幾何知識與推理能力對高年級學童幾何圖形概念改變的影響

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(1)國立臺灣師範大學教育心理與輔導學系碩士論文. 指導教授：吳昭容博士. 幾何知識與推理能力對高年級學童幾何圖形概念改變的影響. 研究生：楊忠璇撰. 中華民國一百零二年一月.

(2) 誌謝詞兩年多的碩士生涯，終於在完成論文的此刻畫下句點。回想過去這段時間，最深刻的體悟便是「書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟」，學習研究的過程並不輕鬆，更多的時候是迷網、苦惱、挫折，但也慶幸可以進入心輔所，認識到那麼多友善，且給予我支持和鼓勵的大家。感謝我的指導教授吳昭容老師，在我卡關、遭遇瓶頸之時，陪伴我、指引我方向，也使我的思考能力和寫作技巧得以更精進。感謝林正昌老師和鄭英豪老師撥空擔任我的口試委員，並且對論文的研究議題及統計方法方面提出一些建言，使我的論文可更完善。感謝系上的盧雪梅老師、林世華老師和李俊仁老師讓我有機會可以參與研究，增進研究實務方面的經驗。感謝我在心輔所認識的大家，一起在系圖打拼的夥伴們，陳小黑、禎芸學姊、煜智、家維學妹、思羽學妹和小眼哥，和你們一起留守系圖念書、工作的時光，是這段時間最幸福的回憶之一。因為有你們陪伴，我才可以一步一步堅持下去。我的好同學們，逸衫、偉智、慧玉、君浩、亦新、詠芝和品銓，老實說，我們每個人的個性都大不相同，正因為不同，也讓我有機會可以開闊自己的視野，學習每個人的長處。實驗室的寀雯學姊、郁芩學姊、健豪學長和舒方，謝謝你們時常願意讓我請教一些研究、寫作和生涯的問題，也分享了許多過來人的經驗，鼓勵我，為我加油打氣。佩蓉學姊、怡婷學姊、育吟學姊、佩潔、荏捷、嘉恩、欣柔和怡螢，很開心能夠和你們一起工作，也感謝你們不吝於分享經驗和照顧我。感謝支持我的家人，願意讓我大學畢業後，繼續攻讀研究所，給予我最大的支持與關心，為我打點許多事物，使我可以不必掛念瑣事，專心在研究和學習，最後更感謝奶奶在天上的保佑，我永遠想念您。. 楊忠璇謹誌一百零二年一月 i.

(3) ii.

(4) 中文摘要本研究旨在探討國小五年級學童以反例促使幾何圖形概念改變之結果及其認知歷程，特別關注幾何知識與推理能力各自所扮演的角色，並針對長方形包含正方形的關係進行研究。前導研究以 131 名三至五年級學童檢驗幾何知識與推理能力之自編測驗的品質，並以 11 名五年級學童確認實驗流程。正式研究包含概念改變實驗與定義改變實驗，前者目的是改變學童概念低度外延之情形和調整內涵性，後者則是在概念外延性改變之後，更精緻化概念內涵性；前者材料是正例和反例的圖卡，後者則是增加了非例的圖卡。以圈圖題自台北市與新北市五年級學童 336 名中選出明顯低度外延者為研究對象，再以自編的幾何知識測驗和推理能力測驗篩選出三組學童，分別是「高知識高邏輯組」、「高知識低邏輯組」和「低知識高邏輯組」，有效人數依序為 16、17 和 16 名。概念改變實驗的結果，首先，接受反例和概念外延性改變方面，「低知識高邏輯組」人數少於「高知識高邏輯組」，顯示幾何知識較差者，較難接受反例和調整概念外延性。其次，整體而言，有近半數的學童概念內涵性進步，並且近七成的學童可發現必要屬性──四角直角。最後，在共同屬性的歸納上，「高知識高邏輯組」和「高知識低邏輯組」的長方形描述數量多於「低知識高邏輯組」，且「高知識高邏輯組」在推理正方形可歸類為長方形的歷程中，想出較多的幾何性質且多為推理有效的方式，顯示幾何知識和推理能力影響了歸納共同屬性的表現。定義改變實驗的結果是接受實驗處理的學童有四分之一的概念內涵性轉為正確，不過「高知識高邏輯組」概念為精緻化者屬於少數。研究者推測工作記憶的限制是學童無法將概念精緻化的因素。研究者分析學童的概念改變歷程表現，認為幾何知識於幾何圖形概念改變中所扮演的角色是提供學童進行推理時的可用的背景知識，至於學童是否可善加運用背景知識，最後獲得正確概念則需仰賴推理能力的程度。. 關鍵字：長方形概念、包含關係、幾何知識、推理能力、反例 iii.

(5) iv.

(6) The effect of knowledge and reasoning ability on geometric conceptual change for senior elementary children Yang, Chung-Hsuan Abstract This study is to understand the results and the cognitive processes of geometric conceptual change from the 5th grade elementary pupils who face counter-examples of quadrilaterals, especially to focus on the roles that geometric knowledge and reasoning ability play in the conceptual change. The inclusion relationship, square included in rectangle, was discussed further. 131 grade 3rd to 5th elementary pupils were selected for the pilot study to examine two self - designed tests of the geometric knowledge and reasoning ability. In addition, grade 5th elementary pupils were selected simultaneously to confirm the accuracy of the experimental procedure. The formal study contained two experiments: the conceptual change experiment and the definition-changed experiment. The former aimed to change the children’s performance of under-extension and to adjust the performance of conceptual intension; the latter aimed to refine the performance of conceptual intension when children were able to change the performance of performance of conceptual extension. As far as materials were concerned, positive instances and counter-examples were involved in the former; except for the materials mentioned above, the negative instances were added in the latter. The subjects were divided via the 2(geometric knowledge)*2(reasoning ability) way; then, three groups were formed, exclusive of the group with those had the worst geometric knowledge and reasoning ability. The valid samples for each group were 16, 17 and 16. All the subjects were with under-extension. The results of the conceptual change experiments were addressed as follows. First, the “worse geometric knowledge and better reasoning ability” group performed significantly better than the “better geometric knowledge and v.

(7) reasoning ability” group in accepting the counterexample and changing the performance of conceptual extension. It reveals that the poor geometric knowledge subjects have, the more difficult is for them to accept the counter-example and adjustment conceptual extension. Secondly, nearly half of the children are progressive in understanding the conceptual intension, and nearly 70% of the subjects found that the necessary attribute is “four angles are right angles.” Finally, the performance of inducting common attributes for positive instances and counter-examples of all subjects are shown as follows. the “better geometric knowledge and reasoning ability” group and the “better geometric knowledge and worse reasoning ability” group described more rectangular properties than the “worse geometric knowledge and better reasoning ability” group. Moreover, the “better geometric knowledge and reasoning ability” group could come up with more geometric properties, which can be regarded as effective reasoning concerning why square can be included in rectangular.. It demonstrates that the. performance of inducting common attributes is affected through the geometric knowledge and the reasoning ability. The result of the definition-changed experiment was that quarter of subjects turned their wrong conceptual intension correct after the experimental treatment. However, very few of the “better geometric knowledge and reasoning ability” group were able to refine the performance of conceptual intension, so the researcher speculated working memory limits subjects to refine the performance of conceptual intension. The researcher found that the role of the geometric knowledge in geometry conceptual change is to provide background knowledge for reasoning. Eventually, the school children rely on the reasoning ability to manipulate background knowledge and obtain the correct concepts. Key Words：rectangle concept、inclusion relationship、geometric knowledge、reasoning ability、counter-example vi.

(8) 目次誌謝詞................................................................................................................................i 中文摘要..........................................................................................................................iii 英文摘要...........................................................................................................................v 目次.................................................................................................................................vii 表次..................................................................................................................................ix 圖次..................................................................................................................................xi 第一章緒論...................................................................................................................1 第一節. 研究動機...................................................................................................1. 第二節. 名詞釋義...................................................................................................4. 第二章. 文獻探討...........................................................................................................7. 第一節. 幾何概念的認知理論與相關研究...........................................................7. 第二節. 概念改變的理論與相關研究.................................................................15. 第三節. 四邊形包含關係的幾何知識.................................................................27. 第四節. 概念階層關係與推理能力.....................................................................32. 第三章. 前導研究.........................................................................................................41. 第一節. 研究對象.................................................................................................41. 第二節. 研究工具.................................................................................................41. 第三節. 研究程序.................................................................................................46. 第四節. 結果與討論.............................................................................................52. 第四章. 正式研究.........................................................................................................61. 第一節. 研究對象.................................................................................................62. 第二節. 研究工具.................................................................................................62. 第三節. 研究程序.................................................................................................63 vii.

