Wuhan University

线性代 数·总结与复习 线性代 数·总结与复习

武汉大学 黄正华 武汉大学 黄正华

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目 录

第一章 行列式 ₁

1.1 内容小结 . . . 1

1.1.1 性质与定理 . . . 1

1.1.2 常用结论 . . . 1

1.2 两个典型例题. . . 2

1.3 行列式计算的常见方法 . . . 11

1.3.1 基本计算思路. . . 11

1.3.2 常用化简手法. . . 13

1.3.3 辅助算法 . . . 14

1.4 特殊行列式: Vandermonde行列式 . . . 15

1.5 小知识. . . 16

1.5.1 线性代数简介. . . 16

1.5.2 行列式简史 . . . 16

第二章 矩阵及其运算 18 2.1 内容小结 . . . 18

2.2 题型举例 . . . 19

2.2.1 矩阵运算 . . . 19

2.2.2 伴随矩阵 . . . 20

2.2.3 逆矩阵 . . . 22

2.2.4 矩阵方程 . . . 23

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 25 3.1 内容小结 . . . 25

3.1.1 本章重点 . . . 25

3.1.2 要避免的错误. . . 26

3.2 题型举例 . . . 27

3.2.1 线性方程组解的判定. . . 27

3.2.2 解矩阵方程 . . . 29

3.2.3 矩阵的秩 . . . 30

3.2.4 初等变换 . . . 31

3.2.5 逆矩阵 . . . 32

3.3 附录 分块初等阵和分块阵的初等变换 . . . 33

第四章 向量组的线性相关性 36 4.1 内容小结 . . . 36

4.1.1 本章要点 . . . 36

4.1.2 重新理解矩阵秩的性质 . . . 37

4.2 题型举例 . . . 38

4.2.1 向量组的线性相关性. . . 38

4.2.2 线性方程组的解 . . . 46

4.2.3 矩阵的秩 . . . 48 1

2 目 录

第五章 相似矩阵及二次型 51

5.1 内容小结 . . . 51

5.1.1 重点释疑 . . . 51

5.1.2 重要结论 . . . 55

5.2 题型举例 . . . 57

5.2.1 特征值与特征向量 . . . 57

5.2.2 实对称矩阵的特征值和特征向量 . . . 59

5.2.3 判别正定性 . . . 62

5.2.4 正交矩阵 . . . 63

5.3 矩阵简史 . . . 63

第六章 总结 64 6.1 全书概览 . . . 64

6.2 要点TOP 10 . . . 64

6.3 例题 TOP 5. . . 64

6.4 综合题型 . . . 65

第一章 行列式

在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵. 虽然表面上看, 行列式和矩阵不过是 一种符号或速记,但从数学史上来看,优良的数学符号和生动的概念是数学思想产生的动力 和钥匙.

§1.1 内容小结

§1.1.1 性质与定理

本章学习了行列式的6 个性质₍及2 个推论_),行列式按行(列)展开的定理3 及其推论,共10个 结论. 下面做三点归纳.

(一)行列式的三种变换.

性质 2、性质³、性质⁶是三个重要的结论,它们涉及了行列式的三种重要变换:

• 互换某两行₍列_);记作 ri ↔ rj (ci↔ cj).

• 提出某一行(列)的公因子;记作ri÷ k (ci÷ k ).

• 把某一行(列)的k倍加到另一行(列);记作r_i+ kr_j (c_i+ kc_j).

计算行列式最常用的一种方法就是利用变换ri+ krj 和_{ri ↔ rj,}把行列式化为上三角形行列式, 从而算得行列式的值.

(二₎行列式为零的两种情形:

• 两行(列)相同.

• 两行(列)成比例.

(三)行列式按某行展开的两种情形:

• 按任一行展开(定理 3).

• 一行元素乘以另一行对应元素的代数余子式,其和为零₍定理 ₃的推论_).

上述情形,综合起来就是一个表达式:

ak1Ai1+ ak2Ai2+ · · · + aknAin=

n

X

s=1

aksAis=

( D, k = i,

0, k 6= i; (1.1)

还有两个性质,比较简单:

• D^T= D (性质_1).

• 行列式的裂开(性质 _5).

§1.1.2 常用结论

1. 对角行列式

λ₁ 0 · · · 0 0 λ2 · · · 0 ... ... ... 0 0 · · · λn

= λ1λ2· · · λn. (1.2)

λ1

λ2

. .. λn

= (−1)^n(n−1)2 λ1λ2· · · λn. (1.3)

1

2 第一章 行列式 2. 三角形行列式

a₁₁ 0 0 · · · 0 a21 a22 0 · · · 0 ... ... ... ... a_n1 a_n2 a_n3 · · · a_nn

= a₁₁a₂₂· · · ann=           

a₁₁ a₁₂ · · · a_1n 0 a22 · · · a2n

... ... ... 0 0 · · · a_nn

. (1.4)

a_1n a2,n−1 a2n

. .. ... a_n1 a_n2 · · · a_nn

= (−1)^n(n−1)2 a_1na_2,n−1· · · an1=           

a₁₁ · · · a_1,n−1 a_1n a21 · · · a2,n−1

... . .. a_n1

. (1.5)

3. 准三角形行列式 

a11 · · · a1k 0 · · · 0 ... ... ... ... ak1 · · · akk 0 · · · 0 c₁₁ · · · c_1k b₁₁ · · · b_1r

... ... ... ... cr1 · · · crk br1 · · · brr

=        

a11 · · · a1k

... ... ak1 · · · akk

b11 · · · b1r

... ... br1 · · · brr

. (1.6)

对角行列式是三角形行列式的特例,三角形行列式又是准三角形行列式的特例. 4. 范德蒙德行列式

1 1 1 · · · 1

x₁ x₂ x₃ · · · x_n x²₁ x²₂ x²₃ · · · x²_n ... ... ... ... xⁿ⁻¹₁ xⁿ⁻¹₂ xⁿ⁻¹₃ · · · xⁿ⁻¹_n

= Y

n>i>j>1

(xi− xj).

