微帶線濾波器原理 - 利用網版印刷法在氧化鋁陶瓷基板上設計頻率可調式雙階雙工器

微帶線(Microstrip)為常見的傳輸線結構，如圖2-1所示，由結構為上下兩層金屬及中間由介電材料基板(Substrate)隔離，常用於電子電路及高頻電路，其特點為成本低、體積小、重量輕、附著性高，同時也相當容易與主動電路結合，本文所設計之雙頻濾波器皆採用微帶線結構設計。微帶線的電場和磁場分佈如圖2-1(b) 所示，由於傳輸線寬度很窄，電力線不再完全集中於兩導體間，導體邊緣也會有輻射產生，

此時邊緣產生的效應(Edge Effects)必須加以考慮，傳送損失、特性阻抗、

等效介電係數等將於下面討論。

(a) (b) 圖 2-1 (a)微帶線傳輸線架構

(b)微帶線電場與磁場分佈(實線為電場，虛線微磁場)

衰減量可由下式計算之：

𝛼_𝑑 = ^𝑘^𝑜^𝜀^𝑟^𝜀^𝑒𝑓𝑓^{−1 tan 𝛿}

2 𝜀𝑒𝑓𝑓 𝜀_𝑟−1 np/m (2-5) 其中： tanδ 為介電材料的損失正切(loss tangent)。由導體損失產生的衰減係數為

𝛼_𝑐 = ^𝑅^𝑠

𝑍𝑜𝑊 np/m (2-6) 其中：𝑅_𝑠 = ^𝜔𝜇_2𝜎^𝑜 為導體的表面電阻(Surface resistance)，一般而言表面電阻遠

大於導線的 DC 電阻𝑅_𝑑𝑐，亦即 R_s ≫ R_dc = ¹

𝜎 ∙ ^𝑙

𝐴

其中ζ 為導體導電率、l 為導體長度、A 為導體橫截面積。

2-2 濾波器相關參數

濾波器的功能就是用以過濾信號，選擇部份信號予以通過或是濾除，

而信號的通過與否則取決於信號的頻率，依照濾波器信號篩檢的方式，

可以分為低通濾波器(Low-Pass Filter, LPF)、高通濾波器(High-Pass Filter, HPF) 、帶通濾波器 (Band-Pass Filter, BPF) 以及帶拒濾波器 (Band-Reject Filter, BRF)四種型式，本節將介紹濾波器相關的重要參數和規格。

圖2-2為低通、高通、帶通和帶拒濾波器的理想振幅頻率響應曲線，

但由於所選用的元件及特性不同，故實際上的濾波器頻率響應曲線會和理想頻率響應有差距，因此必須對濾波器的特性做參數化的規範，

亦可以對濾波器的效能做為評判的標準。

Frequency f

S -p a ra m et er

^Frequency

f

S -p a ra m et er

(a) (b)

Frequency f

S -p a ra m et er

f

BW

^Frequency

f

S -p a ra m et er

f

BW

(c) (d)

圖 2-2 理想濾波器的頻率響應 (a)低通濾波器、(b)高通濾波器和 (c)帶通濾波器、(d)帶拒濾波器。

2. 通帶漣波(Passband Ripple)：

如圖2-3中的b所示，主要用以量測濾波器通帶區內的平坦度，定義為在通帶區內最大衰減值與最小衰減值之差，一般來說通帶內漣波應

愈小愈好，這與濾波器設計的架構有關。

3. 最終衰減(Ultimate Attenuation)：

如圖2-3中的c所示，為濾波器電路在截止區內的最大衰減值，由於電子元件的特性的非理想性，實際的濾波器電路，都無法提供最大的截止區衰減大於100dB，一般約在50至70 dB左右。