(9) 第四節. 結果與討論.............................................................................................67. 第五章結論與建議... .................................................................................................79 參考文獻.........................................................................................................................89 中文部分.................................................................................................................89 英文部分.................................................................................................................92 附錄.................................................................................................................................97 附錄一. 前導研究──圈圖題.............................................................................97. 附錄二. 前導研究──數學概念評量表.............................................................99. 附錄三. 前導研究──動動腦...........................................................................103. 附錄四. 前導研究──圖形遊戲卡...................................................................113. 附錄五. 前導研究──訪談圖卡.......................................................................115. 附錄六. 前導研究團體施測指導語...................................................................117. 附錄七. 數學概念評量表項目分析...................................................................119. 附錄八. 動動腦項目分析...................................................................................122. 附錄九. 正式研究──數學概念評量...............................................................125. 附錄十. 正式研究──動動腦...........................................................................129. 附錄十一. 正式研究團體施測指導語...............................................................134. 附錄十二. 幾何描述方式...................................................................................136. viii.

(10) 圖次圖 3-1. 動動腦第一題的題目情境.............................................................................44. 圖 3-2. 前導研究概念改變實驗流程.........................................................................48. 圖 3-3. 圖形遊戲卡擺放位置.....................................................................................49. 圖 3-4. 定義改變實驗之圖形遊戲卡擺放方式.........................................................51. 圖 4-1. 正式研究程序.................................................................................................63. 圖 4-2. 正式研究概念改變實驗流程.........................................................................66. ix.

(11) x.

(12) 表次表 3-1. 概念改變實驗的訪談圖卡.............................................................................46. 表 3-2. 主試者回應學童的指導語.............................................................................50. 表 3-3. 數學概念評量表（刪題前、後）之信、效度.............................................53. 表 3-4. 動動腦（刪題前、後）之信度.....................................................................55. 表 4-1. 各組受試者在數學概念評量表與動動腦之描述性統計分析摘要表.........67. 表 4-2. 學童在概念改變活動中接受反例的人數統計表.........................................68. 表 4-3. 學童概念外延性變化的人數統計表.............................................................69. 表 4-4. 學童概念內涵性變化的人數統計表.............................................................70. 表 4-5. 學童的概念內涵性結果人數統計表.............................................................70. 表 4-6. 學童的幾何性質數量描述性統計分析摘要表.............................................71. 表 4-7. 概念改變實驗中部分幾何性質描述統計表.................................................72. 表 4-8. 學童在概念改變實驗中推理方式的人數統計表.........................................74. 表 4-9. 學童實驗前的概念內涵性結果人數統計表.................................................76. 表 4-10 學童實驗後的概念內涵性結果人數統計表….............................................76 表 4-11 學童歸類長方形的口語分類描述統計表.....................................................77. xi.

(13) 第一章緒論第一節研究動機「幾何」（geometry）是數學教育的重要課題，Clements 與 Battista（1992）表示「幾何」這一門學問包含了探討空間物件、關係。我們生活的世界處處與「幾何」有關（教育部，2009；National Council of Teachers of Mathematics[NCTM], 2000），在探索空間環境並與之互動的過程中，人們將事物的形狀、大小、位置、方向和事物之間的關係等等訊息進行分析和歸納，形成幾何概念儲存於記憶中，例如，學童從觀察門、窗、桌子、電視等家具形成長方形的概念（ Nickson, 2000/2004；劉秋木，1996）。目前數學課程規劃方面，各國以及大型國際考試，如 TIMSS 和 PISA，均將「幾何」視為重要的學習和評量項目；國內的九年一貫課程綱要則是將「幾何」列為數學的五大主題之一（徐偉民、林美如，2009；教育部， 2009；黃幸美，2010）。學習數學的目的分別有培育數學知識、演算能力、抽象能力及推論能力等（教育部，2009），幾何包含關係的學習有助於提升幾何知識和數學推理的能力（Fujita & Jones, 2007; Tall et al., 2012; van Hiele, 1986）。根據 van Hiele 幾何思考層次論指出幾何包含關係概念的理解是學童從「非形式演繹期」（abstract/relational）發展到「演繹期」（formal deduction）的重要環節。在「非形式演繹期」的階段，學童如果可從圖形與圖形性質之間的異同去推演出圖形之間的包含關係，重新建構幾何圖形的關係時，則可進入「演繹期」，進一步證明圖形的關係（van Hiele, 1986）。另外，從國內的數學課程安排可知，幾何包含關係的學習亦可視為國小與國中幾何課程銜接之關鍵（教育部，2009）。目前實徵研究大多指出學童不理解幾何包含關係。舉例而言，以長方形為例，長方形的定義是四角均為直角的四邊形，正方形符合其定義，可以說長方形包含正方形，而在實徵研究的結果是學童不認為長方形包含正方形（石宛臻，2004； 1.

(14) 張英傑，2001；許歆宜，2005；陳晚蓁、楊德清，2002；謝貞秀、張英傑，2003； Fujita, 2012; Matsuo & Silfverberg, 2008）。國內的學者推測原因可能是學童在接觸正式的數學教育之前，便在日常生活中形成長方形和正方形的概念，並且由於中文造字的方式，兩個圖形的命名是在「方形」前分別加上「長」或「正」的形容詞，更容易使學童產生兩個圖形是對立關係的迷思概念（misconception）（吳貞祥， 1986；謝貞秀、張英傑，2003）。幾何概念的相關研究發現，即使學童可以說出符合數學的圖形定義，但仍不表示他們可理解圖形概念，理由是學童無法同時在圖形分類作業上有相同的表現。例如學童知道長方形是四角直角的四邊形，可是在分類圖卡時並未能將正方形歸類到長方形的類別中，因此學者們推測學童可能只是背誦定義，並非理解兩個圖形之間的包含關係（石宛臻，2004；吳昭容，2004；許歆宜，2005；謝貞秀、張英傑，2003；Fujita, 2012）。學者們認為定義多半使用可與其它概念區別的屬性條件當做內容，不過定義本身的抽象特性，阻礙了對概念的理解。唯有同時掌握概念的「內涵性」（intension）與「外延性」（extension）兩者，才完整理解概念，前者指可歸類為該類別案例所具有的共同屬性，後者則是指概念可包含的範圍，即符合該類別的案例（吳貞祥，1986; Rosser, 1994）。以「長方形」的概念為例，「外延性」可包含長方形和正方形的案例，「內涵性」則是長方形和正方形共同的屬性，例如，兩組對邊平行和四角直角的幾何性質。關於理解概念的方式，van Hiele 在自己的著作中曾提到：「概念的清晰是來自於案例而非定義。」（1986, 頁 50），這句話意指透過案例理解概念為可行的做法，亦指出案例對概念的外延性和內涵性兩者的重要性。在科學教育的範疇中，常使用「反例」（counter-example）作為促使學童的認知衝突（cognition conflict），改變迷思概念改變的契機（邱美虹，2000）。「反例」指可用來反駁既有概念的案例（Wilson, 1986; 1990），幾何包含關係研究的作法也是如此。學者們試圖在教學活動或認知 2.

(15) 實驗中，使用各種方式呈現反例，促使學生改變迷思概念，包含數位化工具（Leung, 2008）、實體或虛擬的圖形操弄（李俊儀、袁媛，2004；袁媛、楊子賢，2012；張炳煌，2003；謝金助、張英傑，2003; Erez & Yerushalmy, 2006）、文氏圖（何敏華， 2005）以及多個案例圖卡呈現加上提問（石宛臻，2004；吳昭容，2004；許歆宜， 2005）。前述研究的反例選擇上，舉例而言，假如學童在長方形分類活動中有排除正方形之情形，則研究者可將正方形當作反駁學童迷思概念的反例。在概念改變的歷程中，首先要能放棄既有概念，因此能否接受反例一事相當重要（Hashweh, 1986）。幾何包含關係的研究指出，反例是否有效和學童的背景能力有相當大的關係。學童對幾何名詞、性質的理解程度以及推理能力影響學童是否能夠接受反例，然後進一步改變概念外延性與內涵性（何敏華，2005；吳昭容， 2004；李俊儀、袁媛，2004；Erez & Yerushalmy, 2006; Leung, 2008）。許歆宜（2005）認為在幾何概念改變的歷程中，「共同屬性的歸納」是成功的關鍵，例如，學童可歸納出長方形和正方形都具有兩雙對邊平行、四角直角的屬性。研究者認為「共同屬性的歸納」指出了幾何知識與推理能力兩者影響幾何包含關係否能建立，學童需要分析幾何的性質，並且可順利推理出共同的屬性。不過，許歆宜並未直接檢驗兩者分別對幾何包含關係概念之影響，因此本研究進一步探討學童在反例呈現的情境下，該歷程如何受到學童本身幾何知識與推理能力之影響。試圖釐清概念外延性與內涵性的變化。另外，針對許歆宜的反例呈現方式可能使學童的概念外延性改變，但內涵性未能精簡化之情形，設計了加入非例──不屬於概念的案例，的實驗，欲瞭解學童是否可精簡內涵性，如同一般數學定義的形式。. 本研究之待答問題如下： 1.幾何知識和推理能力對反例接受的影響 2.幾何知識和推理能力對概念外延性的影響 3.