§1.2 两个典型例题

这两个例子很有代表性,我们给出其一题多解_,基本涵盖了行列式计算的所有常见方法. 典型例 题1及其变形,广泛出现在各类考题中.

典型例题 ₁计算 n阶行列式

Dn=           

x a · · · a a x · · · a ... ... ... a a · · · x

           .

§1.2 两个典型例题 3 解: 解法一.将第一行乘 (−1)分别加到其余各行,得

Dn=             

x a a · · · a

a − x x − a 0 · · · 0 a − x 0 x − a · · · 0 ... ... ... ... a − x 0 0 · · · x − a

             ,

再将各列都加到第一列上,得

Dn=             

x + (n − 1)a a a · · · a

0 x − a 0 · · · 0

0 0 x − a · · · 0

... ... ... ...

0 0 0 · · · x − a

= x + (n − 1)a
(x − a)ⁿ⁻¹.

解法二. 将各列都加到第一列得

Dn=           

x + (n − 1)a a · · · a x + (n − 1)a x · · · a ... ... ... x + (n − 1)a a · · · x

= x + (n − 1)a
          

1 a · · · a 1 x · · · a ... ... ... 1 a · · · x

           ,

再将第一行乘以(−1)分别加到其余各行,得

D_n= x + (n − 1)a
            

1 a a · · · a

0 x − a 0 · · · 0 0 0 x − a · · · 0 ... ... ... ...

0 0 0 · · · x − a

= x + (n − 1)a
(x − a)ⁿ⁻¹.

解法三. 升阶法.

D_n =             

1 a a · · · a 0 x a · · · a 0 a x · · · a ... ... ... ... 0 a a · · · x

(n+1)×(n+1) ri−r1

=======

i=2,3,···

1 a a · · · a

−1 x − a 0 · · · 0

−1 0 x − a · · · 0 ... ... ... ...

−1 0 0 · · · x − a

(n+1)×(n+1)

,

若x = a,则D_n = 0. 若x 6= a,则将 ¹

x−ac_j 加到c₁, j = 2, 3, · · · , n + 1:

Dn =             

1 +_x−a^a n a a · · · a

0 x − a 0 · · · 0

0 0 x − a · · · 0

... ... ... ...

0 0 0 · · · x − a

(n+1)×(n+1)

4 第一章 行列式

=



1 + na x − a



(x − a)ⁿ = x + (n − 1)a
(x − a)ⁿ⁻¹.

解法四. 将Dn 的第 ₁列拆开_,得

D_n =             

x − a a a · · · a 0 x a · · · a 0 a x · · · a ... ... ... ... 0 a a · · · x

+             

a a a · · · a a x a · · · a a a x · · · a ... ... ... ... a a a · · · x

= (x − a)D_n−1+ a(x − a)ⁿ⁻¹.

所以















Dn= (x − a)Dn−1+ a(x − a)ⁿ⁻¹, (x − a)Dn−1= (x − a)²Dn−2+ a(x − a)ⁿ⁻¹, . . . . (x − a)ⁿ⁻³D3= (x − a)ⁿ⁻²D2+ a(x − a)ⁿ⁻¹. 将上述等式累加,消掉等号两边的相同项,并注意到D₂= x²− a²,则

Dn= (x − a)ⁿ⁻²(x²− a²) + (n − 2)a(x − a)ⁿ⁻¹= x + (n − 1)a
(x − a)ⁿ⁻¹. 注1.1 这个行列式经常以不同的样子出现,比如

D_n=           

0 1 · · · 1 1 0 · · · 1 ... ... ... 1 1 · · · 0

= (n − 1) (−1)ⁿ⁻¹,

Dn=           

1 a · · · a a 1 · · · a ... ... ... a a · · · 1

= [1 + (n − 1) a] (1 − a)ⁿ⁻¹,

Dn=           

1 + λ 1 · · · 1 1 1 + λ · · · 1 ... ... ... 1 1 · · · 1 + λ

= (λ + n) λⁿ⁻¹.

注1.2 这是一个重要的例题.解法一最简单.

解法二是因为所有的列(行)加到某一列(行),其值相等,可以提出公因子. 是一个常用的方法. 解法三称为_“升阶法”或_“加边法”,在这个题中看似笨拙_,实则是一类重要的方法. 比如这个题目 可以改一下:

Dn =           

x1 a · · · a a x2 · · · a ... ... ... a a · · · xn

. (1.7)

§1.2 两个典型例题 5 此时解法二是不适用的. 这个题还可以进一步改为:

Dn =           

x₁ a₂ · · · a_n a1 x2 · · · an

... ... ... a1 a2 · · · xn

. (1.8)

行列式(1.7)和_(1.8)用升阶法很方便. 注1.3 行列式(1.7)的结果: 假定xi 6= a,得

D_n = 1 +

n

X

i=1

a xi− a

Yⁿ

i=1

(x_i− a) .

行列式(1.8)的结果_:假定 xi6= ai,得

Dn = 1 +

n

X

i=1

ai

x_i− a_i

Yⁿ

i=1

(xi− ai) .

行列式(1.7)和(1.8)有很多不同的出现形式, 常见于各类教材和习题,也是极常见的试题.比如

Dn =             

1 + a 1 1 · · · 1

2 2 + a 2 · · · 2 3 3 3 + a · · · 3 ... ... ... ...

n n n · · · n + a

=



a +n(n + 1) 2

 aⁿ⁻¹.

Dn =             

a1+ b a2 a3 · · · an

a₁ a₂+ b a₃ · · · a_n a1 a2 a3+ b · · · an

... ... ... ... a₁ a₂ a₃ · · · a_n+ b

= bⁿ⁻¹Xⁿ

i=1

ai+ b

. (2003年考研数学三)

这里顺便提一下“爪形”行列式. 在解法三中出现了下面形式的行列式: a₁₁ a₁₂ a₁₃ · · · a_1n

a21 a22 0 · · · 0 a31 0 a33 · · · 0 ... ... ... . .. ... a_n1 0 0 · · · a_nn 

可以谓之“爪形”行列式. 它的解法是固定的. 比如计算行列式(假定ai6= 0):

Dn+1=             

a₀ 1 1 · · · 1 1 a1 0 · · · 0 1 0 a2 · · · 0 ... ... ... . .. ... 1 0 0 · · · an

6 第一章 行列式 分别将第i (i = 2, · · · , n + 1)行乘以₋ ¹

a_i−1 加到第1 行,得

Dn+1=               

a₀−

n

P

i=1 1

a_i 0 0 · · · 0 1 a₁ 0 · · · 0 1 0 a₂ · · · 0 ... ... ... . .. ... 1 0 0 · · · a_n

= a1a2· · · an

 a0−

n

X

i=1

1 ai

 .

