法比為主。至於電腦的設備是2613GHz 的 CPU、16GB 的實體記憶體和 Linux 系統。
本篇論文主要是在討論雙量子點系統隨著距離改變時，電子結構上差 異。在電子方面，它的行為跟雙原子分子一樣，基態是bonding states；而 的第一激發態是anti-bonding states，而且不會隨距離不同而改變。但是電洞 方面，我們需要多考慮重電態和輕電洞態之間交互作用的影響，所以電洞 的行為會和電子的行為不同。當兩個量子點距離夠近時，基態會是bonding states；當超過臨界距離時基態會變成 anti-bonding states，這是因為重電態 和輕電洞態之間有耦合的影響。在考慮應變的條件下臨界距離明顯縮短，
因為anti-bonding states 重電洞態和 bonding states 輕電洞態的耦合變強了，
使的anti-bonding states 重電洞態能量降的比較低。
在這篇論文的工作中，我們可以重複的文獻的工作[7]，也用我們的程 式驗證了文獻[7]的分析。更進一步我們考慮量子點的形狀(基本上只要給出
量子點的特徵函數，如 2.4.1 式，我們都可以計算出量子點的電子結構)、應 變和擴散的效應，並確認應變有助於電洞的基態是由 anti‐bonding state 所 形成的。
本篇論文上有許多影響沒有考慮，例如壓電效應、電子和電洞之間的 庫倫作用力、外加電場或磁場等。在應變方面，由其是剪應變對於重電態 和輕電洞態之間的耦合機制尚未討論。還有在本篇論文電洞是用四能帶理 論，如果要更精確可以用六能帶理論或八能帶理論等來計算，不過收斂性 仍然是很重要的考量。
參考文獻
[1]M. A. Kastner, Phys. Today 46, 24 (1993)
[2]S. Tarucha, D. G. Austing, and T. Honda, Phys. Rev. Lett. 77, 3613 (1996) [3]Stanko Tomi, Phys. Rev. B 73, 125348 (2006)
[4]A. A. Ukhanov, A. Stintz, P. G. Eliseev, and K. J. Malloy, Appl.Phys. Lett. 84, 1058 (2004) [5]Z. Yuan, B. E. Kardynal, R. M. Stevenson, A. J. Shields, C. J.Lobo, K. Cooper, N. S.
Beattie, D. A. Ritchie, and M. Pepper,Science 295, 102 (2002)
[6]Gabriel Bester, Alex Zunger, J. Shumway, Phys. Rev. B 71, 075325 (2005)
[7] J. I. Climente, M. Korkusinski, G. Goldoni, and P. Hawrylak , “Theory of valence band holes as Luttinger spinors in vertically coupled quantum dots”（2008）
[8]J. M. Luttinger, W. Kohn, Phys. Rev. 97, 869 (1955)
[9]S. L. Chuang “Physics of Optoelectronic Devices”, Wiley (1995) [10] Craig Pryor, Phys. Rev. B 57, 7190 (1998)
[11]L. V. Fausett, “Applied Numerical Analysis Using Matlab”, Prentice-Hall(1999) [12]A. D. Andreev, J. R. Downes, D. A. Faux, and E. P. O'Reilly, J. Appl. Phys. 86,
[18] O. Stier, M. Grundmann, and D. Bimberg, Phys. Rev. B 59, 5688 (1999)
附錄 A、材料參數[18]
表A.1 材料參數
Quantity Unit InAs GaAs
Lattice constant nm 6.0553 5.6503
Enegy gap eV 0.413 1.518
Averaged VB edge , eV -6.747 -6.92
Spin-orbit coupling energy ∆ eV 0.38 0.34
CB mass effective m* m 0.0223 0.0667
Luttinger parameter - 19.7 7.10
Luttinger parameter - 8.4 2.02
Luttinger parameter - 9.3 2.91
CB hydrostatic def. pot. eV -5.08 -8.013
VB hydrostatic def. pot. eV 1.00 1.16
VB shear def. pot. [100] eV -1.8 -1.824
VB shear def. pot. [111] eV -3.6 -5.062
Elastic compliance GPa 83.3 118.8
Elastic compliance GPa 45.3 53.8
圖A1、InAs 和 GaAs 材料參數相對位置圖
附錄 B、擴散現象[12]
在有限深位能井中，有限元素法會的收斂上會有振盪，使的收斂性質 變的很差，最主要的原因是因為在位能井的邊界是一個不連續的位能井，
改善的方法是將位能井邊緣改成連續性的函數。可以用擴散效應來解決這 個問題，當半導體材料是具有異質介面時兩種不同材料會有互相參雜的現 象，使得材料在介面上是一個連續性的分佈。這裡我們同時比較平面波展 開法和有限差分法的收斂性。
我們先來考慮三維有限位能井：我們的Hamiltonian 如(B.1)式
2 B. 1 1, 1
2 x, y, z 1 0, otherwise 2
三維有限位能井我們的井是一個正立方體，在這個系統中我們可以藉由一 些數值計算來求得我們的半解析解，並與我們的程式所跑出的結果做一個 比較如圖B.1
圖B.1、三維有限位能井能階的收斂圖
紅色是基態，綠色是第一激發態，藍色是第二激發態
我們可以看到在三維有限位能井中有限差分法的收斂很差，所以我們 必須考慮一下如何來改進我們的方法，在半導體系統中，異質接面通常會 有擴散的效應使的位能在邊的地方是一個連續性的函數。所以我們考慮了 擴散效應，先考慮一維的情況，藉由Fick’s Law 如公式(B.2)
B. 2 a 是擴散系數，我們令 L 是擴散長度，則L 2a √t，t 是擴散的時間，之 後我們可以得到(B.2)式的解如(B.3)式
1
2 2 2 B. 3
這裡a 是位能井的寬度，而erf 是 error functon。圖 B.2 綠線是原本的位 能，而藍線是考慮擴散現象位能的分佈。
圖B.2、擴散現象位能的分佈 綠色的是尚未考慮擴散現象的情況，
藍色的是考慮擴散現象的情況
接下來我們將延伸到三維的情況，藉由計算我們可以得到三維的擴散方程 的解如(B.4)式
, , B. 4
1
2 2 2
1
2 2 2
1
2 2 2
然後我們重新計算我們的結果如圖B.3 和圖 B.4
接下來要把擴散方程的解帶入我們的計算中，在這部分就是把(B.4)式 , , 取代特徵函數 , , ，(B.4)式僅適用在方形的量子點中。
圖B.3、三維有限位能井能階的收斂圖(考慮擴散效應) 紅色是基態，綠色是第一激發態，藍色是第二激發態
圖 B.4、有限差分法能階的收斂百分比(考慮擴散效應)，
這裡的分母是精確值
由圖可以知當我們加上擴散效應後可以收斂到5%以內 所以在有限差分法中，位能是否夠平滑對於收斂來說是很重要的。