(16) 3.幾何知識和推理能力對概念內涵性的影響 4.幾何知識和推理能力對共同屬性歸納歷程的影響 5.在概念外延性分類表現調整後，加入非例對概念內涵性精緻化的影響. 第二節名詞釋義本節針對本研究的重要名詞界定其意，以下包括九個名詞。一、幾何圖形的包含關係包含關係係指上層概念包含下層概念的階層關係，由下層概念所組成的上層概念會大於任一下層概念。從概念所具備的屬性觀之，下層概念除了與上層概念有共同屬性之外，又有其他非共同屬性（De Villiers, 1994）。例如，長方形和正方形的共同屬性是四角直角，正方形也有四邊等長的屬性。從所包括案例觀之，下層概念的案例也同時可以歸為上層概念的案例。van Hiele 的幾何思考層次論將包含關係視為非形式演繹期（abstract/relational）階段的行為，並說明理解「正方形也是菱形」的背後想法是「正方形是菱形再加上四角直角的屬性」（Clements & Battista, 1992）。本研究的幾何圖形包含關係，選定長方形為研究主題。二、正例正例是指具有某一類別概念所有屬性的案例。本研究的正例是指長方形的屬性是「兩組對邊等長、四角直角」，因為. ，由於. 具備以上的屬性，所以是. 長方形的正例。三、非例非例是指不完全具有某一類別概念所有屬性的案例。本研究的非例是指因為缺少「四角直角」此一屬性，所以是長方形的非例。四、反例反例是指與學童既有概念不一致的正例，可用以反駁學童的既有概念。本研究的反例是指. ，由於學童不會認為長方形包含 4. ，因此可用. 反駁學童的錯誤.

(17) 概念。五、概念外延性概念可分為外延性和內涵性兩部分，概念外延性指概念可包含的範圍，符合該類別的案例（吳貞祥，1986；Rosser, 1994），外延性的錯誤情形有兩種，一個是低度外延（underextension），另一種是過度外延（overextension），前者指排除正例的情形，後者則指納入非例的情形。本研究的概念外延性是指學童「圈圖題」的表現和在「概念改變實驗」時，圖形遊戲卡的分類方式。六、概念內涵性內涵性（intention）指可歸類為該類別的共同屬性（吳貞祥，1986；Rosser, 1994）。本研究的概念內涵性是指學童在「概念改變實驗」的口語描述內容，並依照正確程度分為「內涵性錯誤」、「內涵性部分正確」以及「內涵性正確」。七、概念改變概念改變是指將既有概念再重新建構，提升其功能性，以求更可解決問題（Duit & Treagust, 2003）。概念改變的方式有很多種，本研究選定以「反例」作為引發學童產生認知衝突的關鍵，並採取個別訪談的方式為之，企圖改變幾何圖形概念內涵性與外延性。八、幾何知識本研究所指的幾何知識是與四邊形包含關係有關的知識，其操作型定義為學童在「數學概念評量表」的表現。該測驗為研究者根據 van Hiele 的幾何思考層次論以及目前相關的測驗工具，編製「幾何名詞判斷」和「幾何性質辨認」分別測量與視覺期（visual）和分析期（analytic）相關的能力。九、推理能力本研究所指的推理能力是掌握階層關係所需要之類包含（class inclusion）的邏輯能力，Markman（1989）認為對階層關係的理解必須有：（1）物體可以被分類在 5.

(18) 不只一個概念層次上；（2）其中一個分類是基於非知覺；（3）瞭解包含關係的不對稱性和遞移性。本研究的推理能力採用學童在「動動腦」的表現來界定。該測驗為研究者根據 Markman、Horton 和 McLanahan（1980）和 Smith（1979）的臨床晤談流程修改編而成，分為「次分類」（subcategories）和「整體分類」（entire category）兩類題目，前者測量對個別概念的理解，後者則測量概念之間的包含關係。. 6.

(19) 第二章文獻探討為了瞭解學童的四邊形包含關係概念改變歷程以及影響因素，本章首先回顧幾何概念的理論和實徵研究，瞭解適合建立四邊形包含關係的研究對象和蒐集幾何概念的作業方式。其次，探討反例促使概念改變的相關理論、幾何圖形概念改變的研究派典以及幾何知識和推理能力於幾何圖形概念改變歷程中的影響。最後，分別探討和編製測量幾何知識和推理能力的兩項工具之相關文獻。. 第一節幾何概念的認知理論與相關研究在幾何概念的發展或學習理論中，以 Piaget 和 Inhelder 的研究與 van Hiele 的研究最為重要。前者主要研究空間概念的表徵，強調空間表徵是學童內化過去操弄環境的結果，並且隨著發展，幾何想法的組織順序趨向邏輯性。後者則是認為學童的幾何思考主要受到教學而非先天的影響，幾何思考的層次從概念形成逐漸到理論建立（劉秋木，1996；Clements & Battista, 1992; Van De Walle, 2001/2005; Nickson, 2000/2004）。如緒論所言，本研究關注在四邊形的包含關係概念之建立，故僅就 van Hiele 幾何思考層次論與相關的實徵研究進行整理，其中理論回顧首先概論幾何思考各層次的核心概念與學童表現，再詳細說明與四邊形包含關係最直接相關的兩階段──分析（analytic）期和非形式演繹（abstract/relational）期之概念與學生具體行為。一、van Hiele 的幾何思考層次論根據 van Hiele 的觀點，幾何思考層次的發展可分為五個階段（劉秋木，1996； Clements & Battista, 1992; Van De Walle, 2001/2005; Nickson, 2000/2004），視覺（visual）期的學童是根據圖形的外觀來辨認、命名和分類圖形，例如學生說「這是菱形」，意指這個形狀和他學過被稱為菱形的圖形看起來很相似；分析（analytic）期的學童則將圖形視為是一群屬性的集合，例如「菱形是四邊等長的圖形」，意指菱形是指一組包含了他學過被稱為菱形的屬性的集合；非形式演繹 7.

(20) （abstract/relational）期的學童可以從圖形定義，即充分必要屬性去理解圖形和圖形間的關係。例如「正方形也是菱形」，學生的想法是「正方形是菱形再加上四角直角的屬性」；演繹（formal deduction）期的人能在公理系統中推論出定理，證明各種幾何問題；嚴密系統（rigor）階段的人可以在不同的數學系統進行演繹推理。幾何思考層次論之中，與幾何圖形包含關係密切相關的階段是分析期與非形式演繹期。（一）分析期在此階段的學童能夠從圖形區分出屬性，圖形被視為一組屬性的集合，原本對圖形所形成的視覺心像褪為背景，學童對圖形的思考不再受到大小尺寸、方向等影響。透過對圖形的觀察、測量、繪圖和模擬，學童建立了圖形的屬性，進一步藉由圖形的屬性可以理解圖形和表示圖形的特徵，例如，正方形有四個等邊和四個直角的屬性。在進行圖形分類時，學童可以將對單一圖形的想法一般化到被分類為同一類的圖形上，同時，比對圖形屬性集合的不同，分類出不同的圖形。以長方形和菱形舉例，分到長方形同一類的圖卡都具備長方形的屬性，菱形的圖卡也都具備菱形的屬性，其中長方形的屬性是四角直角、兩組對邊平行，而菱形的屬性是四邊等長、兩組對邊平行，所以長方形和菱形是不同的圖形。在圖形分類的過程中，學童也會發現某些圖形的分類方式需要透過組合數個屬性，例如正方形有四角直角和四邊等長兩個屬性，這樣的想法即是圖形定義的萌發。然而在此階段的學童並無法知道圖形之間的包含關係，例如學生無法理解一個正方形圖形，也可以是長方形。綜合上述，此階段兒童可能有下列的行為表現有：（1）能在測量或操作圖形之後歸納圖形的屬性，例如知道四邊形的內角和是 360 度；（2）能指出一個圖形的屬性或屬性間的關係，例如平行四邊形有四個邊、兩組對邊平行；（3）能從圖形的屬性來建構圖形，例如能畫出四角直角，四邊等長的圖形；（4）能說明使用 8.