再看一些典型例题₁的变形_. 例_1.1 计算n阶行列式

D_n=             

x a a · · · a

−a x a · · · a

−a −a x · · · a ... ... ... ...

−a −a −a · · · x              .

解 按第一列拆开,

D_n=             

a a a · · · a

−a x a · · · a

−a −a x · · · a ... ... ... ...

−a −a −a · · · x             

+             

x − a a a · · · a

0 x a · · · a

0 −a x · · · a ... ... ... ... 0 −a −a · · · x

= a(x + a)ⁿ⁻¹+ (x − a)D_n−1^T . (1.9)

对称地可知

D^T_n =             

x −a −a · · · −a a x −a · · · −a a a x · · · −a ... ... ... ... a a a · · · x

= −a(x − a)ⁿ⁻¹+ (x + a)D_n−1.

所以

D_n= D^T_n = −a(x − a)ⁿ⁻¹+ (x + a)D_n−1. (1.10) 于是, 联立(1.9)和(1.10),消去Dn−1,得2aDn = a(x + a)ⁿ+ a(x − a)ⁿ. 当a 6= 0时,有

Dn=(x + a)ⁿ+ (x − a)ⁿ

2 .

易见当a = 0时,结论也成立_.

§1.2 两个典型例题 7 例1.2 计算n阶行列式(a 6= b):

Dn=                

x a a · · · a a b x a · · · a a b b x · · · a a ... ... ... ... ... b b b · · · x a b b b · · · b x

                .

解 从_r1 开始, 各行减去下一行:

Dn

r_i−ri+1

=========

i=1,··· ,n−1

x − b a − x 0 · · · 0 0 0 x − b a − x · · · 0 0

0 0 x − b · · · 0 0

... ... ... ... ...

0 0 0 · · · x − b a − x

b b b · · · b x

                展开c1

======= (x − b)D_n−1+ (−1)ⁿ⁺¹· b · (a − x)ⁿ⁻¹

= (x − b)Dn−1+ b(x − a)ⁿ⁻¹. (1.11)

由Dn 表达式中a, b的对称性,知_Dn^T_{= (x − a)D}^T_{n−1+ a(x − b)}ⁿ⁻¹_,而D^T_n = Dn, D^T_n−1= Dn−1,可 得

D_n= (x − a)D_n−1+ a(x − b)ⁿ⁻¹. (1.12) 联立(1.11)和(1.12)式,消去 D_n−1得

D_n= a(x − b)ⁿ− b(x − a)ⁿ

a − b .

典型例题 2试证             

x −1 0 · · · 0 0

0 x −1 · · · 0 0

... ... ... ... ...

0 0 0 · · · x −1

an an−1 an−2 · · · a2 x + a1

= xⁿ+ a1xⁿ⁻¹+ · · · + an−1x + an.

证明: 解法一.设法把主对角线上的x变为 0,再按第一列展开.

D_n=                

x −1 0 · · · 0 0 0

0 x −1 · · · 0 0 0

... ... ... ... ... ...

0 0 0 · · · x −1 0

0 0 0 · · · 0 x −1

an an−1 an−2 · · · a3 a2 x + a1

8 第一章 行列式

c_n−1+xc_n

========

x −1 0 · · · 0 0 0

0 x −1 · · · 0 0 0

... ... ... ... ... ...

0 0 0 · · · x −1 0

0 0 0 · · · 0 0 −1

an an−1 an−2 · · · a3 x²+ a1x + a2 x + a1

c_n−2+xc_n−1

==========

x −1 0 · · · 0 0 0

0 x −1 · · · 0 0 0

... ... ... ... ... ...

0 0 0 · · · 0 −1 0

0 0 0 · · · 0 0 −1

an an−1 an−2 · · · x³+ a1x³+ a2x + a3 x²+ a1x + a2 x + a1

c_j+xc_j−1

========

0 −1 · · · 0 0

0 0 · · · 0 0

... ... ... ...

0 0 · · · −1 0

0 0 · · · 0 −1

xⁿ+ a1xⁿ⁻¹+ · · · + an xⁿ⁻¹+ a1xⁿ⁻²+ · · · + an−1 · · · x²+ a1x + a2 x + a1

=(xⁿ+ a1xⁿ⁻¹+ · · · + an−1x + an)(−1)ⁿ⁺¹             

−1 · · · 0 0 0 · · · 0 0 ... ... ... 0 · · · −1 0 0 · · · 0 −1

(n−1)×(n−1)

=(xⁿ+ a1xⁿ⁻¹+ · · · + an−1x + an)(−1)ⁿ⁺¹(−1)ⁿ⁻¹

=xⁿ+ a1xⁿ⁻¹+ · · · + an−1x + an.

解法二. 设法把−1全部变为0,得到一个下三角矩阵. 若x = 0,则_{Dn= an.} 等式成立.

若x 6= 0,则

Dn

c₂+_x¹c₁

=======             

x 0 0 · · · 0 0

0 x −1 · · · 0 0

... ... ... ... ...

0 0 0 · · · x −1

a_n a_n−1+^a_xⁿ a_n−2 · · · a₂ x + a₁             

c₃+_x¹c₂

=======             

x 0 0 · · · 0 0

0 x 0 · · · 0 0

... ... ... ... ...

0 0 0 · · · x −1

a_n a_n−1+^a_xⁿ a_n−2+^an−1_x +^a_xⁿ₂ · · · a₂ x + a₁             

= · · ·

§1.2 两个典型例题 9

=             

x 0 0 · · · 0 0

0 x 0 · · · 0 0

... ... ... ... ...

