第四章 數值分析與結果
4.2 幾何非線性分析
4.2.2 懸臂梁受到彎矩作用(非線性分析)
= 0
ν 。簡支梁左端下方為絞接，右端下方為滾子，在左右兩端的邊上各
施加一個彎矩M 。圖 4.9(b)為本例題網格 8×1 的示意圖，本例題分析時所 使用的網格有：20×1、50×1、100×1 三種。本例題考慮兩種負荷型態：負 荷 LNS 為圖 4.9(c)中的分佈力，負荷 M4V 為圖 4.9(d)中作用於四個頂點上 的集中力矩。本例題之平衡迭代的容許誤差值取10−4，圖 4.10 是比較在不 同網格下的精準程度，使用的是負荷 LNS 與ν =0進行分析。在網格 20×1 的分析過程中使用了 6 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 10；在網格 50×1 的分析過程中使用了 4 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 6；在 網格 100×1 的分析過程中使用了 3 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 10。由圖 4.10 可見本例題的結果與梁元素分析的結果幾乎重合。另外圖 4.11 是比較在不同負荷型態下的結果，使用的是網格 20×1 與ν = 0進行分析。
在負荷 LNS 的分析過程中使用了 6 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 10；在負荷 M4V 的分析過程中使用了 6 個增量，每個增量的平均迭代次數 約為 9。由圖 4.11 的結果可知負荷 LNS 與負荷 M4V 對結果影響不大。圖 4.12 則是比較在不同蒲松比下的結果，使用的是網格 20×1 與負荷 LNS 進 行分析。在ν =0的分析過程中使用了 6 個增量，每個增量的平均迭代次數 約為 10；在ν = 0.25的分析過程中使用了 6 個增量，每個增量的平均迭代 次數約為 10。由圖 4.12 的結果可知蒲松比對結果的影響不大。
4.2.2 懸臂梁受到彎矩作用(非線性分析)
圖 4.13(a)為懸臂梁結構示意圖及其所受到之彎矩負荷圖，懸臂梁長度
=1000
L 及10000，高度h =10，厚度t =1，楊氏係數E =105，蒲松比ν =0 及ν =0.25。懸臂梁左端為固接，右端為自由端，在自由端施加一個彎矩
M。本例題採用兩種網格劃分，圖 4.13(b)為 M61 網格 8×1 與 8×2 示意圖，
圖 4.13(c)為 M62 網格 8×1 與 8×2 示意圖。本例題考慮兩種負荷型態，負荷 LNS 為圖 4.13(d)所示分佈力，負荷 M2V 為圖 4.13(e)所示兩個集中力矩分 別作用於 A點與B 點上。負荷 LNS 為一與變形位置相關(configuration dependent)的負荷，其方向與在當前之變形位置的AB邊垂直，但其分佈型 態不變。邊界條件是採用例題 4.1.1 中的 BC13：U =θ =γxy = 0在X =0及
= 0
V 在X = Y =0。本例題採用單層網格時，自由端中點C位移及轉角的 結果都是取自由端兩端點A、B之位移及轉角的平均值。
本例題之平衡迭代的容許誤差值取10−4，圖 4.14 至圖 4.16 是L=1000、
= 0
ν 之懸臂梁受負荷 LNS 時用不同單層網格分析的結果與理論解的比
較。本例題在網格 20×1(M61)的分析過程中使用了 43 個增量，每個增量的 平均迭代次數約為 19；在網格 20×1(M62)的分析過程中使用了 55 個增量，
每個增量的平均迭代次數約為 17；在網格 50×1(M61)的分析過程中使用了 26 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 9；在網格 50×1(M26)的分析過程 中使用了 22 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 9；在網格 100×1(M61) 的分析過程中使用了 19 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 9；在網格 100×1(M62)的分析過程中使用了 20 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 8。以上的數據顯示本例題在元素較少時需要較多的增量及迭代次數。由圖 4.14 至圖 4.16 可看出當 M61 及 M62 網格為 20×1 在ML/EI ≤2時，本文的 結果與理論解相當吻合；當網格為 50×1 在ML/EI ≤4時，本文的結果與理 論解相當吻合；當網格為 100×1 在ML/EI ≤6時，本文的結果與理論解相 當吻合。因本研究假設元素的變形位移及旋轉是小位移及小旋轉，所以當 元素較少時，隨著位移及旋轉的增加，其結果會漸漸偏離正確解。
