第四章 向量组的线性相关性 36
5.1 内容小结
5.1.1 重 点释疑
第五章 相似矩阵及二次型
矩阵乘以向量,在功能上相当于把一个向量变换为另一个向量. 一个矩阵的特征向量是 这样一种特定的向量, 它经过这种变换后方向不变(或正好反向),只发生长度上的伸缩. 特 征值则反映了特征向量的伸缩倍数(及方向).
52 第五章 相似矩阵及二次型 (二)施密特正交化方法怎么理解.
以三维空间为例. 设有不共面的三个向量α1, α2, α3,由这三个向量,我们构造一组两两正交的 向量β1, β2, β3.
设有两个向量 α1, α2 如图5.1(a).
O α1
α2
(a)
α2
γ β2
O β1= α1
(b)
图5.1 先直接取β1= α1,如图5.1(b).
记α2 在α1 上的投.影.向.量为. γ,则可令 β2, α2− γ,使得 β2⊥ β1. 下面给出γ 的表达式. α2在α1 上的投.影为. :
Prjα
1α2= kα2k · cos( \α1, α2) = kα2k · [α1, α2]
kα1kkα2k =[α1, α2] kα1k , 则α2 在α1上的投.影.向.量为. :
γ = Prjα1α2· α1
kα1k =[α1, α2] kα1k · α1
kα1k =[α1, α2]
[α1, α1]α1. (5.1) 所以
β2= α2− γ = α2−[α1, α2]
[α1, α1]α1= α2−[β1, α2] [β1, β1]β1.
O β2
β1
α3
γ
γ2
γ1
β3
图5.2
记α3 在β1, β2所在平面的投影向量为γ,若令β3, α3− γ,则β3 垂直于β1, β2所在的平面, 从而β3⊥ β1, β3⊥ β2,如图5.2.
记α3 在β1, β2 上的投影向量分别为γ1, γ2, 则γ = γ1+ γ2. 与(5.1)式同理有 γ1= [β1, α3]
[β1, β1]β1, γ2=[β2, α3] [β2, β2]β2
所以
β3= α3− γ = α3− γ1− γ2= α3−[β1, α3]
[β1, β1]β1−[β2, α3] [β2, β2]β2.
§5.1 内容小结 53 对一般的n维空间,其施密特正交化公式可以类似地理解和记忆.
(三)为什么要强调正交变换.
本章的知识是为二次型化标准形服务的. 线性代数主要讨论线性函数, 二次型按理不在讨论之 列,但二次型化标准形可以转化为矩阵的问题,是矩阵的一个应用.
把二次型化为标准形,可以方便地研究其性质. 例如中心是原点的二次曲线x2− xy + y2= 4,让 曲线绕原点旋转适当角度,令
x0 y0
!
=
√1 2
√1 2
−√1
2
√1 2
! x y
! ,
可以使它化为标准形
x02 8 +y02
8 3
= 1,
从这个标准形, 我们容易识别曲线的类别, 研究曲线的性质. 为使曲线在旋转过程中保持形状不变, 要求使用正交变换.
不使用正交变换,也可以把二次型x2− xy + y2标准化. 比如,由x2− xy + y2= (x −12y)2+34y2, 令x0 = (x −1
2y), y0 =
√3
2 y,得x02+ y02= 4. 很显然,这种非正交的变换,改变了曲线的形状. (四)特征值性质的证明.
下面证明重要性质: λ1+ λ2+ · · · + λn = a11+ a22+ · · · + ann; λ1λ2· · · λn = A
. 在特征多项式
|A − λE| =
a11− λ a12 · · · a1n
a21 a22− λ · · · a2n
... ... ...
an1 an2 · · · ann− λ 的展开式中, 有一项是主对角线上元素的连乘积:
(a11− λ)(a22− λ) · · · (ann− λ),
展开式中的其余各项,至多包含n − 2个主对角线上的元素,它们对λ的次数最多是n − 2.
因此特征多项式中含λ的n次与n − 1次的项只能在主对角线上元素的连乘积中出现,它们是 (−1)nλn+ (a11+ a22+ · · · + ann)(−λ)n−1.
因此, 如果只写出特征多项式展开式的前两项与常数项,则有
|A − λE| = (−1)nλn+ (−1)n−1(a11+ a22+ · · · + ann)λn−1+ · · · + |A|.
