如果非要给这本书加一个副标题,我希望是——《一个方程组引发的故事》.
§6.1 全书概览
我们现在使用的教材是工程数学《线性代数》,是线性代数学科的比较基础的部分. 这一部分的 中心是围绕“用高斯消元法求解线性方程组”的问题展开的. 全书中心的例子其实是第三章的P.57的 引例.
第一章的中心可以认为是克拉默法则, 前面的行列式讨论是为克拉默法则作铺垫的.
高斯消元法的过程,可以简单地表示为方程组的增广矩阵的初等行变换,这自然引出了对矩阵的 专门讨论.方程组经过高斯消元法总是会稳定地保留一定数量的方程,这就对应着秩的问题. 矩阵的 细部是向量,更进一步讨论向量的线性表示、线性相关性才说明了,为什么矩阵的初等行变换中有一 些行会被变为零,为什么消元法解方程时有的方程会被消掉.最大无关组的概念才真正解释了,为什 么消元法解方程组时保留下来的方程个数是稳定不变的.
既然中心的议题是解方程组, 那么关于线性方程组解的理论要非常清楚,比如“n − r”的含义,有 解无解的充要条件.
§6.2 要点 TOP 10
下面的要点列为TOP 10是因为其理论重要性、易错等原因. (I) |λA| = λn|A|. (A为n阶方阵)
(II) 矩阵乘法不满足交换律、消去律. (III) 矩阵秩的性质5 ∼ 8.
(IV) 特征值性质: λ1+ λ2+ · · · + λn= a11+ a22+ · · · + ann; λ1λ2· · · λn= A
. (V) 若λ是A的一个特征值,则矩阵多项式ϕ(A) 的特征值为ϕ(λ).
(VI) 齐次线性方程组Ax = 0的基础解系由n − r 个线性无关的解构成.
(VII) 线性方程组有解、无解的充要条件.
(VIII) 矩阵对角化的充要条件.
(IX) 伴随矩阵的定义, AA∗= A∗A = |A|E.
(X) 初等变换不改变矩阵的秩.
§6.3 例题 TOP 5
教材上的例子,如下几个在方法上特别重要:
(I) P.75第三章例题13,带参量的线性方程组解的讨论. 特别重视解法二.
(II) P.123第四章例题 11,矩阵对角化. 综合了矩阵对角化的充要条件、“n − r”结论.
(III) P.65第三章例题 3,用初等变换法解矩阵方程. 题目没有难度, 但是很多人没有接受这个简便
的解法.
(IV) P.100第四章例题13,证明矩阵秩的性质8. AB = O,则视B 的列为方程组Ax = 0的解,这 个观念很重要.
(V) P.120第五章例题 9,特征值性质的应用. 或见 P.135习题12, 13,是近些年考研极常见的题型. 64
§6.4 综合题型 65
§6.4 综合题型
例6.1 设3阶方阵A按列分块为A = α1, α2, α3,且|A| = 5,又设B = α1+2α2, 3α1+4α3, 5α2,
则|B| = .
解 |B| =
α1 + 2α2, 3α1 + 4α3, 5α2
= 5
α1 + 2α2, 3α1+ 4α3, α2
= 5
α1, 3α1 + 4α3, α2
= 5
α1, 4α3, α2 = 20
α1, α3, α2
= −20
α1, α2, α3
= −100.
例6.2 设A = (2α, 2γ2, 2γ3, 2γ4), B = (β, γ2, γ3, γ4), C = (α + β, γ2, γ3, γ4),其中α, β, γ2, γ3, γ4为 4维列向量,已知 |A| = 4, |B| = 1,则|C| = .
解 行列式 |C|按第一列裂开, 得|C| =
(α + β, γ2, γ3, γ4) =
(α, γ2, γ3, γ4) +
(β, γ2, γ3, γ4) . 而
|A| =
(2α, 2γ2, 2γ3, 2γ4) = 24
(α, γ2, γ3, γ4)
,所以 (α, γ2, γ3, γ4)
= 14,得|C| = 5
4. 例6.3 设α1, α2, α3 均为3 维列向量,记矩阵
A = (α1, α2, α3), B = (α1+ α2+ α3, α1+ 2α2+ 4α3, α1+ 3α2+ 9α3).
如果|A| = 1,那么 |B| = . 解 因为
B = (α1, α2, α3)
1 1 1 1 2 3 1 4 9
= A
1 1 1 1 2 3 1 4 9
,
所以
|B| = |A|
1 1 1 1 2 3 1 4 9
=
1 1 1 0 1 2 0 3 8
= 2.
例6.4 设n阶可逆矩阵A的各行元素之和为常数a,试证: (1) a 6= 0; (2)逆矩阵A−1 的各行元素之 和为 1a.
