必修系列 数学5
解得
a1=4, d =6.
所以a21=4+20×6=124,于是
a21+a22+ … +a30=10×124+10×9
2 ×6=1510, 即第21项到第30项的和为1510.
由等差数列的求和公式,得
S20=20×(22+60)
2 =820.
图2 2 4
答 这个剧场共有820个座位.
例5 某种卷筒卫生纸绕在盘上,空盘时盘芯直径40mm,满盘时直 径120mm(图2 2 4).已知卫生纸的厚度为0.1mm,问:满盘时卫 生纸的总长度大约是多少米(精确到1m)?
解 卫生纸的厚度为0.1mm,可以把绕在盘上的卫生纸近似地看做 是一组同心圆,然后分别计算各圆的周长,再求总和.
由内向外各圈的半径分别为
各圈的 半 径 为 该 层纸的 中 心 线 至 盘 芯 中心的距离.
20.05,20.15,…,59.95.
因此,各圈的周长分别为
40.1π,40.3π,…,119.9π.
因为各圈半径组成首项为20.05,公差为0.1的等差数列,设圈 数为n,则
59.95=20.05+ (n-1)×0.1, 所以n =400.
显然,各圈的周长组成一个首项为40.1π,公差为0.2π,项数为 400的等差数列.根据等差数列的求和公式,得
S =400×40.1π+400×(400-1)
2 ×0.2π
=32000π(mm).
32000π(mm)≈100(m).
答 满盘时卫生纸的长度约为100m.
教育储蓄可选择1 年、3年、6年这三种存 期,起存金额50元,存 款总额不超过2万元.
例6 教育储蓄 是 一 种 零 存 整 取 定 期 储 蓄 存 款,它 享 受 整 存 整 取 利率,利息免税.教育储蓄的对象为在校小学四年级(含四年级)以 上的学生.假设零存整取3年期教育储蓄的月利率为2.1‰.
(1)欲在 3 年 后 一 次 支 取 本 息 合 计 2 万 元,每 月 大 约 存 入 多 少元?
(2)零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元? 此时3年 后本息合计约为多少(精确到1元)?
解 (1)设每月存 A 元,则有
必修系列 数学5
存款是按月存的, 3年存36次,最后一次
有一个月的利息.
A(1+2.1‰)+A(1+2×2.1‰)+ … +A(1+36×2.1‰)
=20000.
利用等差数列求和公式,得
A(36+36×2.1‰ +36×35
2 ×2.1‰)=20000, 解得
A ≈535(元).
(2)由于教育储蓄的存款总额不超过2万元,所以3年期教育储 蓄每月至多可存入20000
36 ≈555(元).这样,3年后的本息和为
555(1+2.1‰)+555(1+2×2.1‰)+ … +555(1+36×2.1‰)
=55536+36×2.1‰ +36×35
2 ×2.1‰
≈20756(元).
答 欲在3年后一次支取本息2万元,每月大约存入535元.3年期 教育储蓄每月至多存入555元,3年后本息合计约20756元.
探 究 教育储蓄的收益与比较
到附近银行收 集 本 地 区 有 关 教 育 储 蓄 的 信 息,并尝试解决下面 的问题.
(1)依教育储蓄的方式,每月存50元,连续存3年,到期时一次 可支取本息共多少元?
(2)依教育储蓄的方式,每月存a元,连续存3年,到期时一次可 支取本息共多少元?
(3)依教育储蓄的方式,每月存50元,连续存3年,到期时一次 可支取本息比同档次的“零存整取”多收益多少元?
(4)欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计a万元,每月应存入 多少元?
(5)依教育储蓄的方式,原打算每月存100元,连续存6年,可是 到4年时,学生需要提前支取全部本息,一次可支取本息共多少元?
(6)不用教育储蓄的方式,而用其他的储蓄形式,以每月可存 100元,6年后使用为例,探讨以现行的利率标准可能获得的最大收
益,将得到的结果与教育储蓄比较.
练 习
1.为了参加学校的长跑比赛,某同学制定了一个12天的训练计划:第一天跑 2000m,以后每天比前一天多跑250m.这个同学在这12天中一共跑了多少米?
2.求集合 {m|m=2n-1,n∈N*,且m<60}的元素个数,并求这些元素的和.
3.一个多边形的周长等于158cm,所有各边的长成等差数列,最大边的长等 于44cm,公差等于3cm,求该多边形的边数.
(第5题)
4.已知一个凸多边形各个内角的度数组成公差为5°的等差数列,且最小角为 120°,则它是几边形?
5.某钢材库新到200根相同的圆钢,要把它们堆放成正三角形垛(如图),并使 剩余的圆钢尽可能地少,那么将剩余多少根圆钢?
