第三章、 研究方法與理論分析
3.2. 分配模式理論
3.2.3. B 矩陣之求法
將(3.12)式左右各乘以Y之轉置矩陣得：
YYT AXTT BεYT (3.23) 等式兩邊取期望值(expected value)則式可表為：
SYY E YYT ASXY BBT (3.24) BBT SYY ASXY (3.25) 上式中SYY、 ASXY為對稱矩陣(symmetric matrix)故亦為對稱矩陣，由於 此 對 稱 矩 陣 之 分 解 並 非 唯 一 ， 令 B 為 一 下 三 角 矩 陣 (lower triangular matrix)(Young，1968)如下：
(3.26)
m
bij Bij
bjkbik j 1 k 1
bjj i j 1 j 2 j 3 k m
j 2 3 4 k m 1 (3.33) 此法實際上就是Cholesky矩陣分解法，此分解法須對新的對角元素開平 方，也須除上新的對角元素，若BBT矩陣為不定矩陣(positive definite matrix) 時，可能出現負值開平方產生虛根，或bjj 0使得1 bij ∞的問題，因此 限定在當BBT矩陣為正定矩陣時，才可使用Cholesky矩陣分解法；因為BBT 矩 陣至 少為半 正定 矩陣 (positive semidefinite matrix) ， 因此 可改用 修 正 Cholesky矩陣分解法，其方法為：
令BBT G UTD2U，則B UTDT UTD，D2 0，因為D2為對角矩 陣，因此DT D，其運算通則可寫為：
uij
gij i 1ukidkk2 ukj k 1
dii2
i 1 2 j 1 (3.34)
djj2 gjj j 1k 1ukjdkk2 ukj (3.35)
3.2.4. 相關矩陣之計算
欲求知A、B矩陣，則需先求知X與Y之間各相關矩陣，SYY、SXX、SXY、SYX， 此必須由歷史記錄之旬流量(X)和日流量(Y)之相互關係去推求。若總記錄年 數為N，t為年別，則協變異數矩陣之不偏(unbiased)推定分別為：
SYY 1
N 1
yt1 yt2 M ytm
N
t 1 yt1 yt2 ytm (3.36)
SXX 1
(8) 將經轉換的序列做逆常態化、逆標準化。
(9) 計算各分配之流量序列之平均值、標準差、偏態係數。
(10) 重複 7 到 10 的動作 100 次，平均 8、9 所得之各參數及均方根與歷 史值比較。
3.3.
風險理論風險分析研究在近幾年之水資源工程廣泛且有相當程度的成功。水利 工程之風險來源甚多(顏本琦，1992)，本文在此僅考慮流量變化所致之缺水 問題。水資源規劃原則來看，水庫系統之評估指標必須能夠獲取缺水事件 之基本性質，如缺水發生頻率、延時及強度。本文根據 Hashimoto, et al.（1982）
利用可靠度、恢復度及脆弱度三種風險指標評估供水系統之特性。此三個 系統表現評估指標的值介於 0 到 1 之間。
3.3.1. 可靠度（reliability, α）
根據Vogel和Bolognese（1995）可靠度可視為系統在分析年間正常運作 的機率。本文中可靠度的概念為系統正常運作的機率。
reliability：α r (3.40) S：系統正常運作，即缺水率小於缺水容忍度。
因此，可靠度計算方式如下：
α 1 1
n ni 1I ζ (3.41) n：分析年間總日數。
I ζ ：當該天被視為可接受風險時I ζ 等於0，反之則I ζ 為1。
3.3.2. 恢復度（resiliency, β）
恢復度亦稱回復度或彈性度。Hashimoto, et al.（1982）建議恢復度可以 作為系統中從出現錯誤到恢復正常運作之機率。因此在供水系統中即可表 示由缺水轉為正常供水狀況的機率。
resiliency：β (3.42) F：系統出錯，及缺水率超過缺水容忍度。
按Jinno(1995)根據貝氏定理，上式可改寫為：
β P Xt F Xt 1 S
P Xt F (3.43) 其中分母部份，為計算P Xt F ，預先定義0-1判別式：
η i 1 當Xt F
0 當Xt F (3.44) 所以系統中發生缺水之機率為：
P Xt F 1
n ni 1η i (3.45) 故 ni 1η i 為系統總缺水天數TF。
而分子部份為計算P Xt F Xt 1 S ，亦先定義0-1判別式：
ζ i 1 當P Xt F Xt 1 S 時
0 其餘狀況時 (3.46) 所以系統中發生缺水而後一天轉為正常供水之機率為：
P Xt F Xt 1 S n 11 n 1i 1 ζ i (3.47) 若所有缺水事件始末皆在模擬期間內，則為總缺水次數NF。
根據(3.43)式可得知：
β P Xt F Xt 1 S
P Xt F
1
n 1 n 1i 1 ζ i
1 ni 1η i (3.48)
若分析以「日」為單位做長時間分析時，則：
3.3.3. 脆弱度（vulnerability, γ）
脆弱度又稱易損性、易致災性等。就工程角度而言，脆弱度表示災害 的特性，如規模與影響程度。在社會經濟、結構等領域則視為對於災害調 適與對應的能力。近日研究則是兩者共同結合考慮。
Hashimoto, et al.（1982）定義脆弱度為描述乾旱現象的嚴重性。通常以 缺水率作為表示。袁倫欽（2001）定義缺水率（deficit rate, DR）為某缺水 時期之總缺水量除上該時期總計畫供水量之百分比。
3.4.