4. 通帶頻寬(Passband Bandwidth)：

如圖2-3中的d所示，簡稱為頻寬(Bandwidth)，一般都以半功率(3dB) 為截止點來界定，為兩3dB點之間的範圍 𝑓₂ − 𝑓₁ 。

5. 傳輸裙邊(Transmission Band)：

如圖2-3中的e所示，為濾波器由截止區提升至通帶區或由通帶區衰減至截止區的過渡區，隨著濾波器階數的增加，會使傳輸裙邊更加陡峭。

6. 型態因數(Shape Factor)：

用以量測在通帶區以外，與截止區相交接處的衰減程度，琦表示濾波電路通帶區兩側的陡峭度。定義為衰減60dB處的頻寬 𝑓₄ − 𝑓₃ 與3dB 衰減處的頻寬 𝑓₂ − 𝑓₁ 的比值。型態因數SF為

𝑆𝐹 = ^𝑓_𝑓⁴^−𝑓³

2−𝑓₁ (2-7) 7. 品質因數(Quality Factor, Q)：

品質因數是描述濾波器選擇性(Selectivity)的一項參數。一般而言，

其定義為元件中的平均最大儲能比上每一個週期損耗能量；或是可以用簡單的中心頻率(Center Frequency)比上3dB頻寬之比值作為品質因數的定義。

𝑄 = _𝐵𝑊^𝑓^𝑐

3𝑑𝐵 (2-8) 8. 群延遲(Group Delay)：

群延遲之定義為單位信號相位 𝑑∅(𝜔) 之變化量與信號角頻率(dω) 之變化量的比值：

𝑡_𝑔 =^{𝑑∅(𝜔)}

𝑑𝜔 (2-9)

2-3 微帶線半波長共振器的耦合結構

微帶線半波長共振器間的各種耦合型態分析最早由J.S. Hong 所提

出[11]，依能量耦合方式的不同，主要可分為電場性，磁場性及混合性三種，以下將對上述電場性耦合型態加以說明。

圖2-4為一微帶線共振器在共振頻率時其電壓的分佈情形，由圖 2-4(a)可以知道其雙端開路的共振器於諧振頻率時，其兩開路端具有最大電壓值，而中間處具有電壓最小值；亦即代表於開路兩端具有最弱的電流，為二分之一波長共振器。一端開路一端短路的共振器於諧振頻率時，如圖2-4(b)所示，其電壓最大值亦集中在開路端，其短路處具有最小電壓值，為四分之一波長共振器。

11 (b) (a)

圖 2-4 (a)二分之一波長微帶線共振器於諧振頻率時之電壓分佈圖 (b)四分之一波長微帶線共振器於諧振頻率時之電壓分佈圖

圖 2-5 微帶線半波長共振器電場性耦合之電流分佈圖

由於半波長共振器於諧振頻率時其兩開路端具有最大電壓值，因此若將兩個半波長共振器以開路端相對置放，則此共振器耦合能量的方式是以電場作為主要的耦合方式，因此稱為電場性耦合，如圖2-5所示，

由於電場性耦合是以互容(Mutualcapcacitance)方式表示，因此電場性耦合又可稱為電容性耦合。

電場性耦合結構可用圖2-6的等效電路模型來表示，其電路中的L與

C代表其微帶線半波長共振器本身的自感值與自容值，而 𝐿𝐶 ^−1/2為其

共振器在尚未與其他共振器耦合時的諧振頻率，𝐶_𝑚則為兩半波長共振

器間的電場耦合量，值得注意的是，如果耦合結構是採用散佈式電路製作的話，其等效電路模型只有在靠近諧振頻率時才可適用，在以下

此為一左右對稱的電路結構，為了方便奇偶模態(odd/even mode)的分析，我們可以將原本的等效電路模型以圖2-6(b)的等效電路模型取代 分析，其兩共振器之間的電耦合效應可以導納反轉子表示為J =ωCm。

當電路處於奇模態的時候，可在電路的對稱線𝑇 − 𝑇^′置入一電牆 (Electric Wall)亦即短路面來分析，此時，其單一側的諧振電路之諧振頻率為：

𝑓_𝑐 = ¹

2𝜋 𝐿(𝐶+𝐶_𝑚) (2-14) 在此模態當中，由於在對稱線置入電牆的關係，導致耦合效應增加了其共振器對地的耦合的電容值，使其可以儲存更多的電荷，因此，該狀態的諧振頻率是比尚未耦合的情況更低的。而在偶模態時，可在其對稱線𝑇 − 𝑇^′置入一磁牆(Magneticwall)亦即開路面來分析，此時，其單一側的諧振電路之諧振頻率為：

