第二章、 K．P 法和應變
2.5 應變的模擬並且文獻的比較
當我們的系統是異質介面時，如果兩種材料的晶格不匹配時，會產生應變，
晶格常數小的材料晶格常數會被拉大，而晶格常數大的材料晶格常數會被 縮小，這些現象在界面上最為顯著，最後會達到一個平衡的狀態。當我們 的量子點系統是 InAs/GaAs 時，InAs 的晶格常數比 GaAs 的晶格常數來的 大，晶格不匹配度大約 7%，所以在此量子點系統中 InAs 會被壓縮，而造 成量子點內的band edge energy 會有改變。現在我們來先來討論應變分佈的
計算，之後再來考慮band edge energy 考慮應變後的改變情況，並與現有文 獻來做比較。
應變基本介紹：
當我們有要在一塊基板上長一層薄膜，基板和薄膜材料因為晶格不匹 配時，系統要維持一個穩定的狀態所以產生隨機分佈的島狀物，來達到系 統能量最低的狀態，此島狀物也就是自組式量子點[15]。所以原本是週期性 排列的晶格會有晶格被偏移的現象，或者應該可以說是晶格離開原本的位 置而到達一個系統平衡時的位置。可以看圖2.5.1 式晶格原本的狀態，而圖 2.5.2 是受外力使的晶格離開原本的位置。我們假設對於某一個晶格位置r當 他受到應變後的位置為r 其關係如公式(2.5.1)式
圖2.5.1、未受到應變時的晶格排列
圖2.5.2，受到應變後的晶格排列
̂ 1 ̂ ̂
̂ ̂ 1 ̂
̂ ̂ 1 (2.5.1)
ı̂、ĵ、k是未受到應變時的單位向量，ı̂ 、ĵ 、k 是受到應變後的單位向量。
其 中 的 , , , , , , , , 是 單 位 向 量 的 改 變 量 ， 而 , , 稱之為正應變(normal strain)，其餘稱為剪應變(shear strain)。
圖2.5.3、受到應變前後晶格的排列
圖2.5.3 所表示的是晶格受到應變前後的排列，這裡我們定義一個向量R來 表示某一個晶格在受到應變前後的位移量
=
, ,
, ,
, , (2.5.6)
最後我們可以整理成
= (2.5.7)
稱之為應變張量(strain tensor)
在一般的情況下，應力系數比較常用
、 、 、 、
和 來表示，0 0 0
是彈性模數的張量(tensor of elastic moduli)，表示應力和位移之間的關係[11]。
我們可以藉由解微分方程(2.5.10)式來得到位移分佈 ，但是解微分方程
點和能障的彈性系數都相同，量子點最初被壓成和能障材料的晶格大小相 同，應力是源自表面晶格不匹配且均勻分佈，還有彈性系數在系統形變時 是被固定的，如此一來量子點系統在實空間的位移分佈u r 可以表示成 (2.5.12)式，也就是格林函數和應力的 convolution ，如(2.5.12)式右邊的第二 項，(2.5.12)式的 可以看成在某一點單位力所造成的位移量分佈， 洞中。對於 的表示單量子點(single QD)。 表示因為初始應變(initial strain)所造成的系統位移量。 就是特徵函數。 是量子點表面的的 應力，因為晶格不匹配所產生的，和初始應變有關，其中 n 表示形變的方 向，k 表示施力的方向。 , 是初始應變，p 表示形變的方 向，r 表示施力的方向。藉由高斯定理(Gauss’s theorem)以及(2.5.6)式和(2.5.8) 式可得(2.5.13)式
,
, r (2.5.13)
(2.5.16)式是對(2.5.13)式做傅立葉轉換，這裡也利用到 convolution 定理，這 裡 式量子點特徵函數的傅立葉轉換如(2.5.17)式。(2.5.16)式其實也
可以看成是對時空間 , 的傅立葉級數的系數， , 可由(2.5.18)式來
̃,
0
圖2.5.1、跟文獻比較金字塔型單量子點在 Z 軸方向應變 資料來源：參考文獻[16]
藉由(2.5.18)式和(2.5.19)式我們可以得到
、 、
，至於因為 應變而產生band-edge energy 的改變量可以由下列(2.5.28)、(2.5.29)和(2.5.30) 來描述，現在我們將導電帶和價電帶分開來討論：導電帶部分：
(2.5.28) 這裡 是(2.4.4)式
價電帶部分：
HH：
2 2 (2.5.29)
LH：
(2.5.30)
2 2 (2.5.29)
這裡 是(2.4.5)式
圖2.5.2、跟文獻比較金字塔型單量子點因為應變所造成 band-edge 改變 資料來源：參考文獻[16]
被稱之為hydrostatic strain， /2被稱之為
biaxial strain。而圖(2.5.2)中紅色的部分是(2.5.28)式加上(2.4.4)式，是金字塔 型量子點導電帶的band edge，而藍色的線和綠色的線分別表示重電洞帶和 輕電洞帶的band edge，分別由(2.5.29)式加上(2.4.4)式和(2.5.30)式加上(2.4.4) 式來表示。由圖2.5.1 和圖 2.5.2 來看我們的結果是可以接受的。
接下來我們針對三種不同形狀的量子點來計算Z 軸方向上的應變分佈，我 們選擇的大小都是底邊16(nm)和高 3(nm)來做模擬，分別針對
, , 做圖、還有hydrostatic strain 和 biaxial strain 做圖以及對量子點 系統band edge 做圖。
長方體型量子點：在-1.5(nm)~1.5(nm)是我的的量子點的範圍
圖2.5.3、長方體型單量子點 z 方向(a)應力分佈、(b)hydrostatic strain 和 biaxial strain 分佈和(c)band edge。
圖2.5.4、金字塔型單量子點 z 方向(a)應力分佈、(b)hydrostatic strain 和 biaxial strain 分佈和(c)band edge。
圖2.5.5、截角金字塔型單量子點 z 方向(a)應力分佈、(b)hydrostatic strain 和 biaxial strain 分佈和(c)band edge。