(21) 圖形的屬性來描述該圖形，例如長方形有四角直角、兩組對邊平行；（5）能比較不同圖形的屬性集合之異同，例如平行四邊形和菱形都有兩組對邊平行，但是菱形的邊是等長，所以不會認為菱形是平行四邊形的一種。（二）非形式演繹期在此階段的學童已發現各種圖形的屬性後，會開始觀察屬性間的關係，對屬性進行組織。當一個圖形的屬性可以與其他的屬性區分，則可視為圖形的定義，此時定義不再只是描述的方式，是一種邏輯組織的方式，「如果…那麼…」的推論，這種邏輯式的組織想法可說是演繹的最初始型態。學童可以形成圖形的抽象定義，區分概念的必要和充分屬性，有時候可以提出幾何有關、較片段的邏輯論證。例如，平行四邊形的必要條件是兩組對邊平行的圖形。藉由非形式演繹推理，學童可以確定圖形的屬性，例如四邊形的內角和是 360 度，因為它是由兩個內角和 180 度的三角形所組成的，也可從屬性的順序建立圖形的包含關係，例如四角直角的圖形是長方形，四角直角且四邊等長的圖形是正方形，所以正方形是長方形的一種。不過在此階段的學童尚無法知道如何用嚴謹的演繹推理來證明幾何定理。綜合上述，此階段兒童可能有下列的行為表現：（1）能以圖形的屬性定義圖形，例如長方形是四角直角的四邊形；（2）能以推理發現圖形的屬性，例如四邊形的內角和是 360 度；（3）能指出某種圖形有幾組性質，並以最少的性質定義圖形；（4）建構不同圖形類別間的包含關係；（5）使用邏輯關係證明一個陳述。從上述幾何思考層次論的觀點可知，如欲達到幾何包含關係之建立，首先需要先分析圖形的屬性，使用幾何性質做圖卡分類。接著是可以根據屬性之間的關係，推理出圖形的定義，了解圖形之間的包含關係。演繹推理能力並非突然躍進，而是學童在「演繹期」之前的階段，逐漸發展的能力。幾何包含關係的建立是學童從「非形式演繹期」進入到「演繹期」的重要關鍵，在「演繹期」時，則是進一步使用邏輯論述的方式去檢驗圖形的屬性。 9.

(22) 二、幾何概念實徵研究發現目前國內、外對幾何概念的研究已累積相當豐碩的研究結果，其目的可分為兩種類型，一類是幾何思考層次的研究，主要根據 van Hiele 的幾何思考層次論編製紙筆測驗，並以此描述學生的發展情形；另一類則是特定幾何概念的研究，並非沿用 van Hiele 的幾何思考層次論，嘗試透過各種作業，如觸摸作業、仿繪圖形作業和圖形分類作業等，盡可能蒐集學童表現的相關資料，豐富關於學童特定幾何概念的理解情形。幾何思考層次研究，在其測驗的編製上，主要會針對每一思考層次設計數個題目來測量，再分析受試者在這些題目的通過率來判斷達到的思考層次（林軍治， 1992；盧銘法，1996；Usiskin, 1982）。以使用最廣泛的 Usiskin（1982）的 van Hiele 幾何測驗（VHG）進行說明，該測驗每個思考層次皆使用五題選擇題測量，五題中達對四題便是達到該思考層次的水準。和四邊形包含關係建立最相關的「分析期」和「非形式演繹期」，前者題目比較多是測量幾何屬性，如「對任一菱形而言，下列(Ａ)到(Ｄ)中，哪一個性質是錯誤的？」；後者的題目有包含關係和不同圖形的屬性比較，如「下列各圖形中，哪些是長方形？」。目前採該測驗的研究發現有六成的國中生已達「分析期」和「非形式演繹期」（左台益、梁勇能，2001；Usiskin, 1982）。其中，有些研究分開探討各種圖形的幾何思考層次情形，並發現國小中高年級學童在四邊形圖形的表現和國中學生類似，以下具體說明研究方法與結果。何森豪（2001）採盧銘法（1996）編製的四邊形概念測驗為工具，使用幾何性質和包含關係之概念測量「分析期」和「非形式演繹期」，透過模糊聚類分析法得到的結果指出有 51.43%的國小四年級學童為「分析期」，六年級學童中，有 29.30%左右的學童為「分析期」，62.10%的學童為「非形式演繹期」。Wu 和 Ma（2006）使用自編的吳氏幾何概念測驗調查國小學童，採 Usiskin（1982）的計分標準，結果 10.

(23) 顯示四、五和六年級的學童有 53.2%、60.9%和 57.9%為「分析期」，並且五、六年級的學童分別有 15.6%和 24.5%為「非形式演繹期」。上述研究可能受到研究對象、測驗設計與計分方式等影響，致使結果不完全一致，不過仍可發現國小四、五和六年級的學童多數是「分析期」，已具備達到「非形式演繹期」的能力，有機會形成四邊形包含關係概念。特定幾何概念的研究之中，大部分是透過紙筆測驗或訪談的方式進行圖形描述作業和圖形分類作業來瞭解學童的幾何概念情形。作業的作答方式上，前者是請學生描述對某一圖形認識，研究者詢問的問題，例如：「你怎麼知道這是○○○ （圖形名稱）」或是「○○○是什麼？」的問句；後者則是請學童將十多張的圖卡作分類，並且寫出或說出分類的依據（石宛臻，2004；張英傑，2001；許歆宜， 2005；陳晚蓁、楊德清，2002；謝貞秀、張英傑，2003；Fujita, 2012; Matsuo & Silfverberg, 2008）。根據過去文獻的討論，研究者整理出學童在兩種作業上的表現，主要受到原型（prototype）的影響，另一原因是學童對幾何性質的理解。研究者依照學童的表現，分別描述國小中低年級和國小高年級以上學生的表現。首先，國小中低年級的學童多半只能說出較明顯的圖形特徵，無法使用幾何性質來說明圖形，例如，對正方形的描述是「正正方方」、「四邊一樣長」，非不是「四角直角」和「四邊等長」的用語。在圖形分類的表現上，將近 40%的學童有出現分類錯誤的情形，例如菱形和三角形視為一類，或是將直角三角形和長方形放在同一類（謝貞秀、張英傑，2003；張英傑，2001）。其次，國小高年級以上的學生之中，約有三分之一到一半的學生可圖形的數學定義，例如「長方形是四角直角的四邊形」；在圖形分類錯誤的情形減少，長方形降至 20%左右、菱形和平行四邊形則不到 10%（石宛臻，2004；許歆宜，2005；吳昭容，2004；陳晚蓁、楊德清，2002；Fujita, 2012）。值得注意的是「可說出定 11.

(24) 義」不意味「可理解圖形的包含關係」，原因是學童不會按照圖形類別間的關係進行分類。實徵研究只發現約 40.5%到 84%的國小五年級的學童不知道正方形是長方形的一種；正方形、長方形、菱形都是平行四邊形的一種；正方形是菱形的一種，顯示學童沒有圖形類別間的包含關係，而是將各種圖形視為獨立（石宛臻，2004；吳昭容，2004；許歆宜，2005；謝貞秀、張英傑，2003）。中學生也將近有 70%和 65%的學生無法理解長方形和平行四邊形各自的包含關係（陳晚蓁、楊德清，2002； Fujita, 2012）。有學者認為上述情形表示學童無法應用定義於圖形分類作業上，顯示學童並非理解圖形概念，僅是背誦定義（許歆宜，2005；Fujita, 2012）。綜合本節文獻回顧有兩個重要發現，適合建立四邊形包含關係概念的對象上，幾何思考層次的研究大致指向國小中、高年級的學童已具備形成包含關係的能力；相對於此結論，特定幾何概念的研究則是認為中年級和高年級學童的幾何概念理解程度有差異。研究者認為國小高年級學童較不會出現錯誤分類的情形，顯示幾何概念理解較佳，較有機會建立四邊形包含關係。其次，學童在圖形描述與圖形分類兩作業上的表現不全然一致。國小中低年級的學童在兩作業的表現均差，不僅無法說出圖形的重要性質，在分類時也會出現錯誤；國小高年級和國中學生在兩作業上的表現不一致，知道正確的定義，不會錯誤分類圖形，但是無法按照包含關係分類圖形。研究者認為此現象顯示，如欲瞭解學童的幾何概念，則必須同時蒐集兩類作業的資料，才可對學童的幾何概念狀態有較全面性、不偏頗的理解。三、概念的意涵對事物進行分類是人類組織經驗、形成概念的重要方式。學者們表示一個類別的概念可分為內涵性（intention）和外延性（extension）兩部分，前者指可歸類為該類別的共同屬性，後者指概念可包含的範圍，亦即符合該類別的案例（吳貞祥，1986；Rosser, 1994）。案例依照是否符合概念的所有屬性，可分為「正例」（positive 12.