圖 4.17 至圖 4.19 為L=1000、ν =0之懸臂梁在不同單層與雙層網格下 的分析結果，採用的網格為 M61 網格 20×1、20×2、40×1 及 40×2，使用的 負荷為 LNS 負荷。本例題網格 20×1 及 40×2 的元素有相同的邊長比(aspect
28
ratio)，此處邊長比是指如圖 4.13(b)與圖 4.13(c)的網格劃分時，直角三角形 的長直角邊與短直角邊的比值。在網格 20×1(M61)的分析過程中使用了 43 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 19；在網格 20×2(M61)的分析過程 中使用了 51 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 14；在網格 40×1(M61) 的分析過程中使用了 28 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 10；在網格 40×2(M61)的分析過程中使用了 36 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 8。以上數據顯示單層和雙層網格分析時，所需要的總迭代次數差不多，但 增加懸臂梁軸方向的元素數目可以減少所需的迭代次數，這一點和圖 4.14 至圖 4.16 的結果是一致的。在圖 4.17 至圖 4.19 中可以看出網格 20×1(M61) 與網格 40×2(M61)的元素雖然有相同的邊長比，但是結果差距很大，這應表 示影響結果精確度的主要原因並非元素的邊長比，而是前面所提到的元素 變形位移與旋轉。另外比較 40×1(M61)與 40×2(M61)的結果也可看出若將網 格的層數增加，也會讓結果更準確。
圖 4.20 是懸臂梁長度L=10000、蒲松比ν =0，受負荷 LNS 的結果。
在網格 50×1(M61)的分析過程中使用了 175 個增量，每個增量的平均迭代次 數約為 18；在網格 100×1(M61)的分析過程中使用了 224 個增量，每個增量 的平均迭代次數約為 10；在網格 200×1(M61)的分析過程中使用了 108 個增 量，每個增量的平均迭代次數約為 8。上述的數據顯示使用較多的元素時，
所需的迭代次數較少，此結果與L=1000懸臂梁之結果的趨勢是一致的。
網格為 50×1(M61)、100×1(M61)及 200×1(M61)時，元素的邊長比分別為 20、
10 及 5 。 由 圖 4.20 中 可 看 出 當 懸 臂 梁 長 度 L=10000 時 ， 當 在 2
/ ≤
= ML EI
θc 時，網格 50×1(M61)的結果就足夠準確；當θc = ML/EI ≤ 4 時，網格 100×1(M61)的結果已足夠準確；當θc = ML/EI ≤ 2π 時，必須使 用網格 200×1(M61)的結果才足夠準確。另外比較長度L=10000與L=1000 的分析結果也可得知，當懸臂梁長度增加為 10 倍時，網格劃分不需要增加
為 10 倍，即可得相同精度，此結果再度說明本文結果的精度並非由元素的 邊長比決定。
圖 4.21 是比較懸臂梁長度L =1000、蒲松比ν = 0，網格為 100×1(M61) 在不同負荷型態下的結果。在負荷 LNS 的分析過程中使用了 19 個增量，每 個增量的平均迭代次數約為 9；在負荷 M2V 的分析過程中使用了 20 個增 量，每個增量的平均迭代次數約為 8。由圖 4.20 的結果可知負荷 LNS 與負 荷 M2V 對結果影響不大。另外圖 4.22 是比較懸臂梁長度L=1000，網格 為 100×1(M61)受負荷 LNS 在不同蒲松比下的結果。在ν = 0的分析過程中 使用了 19 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 9；在ν = 0.25的分析過 程中使用了 22 個增量，每個增量的平均迭代次數約為 9。由圖 4.22 的結果 可知蒲松比對結果的影響不大。