研究區域本研究選定區域為石門水庫，集水區面積為 763.4 平方公里，滿水位標 高為 245 公尺。其集水區位於大漢溪，其庫區位於桃園境內，如圖 3.2 所示。
主要供應桃園台地及水庫下游灌溉用水，以及供給石門、龍潭、平鎮、大 湳供水區及板新供水區之公共給水，如圖 3.3 所示。
石門水庫除直接供應石門和桃園大圳之用水外，經下游河道沿途分配 於各農田水利會所需用水剩餘水量及側流量被攔蓄於鳶山堰，鳶山堰之蓄 存水除供應板新淨水廠及大湳淨水廠所需公共給水水量外，並放流供應鳶 山堰下游各灌區農業所需用水，如圖 3.4、圖 3.5 所示。
桃園地區自來水主要由四座淨水廠全天候處理及供應。整個淨水系統 大致可分為：大湳淨水廠、平鎮淨水廠、石門淨水廠及龍潭淨水廠。各標 的用水以生活用水、農業用水及工業用水三者為區分，但近年來臺灣地區 生活水平提高與工業或高科技科學園區不斷新設，民生及產業用水量明顯 上升，以致民生及產業用水轉向農業用水移用之情形日益普遍。
各標的用水說明如下：
1. 生活用水量：包含自來水供應量和自行取水量。
2. 農業用水量：包括灌溉、養殖及畜牧等總用水量。
3. 工業用水量：包含各式工業所使用之水量總和。
(一) 石門水庫
石門水庫位於大漢溪主流上，集水區域面積為 763.4 平方公里，水庫滿 水位標高 245 公尺，呆水位標高 195 公尺，大壩安全容許水位為 251 公尺。
原始總容積為 3.09 億立方公尺，民國 99 年 12 月量測有效容積剩餘 2 億 730 萬立方公尺。為一具有發電、灌溉、給水及防洪四大功能之水庫。如表 3.2 所示。
(二) 後池堰
後池堰位於石門水庫下游，集水面積為 3 平方公里，正常蓄水位標高 為 137 公尺，最高洪水位標高為 142.23 公尺，總蓄水量為 320 萬立方公尺，
計畫有效蓄水量為 220 萬立方公尺。主要之功能為洩洪時之消能作用，並 可做為調節發電與灌溉用水，使尖峰發電的水量得平均供給桃園大圳及下 游灌區等引用。
(三) 鳶山堰
鳶山堰位於大漢溪上，距石門水庫後池堰下游 19 公里，滿水位標高約 51.5 公尺，最低取水位標高 45.5 公尺，其調節池原有容量為 126 萬立方公 尺。目前因上游河道開採河床砂石材料之影響，有效庫容已增加至約 520 萬立方公尺(民國 86 年測量結果)。鳶山堰體南端設重力導水箱涵直接取水 供應板新淨水廠，其輸水容量為 100 萬 CMD，另於堰體北端設第二取水口，
以加壓方式倒送至大湳淨水廠，其輸水容量為 35 萬 CMD。
(四) 三峽堰
三峽堰位於大漢溪支流三峽河上，其主要功能為攔蓄三峽河河水以供 應板新淨水廠所需之原水。設計最大取水量為 60 萬 CMD，而現況水量為 40 萬 CMD。
(五) 分層取水工
為穩定供應桃園用水區民生用水與活化水庫之功能，北水局於石門水 庫庫區適當位置增設分層取水工增建三層緊急取水設施，其取水口高程分 別於標高 236、228、220 公尺處設置引水口引取原水，設計取水流量為 140 萬 CMD。石門水庫取水後，管線後段與石門大圳連接。此設施可視原水濁 度高程變化取水，除確保於颱風或豪雨期間仍能取得低濁度原水，穩定桃 園地區正常供水外，亦做為高濁度狀況取水用。
(六) 中庄調整池