𝑓_𝑚 = ¹

2𝜋 𝐿(𝐶+𝐶_𝑚) (2-15) 在此模態時，於對稱面置入了磁牆的關係，導致耦合效應減少了其共振器對地耦合的電容值，因此共振器儲存的電荷變少了，所以其諧振頻率會比尚未耦合的情況來的更高。得知了奇模態和偶模態的諧振頻率後，可以定義出電耦合結構的耦合係數(Coupling Coefficient) 𝑘_𝐸： 𝑘_𝐸 = ^𝑓_𝑓^𝑚²^−𝑓^𝑒²

𝑚2+𝑓_𝑒² =^𝐶_𝐶^𝑚 (2-16) 其耦合係數可表示為耦合的互容值和尚未耦合的自容值的比值，亦代

表兩共振器間耦合效應的強弱。

2-4 高選擇性濾波器的合成技術

本節將介紹LEVY. R.所提出的一種濾波器近似合成技術[12]，可應用於其傳輸通帶兩側具有傳輸零點的高選擇性濾波器，亦可用於具有兩對傳輸零點的混合耦合形式濾波器，其產生的元件值列表經過模擬與設計的比對，皆具有相當的準確性與可靠性，本文所設計之雙頻濾波器將採用此方法來做為低通元件值列表的計算，接下來將詳細說明其方法與流程。

2-4-1 具有一對傳輸零點的高選擇性濾波器特性

具有一對鄰近通帶傳輸零點的濾波器比起傳統濾波器響應而言具有更陡峭的傳輸邊緣，也代表此形式的濾波器具有較高的選擇性 (Selectivity) 。其中，具有此特性的濾波器形式包括柴比雪夫響應 (Chebyshev Reoponse)濾波器和橢圓響應(Elliptic Response)濾波器，其轉移函數為

𝑆₂₁ Ω ² = _1+𝜀₂¹_𝐹

𝑛2 Ω (2-17) 𝜀 = ¹

10−^𝐿𝑅

10−1 (2-18)

𝐹

_𝑛

Ω = cosh 𝑛 − 2 cosh

⁻¹

Ω + cosh

⁻¹ ^Ω_Ω^𝑎^Ω−1

𝑎−Ω

+ cosh

⁻¹ ^Ω_Ω^𝑎^Ω+1

𝑎+Ω

(2-19)

其中Ω為低通原型正規化的截止頻率變化範圍， ε 為在返回損失

𝐿𝑅 = 20log 𝑆₁₁ 範圍內的漣波常數， n 為濾波器的階數。其中 Ω = ± Ω_𝑎 Ω_𝑎 > 1 為兩傳輸零點的頻率位置，若Ω_𝑎 → ∞時，濾波函數 𝐹_𝑛(Ω)就會衰退為常見的柴比雪夫濾波器響應。其帶通濾波器的頻率響應可以用傳統的映射法來表示：

Ω =_𝐹𝐵𝑊¹ ∙ _𝜔^𝜔

0−^𝜔_𝜔⁰ (2-20)

其中Ω為帶通濾波器的頻率變化量，𝜔₀為中心頻率，FBW為中心頻寬

比，因此，一對有限頻率範圍內的傳輸零點位置可表示為

𝜔_𝑎1 = 𝜔₀^−Ω^𝑎^{𝐹𝐵𝑊+ Ω}₂ ^𝑎^𝐹𝐵𝑊²⁺⁴ (2-21) 𝜔_𝑎2 = 𝜔₀^Ω^𝑎^{𝐹𝐵𝑊+ Ω}₂^𝑎^𝐹𝐵𝑊²⁺⁴ (2-22) 圖2-7為幾種六階濾波器的頻率響應，比較後可以發現，由於柴比雪夫形式濾波器的兩對傳輸零點並不靠近傳輸通帶，因此傳輸邊緣的陡峭

