻回顧有兩個重要發現，適合建立四邊形包含關係概念的對象 祥，1986；Rosser, 1994）。案例依照是否符合概念的所有屬性，可分為「正例」（positive

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instance）和「非例」（negative instance）兩類，並分別對應語言學習時，會出現的 外延性錯誤。正例指該案例符合概念的所有屬性；反之，不完全符合時，則為非 例（Wilson, 1986）。語言學習時有兩種外延性錯誤情形，低度外延（underextension）

是指錯誤排除正例，例如，只將「狗」用來指稱家裡的狗，排除其他可以被稱為

張英傑，2003；Fujita, 2012）。研究者以下分別論述原型如何影響概念的外延性和 內涵性。

原型的影響一方面是在概念外延性上，學童出現低度外延和過度外延兩種錯 誤類型。前者是指學童對各種圖形的印象均停留在原型。以長方形分類作業為例，

長方形的原型是 ，正方形則是 ，所以無法將正方形視為長方形，難形成圖 形類別的包含關係（石宛臻，2004；許歆宜，2005；陳晚蓁、楊德清，2002；謝 貞秀、張英傑，2003；Fujita, 2012）。後者是學童對圖形的理解是原型之外，且只

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會依照圖形部分特徵或大小做分類。例如，長方形原型是 ，因為 （平行 四邊形）在知覺特徵上和 比較相似，均是長長的，所以錯認平行四邊形是長 方形（謝貞秀、張英傑，2003；Fujita, 2012）。

另一方面是在內涵性上，學童仰賴視知覺或是圖形心像來描述圖形，故出現 而定義是指能和其他概念區別的關鍵屬性（吳貞祥，1986；De Villiers, 1994）。以

「長方形」為例，它的定義內容只有「四角直角的四邊形」，不過從內涵性而言， 和 Silfverberg（2008）則是更細緻地依照定義的充分必要屬性、上層概念的關係以 及精簡程度，分成七個層次，依序是：（1）定義錯誤；（2）非充分的屬性；（3）

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& Treagust, 2003; Treagust & Duit, 2008; Vosniadou, Vamvakoussi, & Skopeliti, 2008）。由於概念改變的議題廣泛，本節僅回顧概念改變的意涵、概念改變的理論 以及促使概念改變的反例實徵研究。

一、概念改變的意涵

概念改變（conceptual change）是指將既有概念再重新建構，提升其功能性，

以求更可解決問題（Duit & Treagust, 2003）。兒童在概念改變前，已發展出一套解 釋架構來解釋外界的現象和刺激，不過這些想法和學界的觀點，即科學概念不一 致，因此以迷思概念（misconceptions）、另有架構（alternative frameworks）、兒童 科學（children’s science）或自發知識（spontaneous knowledge）等名詞稱呼之（許