0 0 0 · · · x 0

a_n a_n−1+^a_xⁿ a_n−2+^an−1_x +^a_xⁿ₂ · · · P₂ P₁              这里,

P2= a2+a3

x +a4

x² + · · · + an

xⁿ⁻², P₁= x + a₁+a₂

x +a₃

x² + · · · + a_n xⁿ⁻¹. 得到下三角阵,所以

D_n= xⁿ⁻¹· P1= xⁿ+ a₁xⁿ⁻¹+ · · · + a_n−1x + a_n. 解法三_. 用递归法证明_. 记

Dn=             

x −1 0 · · · 0 0

0 x −1 · · · 0 0

... ... ... ... ...

0 0 0 · · · x −1

an an−1 an−2 · · · a2 x + a1

             ,

则

Dn

展开c₁

======x           

x −1 · · · 0 0

... ... ... ...

0 0 · · · x −1

an−1 an−2 · · · a2 x + a1

+ an(−1)ⁿ⁺¹           

−1 0 · · · 0 0 x −1 · · · 0 0 ... ... ... ... 0 0 · · · x −1

= xDn−1+ an(−1)ⁿ⁺¹(−1)ⁿ⁻¹= xDn−1+ an. 所以, D_n= xD_n−1+ a_n. 由此递归式得

D_n= xⁿ+ a₁xⁿ⁻¹+ · · · + a_n−1x + a_n. 解法四. 按最后一行展开. 先看an−i 的代数余子式. 因为

D_n=                            

x −1

x −1

x . ..

. .. −1

x −1

x −1

x . .. . .. −1

x −1

an an−1 an−2 · · · a_n−(i−1) an−i a_n−(i+1) a2 x + a1

10 第一章 行列式 划掉a_n−i所在的行和所在的列,左上角是i × i的方块,右下角是(n − i − 1) × (n − i − 1)的方块,余 下全为0.

则an−i 的 代::

数::

::余

::子

::式为(注意到an−i 处在第n行、^{i + 1}列)

(−1)ⁿ⁺ⁱ⁺¹              

x −1 x −1

x . .. . .. −1

x              i×i

−1 x . ..

. .. −1 x −1

(n−i−1)×(n−i−1)

= xⁱ

所以, D_n 按最后一行展开,得到

Dn= an+ an−1x + an−2x²+ · · · + an−ixⁱ+ · · · + a2xⁿ⁻²+ (x + a1)xⁿ⁻¹

= xⁿ+ a₁xⁿ⁻¹+ · · · + a_n−1x + a_n. 解法五. 针对_c1 作变换_.

Dn =                

x −1 0 · · · 0 0

0 x −1 · · · 0 0

0 0 x · · · 0 0

... ... ... ... ...

0 0 0 · · · x −1

an an−1 an−2 · · · a2 x + a1

c1+xc2

======

0 −1 0 · · · 0 0

x² x −1 · · · 0 0

0 0 x · · · 0 0

... ... ... ... ...

0 0 0 · · · x −1

a_n+ a_n−1x a_n−1 a_n−2 · · · a₂ x + a₁                

c₁+x²c₃

=======

0 −1 0 · · · 0 0

0 x −1 · · · 0 0

x³ 0 x · · · 0 0

... ... ... ... ...

0 0 0 · · · x −1

an+ an−1x + an−2x² an−1 an−2 · · · a2 x + a1

= · · ·

=                

0 −1 0 · · · 0 0

0 x −1 · · · 0 0

0 0 x · · · 0 0

... ... ... ... ...

0 0 0 · · · x −1

P a_n−1 a_n−2 · · · a₂ x + a₁                 ,

这里, P = a_n+ a_n−1x + a_n−2x²+ · · · + a₁xⁿ⁻¹+ xⁿ.

§1.3 行列式计算的常见方法 11 再按第一列展开,得

D_n= xⁿ+ a₁xⁿ⁻¹+ · · · + a_n−1x + a_n.

§1.3 行列式计算的常见方法

从具体的微观手法看,有行累加、主行消法、逐行消法、逐行相邻互换等方法^; 还有一些非主流的方法,如升阶、裂开等^.

§1.3.1 基本计算思路

1三角化

化行列式为三角形是计算行列式的最基本思路. 通过观察行列式的特点, 利用行列式的性质将 其作变形,再将其化为三角形行列式.

例1.3 计算n阶行列式

D =                

n n − 1 · · · 3 2 1 n n − 1 · · · 3 3 1 n n − 1 · · · 5 2 1 ... ... . .. ... ... ... n 2n − 3 · · · 3 2 1 2n − 1 n − 1 · · · 3 2 1

                .

解 各行只有副对角线元素不同.将第 1行乘以(−1)加到第2, 3, . . ., n行,得

D =                

n n − 1 · · · 3 2 1

0 0 · · · 0 1 0

0 0 · · · 2 0 0

... ... . .. ... ... ... 0 n − 2 · · · 0 0 0 n − 1 0 · · · 0 0 0

= (−1)^n(n−1)2 (n − 1)!.

例1.4 计算行列式的值:

Dn =             

1 2 3 · · · n − 1 n

2 3 4 · · · n 1

3 4 5 · · · 1 2

... ... ... ... ... n 1 2 · · · n − 2 n − 1

             .

解 注意到从第1列开始,每一列与它后一列中有 n − 1个数相差1. 依次进行列运算:第n列加上 第n − 1列的 −1倍; 第n − 1列加上第n − 2列的 −1倍;一直到第2 列加上第1列的−1 倍. 得

Dn=             

1 1 1 · · · 1 1

2 1 1 · · · 1 1 − n

3 1 1 · · · 1 − n 1 ... ... ... ... ... n 1 − n 1 · · · 1 1

ri−r1

=======

i=2,··· ,n

1 1 1 · · · 1 1

1 0 0 · · · 0 −n 2 0 0 · · · −n 0 ... ... ... ... ... n − 1 −n 0 · · · 0 0

12 第一章 行列式

r1+_n¹ri

=======

i=2,··· ,n

1 +_n¹(1 + · · · + (n − 1)) 0 · · · 0 0

1 0 · · · 0 −n

2 0 · · · −n 0

... ... ... ...

n − 2 0 · · · 0 0

n − 1 −n · · · 0 0

=(n + 1) 2

0 0 · · · 0 −n 0 0 · · · −n 0 ... ... ... ... 0 −n · · · 0 0

−n 0 · · · 0 0

(n−1)×(n−1)

=(n + 1)

2 · (−n)ⁿ⁻¹· (−1)^{(n−1)(n−2)2}

=(n + 1)

2 · nⁿ⁻¹· (−1)^n(n−1)2 .

