第三章 應用方法與原理
3.2 影像量測方法
影像分析技術利用兩台攝影機拍攝二維影像建立其與三維空間的幾何關係，
此方法具有以下特點[10]：
(1) 此法不需將相機完全平行地放置在測量區域。此法利用數學幾何轉換參數來 刪除相機的透視效果。地震工程實驗周圍通常有許多實驗設備，使得可擺放相
機的位置相當有限。這種方法比起其他實驗設備更容易裝置。
(2) 本方法使用相機光學校正取得相機參數，消除光學扭曲，減少誤差。
(3) 本方法允許部分在量測區域和一台攝相機之間可視範圍間涵蓋不可避免的障 礙。此特性對於實驗環境具有其它不易移動裝置的情況下，相當具易用性。
(4) 此方法的量測精度不容易受到立體三角定位誤差的影響。在數個小時的實驗 時間，任何輕微的運動都可能引起立體三角量測誤差。本方法以平面投影方式，
(5) 實驗的照片必須在實驗開始前就開始拍攝。而整個實驗過程中必須維持完全 相同的相機設置來進行拍照。整個實驗過程中，相機不能被移動
整個影像分析方法中共有六個步驟，依序為 (1)選擇量測區域(2)拍攝校正影 像(3)相機校正(4)拍攝實驗照片(5)進行相機校正(6)控制點定位。
3.2.1 相機校正
相 機 校 正 指 的 是 求 取 攝 影 機 的 內 部 參 數 (intrinsic parameters) 與 外 部 參 數 (extrinsic parameters)的過程，攝影機內部參數可以用來描述攝影機座標(camera coordinates)與影像座標(image coordinates)之間的轉換關係。本研究中攝影機內部參 數包括：焦距、鏡頭投影中心成像在影像上的位置、鏡頭扭曲變形的參數。攝影機 的外部參數則是用來描述世界座標(world coordinates)與攝影機座標之間的轉換關 係，包含旋轉矩陣和平移矩陣，相機的外部參數和相機擺放位置有關，所以一旦相 機完成校正後，即不可再隨意移動相機位置，直到實驗完成。本研究中使用 Bouguet’s toolbox for camera calibration(BTCC)進行校正，BTCC 可以利用多張不同 的棋盤格相片得出一組最佳化的外部和內部參數。
空間有一點 P 在三維空間中，座標表示為
𝑋
𝑊
= [𝑥𝑤
𝑦𝑤
𝑧𝑤
]𝑇
(3.6)並且在相機座標系中，座標可表示為
𝑋
𝐶
= [𝑥𝑐
𝑦𝑐
𝑧𝑐
]𝑇
= ℛ𝑐
∙ 𝑋𝑊
+ 𝑇𝑐
(3.7)ℛ
𝑐
和𝑇𝑐
表示相機的相對位置和拍攝視野角度，可由外部參數得到。接著將𝑋𝐶
投影 至相機座標系統中Z=1的平面上，可以得到座標𝑋𝑁
𝑋
𝑁
= [𝑥𝑁
𝑦𝑁
]𝑇
= [𝑥 𝑧
𝑐𝑐
𝑦
𝑐𝑧
𝑐]𝑇
(3.8)最後將正規相機座標𝑋
𝑁
轉換到影像座標系統中，此兩座標之間的轉換為非線 性轉換，正規相機座標系統和影像座標系統的轉換關係可以看下式：𝑋
𝐼
= [𝑓𝑋
𝛼 ∙ 𝑓𝑋
𝐶𝑋
0 𝑓
𝑌
𝐶𝑌
] ∙ [(1 + 𝑘1
𝑟2
+ 𝑘2
𝑟4
+ 𝑘5
𝑟6
)𝑥𝑁
+ 2𝑘3
𝑥𝑁