习题 2. 2( 2)
感受·理解
1.求下列等差数列的各项的和:(1)1,5,9,…,401;
(2)-3,-32,0,…,30;
(3)0.7,2.7,4.7,…,56.7;
(4)-10,-9.9,-9.8,…,-0.1.
2.求和:
(1)
∑
k=010(3+0.25k);(2)
∑
n=020(1-2n).3.已知等差数列{an}的通项公式,求它的前n项和Sn. (1)an=2n+1;
(2)an=3n-1;
(3)an=9-4n;
(4)an=112- 12n.
4.在等差数列{an}中,
(1)已知a1=20,an=54,Sn=999,求d 及n;
(2)已知d = 13,n=37,Sn=629,求a1及an;
(3)已知a1= 56,d =- 16,Sn=-5,求n 及an; (4)已知d=2,n=15,an=-10,求a1及Sn. 5.在等差数列{an}中,
(1)已知a6=10,S5=5,求S8; (2)已知S4=2,S9=-6,求S12;
(3)已知a2+a4+a6=-3,a3+a5+a7=6,求S20; (4)已知S3=6,S6=-8,求S9.
6.在等差数列{an}中,已知d =2,S20=400.
(1)求a1+a3+a5+ … +a19; (2)求a2+a5+a8+ … +a20.
必修系列 数学5
7.在等差数列{an}中,
(1)已知a4+a14=1,求S17; (2)已知a11=20,求S21; (3)已知S11=66,求a6; (4)已知S4=2,S8=6,求S16.
8.一个等差数列的前12项和为354,前12项中,偶数项的和与奇数项的和之 比为32∶27,求公差d.
思考·运用
9.已知等差数列{an}的前n项和Sn=5n2+3n,写出它的前3项,并求这个数 列的通项公式.10.一个物体从1960m 的高空落下,如果该物体第1秒降落4.90m,以后每秒 比前一秒多降落9.80m,那么经过几秒钟才能落到地面?
11.已知等差数列{an}中,a1=-3,11a5=5a8,求前n项和Sn的最小值.
探究·拓展
12.如果等差数列{an}的前n 项和为Sn,那么S10,S20-S10,S30-S20是否成等差数列? 你能得到更一般的结论吗?
13.观察:
1 1+2+1 1+2+3+2+1 1+2+3+4+3+2+1
……
(1)第100行是多少个数的和? 这些数的和是多少?
(2)计算第n行的值.
2. 3 等比数列
2. 3. 1 等比数列的概念
回顾本章第2.1节开始我们遇到的数列③,④,再考察下面的问题:
放射性物质以一 定 的 速 度 衰 变,该速度正比于当时该物质的质 量.如果某个质量为Q0 的放射性物质在时间h 中衰变到Q0
2,那么称h 为物质的半衰期.镭的半衰期是1620年,如果从现有的10g镭开始, 那么每隔1620年,剩余量依次为
10,10×1
2,10× 1 2
2,10× 1 2
3,….
某轿车的售价约36万元,年折旧率约为10%(就是说这辆车每年 减少它的价值的10%),那么该车从购买当年算起,逐年的价值依次为
36,36×0.9,36×0.92,36×0.93,….
复利的 本 利 和 公 式是
本利和= 本金 × (1+ 利率)存 期.
某人年初投资10000元,如果年收益率是5%,那么按照复利,5 年内各年末的本利和依次为
10000×1.05,10000×1.052,…,10000×1.055.
● 与等差数列相比,上面这些数列有什么特点?
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比都 等于 同 一 个 常 数,那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列(geometric progression),这个常数叫做等比数列的公比(commonratio),公比通
常用字母q表示.
在等 比 数 列 {an} 中,始终有
an+1
an =q.
例1 判断下列数列是否为等比数列:
(1)1,1,1,1,1;
(2)0,1,2,4,8;
(3)1,-12,1
4,-18,1 16.
解 (1)所给数列是首项为1,公比为1的等比数列.
(2)因为0不能作除数,所以这个数列不是等比数列.
必修系列 数学5
(3)所给数列是首项为1,公比为-12的等比数列.
例2 求出下列等比数列中的未知项:
(1)2,a,8;
(2)-4,b,c,12. 解 (1)根据题意,得
a
2= 8a, 所以
a =4或a=-4.
(2)根据题意,得
b -4=c
b, 1
c =2 c b,
解得
b=2, c=-1.
所以
b=2,c=-1.
例3 (1)在等比数列{an}中,是否有
an2=an-1an+1(n ≥2)?
(2)如果在数列{an}中,对于任意的正整数n(n≥2),都有 a2n =an-1an+1,
那么,{an}一定是等比数列吗?