令|A − λE| = 0,则
λn− (a11+ a22+ · · · + ann)λn−1+ · · · + (−1)n|A| = 0. (5.2) 设λ1, λ2, · · · , λn 是特征方程的根,则
(λ − λ1)(λ − λ2) · · · (λ − λn) = 0, (5.3) 如果只写出(5.3)式前两项与常数项,则有
λn− (λ1+ λ2+ · · · + λn)λn−1+ · · · + (−1)nλ1λ2· · · λn= 0. (5.4)
54 第五章 相似矩阵及二次型 比照(5.4)式与(5.2)式,得
λ1+ λ2+ · · · + λn= a11+ a22+ · · · + ann; λ1λ2· · · λn= A
. (五)例题12的说明.
教材 P.125例题 12给出了对称矩阵正交对角化的示例. 这是本章基本而重要的题型,强调几点
要注意的事项.为表述方便,把例题的主要内容罗列如下:
A =
0 −1 1
−1 0 1
1 1 0
,
特征值为λ1= −2, λ2= λ3= 1.
对应 λ1= −2的特征向量取为ξ1= (−1, −1, 1)T,单位化得p1=√1
3(−1, −1, 1)T.
对应 λ2 = λ3 = 1 的线性无关的特征向量取为 ξ2 = (−1, 1, 0)T, ξ3 = (1, 0, 1)T. 正交化得 η2= (−1, 1, 0)T, η3=12(1, 1, 2)T. 再单位化得 p2=√1
2(−1, 1, 0)T, p3= √1
6(1, 1, 2)T. 取正交矩阵P = (p1, p2, p3) =
−√1
3 −√1
2
√1 6
−√1
3
√1 2
√1 6
√1
3 0 √2
6
,得
P−1AP = PTAP = Λ =
−2 1
1
.
(1) 要看清楚题目的要求. 如果没有要求P 为正交阵,则作一般的对角化即可,即取
P = (ξ1, ξ2, ξ3) =
−1 −1 1
−1 1 0
1 0 1
,
则有
P−1AP = Λ =
−2 1
1
.
(2) 正交化过程只出现在重根特征值对应的特征向量. 因为对称矩阵A的属于不同特征值的特征向 量是正交的, 所以只需要将重根特征值对应的特征向量进行施密特正交化, 而无需将 A所有的 特征向量放在一起正交化.
(3) P 中p1, p2, p3 的排列顺序要和Λ中对角元素λ1, λ2, λ3 的排列顺序一致.比如若取
P = (p2, p1, p3) =
−√1
2 −√1
3
√1 6
√1 2 −√1
3
√1 6
0 √1
3
√2 6
,
则由A(p2, p1, p3) = (λ2p2, λ1p1, λ3p3) = (p2, p1, p3) diag(λ2, λ1, λ3),得
P−1AP = Λ =
1
−2 1
.
§5.1 内容小结 55 (4) 正交化过程其实是可以避免的: 对重根求对应方程组的基础解系时,可以直接凑出一组正交的基 础解系. 对应λ2= λ3 = 1,求解 (A − E)x = 0时, 得同解方程x1+ x2− x3= 0(见教材P.125), 下面构造一组正交的基础解系: 若取 ξ2 = (1, 0, 1)T, 要满足正交, 则应有ξ3 = (1, , −1)T,又要 满足方程,所以ξ3= (1, −2, −1)T,从而得到一组正交的基础解系:
ξ2= (1, 0, 1)T, ξ3= (1, −2, −1)T. (5.5) 类似地,还可以取
ξ2= (1, −1, 0)T, ξ3= (1, 1, 2)T. (5.6) 或者ξ2= (0, 1, 1)T, ξ3= (−2, 1, −1)T,等等.
(5) 满足条件的正交阵不是唯一的(即便我们忽略 P 中p1, p2, p3 的排列顺序).把(5.5)式中的向量 单位化得
p2= 1
√2(1, 0, 1)T, p3= 1
√6(1, −2, −1)T, 从而得满足条件的正交阵
P = (p1, p2, p3) =
−√1
3
√1 2
√1 6
−√1
3 0 −√2
6
√1 3
√1 2
√1 6
.
把(5.5)式中的向量单位化得满足条件的正交阵
P = (p1, p2, p3) =
−√1
3
√1 2
√1 6
−√1
3 −√1
2
√1 6
√1
3 0 √2
6
.