本研究提出的方法，基於許巍懷與蔣宗哲提出的MOEA-EO [14]，容許不合 法解的參與，並對不合法解進行限制處理。
3.1 解的表示法
一個VRPTW 的解，我們可以把它表示成許多路由的集合。若不考慮路由中 各個客戶的地理位置，我們可以將其想像為一堆客戶的參訪序列。在程式語言中 我們可以用現有的串列 (list) 資料結構來儲存，而其中各個節點儲存了客戶的編 號。如下圖6 所示：
圖6：程式語言中解的表示法。左圖為圖 1 已經舉過的範例。
3.2 初始族群 (initial population) 的產生
初始族群中的所有個體，使用了下列方式產生：
1 while ( 還有客戶尚未被排程 ){
2 隨機挑選出一位尚未被排程的客戶
3 if ( 把此客戶加進此路由最後面，不會違反任何限制 ){
4 把此客戶加進此路由最後面 5 }else{
6 開一條新的路由，並把此客戶加進去 7 }
8 }
總站
總站
3.3 親代的選擇 (parent selection)
每次使用2-tournament 從族群中選擇出兩個親代進行交配。原先 MOEA-EO 會對族群中的個體進行柏拉圖排序，再使用 2-tournament 以排序後被賦予的等級 做出選擇。但考量不合法解和合法解的凌越關係，很難定義出適當的準則。本方 法便捨棄柏拉圖排序，以下面的方式對任意兩個解進行比較：
1 if ( 兩個解一個合法一個不合法 ){
2 選擇合法的那個解
3 } else if ( 兩個解都是合法的 ){
4 if ( 兩個解使用的車輛數不同 ) 選擇 車輛數較少的解 5 else 選擇總移動距離較短的解
6 } else {
7 選擇 超時 (time-warp) 較少的那個解 8 }
上面的「超時」引用自Nagata 等人 [20] 的定義。為了更精確算出車輛在時 窗限制的違反量，假設車輛在每個客戶的遲到後，可以賦予一段時間回復到該客 戶的最晚抵達時間，然後再繼續服務之後的客戶。如下頁圖7 的範例。
由於偏好合法的解（第 2 行），希望演化過程中合法解的個數，不會過於衰 減。在演化過程中雖然容許不合法解參與，但仍以合法解作為演化的主力。當兩 個解均為合法時，則使用原本的階層式目標比較解的優劣（第 4~5 行），如此便 能偏好使用車輛數較少的解。因為這些解之中會有服務較多客戶的路由，以祈在 後面的交配可以刪除掉更多的客戶，提高產生空路由的機會，以減少車輛數。最 後因時窗限制比起容量限制較難達成，針對不合法的解，本方法會優先解決時窗 限制（第7 行）。
圖7：超時 (time-warp) 的範例。此圖引用自 [17]。
假設車輛依序服務v1, v2, v3, v4, v5五個客戶。在客戶v2因提早抵達該客戶位置，必須等待。
在客戶v4因超過該客戶的最晚抵達時間，車輛被賦予一段超時，回復到該客戶的最晚抵達時間，
以免影響其後v5的服務。
3.4 交配 (crossover)
3.4.1 交換路由
MOEA-EO 的交配方式為兩親代選擇出最好的路由做交換。最好的路由在該 文獻定義為「移動距離 ÷ 客戶數目」最小的。但少數客戶有時因地理或時窗關 係，真的必須單獨的物流車來服務。而且在許多較好的排程中，路由中的客戶數 目往往偏多。因此本方法試著改寫原定義，交換「客戶數目」最多的路由。如此 不僅比較直觀，交換後可以移除掉的客戶數目也可以最多。
另外考慮到可能使擁有一堆違反條件客戶的路由受惠，此定義便更趨嚴苛，
變成為：「是『合法的路由』且『客戶數目』最多的」。
3.4.2 減少路由
和MOEA-EO 的交配方式一樣，交換後的路由數目會多一個。但前述方法總 是挑選客戶數目較多的路由做交換，可以移除的客戶也最多，甚至有機會產生空 路由以減少車輛數目。
為了減少路由，MOEA-EO 會移除最差的路由並嘗試插入。為提高插入成功 的機率，本方法則改成移除客戶數目最少的路由，如此便和 [8] 減少路由的方式 相似。但這裡的插入僅純粹考慮縮短總移動距離，就算產生出不合法的路由也無 所謂，演化中每一代最後的突變機制會想辦法修好它。
每當要插入一個客戶，會隨機從所有的路由中挑選一個點插入，嘗試「題目 的客戶數目」次後，從中選擇總移動距離最小的，如此便完成一個客戶的插入。
目前僅依照被移除路由中的客戶參訪先後順序一一做插入。
3.5 突變 (mutation)
文獻 [14] 指出突變的影響客戶數量需夠多（至少要 20 個以上），才有機會 減少車輛數。因此本方法使用的突變運算如下：
1 while ( 已嘗試次數 < 題目的客戶數目 ){
2 隨機移除一個客戶後將其隨機插入
3 if ( 被影響的兩個路由中，合法的路由數和原本一樣或增加 ){
4 移動到影響後的結果 5 } else {
6 恢復成原本的解 7 }
8 }
這個突變運算可以視為一種區域搜尋 (local search) ，每次運算會嘗試移動
「題目的客戶數目」次。被影響的兩條路由（「被移除」的和「被插入」的），若 合法的路由數目可以不變或增加，就可以移動至影響後的結果。合法的路由數目 不變就移動，可視為一種擾動；合法的路由數目增加就移動，則可視為一種修復 (repair operator)。
有時移除該客戶後可以產生空路由，則此空路由仍會被視為合法路由。儘管
3.6 環境的選擇 (environmental selection)
首先把原始族群和產生的子代合併為一個大的族群，然後開始進行篩選，使 用 ( μ + λ ) 的策略，這裡的 μ = λ。
在篩選前，會先把族群中的所有個體依照合法性來分類，分成兩個子族群。
兩個子族群再分別使用不同的凌越關係進行柏拉圖排序，如下圖8 所示。合法的 子族群使用原本題目的兩個目標（最少車輛數、最短總移動距離）定義出凌越關 係；不合法的子族群則使用題目的兩個限制違反量（最少的總超重 (overload)、
最少的總超時 (time-warp) ）定義出凌越關係。
圖8：族群的合併、分類和排序。
不合法的子族群使用限制違反量進行柏拉圖排序，如此就不必特別考慮兩個 限制的難易程度，直接讓子族群中個體的限制違反量自行決定。即使如此，因 VRPTW 時窗的限制較難修復，不合法的個體不太會違反容量限制，浪費了原本 使用「多目標」縮小限制違反量的美意。因此在不合法的凌越關係中，本方法會 額外考量車輛數的減少。
原本的族群 產生的子代們
合併後的族群
合法解 不合法解
R1 R2 R3 R1 R2
依合法性分類 合併
… …
依不同的凌越關係 做排序
最後使用交互 (interleaving) 的方式決定可以存活到下一代的個體：從合法的 Rank1 開始，再來是不合法的 Rank1，合法的 Rank2，不合法的 Rank2 ……依此 類推。最後若無法整個 Rank 一起存活的情況，則優先考慮合法的，再考慮不合 法的，從中隨機填進剩下的空缺。
之所以會從合法的 Rank1 開始是希望最後輸出非凌越解 (non-dominated solutions) 時，可以直接使用這裡的結果。而最後的空缺之所以會優先考慮合法的，
是希望不要讓太多的不合法解存活到下一代。