证明 (1)因A的各行元素之和为常数a,把行列式|A|的各.列加到第一列. ,则第一列元素全为a,且 行列式的值不变.若a = 0,会导致|A| = 0,与A是可逆矩阵矛盾, 所以a 6= 0.
(2)用Aij 表示行列式|A|中元素aij 对应的代数余子式,有
A−1= 1
|A|
A11 A21 · · · An1 A12 A22 · · · An2
... ... ... A1n A2n · · · Ann
,
则A−1 的第 i行元素之和为 1
|A|(A1i+ A2i+ · · · + Ani). 下面证明A−1 的第一行元素之和为 1
a,其 它各行同理. 由
|A| =
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
... ... ... an1 an2 · · · ann
c1+c2+···+cn
========= a
1 a12 · · · a1n
1 a22 · · · a2n
... ... ... 1 an2 · · · ann
展开c1
======= a A11+ A21+ · · · + An1,
66 第六章 总结 得A11+ A21+ · · · + An1= |A|a ,所以 A−1 的第一行元素之和为
1
|A| A11+ A21+ · · · + An1 = 1
|A| ·|A|
a = 1 a. 例6.5 若4 阶矩阵A与B 相似, 矩阵A的特征值为 1
2, 1 3, 1
4, 1
5,则行列式 B−1− E
= .
解 矩阵 A与B 相似,则特征值相同.所以矩阵B 的特征值为 1 2, 1
3, 1 4, 1
5, B−1 的特征值为2, 3, 4, 5. 从而B−1− E 的特征值为 1, 2, 3, 4. 得 B−1− E
= 1 × 2 × 3 × 4 = 24.
例6.6 设A 为n 阶非零矩阵, A∗ 是A 的伴随矩阵, AT 是A 的转置矩阵,当 A∗ = AT 时, 证明
|A| 6= 0.
证明 由于A∗= AT,根据 A∗的定义有
Aij = aij, i, j = 1, 2, · · · , n.
其中Aij 是行列式|A|中元素aij 的代数余子式.
因为A为非零矩阵, 至少有一个元素非零, 不妨设第i 行有元素aij 6= 0, 行列式|A| 按第 i行 展开, 得
|A| = ai1Ai1+ ai2Ai2+ · · · + ainAin= a2i1+ a2i2+ · · · + a2in> 0, 得证|A| 6= 0.
例6.7 计算行列式:
D =
a b c d
−b a −d c
−c d a −b
−d −c b a
.
解
D2= D · DT=
a b c d
−b a −d c
−c d a −b
−d −c b a
·
a −b −c −d
b a d −c
c −d a b
d c −b a
=
δ δ
δ δ
= a2+ b2+ c2+ d24 .
其中δ = a2+ b2+ c2+ d2,所以
D = a2+ b2+ c2+ d22 .
例6.8 设A为n阶矩阵, E 是n阶单位阵, 若AAT= E,且|A| < 0,求 A + E . 解 因为
A + E =
A + AAT =
A(E + AT) =
A ·
(E + AT) =
A ·
(E + A)T =
A ·
E + A , 所以
1 − |A| A + E
= 0.
又|A| < 0,则 1 − |A| 6= 0,所以 A + E = 0.
§6.4 综合题型 67 例6.9 设A为n阶实方阵,证明: 若A 6= O,而Ak = O,则A不相似于对角阵.
证明 设λ为矩阵A的特征值,对应的特征向量为x,则λk 为矩阵Ak 的特征值,对应的特征向量 也为x,即有
Akx = λkx. (6.1)
若Ak = O,代入 (6.1)得λkx = 0,而特征值为非零向量,所以只能有 λk = 0,得λ = 0.
当λ = 0 时,对应的特征方程为Ax = 0. 因A 6= O, R(A) > 0,方程组 Ax = 0的基础解系包 含的向量个数为n − R(A) < n,所以对应于λ = 0的特征向量不到n个,从而A没有n个线性无关 的特征向量, 得证A不相似于对角阵.
例6.10 设A为n阶实对称矩阵,且满足A3+ A2+ A = 3E,证明A是正定的矩阵.
证明 设λ为矩阵A的特征值,对应的特征向量为x,则λ3+ λ2+ λ − 3为矩阵A3+ A2+ A − 3E 的特征值,对应的特征向量为x,即有
(A3+ A2+ A − 3E)x = (λ3+ λ2+ λ − 3)x = 0, 注意到特征向量是非零向量,则只能有
λ3+ λ2+ λ − 3 = 0, 即 (λ − 1)(λ2+ 2λ + 3) = 0.
因实对称矩阵的特征值为实数,所以只能有 λ = 1. 得A的全部特征值为λ = 1(n重).
矩阵 A的全部特征值为正数,得证A是正定的矩阵.