第三章、 研究方法與理論分析
3.1. 序率水文模式理論
所謂時間序列是指一列隨時間變化且具有隨機性觀測之數據，且此數 據在時間的前後有相互關聯的性質，簡稱為時間序列。
序率水文模式乃利用統計將水文變量之水文特性與統計特性，以數學 加以描述而成。以歷史記錄流量為依據，建立序率水文模式，以合成或預 測未來河川之各種可能流量，其優點為可以合成長期距之可能流量資料，
用以進行水資源利用方案之規劃及風險、可靠度分析，時間序列流程，如 圖 3.1 所示。
由於序率流量的優點可以保有歷史流量的統計特性且可以考量流量資 料 可 能 存 在 之 不 確 定 性 ， 同 時 考 量 實 測 記 錄 資 料 不 足 ， 所 以 以 繁 衍 (generation)的方式推衍較長期之流量資料，以供模擬與優選分析之用。以下 就序率水文模式之建立與理論作深入的說明。
分析探討時間序列內在統計規律之方法就統稱為時間序列分析法。
ARIMA 模式係由 Box and Jenkins 於 1970 年所提出的時間序列隨機形成 之預測模式，一個完整的 ARIMA 模型使用以下三個工具來預測時間數列：
(1)自我迴歸(AR-autogressive terms)；(2)差分處理項(I-integrated)；(3)移動平 均項(MA-moving average terms)。經過這三個工具結合，即可建立一個完整 的 ARIMA 預測模式。茲分別說明如下：
(1) 自我迴歸模型AR(p)
在 p 階的自我迴歸過程中 AR(P)中，假定當期的觀測值 是由過去 P 期 的觀測值之加權平均及當期之隨機誤差項所產生而成。
AR(p)模型以下列數學式表示：
ε (3.1) (2) 移動平均模型MA(q)
在 q 階之移動平均過程中 MA(q)，每個觀測值 是由過去 q 期之隨機誤 差之加權平均所產生而成。
MA(q)模型以下列數學式表示：
ε ε ε ε (3.2) (3) 混合自我迴歸-移動平均模型 ARMA(p,q)
定態的隨機過程由於具有移動平均與自我迴歸兩種過程之特質，而不 能採用純粹的移 動平均模型或純粹的自我相關模型。必須合併成(p,q)階的 自我迴歸移動平均模型的混合模型，通常以 ARMA(p,q)來表示。
ARMA(p,q)模型以下列數學式來表示：
ε ε ε (3.3) (4) 差分項 (integrated term)
以上各模式皆應用在定態性時間數列上。所謂定態性資料代表，為一 時間數列其統計特性不隨時間之變化而改變。具體而言，定態性時間數列 乃是一個隨機過程的特殊現象，且此種隨機過程之統計特性例如平均值及 變異數，並不隨時間的變化而改變。實際上，通常碰到的時間數列往往是 非定態性的數列。對於此類非定態性的時間數列，通常對其採取連續差分
(5) 自我迴歸整合移動平均模式(ARIMA)
一非定態數列經 d 次差分後，即可產生定態的 ARMA 數列，稱之為「自 我迴歸整合移動平均模式」，簡稱謂 ARIMA(p,d,q)。
若一時間數列{ }為ARIMA，則對任意t可寫成
ε (3.4) 由於 ARIMA(p,d,q)所表示的形式過於廣泛，所以必先由樣本資料初步 認定模型，經由不斷的修正，再選擇最適當的模型來進行預測。根據 Box and Jenkins 的研究方法，在實證上要建立一個適當的模型，則必須要經過認定、
估計、診斷性檢查與預測等四個步驟。如圖 3.1 所示。
3.1.1
時間序列預測資料之驗證模式在繁衍流量上必須經過與原始流量之統計特性差異性的檢定，來 判定繁衍流量值是否與原始流量值具有相同統計特性。關於預測效益評估 模式及準則方法眾多，較常見的方法含平均絕對值誤差、平均百分比誤差 及平均平方根百分比誤差，以下為這些方法之計算方式：
1. 誤差平方和(sum of squares error, SSE)
(3.5) 其中：N：預測值數目， ：實際值， ：觀測值。
SSE的值越小，表示預測值與觀測值的離散程度小，模型較佳。
2. 平均誤差平方(mean square error,MSE)
(3.6) MSE的值越小，表示預測值與觀測值的離散程度小，模型較佳。
3. 平均絕對值誤差 (mean absolute error, MAE)
(3.7) 從MAE的大小，可以了解預測值與觀測值的差異程度。若評估準則的 值越接近原點，表示預測誤差越小，模型越佳。
4. 平均絕對誤差百分比 (mean absolute percentage error, MAPE)
(3.8) 一般而言，MAPE因為其分母為實際值，所代表為百分比，因此不會有 因數值之大小而產生比較基礎不穩固之問題，可以了解預測值與觀測值的 離散程度，評估預測準確度之準則，如表3.1所示。
5. 平均平方根百分比誤差(root mean square percentage error, RMSPE)
(3.9) 其評估準則與平均絕對值百分比誤差(MAPE)相同。
3.1.2
模式評鑑標準假設一組資料可以含有M個參數統計模式來擬合，Akaike 於1973 年以 一種模式做為判定準則，此準則被稱為AIC(Akaike's information criterion)。
(3.10)
：殘差數列。
M：為模式中參數個數。
n：為觀測值個數。
當模式之最適階次被選取，則M為p與q的函數使得AIC(M)為最小。
Shibata 於1976 年證明AIC準則會對階次趨向於高估的現象，故發展出一套
貝氏最小AIC過程稱為BIC(Bayesian information criterion)。本文以模擬中所 求得之BIC值最小選擇為最恰當之代表模式。BIC準則其模式如下：
ε
ε ε
(3.11)
式中
ε：為數列之樣本變異數。
ε：為 ε 最大概似估計值(殘差變異數)。
因同一場次數列樣本變異數與觀測值個數均固定，由(3.11)式中可知 BIC判定之準則為殘差變異數小，即擬合值較好，且模式中參數個數也同樣 要求不可太多，故此準則符合擬合精度之要求與參數精簡原則。