(25) instance）和「非例」（negative instance）兩類，並分別對應語言學習時，會出現的外延性錯誤。正例指該案例符合概念的所有屬性；反之，不完全符合時，則為非例（Wilson, 1986）。語言學習時有兩種外延性錯誤情形，低度外延（underextension）是指錯誤排除正例，例如，只將「狗」用來指稱家裡的狗，排除其他可以被稱為狗的動物；過度外延（overextension）則是指接受非例，例如，把所有像圓形的物品都稱為「球」，像是月亮、蘋果等（Rosser, 1994）。研究者認為，過去的研究採各種作業方式蒐集學童的行為表現，這些資料均可對應於概念的內涵性或外延性。在幾何概念中，內涵性指學童對圖形類別的特徵描述或定義，外延性則是學童選擇符合概念類別的圖卡，或者對圖卡進行命名。以長方形分類作業為例，概念內涵性有四角直角，由於長方形和正方形圖卡符合「四角直角」的共同屬性，故為長方形的「正例」；梯形、平行四邊形和菱形等圖卡不符合「四角直角」的共同屬性，則是長方形的「非例」。假如學童分類時排除正方形圖卡，則稱此情形為低度外延；當學童納入梯形、平行四邊形或菱形的圖卡時，則稱為過度外延。故研究者認為從概念外延性和內涵性的觀點詮釋學童的表現有助於理解背後的認知歷程。過去研究指出學童幾何概念的理解深受原型之影響，原因是對各種圖形的既有印象停留在最常見的案例，亦即典型正例（陳晚蓁、楊德清，2002；謝貞秀、張英傑，2003；Fujita, 2012）。研究者以下分別論述原型如何影響概念的外延性和內涵性。原型的影響一方面是在概念外延性上，學童出現低度外延和過度外延兩種錯誤類型。前者是指學童對各種圖形的印象均停留在原型。以長方形分類作業為例，長方形的原型是. ，正方形則是. ，所以無法將正方形視為長方形，難形成圖. 形類別的包含關係（石宛臻，2004；許歆宜，2005；陳晚蓁、楊德清，2002；謝貞秀、張英傑，2003；Fujita, 2012）。後者是學童對圖形的理解是原型之外，且只 13.

(26) 會依照圖形部分特徵或大小做分類。例如，長方形原型是四邊形）在知覺特徵上和. ，因為. （平行. 比較相似，均是長長的，所以錯認平行四邊形是長. 方形（謝貞秀、張英傑，2003；Fujita, 2012）。另一方面是在內涵性上，學童仰賴視知覺或是圖形心像來描述圖形，故出現錯誤的定義內容，例如「長方形是兩邊很長，兩邊很短」。此情形即便是在學童已學習圖形定義之後，也未能獲得改善。原因是當學童比較圖形關係、思考圖形屬性時，依舊將圖形類別之間視為對立而非包含關係，以平行四邊形和長方形的關係為例，學童用來比較的心像是有兩對，四個角不為直角，. 和. ，想法是：「因為. 兩個邊平行且. 兩個平行且有兩對，四個角為直角」，最後得出平. 行四邊形不包含長方形的結論（許歆宜，2005；陳晚蓁、楊德清，2002）。Fujita （2012）的研究結果同樣也支持此推論，該研究透過比較國中九年級學生在平行四邊形的定義、圖卡選擇和屬性描述三種作業上的表現，發現學生在圖卡選擇和屬性描述兩作業的表現一致性達顯著水準（r = .79，p < .01），顯示學生所說的屬性描述與. 較相符。. 嚴格說來，內涵性與定義仍有差別，內涵性是列出概念的所有共同屬性，然而定義是指能和其他概念區別的關鍵屬性（吳貞祥，1986；De Villiers, 1994）。以「長方形」為例，它的定義內容只有「四角直角的四邊形」，不過從內涵性而言，則是「兩組對邊平行、四角直角、四個線段所圍成的封閉圖形」，可知定義只包含必要的關鍵屬性，並以更精簡的方式來表示圖形概念。關於圖形定義的分析方面， Fujita（2012）分析平行四邊形定義時，根據原型對概念的影響程度大至小分為四個層次，依序是：（1）錯誤定義；（2）包含原型心像（錯誤屬性），例如斜的長方形；（3）包含原型心像和必要屬性──兩組對邊平行且斜的；（4）定義正確。Matsuo 和 Silfverberg（2008）則是更細緻地依照定義的充分必要屬性、上層概念的關係以及精簡程度，分成七個層次，依序是：（1）定義錯誤；（2）非充分的屬性；（3） 14.

(27) 充分屬性，但有錯誤的屬性；（4）充分、正確的屬性，但是非最精簡；（5）充分、正確的屬性、但未與上層概念連結；（6）充分、正確的屬性、與上層概念連結、但非最精簡（7）形式正確、與上層概念連結且最精簡。相對於前述定義分析的研究，有些研究是以內涵性的觀點分析學生對圖形的理解，不要求學童的口語描述一定是精簡的形式。例如，石宛臻（2004）和許歆宜（2005）所採定的方式是內涵性包含必要屬性，並且沒有錯誤的屬性時，才被視為正確。以長方形為例，A 學童說「四角直角、兩雙對邊平行」，B 同學說「四角直角、一邊長一邊短」，在此判準之下，「四角直角」為長方形的必要屬性，另外「兩組對邊平行」是長方形的屬性，不過「一邊長一邊短」是受原型影響產生的錯誤屬性，所以 A 同學正確，B 同學錯誤。. 第二節概念改變的理論與相關研究概念改變的研究始於 1970 年代，至今已超過四十年，主要研究內容是特定主題或領域知識中，概念如何經過學習和發展產生改變，特別聚焦於解釋學生學習更精深或違反直覺這一類概念時的困難。研究內容起初侷限在自然科學的領域範圍，近年來也開始在其他領域，如數學、歷史、心理和醫藥等領域中引起關注（Duit & Treagust, 2003; Treagust & Duit, 2008; Vosniadou, Vamvakoussi, & Skopeliti, 2008）。由於概念改變的議題廣泛，本節僅回顧概念改變的意涵、概念改變的理論以及促使概念改變的反例實徵研究。一、概念改變的意涵概念改變（conceptual change）是指將既有概念再重新建構，提升其功能性，以求更可解決問題（Duit & Treagust, 2003）。兒童在概念改變前，已發展出一套解釋架構來解釋外界的現象和刺激，不過這些想法和學界的觀點，即科學概念不一致，因此以迷思概念（misconceptions）、另有架構（alternative frameworks）、兒童科學（children’s science）或自發知識（spontaneous knowledge）等名詞稱呼之（許 15.

(28) 榮富、楊文金、洪振方，1990；Glynn, Yeany, & Britton, 1991/1996）。隨著兒童的認知發展和對環境的適應，概念會朝向與科學概念較一致的方向做改變。迷思概念具有一些特性，例如個人化的觀點──與一般科學知識不同、個人的想法之間並不連貫以及想法穩定，不易改變（Driver, Guesne, & Tiberghien, 1985）。關於迷思概念產生的因素有很多，可能是來自日常生活的經驗、正式或非正式的教學又或者是對字義的聯想或混淆等（吳貞祥，1986，陳啟明、陳瓊森， 1992；謝貞秀、張英傑，2003）。過去學者使用各種理論架構探究學生迷思概念的形成以及概念改變如何發生，研究者在此主要回顧三個概念改變的重要理論，瞭解迷思概念轉為科學概念的歷程，依序是 Piaget 的認知學習論、Posner、Strike、Hewson 與 Gertzog（1982）提出的概念改變模式以及 Lawson、 Abraham 和 Renner（1989）的學習環，並且討論促使學生改變概念的因素。二、概念改變理論（一）Piaget 認知學習論 Piaget 從生物學的觀點詮釋人類的認知發展，認為人類和所有的生物相同，最重要的課題是瞭解如何適應（adaptation）環境。在適應環境的過程中，個人透過與外在環境的互動獲取經驗、改變行為，此歷程即是學習，故透過該理論可知道學習的行為與歷程（張春興、林清山， 1989 ； Donaldson, 1978/1996; Miller, 2002/2008）。每一種生物都希望達到與環境之間的平衡（equilibration）狀態，並會試圖產生滿足環境要求的行為。個體與環境的互動方式通常是有組織的行為模式，Piaget 稱這一類的行為模式為認知結構（cognitive structure）。假如個體的行為滿足環境的要求，個體與環境的關係會保持在平衡狀態，個體不需要學習新的行為、改變認知結構。反之，假如個體行為無法滿足環境要求時，此時個體與環境則是處在 16.

