第四章 數值分析與結果
4.1 線性分析
4.1.1 懸臂梁受到彎矩作用(線性分析)
圖 4.2(a)為懸臂梁結構示意圖及其所受到之彎矩負荷圖，本例題是文獻 [7]提出的例題，懸臂梁長度L= 32，高度h = 2，厚度t =1，楊氏係數
= 768
E ，蒲松比ν =0.25。如圖 4.2(a)所示，懸臂梁左端為固接(fixed end)，
右端為自由端(free end)，依尤拉梁(Euler beam)理論懸臂梁自由端受彎矩
=100
M 作用時，自由端中點C的垂直位移可表示為[40]
22
2 100
2 =
= EI
VC ML (4.1)
如圖 4.2(b)與圖 4.2(c)，本例題使用的網格可分為兩種型式，M11 網格為上 下與左右對稱的網格劃分，M12 網格則為單一方向的網格劃分。當梁受純 彎矩作用時，梁內的應力分佈與圖 4.2(d)的分佈力相同，為了模擬梁受純彎 矩作用，本例題考慮了兩種外力負荷：負荷 LNS 為圖 4.2(d)之分佈力；負 荷 M1S 則為圖 4.2(e)中的傳統集中力矩，作用於自由端中點 C，其所對應 節點參數即為(2.56)式中的θjB。
本例題在固定端的水平位移、轉角以及剪應變皆為零，因不同的元素有 不同的節點參數，故有些元素無法滿足所有的邊界條件。例如 ALL-3I[9]、
FF84[7]、LST-Ret[4]以及 OPT[4]元素都是三節點的三角形元素，其節點參 數為兩個位移及一個旋轉，故其邊界條件設定為 BC12：U =θ = 0在X =0 及V = 0在X = Y =0。CST[1]元素的節點參數為兩個位移，故其邊界條件 設定為 BC11：U =0在X = 0及V = 0在X = Y =0。本文使用的元素其節 點參數為兩個位移、一個旋轉以及三個應變，故能設定各種邊界條件。本 文元素的邊界條件最合適的應為 BC13：U =γxy =θ =0在X =0及V =0在
=0
= Y
X 或是 BC14：U =θ = 0在 X = 0、γxy =0在
(
X,Y) (
= 0,±h 2)
及= 0
V 在X = Y =0。依梁理論的解析解本例題在固定端之反力的分佈與圖 4.2(d)之作用力的分佈相同，若為使固定端能有一致性的等效節點力，應將 固定端上對應於等效節點反力不為零的節點參數固定。依此準則，由附錄 C 可得本例題的邊界條件應為 BC13。
表 4.1 為本例題用不同網格、負荷以及邊界條件的結果並與文獻上的結 果比較。由表 4.1 可以發現本文的各種結果與梁理論的解析解都相當接近，
網格的種類對本文元素的結果影響不大，負荷 LNS 與梁受純彎矩的應力分 佈一致，所以如同預期的，負荷為 LNS 且邊界條件為 BC13 時，本文的結
果與梁理論的解析解一樣。文獻[4]中為消除元素網格的方向性，將每一單 位網格分成兩個一半厚度的單位網格，再沿著交錯的對角線將每個半厚度 的單位網格各分成兩個三角形元素，即每個單位網格由 4 個半厚度的重疊 三角形(four half-thickness overlaid triangles)元素組成。當元素網格單位為長 方形，文獻[4]提到 OPT 元素受純彎矩作用時有正確解，所以由表 4.1 可以 發現 OPT 元素在本例題有很好的結果。由表 4.1 亦可發現除了 OPT 元素外，
文獻上其他元素的結果都不是很好。
4.1.2 懸臂梁受到剪力作用(線性分析)
圖 4.3(a)為懸臂梁結構示意圖及其所受到之剪力負荷圖，本例題是文獻 [3]首先提出的例題，懸臂梁長度L=48，高度h =12，厚度t =1，楊氏係 數E =30000，蒲松比ν =0.25。如圖 4.3(a)所示，懸臂梁左端為固接，右 端為自由端，在懸臂梁自由端施加一個向上的二次分佈力，其合力大小為
= 40
P ，則在平面應力的假設下自由端中點C的垂直位移可表示為[40]
3553 2 0
5 4 3
3
Eht . PL ) v (
EI
VC = PL + + = (4.2)
其左端之反力的分佈為二次的分佈剪力以及一次的分佈正向力。本例題使 用的網格劃分有兩種：圖 4.3(b)的規則網格及圖 4.3(c)所示的 4×1D 扭曲網 格。本例題的剪力負荷為二次分佈力。理論解(4.2)式採用的邊界條件並非 固定端，文獻上用不同的元素分析本例題時採用了各種不同的邊界條件，
