第 2章 数 列
2.2.1 等差数列的概念
回顾本章 第 2.1 节 开 始 我 们 遇 到 的 数 列 ①,②,再 考 察 下 面 的 问题:
第23届到第28届奥运会举行的年份依次为 1984,1988,1992,1996,2000,2004.
某电信公司的一种计费标准是:通话时间不超过3分钟,收话费 0.2元,以后每分钟收话费0.1元.那么通话费按从小到大的次序依
次为
0.2,0.2+0.1,0.2+0.1×2,0.2+0.1×3,….
“本利和”是 指 本 金 与 利 息 的 和,按 照 单利计 算 本 利 和 的 公 式是
本利 和= 本 金 × (1+利率×存期).
如果1年期储蓄的月利率为1.65‰,那么将10000元分别存1 个月,2个月,3个月,……,12个月,所得的本利和依次为
10000+16.5,10000+16.5×2,…,10000+16.5×12.
● 上面这些数列有什么共同的特点?
在等 差 数 列 {an} 中,始终有
an+1-an=d.
一般地,如果一个数列从第二项起,每一项减去它的前一项所得 的差 都 等 于 同 一 个 常 数,那么这个数列就叫做等 差 数 列(arithmetic progression),这个常数叫做等差数列的公差(commondifference),公
差通常用d 表示.
思 考
你能再举出一些等差数列的例子吗?例1 判断下列数列是否为等差数列:
(1)1,1,1,1,1;
(2)4,7,10,13,16;
(3)-3,-2,-1,1,2,3.
解 (1)所给数列是首项为1,公差为0的等差数列.
(2)所给数列是首项为4,公差为3的等差数列.
(3)因为
必修系列 数学5
(-1)- (-2)≠1- (-1), 所以这个数列不是等差数列.
例2 求出下列等差数列中的未知项:
(1)3,a,5;
(2)3,b,c,-9.
解 (1)根据题意,得
a-3=5-a, 解得
a =4.
(2)根据题意,得
b-3=c-b, c-b=-9-c, 解得
b=-1, c=-5.
例3 (1)在等差数列{an}中,是否有 an =an-1+an+1
2 (n ≥2)?
(2)在数列{an}中,如果对于任意的正整数n(n≥2),都有 an =an-1+an+1
2 , 那么数列{an}一定是等差数列吗?
解 (1)因为{an}是等差数列,所以
an+1-an=an-an-1(n ≥2), 所以
an =an-1+an+1
2 .
(2)在数列{an}中,如果对于任意的正整数n(n≥2)都有 an =an-1+an+1
2 , 那么
an+1-an=an-an-1(n ≥2).
这表明,这个数列从第2项起,后一项减去前一项所得的差始终 相等,所以数列{an}是等差数列.
练 习
1.判断下列数列是否为等差数列:(1)-1,-1,-1,-1,-1;
(2)1,12,1 3,1
4; (3)1,0,1,0,1,0;
(4)2,4,6,8,10,12;
(5)7,12,17,22,27.
2.目前男子举重比赛共有10个级别,除108公斤以上级别外,其余的9个级 别 从轻到重依次为(单位:kg):54,59,64,70,76,83,91,99,108.这个 数列是等差数列吗?
3.已知下列数列是等差数列,试在括号内填上适当的数:
(1)( ),5,10; (2)1, 2,( );
(3)31,( ),( ),10.
4.已知数列 {an}是等差数列.
(1)如果a1=2,a3=6,求公差d 和a2; (2)如果a2=2,a3=5,求公差d 和a1; (3)如果a1=1,a2=4,求公差d 和a6.
5.已知数列{an}的通项公式,判断它是否为等差数列:
(1)an=3n+1; (2)an=4-2n;
(3)an=n2; (4)an=0.
6.已知a1,a2,a3,…,an,an+1,…,a2n是公差为d 的等差数列.
(1)an,an-1,…,a2,a1也是等差数列吗? 如果是,公差是多少?
(2)a2,a4,a6,…,a2n也是等差数列吗? 如果是,公差是多少?
2. 2. 2 等差数列的通项公式
观察等差数列{an}
4,7,10,13,16,…, 如何写出它的第100项a100呢?
我们有
a1=4,
a2=7=4+3, a3=10=4+3×2, a4=13=4+3×3,
……
从而
a100=4+3×99=301.
必修系列 数学5
● 设{an}是一个首项为a1,公差为d 的等差数列,你能写出它的 第n 项an 吗?
一般地,对于等差数列{an}的第n项an,有
an =a1+ (n-1)d.
这就是等差数列{an}的通项公式,其中a1为首项,d 为公差.
证 因为{an}为等差数列,所以当n≥2时,有 a2-a1=d, a3-a2=d,
……
an-an-1=d.