中庄調整池位於鳶山堰上游左岸兩公里之中庄廢河道，總蓄水量 710 萬立方公尺，有效庫容 689.7 萬立方公尺。調蓄大漢溪剩餘水量。配合石門 水庫排砂操作，排砂期間鳶山堰水源濁度過高，可由中庄調整池供水。而 在石門水庫濁度抬升時，提供約 689.7 萬立方公尺的備用水量。供給大湳淨 水廠約 30 萬 CMD，板新淨水廠 50 萬 CMD，備援天數約 8 天。
(七) 石門淨水廠原水蓄水池
主要目的為在石門水庫濁度抬升時，提供約 50 萬立方公尺備用水量。
(八) 淨水廠
大漢溪流域淨水廠相關資料整理，其說明如下，如表 3.3 所示，淨水廠 處理能力，如表 3.4 所示：
1. 石門淨水廠
於石門大圳設置取水口取水，原水取自石門水庫，淨水廠設計處理容 量為 12 萬 CMD。
2. 平鎮淨水廠
先前由石門大圳設置取水口取水，原水取自石門水庫，現因平鎮第二 原水抽水站工程完工，亦可於後池堰設置加壓抽水設備取水，並由專管送 至淨水廠，淨水廠設計處理容量為 60 萬 CMD。
3. 龍潭淨水廠
於石門大圳設置取水口取水，原水取自石門水庫，淨水廠原設計處理 容量為每日 5 萬立方公尺。「石門水庫及其集水區整治計畫」完成後，處 理能力將提升至 19 萬 CMD。
4. 大湳淨水廠
於桃園大圳取水口取水，進水口設置在桃園大圳北岸，不足量再由鳶 山堰取水，以管路加壓輸送上限為 35 萬 CMD。當桃園大圳歲修或其農業
用水量不足時，則大湳淨水廠需求水量全自鳶山堰取水。淨水廠設計處理 容量為 30 萬 CMD，「石門水庫及其集水區整治計畫」完成後，處理能力 將提升至 45 萬 CMD。
5. 板新淨水廠
原水取自三峽堰及鳶山堰，抽取水量以專管送至淨水廠處理。三峽堰 取水專管，最大抽水量為 60 萬 CMD。從鳶山堰設置取水專管，最大輸水 量為每日 100 萬立方公尺。淨水廠設計處理容量為 120 萬 CMD。
3.5.
模式建立3.5.1.
模擬條件本研究假設石門水庫為單一水源利用，不考慮支流和側流之供水系統，
其中給水量為滿足需求水量之水庫放水量，而溢流量則為大於需求水量之 水庫放水量，缺水則為水庫實際供水量無法滿足需求水量。
本研究忽略蓄水滲漏損失，水庫放水量盡可能滿足需求水量，直至空 庫為止，除非滿庫溢流，亦不提供多於之水量。模擬單一水源利用之供水 系統水量運用時，其蓄水過程必須滿足平衡方程式，每一日結束之蓄水量 可計算如下：
e (3.53)
(3.54)
i i in
in in i in
(3.55)
式中，
T：日；
：入流量；
：總需求水量；
：農業用水；
：公共用水；
e：生態基流量；
：第t日之日初蓄水量；
：第t+1日之日初蓄水量；
in：水庫之最小蓄水容量；
：水庫之最大蓄水容量；
：缺水量；
：溢流量；
當 時，代表缺水，水庫會發生空庫；若 時，則水庫發 生溢流。
3.5.2.
模擬步驟本研究分析流程，茲說明如下：
1. 首先進行資料搜集及其前置處理，包括水庫入流量、目標需求水量、有 效蓄水庫容等。
一、 天然入流量
石門水庫流量資料長度：民國53年至99年。
二、 標的需求水量 (1). 公共用水需求量
公共用水為石門水庫系統現況旬供水能力平均。本研究採用民國 99 年
公共用水為石門水庫系統現況旬供水能力平均。本研究採用民國 99 年