2降阶法

按一行₍列₎展开或按_Laplace定理展开_,将n阶行列式降为较低阶又容易计算的行列式,此方法

统称为降阶法.

例1.5 计算n阶行列式

Dn =             

a b 0 · · · 0 0 0 a b · · · 0 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 · · · a b b 0 0 · · · 0 a

             .

解 按第一列展开,

D_n= aⁿ+ (−1)ⁿ⁺¹bⁿ.

3递推法

一般地, 递推方法是通过降阶等途径, 建立n 阶行列式 D_n 和较它阶低的结构相同的行列式之 间的关系,并求得Dn.

例1.6 计算如下的n阶三_.对_.角_.行_.列_.式_.

Dn=             

a + b ab 1 a + b ab

. .. . .. . .. 1 a + b ab

1 a + b              .

§1.3 行列式计算的常见方法 13 解 按第1 列展开,得

Dn= (a + b)Dn−1−                

ab 0 0

1 a + b ab 1 a + b ab

. .. . .. . .. 1 a + b ab

1 a + b                

= (a + b)Dn−1− abDn−2. (1.13)

由(1.13)得到

Dn− bDn−1= a(Dn−1− bDn−2) = a²(Dn−2− bDn−3) = · · · = aⁿ⁻²(D2− bD1).

又D1= a + b, D2= a²+ b²+ ab,得

D_n− bD_n−1= aⁿ. (1.14)

同理(或由 a, b的对称性)得

D_n− aDn−1= bⁿ. (1.15)

若a 6= b,联立 (1.14)和(1.15)消去D_n−1,得

Dn=aⁿ⁺¹− bⁿ⁺¹ a − b . 若a = b,则_{Dn = aDn−1+ a}ⁿ_. 依此递推_,得_{Dn = (n + 1)a}ⁿ_. 注_1.4 与递推过程相反的方法是归纳.如要计算n阶行列式

Dn=             

3 2

1 3 2

. .. . .. . ..

1 3 2

1 3

             ,

因为D1= 3 = 2²− 1, D2= 7 = 2³− 1, D3= 15 = 2⁴− 1. 因此,猜想 Dn= 2ⁿ⁺¹− 1,

并利用数学归纳法易证此结论成立.

§1.3.2 常用化简手法

要计算一个n阶行列式,往往要利用行列式性质将它化简. 为此,总结上面例子有以下三种常用 手法:

• 行累加,即把行列式的某n − 1个行_, 加到余下的一行. 当行列式的各行的和相同时常使用此技 巧.

• 主行消法,即某行的适当倍数,加到其余的各行.

• 逐行消法,即第i行乘以_k加到第i + 1行, i = n − 1, n − 2, · · · , 1;或第 _{i + 1}行乘以_k加到第i 行, i = 1, 2, · · · , n − 1.

• 逐行相邻互换.

14 第一章 行列式 当然, 这些方法都是行列式三种基本变换的“高级形式”.

例1.7 计算行列式

D =          

1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3

          .

解 各列加到第一列后,各行减去第一行,

D = 160.

例1.8 计算行列式

Dn =             

1 2 3 · · · n − 1 n

1 −1 0 · · · 0 0

0 2 −2 · · · 0 0

... ... ... ... ... 0 0 0 · · · n − 1 1 − n

             .

解 各列加到第一列,再展开第一列_,得

D_n= (−1)ⁿ⁻¹(n + 1)!

2 .

§1.3.3 辅助算法

1升阶

将n阶行列式添上一行、一列^,变为n + 1阶行列式再化简计算.也称加边法. 当然加边不是随便加一行一列就可以了. 关键是观察每行或每列是否有相同的因子. 例1.9 计算n阶行列式:

Dn=           

x²₁+ 1 x₁x₂ · · · x₁x_n x2x1 x²₂+ 1 · · · x2xn

... ... ... xnx1 xnx2 · · · x²_n+ 1

           .

分析 暂时不看主对角线上的1,则第i行是 xi 与x1, x2, . . . , xn 相乘. 该行列式每行有相同的因子 x₁, x₂, . . . , x_n, 从而考虑加边法.

解

Dn =             

1 x1 x2 · · · xn

0 x²₁+ 1 x₁x₂ · · · x₁x_n 0 x₂x₁ x²₂+ 1 · · · x₂x_n ... ... ... ... 0 x_nx₁ x_nx₂ · · · x²_n+ 1

ri+1−xir1

========

i=1,··· ,n

1 x1 x2 · · · xn

−x₁ 1 0 · · · 0

−x2 0 1 · · · 0 ... ... ... ...

−x_n 0 0 · · · 1             n+1

c₁+x_ic_i+1

========

i=1,··· ,n

1 +

n

P

i=1

x²_i x1 x2 · · · xn

0 1 0 · · · 0

0 0 1 · · · 0

... ... ... ...

0 0 0 · · · 1

              _n+1

= 1 +

n

X

i=1

x²_i.

§1.4 特殊行列式: Vandermonde 行列式 15 注意升阶法最大的特点就是要找出每行或每列相同的因子,把1及这些相同的因子作为新行列 式的第一行, 那么升阶之后,就可利用行列式的性质把绝大部分元素化为零,从而简化计算_.

2裂开

将一个行列式裂开成2个₍或₂ 个以上₎行列式来化简计算. 例1.10 试证

b + c c + a a + b q + r r + p p + q y + z z + x x + y

= 2        

a b c p q r x y z

        .

解 记左端行列式为 D,利用行列式的性质,将D 的第1 列拆开得到两个行列式

D =        

b c + a a + b q r + p p + q y z + x x + y

+        

c c + a a + b r r + p p + q z z + x x + y

        .