𝑦𝑁
+ 𝑘1
(𝑟2
+ 2𝑥𝑁 2
) (1 + 𝑘1
𝑟2
+ 𝑘2
𝑟4
+ 𝑘5
𝑟6
)𝑦𝑁
+ 2𝑘4
𝑥𝑁
𝑦𝑁
+ 𝑘3
(𝑟2
+ 2𝑦𝑁 2
)1
]
r = √𝑥
𝑁 2
+ 𝑦𝑁 2
(3.9)3.2.2 控制點定位
此步驟目的是在於求出控制點在各個時間之下的三維座標，此方法是使用電 腦視覺方法中最常用的立體影像三角定位技術來找出每一個控制點的三維座標，
三角定位法主要是利用兩張以上的影像找出某點在空間中的三維座標，定位控制 點座標可以細分為兩個小步驟：
(1)首先必須先找到每個控制點在每張影像上的座標影像座標可以利用電腦視覺 訓練被準確地找到本研究是根據 Bouguet’s toolbox[20]中由 Harris 和 Stephens 等人提出演算法[21]來進行運算。
(2)下一個步驟就是利用三角定位法求得控制點在三維空間的世界座標，轉換控制 點影像座標到正規平面上的座標，可以藉由代入相機內部參數求解式(3.8)、
(3.9)得到，接著利用相機外部參數找到左右相機分別與其所對應正規化平面 上一點的連線，此兩條連線會交會於空間中的某點，此交點即可以視為該控制 點在空間中的三維座標。
3.2.3 控制點追蹤
要知道控制點在一定時間內的運動情形，除了知道控制點的座標，也必須確定 每一張影像中的控制點被準確的追蹤，本方法中使用一種影像追蹤技術，稱為模板 匹配(Template matching)的方法，模板匹配是以第一張影像中選取的控制點作為
似度最高的影像，以此來追蹤控制點在每張不同時間的影像。此方法中，定義了一 個相似度因子來判斷是否準確追蹤控制點：
𝑆
𝐼𝐽
= ∑ 𝐼𝑆𝑈𝐵
(𝑥𝑖
, 𝑦𝑗
) ∙ 𝐼𝑇
(𝑥𝑖
, 𝑦𝑗
)𝑓𝑜𝑟 𝑒𝑎𝑐ℎ 𝑝𝑖𝑥𝑒𝑙 (𝑥
𝑖,𝑦
𝑗)
/ (√ ∑ 𝐼𝑆𝑈𝐵
(𝑥𝑖
, 𝑦𝑗
)𝑓𝑜𝑟 𝑒𝑎𝑐ℎ 𝑝𝑖𝑥𝑒𝑙(𝑥
𝑖,𝑦
𝑗)
)
∙ √ ∑ 𝐼
𝑇
(𝑥𝑖
, 𝑦𝑗
)𝑓𝑜𝑟 𝑒𝑎𝑐ℎ 𝑝𝑖𝑥𝑒𝑙(𝑥
𝑖,𝑦
𝑗)
(3.10)
𝐼
𝑆𝑈𝐵
(𝑥𝑖
, 𝑦𝑗
)：子影像在欲搜尋的影像範圍內每個位置的像素值 𝐼𝑇
(𝑥𝑖
, 𝑦𝑗
)：模板影像每個位置的像素值當找到𝑆
𝐼𝐽
最大值時，即表示該位置就是被追蹤的控制點。使用模板匹配法的時候，必須注意搜尋範圍大小的選定，如果範圍過大或是過小都很有可能會追蹤到錯誤 的控制點。並且當追蹤控制點時，若是控制點受到外在環境影響，例如：外在光源 和控制點重合時，就很容易發生控制點抓取錯誤的情形，目前為了避免此情況發生，
在會發生抓取錯誤的區域附近改為用手動抓取。
影像量測時會在一開始量測時，就因為實際物體位置和三角定位的位置有誤 差，Figure 3-6 所示，而導致最後結果誤差放大，世界座標中物體位置的誤差和影 像的誤差之間的關係可以見下式：
𝑒
𝑧
(𝑢𝑛𝑖𝑡: 𝑚𝑚) ≒ (1 2
𝑒𝐼
) ⋅ 𝑡𝑎𝑛𝜃1
(3.11)又
𝑡𝑎𝑛𝜃
1
= 2𝐷 𝑇
(3.12) 所以式(3.13)可以寫成𝑒