解 (1)因为{an}是等比数列,所以 an+1
an = an
an-1, 即
a2n=an-1an+1(n ≥2) 成立.
(2)不一定.例如对于数列
0,0,0,…, 总有a2n=an-1an+1,但这个数列不是等比数列.
练 习
1.判断下列数列是否为等比数列:(1)1,2,1,2,1;
(2)-2,-2,-2,-2;
(3)1,-13,1 9,-1
27,1 81; (4)2,1,12,1
4,0.
2.已知下列数列是等比数列,试在括号内填上适当的数:
(1)( ),3,27; (2)3,( ),5;
(3)1,( ),( ),818.
3.下列数列中,哪些是等差数列,哪些是等比数列?
(1)lg3,lg6,lg12;
(2)22,2,1,2-1,2-2; (3)1,1,1,1.
4.已知数列{an}是等比数列,
(1)如果a2=2,a3=-6,求公比q和a1; (2)如果a1=3,a2=6,求公比q和a5.
5.已知数列{an}的通项公式,判断它是否为等比数列.
(1)an=3n; (2)an=4×23n-1; (3)an= (-3)-n; (4)an=0.
6.已知a1,a2,a3,…,an是公比为q 的等比数列,新数列an,an-1,…,a2, a1也是等比数列吗? 如果是,公比是多少?
2. 3. 2 等比数列的通项公式
设{an}是首项为a1,公比为q的等比数列,则
a2=a1q,a3=a2q=a1q2,a4=a3q=a1q3,….
● 你能写出它的第n 项an吗?
一般地,对于等比数列{an}的第n项an,有公式 an=a1qn-1.
这就是等比数列{an}的通项公式,其中a1为首项,q为公比.
必修系列 数学5
证 因为{an}是等比数列,所以当n≥2时,有 a2
a1 =q,a3
a2 =q,aa43 =q,…,an
an-1 =q.
将上面n-1个等式的左右两边分别相乘,得 an
a1 =qn-1. 所以
an =a1qn-1. 当n =1时,上面的等式也成立.
例1 在等比数列{an}中,
(1)已知a1 =3,q=-2,求a6; (2)已知a3 =20,a6=160,求an. 解 (1)由等比数列的通项公式,得
a6=3× (-2)6-1=-96.
(2)设等比数列的公比为q,那么 a1q2=20, a1q5=160, 解得
q=2, a1=5.
所以
an =a1qn-1=5×2n-1.
例2 在243和3中间插入3个数,使这5个数成等比数列.
解 设插入的三个数为a2,a3,a4,由题意得 243,a2,a3,a4,3 成等比数列.设公比为q,则
3=243q5-1,
解得 q=±1
3.
因此,所求三个数为81,27,9,或-81,27,-9.
例3 已知等比数列{an}的通项公式为an=3×2n,求首项a1 和 公 比q.
或 q=an+1
an
=3×2n+1 3×2n
=2.
解 a1=3×21=6, a2=3×22=12, 所以
q=a2
a1 =12 6 =2.
图2 3 1
在例3中,等比数列的通项公式 an =3×2n
是一个常数与指数式的乘积.从图象上看(图2 3 1),表示这个数 列的各点(n,an)均在函数y =3×2x 的图象上.
思 考
如果一个数列{an}的通项公式为an=aqn,其中a,q都是不为0 的常数,那么这个数列一定是等比数列吗?练 习
1.求下列等比数列的公比、第5项和第n 项:(1)2,6,18,54,…;
(2)7,143,28 9,56
27,…;
(3)0.3,-0.09,0.027,-0.0081,…;
(4)5,5c+1,52c+1,53c+1,….
2.已知等比数列的公比为2
5,第4项是52,求前三项.
3.在等比数列{an}中,
(1)已知a1=-3,q=2,n =5,求an; (2)已知a1=1,q=2,an=16,求n;
(3)已知a1= 1
3,n =6,an=9,求q;
(4)已知q=- 32,n =4,an=-27,求a1. 4.在等比数列{an}中,
(1)已知a5=8,a8=1,求a1和q;
(2)已知a3=2,q=-1,求a15; (3)已知a4=12,a8=6,求a12.
5.三个数成等比数列,它们的积等于8,它们的和等于-3,求这三个数.
(第6题)
6.如图,在边长为1的等边三角形ABC 中,连结各边中点得△A1B1C1,再连结
△A1B1C1的各边中点 得△A2B2C2…… 如此继续下去,试证明数列 S△ABC, S△A1B1C1,S△A2B2C2,…是等比数列.
7.在本章第2.3.1节开始有关轿车折旧的问题中,大约在购车后的第几年,该 辆车的价值只有原来的一半?