将上面n-1个等式的两边分别相加,得 an-a1 = (n-1)d, 所以
an =a1+ (n-1)d.
当n =1时,上面的等式也成立.
例1 第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行,此后每4年举 行一次.奥运会如因故不能举行,届数照算.
(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式;
(2)2008年北京奥运会是第几届? 2050年举行奥运会吗?
解 (1)由题意知,举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为 首项,4为公差的等差数列.这个数列的通项公式为
an=1896+4(n-1)
=1892+4n (n ∈ N*).
(2)假设an =2008,由2008=1892+4n,得n=29.
假设an=2050,2050=1892+4n无正整数解.
答 所求通项公式为an =1892+4n(n∈ N*),2008年北京奥运会 是第29届奥运会,2050年不举行奥运会.
例2 在等差数列{an}中,已知a3 =10,a9=28,求a12. 解 由题意,得
a1+2d =10, a1+8d =28.
解得
a1=4, d =3.
所以
a12=4+ (12-1)×3=37.
例3 已知等差数列{an}的通项公式为an=2n-1,求首项a1和公 差d.
或d =an+1-an
=2(n+1)-1- (2n -1)=2.
解 a1=2×1-1=1, a2=2×2-1=3, 所以
d =a2-a1=3-1=2.
图2 2 1
在例3中,等差数列的通项公式 an =2n-1
是关于n 的一次式,从图象上看(图2 2 1),表示这个数列的各点 (n,an)均在直线y =2x-1上.
思 考
如果一个数列{an}的通项公式为an=kn+b,其中k,b都是常 数,那么这个数列一定是等差数列吗?练 习
1.求下列等差数列的第n 项:(1)2,6,10,…;
(2)13,9,5,…;
(3)-12,1 2,3
2,….
2.(1)求等差数列8,5,2,…的第20项;
(2)等差数列-5,-9,-13,…的第几项是-401?
(3)-20是不是等差数列0,-72,-7,…的项? 如果是,是第几项? 如 果不是,请说明理由.
3.等差数列{an}的首项为a1,公差为d,项数为n.
(1)已知a1=3,d =2,n =6,求an; (2)已知a1=1,d =2,an=15,求n;
(3)已知a1= 12,n =5,an=8,求d;
(4)已知d =- 3
2,n =12,an=-8,求a1.
必修系列 数学5
4.已知等差数列的通项公式为an=1- 1
2n,求它的首项和公差,并画出它的 图象.
5.诺沃 尔 (Knowall)在 1740 年发现了一颗彗星,并推算 出 在 1823 年、1906 年、1989年……人们都可以看到这颗彗星,即彗星每隔83年出现一次.
(1)从发现那次算起,彗星第8次出现是在哪一年?
(2)你认为这颗彗星在2500年会出现吗? 为什么?
6.某滑轮组由直径成等差数列的6个滑轮组成.已知最小和最大的滑轮的直 径分别为15cm 和25cm,求中间四个滑轮的直径.
7.在等差数列{an}中,
(1)已知a5=19,a8=10,求a1和d;
(2)已知a4=10,a10=4,求a14.
习题 2. 2( 1)
感受·理解
1.判断下列数列是否为等差数列:(1)12,1,32,2,52;
(2)4,2,0,-2,-4;
(3)1, 2, 3,2.
2.求出下列等差数列中的未知项:
(1)a,b,-10,c,-20;
(2)x,lg3,lg6,y.
3.求下列等差数列的第n 项:
(1)-1,3,7,11,…;
(2)13,8,3,-2,…;
(3)13,- 1
3,-1,- 5 3,….
4.在等差数列{an}中,
(1)已知a1=-1,d =4,求a8; (2)已知d =- 1
3,a7=8,求a1;
(3)已知a1=9,d =-2,an=-15,求n.
5.在等差数列{an}中,
(1)已知a3=31,a7=76,求a1和d;
(2)已知a4=4,a8=-4,求a12; (3)已知a3=7,a6=16,求a10; (4)已知a1+a6=12,a4=7,求a9.
6.一个等差数列的第40项等于第20项与第30项的和,且公差是-10,试求 首项和第10项.
7.一种变速自行车后齿轮组由5个齿轮组成,它们的齿数成等差数列,其中最 小和最大的齿轮的齿数分别为12和28,求中间三个齿轮的齿数.
8.已知等差数列{an}的首项a1=16,公差d=-34. (1)此等差数列中从第几项开始出现负数?
(2)当|an|最小时,求n.
9.三个数成等差数列,它们的和是15,它们的平方和等于83,求这三个数.