如文獻[4,41]使用邊界條件 BC21：U = V = 0在X = 0，文獻[42,43]採用邊 界條件 BC22：U = V = 0在
(
X,Y) (
= 0,−h 2)
及U = 0在(
X,Y) (
= 0 h, 2)
。本文中考慮了兩種邊界條件，即 BC23：U =V =εy =γxy =θ =0在X =0及 BC24：U =V =εy =θ = 0在X = 0及γxy = 0在
(
X,Y) (
= 0,±h 2)
。邊界條 件 BC23 是將理論解(4.2)式之反力的等效節點力中不為零的節點參數固 定。邊界條件 BC24 是一所謂固定端的邊界條件，並考慮梁之上下表面在固24
定端的剪應變為零。
表 4.2 為本文的分析結果及文獻上的結果，文獻[4]分析本例題時，與例 題 4.1.1 一樣，每一網格單位都是由四個半厚度的重疊三角形組成。在表 4.2 中可以看到本例題採用邊界條件 BC23 及 BC24，在網格切割較多時與(4.2) 式中的理論解很接近。由表 4.2 亦可發現本文採用邊界條件 BC21 時的結果 與理論解的差異較大，但文獻[4]使用 OPT 元素及邊界條件 BC21 時，其結 果與理論解很接近。另外比較 4×1 與 4×1D網格所得到的結果可以看出扭曲 網格對於本文中所使用三角平面元素的影響不大。圖 4.4 至圖 4.6 為網格 16×4 及 32×8 分別在X =12、24、36處沿著Y 方向的應力分佈，因在總體 座標系統的三個應變分量為本文的系統節點參數，故將節點的三個應變分 量代入(2.33)式中即可得出該節點上的三個應力分量。由圖 4.4 至圖 4.6 可 以發現本文的結果與理論解相當接近。
4.1.3 Cook 例題[21]
圖 4.7(a)為結構示意圖及其所受到之剪力負荷圖，此例題是文獻[21]為 了測試非長方形的四邊形元素提出的。此例題也可以反應剪力作用下的行 為，以及網格歪曲所造成的影響。圖 4.7(b)為本例題使用的 2×2 網格，文獻 [4]網格劃分的方式與本例題相同，且僅將每一網格單位分成與本例題一樣 的兩個三角形元素。本例題的剪力負荷為均勻分佈力，考慮的邊界條件有 三 種 ， BC31 ：U = V = 0 在 X =0 ； BC32 ：U =V =εy =γxy =θ =0 在
=0
X ； BC33 ：U =V =εy =θ = 0 在 X =0 及 γxy =0 在
(
X,Y) ( )
= 0,0 ,(
0,44)
。表 4.3 及表 4.4 為本文及文獻[4]的結果，由表 4.3 可以發現當網格 較密時各種邊界條件以及不同元素的結果都很接近，但網格較疏時僅本文 的元素可以得到相當精確的結果。邊界條件 BC32 將等效節點反力不為零的 節點參數全部固定，故其結果會較快收斂。表 4.4 為A點的最大主應力σA(max)與B點的最小主應力σB(min)的比較，由表 4.4 可見當網格較密時，各種元素 的結果都很接近，但在 2×2 網格時，以本文元素在邊界條件 BC32 時的結 果最好。
4.1.4 簡支梁受到兩端彎矩作用(線性分析)
圖 4.8(a)為簡支梁結構示意圖及其所受到之彎矩負荷圖，簡支梁長度
=10
L ，高度h =1，厚度t =1，楊氏係數E =100，蒲松比ν =0。簡支梁 左端下方為絞接(hinge)，右端下方為滾子(roller)，在左右兩端的邊上各施加 一個彎矩M =1，根據尤拉梁理論中心點垂直位移與C點轉角分別為：
5 . 8 1
2 =
= EI
V ML (4.3)
6 . 2 = −0
−
= EI ML
θC (4.4)
本例題使用了 3 種不同的網格，如圖 4.8(b)所示，其中 M41 為 6×1 網格，
M42 則是扭曲的 6×1 網格，M43 是 2×1 網格。在外力負荷方面，本例題考 慮了 3 種等效外力，圖 4.8(c)中的負荷 CM 與負荷 M4V 分別是力偶與集中 彎矩，負荷 LNS 則是使用與梁受純彎矩時之應力分佈一致的線性分佈力。
表 4.5 為本文與一些文獻上的結果，由於負荷 CM 與負荷 M4V 都非負荷 LNS 的一致性等效節點力，所以不能得出梁受純彎矩的正確解。由表 4.5 可發現 無論使用哪個網格劃分，負荷 LNS 的結果都與(4.3)式及(4.4)式受純彎矩的 正確解相同。另外比較網格 M41 與 M42 的結果可以發現網格扭曲對本例題 的結果影響不大。