第四章 移動物體之自動追蹤系統
4.3 應用平均位移法於移動物體之追蹤
平均位移法(Mean Shift)最早是由 Fukunaga 等人[34]在 1975 年提出，最初是用於機 率密度函數(Probability Density Function)的梯度(Gradient)估算，在 1995 年由 Yizong Cheng[35]做了兩方面的推廣，首先定義了一個核心函數(Kernel Function)，讓位於樣版 中心的值給予較高的權重，越遠離樣版中心則權重越低，接下來則設定權重係數(Weight Coefficient)，不同的樣版的點，給予的重要性不同。之後應用平均位移法在圖像平滑與 圖像分割中，進而應用於移動物體追蹤，將移動物體追蹤近似於平均位移法最優化的問 題，使得追蹤可在即時性的系統中運作。在這一章介紹平均位移法的理論基礎，與如何 運用至移動物體的追蹤應用上。
4.3.1. 平均位移法理論背景介紹
在d維空間R 中，給定d n個點x ， i =i 1,...,n，則在參考點x的平均位移向量(Mean Shift Vector)的定義如下：
( ) 1 ( )
'
i hh i
x S
M x x x
n
∈= ∑ −
， (4.13)其中S 是半徑為h h的高維球形區域，滿足以下關係式的集合：
{
:( ) ( ) 2}
)
(z z z x z x h
Sh ≡ − t − ≤ (4.14)
'
n 則為在這n個x 中，落在i S 內的個數。 h
由式(4.13)可看出，xi − 是x x 相對於參考點i x的偏移量，Mh(x)即為落在S 內h n'個 x 對參考點i x偏移量的平均。同時，Mh(x)也可看成是參考點x指向x 分佈密度較高的i 方向向量，若以機率密度函數來看，因為機率密度函數的梯度指向機率密度增加最大的 方向，因此S 區域內有較多的h x 落在機率密度梯度的方向，所以平均位移向量i Mh(x)便 會指向機率密度梯度的方向。
(a) (b)
(c) (d) 圖 4.6 平均位移法示意圖
圖 4.6 為平均位移法示意圖，大圓圈的範圍為S ，小圓點代表落在h S 的h x ，數量有i '
n 個，中間的黑點為參考點x，箭頭表示(xi − )是x x 相對於參考點i x的偏移向量如圖 4.6(a)所示；由圖 4.6(b)可看出平均位移向量Mh(x)會指向x 分佈較多的方向，即機率密i 度函數的梯度方向；若新的參考點x'以舊的參考點x加上Mh(x)取代，則經過幾次疊代 後，新的參考點x'便會逐漸移至密度分佈最高的地方，如圖 4.6(b)(c)(d)所示。
在介紹完平均位移向量的標準形式，接下來引進核心函數的概念，我們考慮將距離 的影響加入平均位移向量，同時我們也將落在S 內的點h x 根據重要性的不同，加入權重i 係數，於是我們便可將基本的平均位移向量形式，擴充成下式：
Sh
( - )xi x
x
)
我們使用 Bhattacharyya 係數來計算樣版影像與候選影像的色彩分佈密度函數的相 似度，Bhattacharyya 係數越高，代表樣版影像與候選影像越相似，如何找尋最高 Bhattacharyya 係數便是本節中所要探討的主題。
前面定義了樣版影像與候選影像的色彩分佈密度函數，分別為式(4.1)及式(4.2)，我
我們的目的是要估算出最高 Bhattacharyya 係數：
1
平均位移向量(Mean Shift Vector)是一個函數指向機率密度梯度的方向，它亦是此一 函數增加量最大的方向，以下我們便要導證如何用平均位移法求得 Bhattacharyya 係數最 大值。
給予一個機率密度函數 f(x)，在d維空間中已知n個點x ， i =i 1,...,n， f(x)的核密 度估計(Kernel Density Estimation)為：
∑
現在我們將式(4.19)與式(4.11)做比較，分別重寫如下：
∑
來的平均移動向量，可以用來計算 Bhattacharyya 係數最大值，亦即式(4.2)所定義之候選 影像色彩密度分佈函數在y= +x M x( )時，Bhattacharyya 係數有最大值，其中，現在我們考慮核心函數K(x)為式(4.5)的 Epanechnikov Kernel Function 如下所示：
⎪⎩
= otherwise
x
= otherwise x
將式(4.28)代回式(4.25)可得：
otherwise
因為
我們使用 Epanechnikov 核心函數在平均位移向量中，利用平均位移向量求得 Bhattacharyya 係數的最大值，此步驟可簡化以上式表示，於是我們便可用平均位移法計 算與樣版影像有最大的相似度的候選影像，藉由此法可快速且有效的找出和移動物體的 樣版影像最相似的候選影像，達到追蹤的效果。