10.如图(1)是一个三角形,分别连结这个三角形三边的中点,将原三角形剖分 成4个三角形(如图(2)),再分别连结图(2)中间的一个小三角形三边的中 点,又可将原三角形剖分成7个三角形(如图(3)).依此类推,第n个图中原 三角形被剖分为an个三角形.
(第10题) (1)求数列{an}的通项公式;
(2)第100个图中原三角形被剖分为多少个三角形?
11.如果a,A,b这三个数成等差数列,那么A =a+b2 .我们把A =a+b2 叫做 a 和b 的等差中项.试求下列各组数的等差中项:
(1)7+3 5和7-3 5;
(2)(m+n)2和(m -n)2.
12.已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d.
(1)将数列{an}中的每一项都乘以常数a,所得的新数列仍是等差数列吗?
如果是,公差是多少?
(2)由数列{an}中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列{cn}是等差数 列吗? 如果是,它的首项和公差分别是多少?
思考 ·运用
13.已知等差数列{an}的公差为d,求证:an-am=(n-m)d,其中n,m∈N*. 14.已知数列{an}和{bn}是两个无穷等差数列,公差分别为d1和d2,求证:数列{an+bn}是等差数列,并求它的公差.
15.已知{an}是等差数列,当 m +n=p+q时,是否一定有am+an=ap+aq? 16.在等差数列{an}中,已知ap=q,aq=p(p≠q),求ap+q.
探究·拓展
17.1934年,东印度(今孟加 拉 国)学 者 森 德 拉 姆 (Sundaram)发 现 了 “正 方 形 这个方 筛 的 奥 妙 筛子”:在于:如 果 某 个 自 然 数n 出 现 在 表 中,那 么2n+1肯定不是质 数;如果n在表中不出 现,那么 2n+1 肯定
4 7 10 13 16 … 7 12 17 22 27 … 10 17 24 31 38 … 13 22 31 40 49 … 16 27 38 49 60 …
… … … …
必修系列 数学5
(1)这个“正方形筛子”的每一行有什么特点? 每一列呢?
(2)“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是多少?
2. 2. 3 等差数列的前n项和
图2 2 2
先考察图2 2 2.这是某仓库堆放的一堆钢管,最上面的一层 有4根钢管,下面的每一层都比上一层多一根,最下面的一层有9根, 怎样计算这堆钢管的总数呢?
假设在这堆钢管旁边倒放着同样一堆钢管(图2 2 3).
图2 2 3
这样,每层的钢管数都等于4+9,共有6层.从而原来一堆钢管 的总数为
6× (4+9)
2 =39.
● 一般地,如何求等差数列{an}的前n项和Sn? 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则 Sn=a1+a2+ … +an
=a1+ (a1+d)+ … + [a1+ (n-1)d]. ① 把各项的次序反过来,Sn 又可以写成
Sn=an+an-1+ … +a1
=an+ (an-d)+ … + [an- (n-1)d]. ② 由①+②得
2Sn= (a1+an)+ (a1+an)+ … + (a1+an)
=n(a1+an),
由此可得等差数列{an}的前n项和公式 等差数列前n 项
的和等 于 首 末 两 项 和 的一半的n 倍.
Sn =n(a1+an) 2 .
根据等差数列的通项公式an =a1+ (n-1)d,又可得到 Sn =na1+n(n-1)
2 d.
例1 在等差数列{an}中,
(1)已知a1 =3,a50=101,求S50; (2)已知a1 =3,d = 12,求S10. 解 (1)根据等差数列前n项和公式,得
S50=3+1012 ×50=2600.
(2)根据等差数列前n项和公式,得 S10=10×3+10×9
2 × 1
2=105 2 .
例2 在等差数列{an}中,已知d= 1
2,an= 32,Sn=-15
2,求a1及n.
解 由题意,得
在等差 数 列 的 通 项公 式 与 前n 项和公 式中,含 有a1,d,n, an,Sn 五 个 量,只 要
已 知 其 中 的 三 个 量, 就可以 求 出 余 下 的 两 个量.
a1+ 3 2
2 ×n =-152, a1+ (n-1)×12= 3
2.
①
②
由②,得
a1=- 1
2n+2, 代入①后化简,得
n2-7n-30=0.
所以n =10或 -3(舍去),从而a1=-3.
例3 在等差数列{an}中,已知第1项到第10项的和为310,第11 项到第20项的和为910,求第21项到第30项的和.
解 设等差数列的首项为a1,公差为d,由题意,得 S10=310,
S20-S10=910, 即
10a1+10×9
2 d =310,
20a1+20×192 d-310=910,
必修系列 数学5
解得
a1=4, d =6.
所以a21=4+20×6=124,于是
a21+a22+ … +a30=10×124+10×9
2 ×6=1510, 即第21项到第30项的和为1510.