本章分為三個部分。第一節「研究背景」介紹本研究問題的來源與處理時會 面臨的困境。第二節「問題定義」使用了數學式明確地定義出本研究想要解決的
「時窗限制車輛路由問題」。最後再以第三節「研究主軸」介紹本研究想做出的 改進，還有此研究與其他相關研究不同的特色。
1.1 研究背景
車輛路由問題 (Vehicle Routing Problem, VRP) 為作業研究和運輸管理中，很 重要的研究課題。此問題的延伸「時窗限制車輛路由問題 (Vehicle Routing Problem with Time Windows, VRPTW)」在原有的地理限制中，增添時間的限制，使得問題 的困難度大大地提升。此問題的生活實際應用有：宅急便貨物遞送、郵件遞送等。
傳統人工規劃未必可以求得不錯的解，而精確演算法 (exact algorithms) 面對 此NP-Complete 的問題，無法在有限時間內處理規模龐大的輸入。因此許多研究 轉向嘗試啟發式演算法，希望即使未能求得最佳解，也能得到不錯的解，以應付 現實需求。所能處理的問題規模，也可以有效地提升，更能擴展此問題的實用性。
1.2 問題定義
時窗限制車輛路由問題簡單的描述如下：給定一總站 (depot) 和客戶群的地 理座標，每位客戶都有各自的物品需求量，和服務時窗限制 (time window)。今想 派出物流車輛服務這些客戶，每位客戶皆只被服務一次。每台物流車皆從總站出 發，承載要遞發的物品，依序服務該台物流車所負責的客戶後，最後再返回總站。
這個問題主要有兩大限制，分別是容量限制和時窗限制。容量限制亦即每台 物流車皆有一定的承載容量上限。每台車輛所服務的客戶需求量總合，不得超過 該台物流車的容量上限。而在時窗限制車輛路由問題中，假設每台物流車的上限 皆為一固定值，且不會有任何客戶的需求量超過此值。
另一限制為時窗限制。每位客戶有各自容許的最早抵達時間 (earliest arrival time) 和最晚抵達時間 (latest arrival time) 。每台物流車抵達每位客戶位置的時間，
不得超過該客戶的最晚抵達時間。雖然此問題容許比最早抵達時間還要早到達該 客戶位置，但因還沒到達最早抵達時間，物流車只能在該客戶位置進行等待，無 法進行服務。直到最早抵達時間，才可開始進行該客戶的服務。
物流車開始服務客戶後，需要一小段卸載時間 (unloading time) 把客戶的需 求移交給客戶。此時間的長度，各個客戶皆有自行設定，不一定和此客戶的需求 量呈正比。卸載完畢後，物流車再移動到負責的下一位客戶位置繼續服務，或是 遞送完畢移動回到總站。
此問題想要求的解為：如何使用最少的物流車輛數，和最小的物流車移動距 離總和，在不違反所有條件限制下，分配每台物流車各自需服務的客戶群和服務 順序，完成所有客戶的物流需求。如下圖1 所示。
圖1：一個「時窗限制車輛路由問題」解的範例。
總站
下面參照了文獻 [1] 以數學式 (1)~(9) 明確地把這個問題定義一次，。假設
目標 (1) 代表想要最小化使用的物流車輛數。目標 (2) 代表想要最小化物流 車輛移動距離的總和。
限制 (3) 代表每位客戶只會被服務一次。限制 (4) 即為前述的容量限制。限 制 (5) ~ (7) 代表了每台物流車皆從總站出發，依序服務其負責的客戶，再返回到 總站。限制 (8) 即為前述的時窗限制。限制 (9) 則表示客戶 i 的抵達時間，還要 再加上客戶i 的卸載時間，和從客戶 i 移動到客戶 j 的移動時間，才會是客戶 j 的 抵達時間。
早期多數研究皆使用階層式的目標 (hierarchical objectives) 來排序解的好壞。
對於兩個目標 (1) 和 (2)，會優先最小化目標 (1)。對於同樣的車輛數，則再最 小化目標 (2)。但後期逐漸有人開始把這問題視為多目標問題 (multiobjective problem) 來解決。
1.3 研究主軸
本研究希望以現有的多目標最佳化演算法進行改良，針對過去處理時窗限制 車輛路由問題時，會特意避開不合法解 (infeasible solutions)，而無法有效探勘解 空間的困境。在處理不合法解時，會以限制的違反量做為依據來最佳化；在處理 合法解時，仍專注最佳化原本的解題目標。在Solomon 25 個客戶的問題 [5] 中，
本研究提出的演算法更新了9 個最佳解。