度和濾波器選擇性都較為差，而當Ω_a愈小時，表示傳輸零點愈靠近通

帶的兩側，可提供較陡峭的傳輸邊緣及較高的選擇性。

的元件植，其每個表的Ω_𝑎皆含可應用於特定的範圍，其選擇性愈高，Ω_𝑎

就愈小；若需要較低的選擇性，則需要較大的Ω_𝑎值，根據不同的規格

要求，都可以利用上述介紹的近似合成法以疊代法的方式產生不同的

_𝑎⁴

n = 4 and 1.8 ≤ Ω

_𝑎

≤ 2.4

表 2.1 Element values of four-pole prototype (LR=-20dB)

𝛀_𝒂 𝐠_𝟏 𝐠_𝟐 𝐉_𝟏 𝐉_𝟐

2.00 0.95449 1.38235 -0.16271 1.03062 2.05 0.95341 1.37543 -0.15337 1.05022 2.10 0.95242 1.36934 -0.14487 1.04094 2.15 0.95148 1.36391 -0.13707 1.03256 2.20 0.95063 1.35908 -0.12992 1.02499 2.25 0.94982 1.35471 -0.12333 1.0181 2.30 0.94908 1.35084 -0.11726 1.01187 2.35 0.94837 1.3473 -0.11163 1.00613

表 2.2 Element values of six-pole prototype (LR=-20dB)

𝛀_𝒂 𝐠_𝟏 𝐠_𝟐 𝐠_𝟑 𝐉_𝟐 𝐉_𝟑

2-5 微帶線的雜散電容及電感效應

微帶線為一散佈式的傳輸線結構，由許多雜散的電容和電感構成，

本節將介紹幾種經常使用的微帶線結構，包含其等效電路並利用精確的經驗公式計算其等效電路的電容值與電感值，這對於微帶線的電路設計相當便利及好用。

2-5-1 微帶線開路

圖2-10為一個開路微帶線與其等效電路。由於微帶線端點的邊緣電場效應，開路微帶線也可以等效成一段長度為Δ𝑙的延伸微帶線。等效電容與等效的延伸微帶線可以由以下的近似公式來表示：

圖 2-10 開路微帶線與等效電路 𝐶_𝑃 =^𝜀^𝑟𝑒

𝑐𝑍0 Δ𝑙 (2-45) 或 Δ𝑙 = ^𝑐𝑍⁰^𝐶^𝑃

𝜀𝑟𝑒 (2-46) 其中Δ𝑙可由以下之經驗公式近似：

Δ𝑙 = ^𝜉¹^𝜉_𝜉³^𝜉⁵

4 𝑕 (2-47) 其中

𝜉₁ = 0.434907^𝜀_𝜀^𝑟𝑒^0.81^{+0.26 𝑊/𝑕}^0.8544^+0.236

𝑟𝑒0.81−0.189 𝑊/𝑕 ^0.8544+0.87 (2-48)

第三章單頻設計結構與原理 3-1 饋入線結構之設計

設計饋入線的最大的目的就是要有效的將能量耦合至共振器上，主

要分為直接饋入（tapping-line feed line）和耦合饋入（coupling-line feed line）兩種，如圖3-1 所示，直接饋入是直接連接於共振器上，通常是以50 歐姆的特性阻抗線饋入，外部品質因素（external quality factor）

可以由饋入位置來控制；耦合饋入的方式顧名思義需要用耦合線來將能量耦合至共振器，通常是ㄧ開路的傳輸線，外部品質因素可以由耦 合間隙(g) 或是耦合線的寬度(w)所決定，ㄧ般來說，耦合間隙愈小或 是耦合線細其耦合量愈高，其共振器的外部品質因素愈低。使用直接饋入的方式固然方便但是對於設計雙頻濾波器來說，很難由單一饋入位置同時匹配到兩個特定頻率，因此有文獻提出以額外的四分之一波長阻抗轉換器設計於餽入線與共振器間，以用來匹配兩個通帶的頻率 [13][14]，但是這樣的做法不但會增加額外的導體損失也會增加電路的

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