将第一个行列式中将第3 列减去第₁ 列_,在第₂ 个行列式中将第2 列减去第₁列_:

D =        

b c + a a q r + p p y z + x x        

+        

c a a + b r p p + q z x x + y

=        

b c a q r p y z x        

+        

c a b r p q z x y

= 2        

a b c p q r x y z

        .

得证_.

§1.4 特 殊行列式: Vandermonde 行列式

D_n=             

1 1 · · · 1

a1+ 1 a2+ 1 · · · an+ 1 a²₁+ a1 a²₂+ a2 · · · a²_n+ an

... ... ...

aⁿ⁻¹₁ + aⁿ⁻²₁ aⁿ⁻¹₂ + aⁿ⁻²₂ · · · aⁿ⁻¹_n + aⁿ⁻²_n              .

解 从第二行起, 各行减去上一行, 得一范德蒙行列式 Dn= Y

16j<i6n

(ai− aj).

例_1.12 计算行列式:

Dn=             

1 1 · · · 1 2 2² · · · 2ⁿ 3 3² · · · 3ⁿ ... ... ... n n² · · · nⁿ

             .

16 第一章 行列式 解 将第i行提公因子 i,得

D_n= n!

1 1 1 · · · 1 1 2 2² · · · 2ⁿ⁻¹ 1 3 3² · · · 3ⁿ⁻¹

... ... ... ... 1 n n² · · · nⁿ⁻¹

= n! Y

n>i>j>1

(x_i− x_j)

= n! (2 − 1)(3 − 1)(4 − 1) · · · (n − 1)

· (3 − 2)(4 − 2) · · · (n − 2)

· · · ·

· n − (n − 1)

= n! (n − 1)! (n − 2)! · · · 2! 1!.

§1.5 小知识

§1.5.1 线性代数简介

线性代数¹(Linear Algebra)是代数学的一个分支,主要处理线性关系问题_.线性关系意即数学对

象之间的关系是以一_.次_.形_.式来表达的_. . 例如_,在解析几何里, 平面上直线的方程是二元一次方程; 空 间平面的方程是三元一次方程,而空间直线视为两个平面相交,由两个三元一次方程所组成的方程组 来表示. 含有_n 个未知量的一次方程称为线性方程. 关于变量是一次的函数称为线性函数. 线性关 系问题简称线性问题.解线性方程组的问题是最简单的线性问题.

线性代数作为一个独立的分支在 20世纪才形成,然而它的历史却非常久远. 最古老的线性问题 是线性方程组的解法,在中国古代的数学著作《九章算术·方程》章中^,已经作了比较完整的叙述,其 中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵的行施行初等变换, 消去未知量的方法. 随着 研究线性方程组和变量的线性变换问题的深入, 行列式和矩阵在18～¹⁹世纪期间先后产生, 为处理 线性问题提供了有力的工具,从而推动了线性代数的发展.向量概念的引入,形成了向量空间的概念. 凡是线性问题都可以用向量空间的观点加以讨论.因此,向量空间及其线性变换,以及与此相联系的 矩阵理论,构成了线性代数的中心内容.

线性代数的含义随数学的发展而不断扩大.线性代数的理论和方法已经渗透到数学的许多分支, 同时也是理论物理和理论化学所不可缺少的代数基础知识.

“以直代曲”是人们处理很多数学问题时一个很自然的思想.很多实际问题的处理,最后往往归结 为线性问题_,它比较容易处理_. 因此_,线性代数在工程技术和国民经济的许多领域都有着广泛的应用, 是一门基本的和重要的学科.线性代数的计算方法是计算数学里一个很重要的内容.

Algebra 一词来源于 ₉ 世纪阿拉伯数学家和天文学家花拉子米(al-Khow¯arizmi, 约 _780–约 ₈₅₀₎ 的重要著作《al-jabr w’almuqabala》的名称^. 原义是还原(al-jabr)与相消(almuquabalah),即方程两端 的移项和同类项合并, 简称为 algebra. 清初输入中国时, 译为阿尔热巴拉(梅瑴成^{, 1761),} 后改译为 代数学(李善兰, 1835). 代数一词源自一个朴素的认识: Algebra的特征是以符号“代”替“数”字. 李善 兰(1811–1882)创译了许多科学名词,如“函数”, “方程式”, “微分_{”, “}积分_{”, “}级数”, “植物_{”, “}细胞”等_.

§1.5.2 行列式简史

行列式出现于线性方程组的求解,它最早是一种速记的表达式,现在已经是数学中一种非常有用

1摘抄整理自《中国大百科全书·数学》^P.757:“线性代数_”词条_{; P.111: “}代数学_”词条_{; P.302:“}花拉子米_”词条_; P.434:“李善兰”词条.

§1.5 小知识 17 的工具. 行列式是由莱布尼茨和日本数学家关孝和发明的. 1693 年4 月,莱布尼茨在写给洛比达的 一封信中使用并给出了行列式,并给出方程组的系数行列式为零的条件.同时代的日本数学家关孝和 在其著作《解伏题元法》中也提出了行列式的概念与算法^.

1750 年, 瑞士数学家克莱姆(G. Cramer, 1704–1752) 在其著作《线性代数分析导引》中^, 对行列 式的定义和展开法则给出了比较完整、明确的阐述^, 并给出了现在我们所称的解线性方程组的克莱 姆法则.稍后,数学家贝祖(E. Bezout, 1730–1783)将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化,利 用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次线性方程组有非零解.

总之_,在很长一段时间内,行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用,并没有人意识到它可 以独立于线性方程组之外,单独形成一门理论加以研究.

在行列式的发展史上, 第一个对行列式理论做出连贯的逻辑的阐述, 即把行列式理论与线性方 程组求解相分离的人, 是法国数学家范德蒙(A-T. Vandermonde, 1735–1796). 特别地_,他给出了用二 阶子式和它们的余子式来展开行列式的法则. 就对行列式本身这一点来说, 他是这门理论的奠基人. 1772年,拉普拉斯在一篇论文中证明了范德蒙提出的一些规则,推广了他的展开行列式的方法.