(29) 失衡的狀態，為求恢復平衡，個體便必須要學習新的行為，以適應環境的要求。個體適應環境的歷程可分為兩種：同化（assimilation）與調適（accommodation），兩者相輔相成，形成個體的認知學習歷程。同化指將新經驗納入既有的認知結構，以原先的行為方式適應環境的新要求。但是，當新經驗無法納入認知結構時，便需要改變認知結構，以符合環境的要求，此歷程稱為調適。（張春興、林清山，1989； Miller, 2002/2008）。 Piaget 晚年時對自己的理論進行修正，他提出了一個與平衡有關的重要概念─ ─矛盾（contradiction），並且從他對平衡和學習的觀點之中，可以知道矛盾對於平衡的重要性（Donaldson, 1978/1996; Miller, 2002/2008）。Piaget 認為直接教授知識的方式並無法使學童的認知成長，認知成長必須是學童主動建構與自我調適才可能發生。不過，他同意如果採用教學方式可以使學生感到驚訝或促使他們意識到矛盾的存在，那麼這樣的教學方式是有利於學童的發展。因為這一類的經驗可使學童知道需要進行認知適應以求再次達到平衡狀態（Donaldson, 1978/1996）。在 Piaget 的實徵研究中進一步發現學童對於矛盾的瞭解程度可分為三個階段：（1）學童並未覺察矛盾的存在；（2）學童開始對矛盾的狀況有些覺察，不過所想出的解決方式並不能提供滿意的答案；（3）學童可以解決矛盾，並且藉由創造出新結構來重新回到平衡狀態，此情形大致出現在十一或十二歲時候（Miller, 2002/2008）。（二）Posner 等人的概念改變模式概念改變模式（conceptual change model, CCM）是科學教育中最廣為人知的理論，且後續也被應用於課室教學上（Duit & Treagust, 2003）。Posner 等人（1982）認為概念必須要滿足四個條件，才可能發生調適，改變概念，條件是：（1）對現存概念感到不滿意：除非個體相信概念的功能減少，否則學童並不容易改變原有的概念。而在概念調適發生之前，個體會面臨許多的疑惑和異例，並且不相信既 17.

(30) 有概念可以解決這些問題；（2）新概念必須是可理解的：個體要能夠充分經驗到新的概念，並理解其意，例如作家時常透過類比和隱喻的方式連繫舊概念和可理解的新概念；（3）新概念必須是合理的：新概念較能夠解決問題，並且和舊概念有關的相關知識一致、不衝突；（4）新概念可以帶來更有例的研究方案：例如有潛力去拓展、開啟新的疑問。換言之，當新概念比現存概念更具功能性，更適合做為解釋外界事物的架構時，學生便會接受新概念。概念生態（conceptual ecology）是個體本身的所有想法和信念，會連帶影響選擇的新概念，研究者整理了四點概念生態的特徵，包含：（1）異例（anomalies）：過去概念難以無法解釋的案例；（2）類比和隱喻：使新概念是可理解的；（3）認識論以及形上學的信念和觀點，個體本身的哲學觀以及對特定學科的看法；（4）其他知識：例如其他的領域知識或競爭概念（邱美虹，2000；Posner et al., 1982）。其中，異例是引發對既有概念感到不滿足的原因之一，Posner 等人（1982）進一步指出有四種情境可使異例有效：（1）當學生了解為什麼實驗發現是一個異例；（2）學生相信有必要整合異例和既有概念；（3）學生願意減少信念之間的不一致；（4）當無法將新概念同化到既有概念。目前實徵研究指出與傳統教學方式相比，根據概念改變條件所設計的課程研究更助於提升國中生的概念理解。蘇育男和徐順益（2009）針對八年級的溫度與熱單元設計教學模式，並發現學生的迷思概念可轉變為科學概念，例如「學生原本將熱視為是一種物質，明顯的轉變為將熱視為是一種能量」（引自頁 55）；盧秀琴和黃麗燕（2007）針對國中細胞課程的教學研究結果指出學生對葉子的概念從「葉子是組織」轉為「葉子是組織組成的器官」。（三）學習環教學模式學習環教學模式的發展始於 1950 和 60 年代，目的是為了改進美國的科學課程所提出的科學教學模式。最初形式是「探索─發明─發現」，而到了 1980 年代，由於強調學生主動建構的觀點，教師的功能是引介術語，並不是引介概念，概念 18.

(31) 必須由學童自己發明，因此 Lawson 等學者將三階段改稱為「探索─術語介紹─概念應用」，並且普遍受到認同與採用（許育彰，2012；許榮富、楊文金、洪振方， 1990；Lawson, Abraham, & Renner, 1989）。 Lawson 等人（1989）認為概念形成與概念改變具有共同一般化的模式，概念形成與概念改變應該被視為概念狀態的兩端點，並稱之為「假設─演繹推理模式」，該歷程指出當面臨到一個新的現象時，必須要歸納出一些新現象的線索以及從過去的經驗進行思考，提出假設來解釋新現象。為了測試假設是否成真，必須透過試驗情境進行預測，再將預測結果與真實情境比較，最後推論出假設被支持或是與事實矛盾。反駁迷思概念和確立其他假設的成立等均是學習環的優勢，學生透過「假設─ 演繹推理模式」可驗證迷思概念是否為真，並且該模式也可用於提出其他足以反駁迷思概念的假設。學生在此過程中發現、試驗迷思概念也可增進自身的推理能力（Lawson et al., 1989）。相關研究發現，與傳統教學相比，學習環教學模式較能提升國中學生的學習成效。林達森（2011）指出 62%的學生認為與傳統教學方式相比，學習環教學模式中的「概念應用階段」最能幫助他們的學習。Dogru-Atay 和 Tekkaya（2008）分析學生經過細胞學習環的教學模式後的成績，發現教學模式、邏輯思考能力以及學習方式對分數的影響均達顯著，顯示學習環有助於學生的學習，並且學生本身的邏輯思考能力和學習方式同樣也會影響最後的學習成效。綜合上述理論可以發現共同指出了認知衝突的發生情境和，Piaget 提出矛盾概念、Posner 等人在概念改變條件之一是對現存概念感到不滿意以及 Lawson 等人的假設─演繹推理模式中假設的預測與現實矛盾，拒絕假設等均指出當學生發現既有概念與現實之間產生矛盾時，便會產生認知衝突，促使概念改變。其中，異例常是科學教學中引發學生認知衝突的策略（邱美虹，2000），數學教學常使案例進行教學，其中的反例（counter-example）其功用與異例類似。反例是指反駁既有概念， 19.

