第二章 文獻探討
2.5 從多目標問題的觀點
前述的方法均以階層式的目標排序解的好壞。2006 年的 Tan 等人 [11] 和 Ombuki 等人 [12]，皆認為 VRPTW 問題本來就是個多目標問題，因此他們決定 從多目標的觀點來嘗試解決這個問題。
2.5.1 發現兩個解題目標的衝突性
Tan 等人 [11] 直接把問題的兩個目標，當成同時都要最小化的目標。使用了 柏拉圖排序 (Pareto ranking) 來評定解的好壞。初始族群 (initial population) 是隨 機產生出一堆合法的解。針對交配則提出了新的鄰域函式：Route-exchange Crossover，會把兩個解中各自最好的路由做交換。突變則使用了三種鄰域函式，
有條件地選擇其一做突變。另外每 50 代還會從三種路由改善法中，隨機挑選其 一做區域搜尋，加快收斂的速度。
因為使用了多目標的觀點，他們發現在Solomon 的 C 類問題集，問題的兩個 目標會呈正相關；剩下的四類問題集，兩個目標是衝突的 (conflicting)。這也說 明了為何過去（包含現在）C 類的問題集皆屬於比較好解的問題。而剩下的四類 問題集，至今還是許多人努力的方向。
2.5.2 新的交配運算與解的表示法
Ombuki 等人 [12] 也使用了柏拉圖排序來評定解的好壞。並提出了另一種交 配鄰域函式：BCRC (Best cost route crossover) 來進行交配。此外，他們使用較不 一樣的解的表示法 (chromosome representation)，只使用了一串整數字串來表示一 個解。如此便需要另外設計編碼 (encoding) 和解碼 (decoding) 的流程，交配運 算的設計也會感覺較不直觀。
他們使用 Solomon 的問題集來實驗，並且和直接把兩個目標做權重和 (weighting sum) 的方法做比較。運算的結果不僅勝出權重和的方法，也更新了許 多當時的最佳解。他們的方法比起過去只能產生出單一解的方法，在實際使用上 提供使用者更多的選擇性。這也更顯示VRPTW 問題使用多目標的觀點，是個可 行的研究方向。
2.5.3 解的相似度指標和族群的發散程度
Garcia-Najera 和 Bullinaria [13] 也使用柏拉圖排序來評定解的好壞，但為了 使解的分布更加散開，增加搜尋的廣度，他們引用了 Jaccard 的相似度指標來計 算兩個解之間的相似度。在選擇親代 (parents) 時，一個親代會根據原始的柏拉 圖排序做選擇，另一個則選自和此親代相似度最低（差異最大）的解。
在世代保留機制上，除了原有的柏拉圖排序，剛剛的相似度指標也會納入考 量。最後他們發現了比 Tan 等人 [11] 更多的目標衝突。也引用兩個多目標最佳 化裡常用的效能指標：Hypervolume 和 Coverage 和現有的多目標演算法 NSGA-II 做比較，兩者結果皆表示他們的方法有顯著性的提升，而且族群的發散程度 (diversity) 衰減的比較緩和，證明了維持搜尋廣度的好處。
2.5.4 改善現有的交配和突變
許巍懷與蔣宗哲 [14] 改進了 Tan 等人的 Route-exchange Crossover [11]：「每 次做完交配後，子代 (offspring) 的車輛數會比親代的多一」。因為Route-exchange Crossover 是交換最好的路由，於是他們想刪去最差的路由，來修正此缺失。傳統 突變對於重新為客戶找到適合的插入點，常常因時窗限制而失敗。他們加進領域
他們把自己的柏拉圖前緣 (Pareto front) 和其他六個過去結果的比較表，完整 地呈現，方便未來研究使用。也和原本改進前的交配、突變鄰域函式進行交互測 試，證明他們的改進是有效果的。
2.5.5 考慮車輛載重的不平衡
和許多人單純選擇減少車輛數、減少總移動距離的目標相異，Baños 等人 [15]
更考慮了車輛載重的平衡度。藉由減少車輛載重的不平衡 (workload imbalance)，
希望能輔助其他兩個目標的最佳化。
他們定義了三個要最小化的目標：
1. 總移動距離 (travelling distance, TD)：即為原本題目中的一個目標。
2. 車輛移動距離的不平衡 (distance imbalance, DI)：
定義為 最長的車輛移動距離 減去 最短的車輛移動距離。
3. 車輛載重的不平衡 (load imbalance, LI)：
定義為 最重的車輛載重 減去 最輕的車輛載重。
他們把這些目標進行了組合測試，比較的兩個對象皆為現有的多目標演化演 算法 NSGA-II 和 SPEA2。發現 (TD, DI) 和 (TD, LI) 的目標組合皆可以達到較 好的 Hypervolume 和 Coverage，對於族群多目標的演化提供較為平均的分布。