继范德蒙之后,在行列式的理论方面,又一位做出突出贡献的就是另一位法国大数学家柯西. 1815 年_,柯西在一篇论文中给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理^. 其中主要结果之一是行列 式的乘法定理. 另外, 他第一个把行列式的元素排成方阵, 采用双足标记法; 引进了行列式特征方程 的术语;给出了相似行列式概念;改进了拉普拉斯的行列式展开定理并给出了一个证明.

继柯西之后, 在行列式理论方面最多产的人就是德国数学家雅可比(J. Jacobi, 1804–1851),他引 进了函数行列式,即“雅可比行列式”,指出函数行列式在多重积分的变量替换中的作用,给出了函数 行列式的导数公式. 雅可比的著名论文《论行列式的形成和性质》标志着行列式系统理论的建成^. 由 于行列式在数学分析、几何学、线性方程组理论、二次型理论等多方面的应用^,促使行列式理论自身 在19世纪也得到了很大发展.整个₁₉世纪都有行列式的新结果.除了一般行列式的大量定理之外, 还有许多有关特殊行列式的其他定理都相继得到.

第二章 矩阵及其运算

矩阵是一个数表,而行列式本质上是一个数. 这是两者的巨大区别.

§2.1 内容小结

(一)矩阵的运算_.特别是矩阵乘法不满足的几个运算律.

I.不满足交换律,即AB = BA一般不_.成_.立_.. (特别地,若AB = BA, 则称矩阵A和B 是可交 换的_.) 相应地要注意以下几点:

(1)矩阵乘法特别地有“左乘”和“右乘”的说法, 比如B 左乘A (即BA)和B右乘A (即AB) 是完全不同的.

(2)在提取公因子的时候,要分清楚是从左侧还是右侧提出.比如AB − B 可以写为(A − E)B, 即B 只能从右侧提出_,不能写成 _{B(A − E).} 而_{AB − BC,} 写成 _{(A − C)B} 或_{B(A − C),} 都是错 误的.

(3)由于不满足交换律,下列公式一般不_.成_.立_.:

• (AB)^k= A^kB^k;

• (A + B)(A − B) = A²− B²;

• 牛顿二项式展开式一般不成立,比如最简单的公式 (A + B)²= A²+ 2AB + B² 就不_.成_.立_.. 而 A与λE 当然是可交换的, 所以牛顿二项式展开式只在下面的情形成立:

(A + λE)ⁿ = Aⁿ+ C_n¹λAⁿ⁻¹+ C_n²λ²Aⁿ⁻²+ · · · C_nⁿ⁻¹λⁿ⁻¹A + λⁿE.

II. 不满足消去律:

(1)当AB = O 时, 不能推出A = O 或B = O.

(2)当AB = AC,且A 6= O 时,不能得到B = C.

注意_,当_A可逆时,消去律是成立的,即 当AB = O 时, 且|A| 6= O时,有B = O;

当_{AB = AC,}且|A| 6= O时,有_{B = C.}

问: 由A²= O,能否得到 A = O ? 由A²= E,能否得到A = ±E ? 由aA²+ bA + cE = O 且b²− 4ac > 0,能否得到A = −b ±√

b²− 4ac

2a E ?

上述都是不成立的,根源仍然是因为矩阵乘法不满足消去律.

矩阵运算不满足交换律,不满足消去律,还有一些过去熟知的公式在矩阵理论里并不成立. 前述 是线性代数初学者最容易犯的几个错误之一,为数不少的人会一直犯这个错误.

我们要注意,虽然矩阵也有所谓的“加法”、^“乘法”,但是这和我们熟知的实数加法、乘法是完全 不同的_. 运算的对象不同,运算的内容不同_,当然_,运算的规律也不同_.这是两个不同的讨论范围里的 不同运算,相同的只不过是沿用了以前的称谓或记号而已,我们不要被这一点“相同”而忘记二者本质 的不同.

(二₎伴随矩阵_.

1) AA^∗= A^∗A = |A|E. 这个公式要牢记!其重大意义是由此引入了逆矩阵的讨论.注意这里的

A不一定是可逆的.

2) 若A 6= 0,则A⁻¹= 1

|A|A^∗. 它在理论上给出了求逆矩阵的方法,但是并不实用,在第三章将 给出一个简单实用的方法(见教材P.64例2).

18

§2.2 题型举例 19 (三)逆矩阵

1) 矩阵定义中的条件 “AB = BA = E” 是可以弱化的: 设A, B 为方阵_, 若AB = E,则 _A, B 可逆,且互为逆矩阵. 更一般地,对方阵而言,若A1A2· · · Ak= λE且λ 6= 0,则矩阵A1, A2, · · · , A_k 都是可逆的.

2) 逆矩阵在运算中实现了除法的功能.在矩阵中没有除法_, 或者说_, 我们通过引入逆矩阵_,避免 了对除法的讨论.

对于任意的n 阶方阵A 都有AE = EA = A. 从乘法的角度来看, n阶单位矩阵 E 在矩阵中 的地位类似于 ₁ 在复数中的地位. 一个复数a 6= 0的倒数可以用等式 aa⁻¹ = 1来刻划_,相仿地,我 们引入记号A⁻¹ 表示 A的逆矩阵,并且满足AA⁻¹ = E. 记号A⁻¹ 是特定的,它不能写成 ¹

A. 3) 矩阵可逆的几个等价说法: 设A为n阶方阵,

矩阵 _A可逆⇐⇒ |A| 6= 0 ⇐⇒ A为非奇异矩阵_. 其他的等价说法,在以后会学习到.

(四)其他重要公式与结论.

• |λA| = λⁿ|A|.

• (AB)⁻¹= B⁻¹A⁻¹.

• (AB)^T= B^TA^T.

• a b

c d

!⁻¹

= 1

ad − bc

d −b

−c a

!

, (ad − bc 6= 0).

•













 A₁

A2

. .. Ak















−1

=













 A⁻¹₁

A⁻¹₁ . ..

A⁻¹_k













 .

•           

A1

A2

. .. Ak

= |A1| |A2| · · · |Ak|.

• O A

B O

!⁻¹

= O B⁻¹

A⁻¹ O

!