(32) 被視為數學證明、辯證以及發展理論等方面的重要關鍵（Lakatos, 1976; Wilson, 1990），研究者認為採用反例一詞較能夠凸顯這類案例的功用，因此後續統一以反例稱之。三、以反例促使學童改變幾何包含關係概念的相關研究目前國內外幾何包含關係概念改變的研究中，「反例」大部分被使用在教學研究（何敏華，2005；李俊儀、袁媛，2004；袁媛、楊子賢，2012；張炳煌，2003；謝金助、張英傑，2003；Leung, 2008）以及認知實驗研究（吳昭容，2004；石宛臻，2004；許歆宜，2005；Erez & Yerushalmy, 2006）中作為引發認知衝突，改變概念之工具。由於學生的幾何概念大部分是低度外延的錯誤類型，也就是排除正例，例如不將正方形視為長方形的一種、長方形不是平行四邊形的一種的情形，因此學者們可以將被排除的正例當作是反例，用來反駁學生低度外延的概念，試圖重新建立圖形間的關係。教學研究中引發概念改變的方式，通常是引發學生在視知覺層面與認知層面兩者的衝突，其中使用數位化工具的情形相當普遍。在研究設計上，有些採直接教學、有些則是操弄圖形，另外有參考文氏圖的架構設計活動（李俊儀、袁媛， 2004；袁媛、楊子賢，2012；張炳煌，2003；謝金助、張英傑，2003；Leung, 2008）。首先，以反例進行教學的方式，例如，Leung（2008）教菱形概念的方式是同時呈現五個不同角度的菱形在數位白板上，其中也包含直角的菱形，可用以反駁正方形不是菱形的既有概念，以及使學童瞭解菱形的必要屬性是四邊等長；接著，再將菱形又轉九十度，並且同時呈現兩個對邊不同長度的平行四邊形，反駁菱形不是一種平行四邊形既有概念。而該研究結果也顯示了學童於教學後的後測及延後測（間隔一週後）的表現明顯優於教學前的前測表現。其次，透過操弄實體或虛擬圖形是引發學生認知衝突的重要方式（李俊儀、袁媛，2004；袁媛、楊子賢，2012；張炳煌，2003；謝金助、張英傑，2003）。操 20.

(33) 弄實體的方式，以張炳煌（2003）的四邊形視覺活動為例，研究者請學生用所選擇的長方形圖卡和他準備的長方形圖卡，分別拼看看是否都能拼出大的長方形。當學生將平行四邊形或梯形的圖卡視為長方形時，便不可能拼出大的長方形，研究者也請學童針對拼圖結果進行解釋和討論。虛擬圖形採由電腦輔助軟體呈現，在研究設計上，有些直接呈現問題，有些則是教師引導。前者例如，袁媛和楊子賢（2012）設計在電腦畫面上同時呈現問題和動態圖形，畫面上方是問題「根據圖形上對角線的關係，菱形是平行四邊形的一種嗎？」，畫面下方則動態的菱形，學生也可以操弄動態圖形，目的是使學生去觀察圖形對角線和角的部分，反駁菱形不是一種平行四邊形的概念。後者例如，謝金助（2003）請學生利用軟體模擬長方形的圖例，中途穿插問題引導學生思考，引發認知衝突，一開始詢問學生：「長方形的角度是否有改變？」，接著提問：「正方形是不是長方形的一種？」的問題，最後請學童嘗試是否可能出現正方形的圖形。最後，透過文氏圖的呈現方式也可引發認知衝突，何敏華（2005）設計的教學活動是請學生必須將圖卡分類到所屬圖形的圖圈內，可將圓圈命名為○○形或非 ○○形。圓圈是按照文氏圖的型態，故意設計有重疊的部分（交集），使學生必須知道圓圈交集的部分可放哪些圖卡，所以會針對「長方形也是平行四邊形」的一種的類似問題進行討論。教師主要在旁觀察學生的討論，必要時介入澄清、引導。上述的教學研究至少需要兩節課到八節課的教學時間，並且透過學生的幾何概念改變情形可知，整體而言，教學效果優於傳統教學。認知實驗研究主要是採取個別訪談的方式，呈現幾何圖形的正、反例，再加上固定的提問，從學童的回應內容來瞭解其概念的轉變歷程（吳昭容，2004；石宛臻，2004；許歆宜，2005；Erez & Yerushalmy, 2006）。吳昭容及其研究生（吳昭容，2004；石宛臻，2004）呈現圖卡的方式是先典型正例的圖卡，之後逐一呈現反例的圖卡，並在呈現每一個反例時都告訴學童：「這個圖卡也可以歸類為○○形 21.

(34) 喔！」，例如呈現正方形圖卡並告訴學童：「這個圖卡也可以歸類為長方形喔！」，反駁正方形不是長方形一種的概念。主試者在全部反例圖卡呈現後，會詢問學童「你覺得這些圖形有什麼共同的特點呢？還有發現哪些共同特點呢？」用以瞭解學童的想法。許歆宜（2005）後續修改石宛臻（2004）施測方式，將圖卡安排為一個正例、兩個反例的方式穿插，並增加了對學童的鼓勵和詢問，「請學童想看看為什麼圖卡可以歸類為○○形？」，減低學童對反例的疑惑，並增進嘗試思考的動機。Erez 和 Yerushalmy（2006）主要關注學童是否可瞭解操弄虛擬圖形所代表的意義，是否能引發學童的認知衝突。主試者請學童在不改變現有圖例所有條件的情境下，嘗試操弄出另一種圖例，並且穿插訪談瞭解學生的想法，例如「畫面上已有的（正方形）圖案是什麼？」、「正方形和菱形的差別？」和「你是否可以從這個圖案創造出一個長方形？你如何做到？」等問題。認知研究結果指出學生在長方形、平行四邊形等圖形概念的概念外延性都有一定的改善，並可維持到延後測（一個月），並且對學童詢問的設計方式更有助於提升概念內涵性的改善，不過同時也發現了學童在概念改變之後，反而會出現原先未有的概念過度外延情形（吳昭容，2004；石宛臻，2004；許歆宜，2005）。研究者認為關於反例的功效，相較於概念內涵性的部分，反例較有助於概念外延性方面的改善。概念內涵性的改善則是因為對學童的詢問符合 Posner 等人提出異例促使對既有概念不滿足的條件，因而提升反例的效果。至於過度外延情形的出現，可能與圖卡的設計有關（石宛臻，2004；許歆宜 2004），圖卡安排方面已符合 Peled 和 Zaslavsky（1997）的觀點，採用一系列多個反例呈現的方式。圖卡設計的問提示只包含正例和反例的圖卡，缺少非例的圖卡，導致學童只知道「歸類為○○形的條件」，不知道「不可歸類為○○形的條件」的情形。故，如果增加非例的圖卡，可以避免類似的情形發生。綜合上述所回顧的兩種幾何概念改變的研究方式，研究者認為教學研究（何 22.

(35) 敏華，2005；李俊儀、袁媛，2004；袁媛、楊子賢，2012；張炳煌，2003；謝金助、張英傑，2003；Erez & Yerushalmy, 2006; Leung, 2008）的優點是，提供學生不同於傳統課室教學的方式，也嘗試結合數位工具，有助於將幾何視覺化，協助學生學習。缺點則是較無法釐清反例的有效性，因為在教學研究中除了使用反例之外，也包含了教師的教學引導、同儕討論和數位工具的使用等等，這些均可能是影響學生改變幾何概念的因素。關於教學研究的設計，大部分是採數個教學活動組成，反例有時僅是教學活動的一部分，例如，何敏華（2005）的遊戲中，反例只出現在活動後期的學生自由探索階段；李俊儀和袁媛（2004）則將反例當作教學一開始，引導學生學習方向的階段；張炳煌（2003）除了使用反例之外，也使用類比教學法進行包含關係的教學。數位工具可幫助幾何概念的學習，不過實徵研究結果的提醒是數位工具並不適用於所有的學生。其理由是學生同時需要學習數位工具的使用以及幾何概念時，反而會造成學生本身的負荷過大，再者數位化的教學安排若有不慎，也容易導致學生有分心的情形（李俊儀、袁媛，2004；袁媛、楊子賢，2012）。認知實驗的研究方法（吳昭容，2004；石宛臻，2004）的優點是將不可控制的因素降到最低，只採用反例來進行概念改變的研究，可以較清楚知道反例的有效性，缺點則是僅適用於個別施測，不適用於教學，因為過程中需等待學生自發性回應、思考和改變概念，相對於而言較為耗時。研究者認為如欲進一步了解幾何包含關係概念改變的認知歷程，並且探討反例的有效性，採取認知實驗研究的方法是較適當的做法。四、學童幾何包含關係概念改變的歷程發現根據 Hashweh（1988）的概念改變研究類型分類幾何包含關係的實徵研究，可發現以「描述性研究」──辨認和描述學童的既有的幾何概念和「促使概念改變的研究」──使用各種方式改變學童的幾何概念，為多數（李俊儀、袁媛，2004；袁媛、楊子賢，2012；謝金助、張英傑，2003; Leung, 2008）。僅少數幾篇研究是 23.