必修系列 数学5
习题 2. 3( 1)
感受·理解
1.判断下列数列是否为等比数列:(1)9,0.9,0.09,0.009;
(2)72,7-1,7-4,7-7;
(3)2·32,23·35,25·38,27·311; (4)3+52,32+54,33+56,34+58.
2.已知{an}是等比数列,在下表中填入适当的数:
a1 a2 a3 a4 a5
-1 3
2 4 2
1
3 9
3.在等比数列{an}中,
(1)已知a4=27,q=-3,求a7;
(2)已知a2=18,a4=8,求a1和q;
(3)已知a5=4,a7=6,求a9;
(4)已知a5-a1=15,a4-a2=6,求a3. 4.在等比数列{an}中,
(1)已知a4=4,a9=972,求an; (2)已知a2=-6,a6=-32
27,求an.
5.在两个非零实数a 和b 之间插入2个数,使它们成等比数列,试用a,b表示 这个等比数列的公比.
6.已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列,求该等 比数列的公比.
7.某地为防止水土流失,实行退耕还林.如果2012年退耕10万公顷,以后每 年增加10%,那么2018年须退耕多少公顷(结果保留到个位)?
8.已知{an}是各项均为正数的等比数列,公比为q,求证:{ an}是等比数列, 并求该数列的公比.
9.在等比数列{an}中,
(1)a25=a1a9是否成立?a25=a3a7是否成立?
(2)a2n=an-2an+2(n >2)是否成立?
(3)你能得到更一般的结论吗?
10.在等比数列{an}中,a1>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5的值. 11.若a,G,b成等比数列,则称G 为a 和b 的等比中项.
(1)求45和80的等比中项;
(2)已知两个数k+9和6-k的等比中项是2k,求k.
12.已知无穷等比数列{an}的首项为a1,公比为q.
(1)依次取出数列{an}中的所有奇数项,组成一个新数列,这个新数列是等 比数列吗? 如果是,它的首项和公比是多少?
(2)数列{can}(其中常数c≠0)是等比数列吗? 如果是,它的首项和公比 是多少?
思考 ·运用
13.三个数成等比数列,它们的积等于27,它们的平方和等于91,求这三个数.14.已知等比数列{an}的公比q=2,且a1·a2·a3·…·a30=230,求a3·a6· a9·…·a30的值.
15.某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮 食占有量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至 多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?
(注:粮食单产 = 总产量
耕地面积,人均粮食占有量 = 总产量 总人口数)
探究 ·拓展
16.对任意等差数列{an},计算a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8,…,你发现 了什么一般规律? 能将发现的规律推广吗? 在等比数列中有怎样类似的 结论?17.如图,将一个边长为1的正三角形的每条边三等分,以中间一段为边向形外 作正三角形,并擦去中间一段,得图(2).如此继续下去,得图(3)……试探求 第n 个图形的边长和周长.
这样形 成 的 图 形 称为分形(fractal).
(第17题)
2. 3. 3 等比数列的前n项和
● 已知等比数列{an}的第1项a1 和 公 比q,如何求出它的前n 项和Sn?
根据等比数列的通项公式,这个等比数列就是 a1,a1q,a1q2,…,a1qn-1,…, 所以它的前n 项和是
Sn =a1+a1q+a1q2+ … +a1qn-1. ①
① 式等号右边的每一项是它前一项的q倍,根据这个特点,在上 式两边同乘以q,得
qSn =a1q+a1q2+a1q3+ … +a1qn, ②
必修系列 数学5
由①-②得
(1-q)Sn =a1-a1qn. 所以,当q≠1时,
Sn=a1(1-qn)
1-q (q≠1).
根据等比数列的通项公式an =a1qn-1,又可得到
Sn =a1-anq
1-q (q≠1).
显然,当q=1时,Sn =na1.
例1 在等比数列{an}中,
(1)已知a1 =-4,q= 12,求S10;
(2)已知a1 =1,ak =243,q=3,求Sk. 解 (1)根据等比数列的前n项和公式,得
S10=-41- 1 2
10
1-12
=-1023 128.
(2)根据等比数列的前n项和公式,得 Sk =1-243×3
1-3 =364.
例2 在等比数列{an}中,S3= 7
2,S6=63
2,求an. 解 若q=1,则S6=2S3,这与已知S3= 7
2,S6=63
2是矛盾的,所 以q≠1.从而
在等比数列的通项 公式 与 前n 项和公式 中,共含有a1,q,n,an, Sn五个量,只要已知其
中的三个量,就可以求 出其余的两个量.
S3=a1(1-q3) 1-q = 7
2, S6=a1(1-q6)
1-q =632.