. (P.56习题 27)

•     

O Am×m

B_n×n O

= (−1)^mn|A| |B| . (使用Laplace展开可得_. 或者_,将A所在行的最后一行开

始,与B 所在的n行进行相邻互换, 共进行m × n次互换后,得到     

B_n×n O

O Am×m

     .)

§2.2 题型举例

§2.2.1 矩阵运算

例2.1 设A, B 均为n × n 矩阵,则必有 【 】

(A) |A + B| = |A| + |B|. (B) AB = BA.

(C) |AB| = |BA|. (D) (A + B)⁻¹= A⁻¹+ B⁻¹.

解 选(C).特别注意选项(D): (A + B)⁻¹= A⁻¹+ B⁻¹,是错误的.

20 第二章 矩阵及其运算 例2.2 设A, B, A + B, A⁻¹+ B⁻¹ 均为 n阶可逆矩阵,则(A⁻¹+ B⁻¹)⁻¹ 【 】

(A) A⁻¹+ B⁻¹. (B) A + B.

(C) A(A + B)⁻¹B. (D) (A + B)⁻¹.

解 首先就可以排除(A), (B).选项(B) 和上例中的(D)是一样的错误.正确选项是(C).事实上, (A⁻¹+ B⁻¹)⁻¹= (EA⁻¹+ B⁻¹E)⁻¹

= (B⁻¹BA⁻¹+ B⁻¹AA⁻¹)⁻¹

= B⁻¹(B + A)A⁻¹
−1

= (A⁻¹)⁻¹(B + A)⁻¹(B⁻¹)⁻¹

= A(A + B)⁻¹B.

例2.3 已知α = (1, 2, 3), β = 1,¹₂,¹₃
,设A = α^Tβ,求Aⁿ. 解

Aⁿ = α^Tβ
ⁿ

= α^T βα^T
n−1

β = 3ⁿ⁻¹α^Tβ = 3ⁿ⁻¹









1 ¹₂ ¹₃ 2 1 ²₃ 3 ³₂ 1







 .

例2.4 设A =









1 0 1 0 2 0 1 0 1









,而n为正整数,求Aⁿ− 2Aⁿ⁻¹. (n > 2)

解 由A²=









2 0 2 0 4 0 2 0 2









= 2A,得

Aⁿ− 2Aⁿ⁻¹= Aⁿ⁻² A²− 2A
= O.

例2.5 设A =









0 −1 0

1 0 0

0 0 −1









, B = P⁻¹AP ,其中_P 为三阶可逆矩阵_,求B²⁰⁰⁸− 2A².

解 由_A²₌









−1

−1 1









,且A⁴= E,得

B²⁰⁰⁸− 2A²= P⁻¹A²⁰⁰⁸P − 2A²= P⁻¹P − 2A²=







 3

3

−1







 .

§2.2.2 伴随矩阵

例2.6 证明下列结论:

(1)若|A| = 0,则|A^∗| = 0; (A不可逆,则A^∗ 也不可逆.)

(2)若A可逆_, 则_A^∗ 也可逆_. 此时A^∗= |A| A⁻¹, (A^∗)⁻¹= (A⁻¹)^∗= 1

|A|A;

§2.2 题型举例 21 (3) |A^∗| = |A|ⁿ⁻¹;

(4) (kA)^∗= kⁿ⁻¹A^∗; (5) (A^∗)^T= (A^T)^∗.

解 (1)反证法．假设^{|A∗| 6= 0,}即A^∗ 可逆. 由|A| = 0,则AA^∗= |A| E = O.

而A^∗ 可逆,则A = O,这导致A^∗= O. 与假设|A^∗| 6= 0矛盾. 故若_{|A| = 0,}则_|A^∗_{| = 0.}

(2)若A可逆_, 在_A^∗_{A = |A| E} 两边右乘_A⁻¹_,得 A^∗= |A| A⁻¹. 又_A可逆_,则_{|A| 6= 0,}且A⁻¹ 可逆_,知_A^∗_{= |A| A}⁻¹ 可逆_,且

(A^∗)⁻¹= |A| A⁻¹
−1

= 1

|A|A.

另由伴随矩阵性质有 A⁻¹
∗

A⁻¹= A⁻¹

E,两边右乘A得 A⁻¹
∗

= A⁻¹

A = 1

|A|A.

(3)由AA^∗= |A| E 取行列式得到: |A| |A^∗| = |A| E

= |A|ⁿ.

若|A| 6= 0,则|A^∗| = |A|ⁿ⁻¹. 若|A| = 0,由(1)知_|A^∗_{| = 0,}此时命题也成立. (4)因为kA的代数余子式A_ij = kⁿ⁻¹A_ij,故(kA)^∗ = kⁿ⁻¹A^∗.

(5)由伴随矩阵的定义

A^∗=















A11 A21 · · · An1

A12 A22 · · · An2

... ... ... A1n A2n · · · Ann













 ,

容易验证结论成立_.

例2.7 设A, B 为n阶矩阵, A^∗, B^∗ 分别为 A, B 的伴随矩阵,分块矩阵 C = A O

O B

!

, 则C 的

伴随矩阵_C^∗₌ 【 】

(A) |A|A^∗ O O |B|B^∗

!

. (B) |B|B^∗ O

O |A|A^∗

! .

(C) |A|B^∗ O O |B|A^∗

!

. (D) |B|A^∗ O

O |A|B^∗

! .

解 为了方便地得到正确选项,不妨设A, B 为可逆矩阵,则C 也可逆.

C^∗= |C|C⁻¹ =     

A O

O B

A O

O B

!⁻¹

= |A||B| A⁻¹ O O B⁻¹

!

= |A||B|A⁻¹ O

O |A||B|B⁻¹

! .

所以选(D).

例2.8 设A, B 均为_n阶矩阵, |A| = 2, |B| = −3,求2A^∗B⁻¹ . 解 由|A^∗| = |A|ⁿ⁻¹, 所以

2A^∗B⁻¹

= 2ⁿ|A^∗| · B⁻¹

= 2ⁿ|A|ⁿ⁻¹ 1

|B| = −2²ⁿ⁻¹ 3 .