(36) 「解釋性研究」──解釋幾何概念的穩定和改變歷程（何敏華，2005；許歆宜， 2005；Erez & Yerushalmy, 2006）。解釋性研究的重要是可連結另外兩類研究的發現，並解釋背後的認知歷程。 Hashweh（1986）認為解釋性研究通常是解釋既有概念的堅持性（persistence of preconceptions）、獲得新概念（the acquisition. of new conceptions）和認知重建. （cognitive restructuring）等面向，研究者以下說明目前幾何概念改變發現，再對應這三個面向。何敏華（2005）整理四位學生在教學活動中的行為表現，可以發現學生有些概念改變成功，有些概念改變失敗。前者，例如，學習到「長方形也是平行四邊形的一種」，其歷程性反應是「小清：我的卡都沒有放錯，但是在 C 中的黑色長方形（圖卡）放錯了，長方形也是平行四邊形，因為兩邊垂直、平行，有兩組對邊相等，所以它可以進階到這層（E），不一定要放在 C 中」（引自頁 7）。後者例如，學童仍然維持「正方形不是長方形」的迷思，其歷程性反應是「老師：你們確定這樣改都是對的？小文：對啊！正方形是菱形，可是不是長方形」。 Erez 和 Yerushalmy（2006）發現概念改變歷程可分為三種，（1）概念心像正確，可以知道全部圖形之間的包含關係，並可以說出四邊形的必要屬性；（2）概念心像受原型的影響，只知道部分圖形的包含關係，且無法發現圖形的必要屬性；（3）概念心像受原型的影響，只知道部分圖形的包含關係，不過透過操作幾何動態軟體所呈現的圖形，可發現概念心像與知覺上的矛盾和察覺圖形的必要屬性，並且產生困惑、認知衝突，回應的想法前後不一致。許歆宜（2005）認為學童概念改變方式可根據學童是否出現「接受反例，將反例圖卡歸類在符合的圖形類別中」、「以共同屬性解釋」的行為表現，分成三種主要反應，依序是「否認反例」、「以類別為基礎的類化」以及「共同屬性的歸納」。「否認反例」是指學童無法接受反例，改變概念外延性兩者；「以類別為基礎的類 24.

(37) 化」則是學童只接受反例，改變概念外延性；「共同屬性的歸納」則是學童也改變了概念內涵性，並且是否「可找出關鍵屬性」和其他行為，最後對應「概念改變失敗」、「內涵性正確/外延性錯誤」、「內涵性錯誤/外延性正確」以及「概念改變正確」四種結果。綜合上述研究發現，研究者認為其發現多是在解釋新概念的獲得和認知重建這兩面向，解釋既有概念堅持性的研究較少。首先，新概念獲得的面向，主要是學童能藉由分析圖卡性質，調整圖形的包含關係（何敏華，2005；許歆宜，2005； Erez & Yerushalmy, 2006），許歆宜（2005）研究發現進一步將分析圖卡性質的歷程細分為「共同屬性歸納」和「有包含關係的關鍵性質」兩階段，學童可歸納出共同屬性，但是不一定能找到最關鍵的性質。其次，認知重建的面向，從概念改變結果，可知不單只可分為成功或失敗之外（何敏華，2005），還可分出有一類是概念正在改變的、處於不穩定狀態者（Erez & Yerushalmy, 2006），此結果也與 Piaget 的實徵研究類似（Miller, 2002/2008）。研究者認為許歆宜的「內涵性正確/外延性錯誤」和「內涵性錯誤/外延性正確」兩類同樣可視為概念正在改變中，不過在實驗結束時，尚未到達「概念改變成功」的層次。並且即使在概念改變成功的層次，仍會受到是否能調和與既有概念的不一致，而有精簡程度的差異。最後，關於既有概念的堅持性，目前僅有許歆宜的「接受反例，以類別為基礎的類化」的概念類似。Hashweh（1986）指出解釋既有概念的堅持性有助於理解概念改變的開始，既有概念之所以難以改變是因為已成為如同自動化程序性的知識，且透過同化策略，肯證偏誤或者合理化等方式維持想法。研究者認為分開蒐集學童接受反例和概念外延性的改變除了可凸顯學童是否願意放棄原有習慣的自動化思考方式之外，也可能有接受反例，但因推論成功，而不改變概念外延性之情形。五、影響幾何包含關係概念改變的因素雖然目前相關的理論與實徵研究尚無法直接回應有哪些因素影響幾何概念改 25.

(38) 變的歷程，不過針對可能影響的因素已有一些可參考的文獻。在實徵研究上，均指出幾何包含概念改變是否成功，需要考量到受試者的背景能力，其中一些研究提及受試者的幾何知識以及推理能力對概念改變的影響（何敏華，2005；吳昭容， 2004；李俊儀、袁媛，2004；許歆宜，2005；Erez & Yerushalmy, 2006; Leung, 2008），研究者以下分段回顧幾何知識和推理能力各自對概念改變的影響並論述。幾何知識對概念改變的影響是在反例的辨識、推理時的表現，以及概念改變的保留時間（何敏華，2005；吳昭容，2004；李俊儀、袁媛，2004）。何敏華（2005）指出學生常因為對圖形的定義以及性質有迷思，導致在幾何包含關係的判斷錯誤，例如，學生認為長方形的定義是長和寬不等長的長方形，所以不將正方形視為長方形的反例。李俊儀和袁媛（2004）認為學童對幾何概念理解不佳，例如內、外角和的概念等，會造成在幾何問題時推理的困難。吳昭容（2004）指出相較於五年級，對四邊形定義理解較不佳的三年級學童在長方形、平行四邊形等圖形的延後測表現與前測差不多。另外，有些教學研究的教學安排先從瞭解先備知識開始的方式也反映了幾何知識的重要性（袁媛、楊子賢，2012；謝金助、張英傑， 2003；Leung, 2008）推理能力對概念改變的影響則是在釐清圖形之間的關係（何敏華，2005；Erez & Yerushalmy, 2006; Leung, 2008），何敏華（2005）的教學活動發現中發現學生會以圖形條件的多寡來思考圖卡放在哪邊，例如小萱的策略是：「我都先從最外圍，先符合外圍項目，然後再朝兩個圈圈都有的，然後再看中間那一區，如果符合就放進去，這樣比較不容易出錯。」（引自頁 11）。Erez 和 Yerushalmy（2006）同樣也指出幾何邏輯能力差的學生不易理解數位工具改變圖形時的意義，舉例而言，學生無法釐清為什麼長方形圖例可以創造出正方形圖例，但是正方形圖例不可以創造出長方形圖例。Leung（2008）認為傳統教學方式的問題即是無助於提升學生的推理能力，因此他嘗試教導學生將各種圖形視為在同一線段上的不同位置，長 26.

(39) 方形再增加四邊等長的屬性便是正方形，長方形放寬四角直角的屬性則是平行四邊形等概念。從上述研究可知，幾何知識和推理能力對於幾何包含關係概念改變的影響似乎不同，然而都是概念改變時不可缺少的能力。許歆宜（2005）認為「共同屬性的歸納」是概念改變成功的重要關鍵，這隱含了同時需要幾何知識──可知道各種幾何圖形的屬性以及推理能力──可歸納出圖形相同之處才可能建立幾何包含關係的概念。從一些理論也可以發現支持幾何知識和推理能力兩者重要性的觀點。首先，幾何包含關係的建立可說是幾何領域中證明能力之發展（Tall et al., 2012; van Hiele, 1986），Lakatos 認為在反例出現的情境下，數學的臆測和證明是個體運用知識與理性（推理）總結反例產生的各種可能性之後所得出的結果（引自 Balacheff, 1991）。其次，學習環理論表示概念改變是一個假設─演繹的推理歷程（Lawson et al., 1989），該歷程也有學者以知識領域（幾何概念）和一般性策略（推理能力）兩者互動的角度，詮釋推理歷程的三階段：搜尋假設空間、測試假設和假設評估（Klahr & Dunbar, 1988）。綜合前述的回顧可確定幾何知識與推理能力兩者對幾何包含關係概念改變的重要性，不過目前對於幾何包含關係建立所需要的幾何知識以及需要何種推理能力尚無清楚的共識，因此研究者分別於第三節和第四節探討幾何包含關係建立所需的幾何知識與推理能力。. 第三節四邊形包含關係的幾何知識從上述文獻回顧推測幾何知識是影響幾何包含關係建立的重要因素之一，因此本節回顧國內外的幾何課程的教材設計和教學活動安排，以及相關的實徵研究，瞭解學習幾何包含關係之前所需要的幾何知識和幾和知識的測量方式。一、國內外幾何課程的目標、教材設計與課程安排不論國內、外，「幾何」已是數學課程中不可或缺的重要主題，全美數學教師協會（NCTM）以及我國九年一貫課程綱要均將「幾何」視為數學的五大主題之一 27.